v1 · padrão canônico

Lesson 40 — Annual synthesis: integrative workshop Year 1

Final workshop of Year 1. Problems combining functions, trigonometry, analytic geometry, vectors, matrices, combinatorics, and probability.

Used in: Capstone 1st year HS · Equiv. Math I+II Japanese review · Equiv. Abitur prep German

\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A taxa de variação média de $f$ no intervalo $[a, b]$ : o fio condutor do Ano 1 que liga funções ao cálculo diferencial do Ano 2. Cada área do Ano 1 — trigonometria, matrizes, probabilidade — formula uma versão desta ideia central de quanto muda por quanto avança.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese axiomática do Ano 1

Os quatro pilares

O Ano 1 construiu quatro pilares que formam o substrato do cálculo, da álgebra linear e da probabilidade:

Definition· Pilar 1 — Funções e análise (Trim 1)

Domínio, imagem, composição e inversa: $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_D$ .
Funções afim, quadrática, exponencial $a^x$ e logarítmica $\log_a x$ .
Taxa de variação média:

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

(TVM)

what this means · Razão de mudança de f entre dois pontos. Para função afim é constante; para funções não-lineares varia com o intervalo — e no limite quando b → a se torna a derivada.

Limite intuitivo de sequência: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

"The average rate of change of a function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . We can think of this as the slope of the line connecting the two points $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$ ." — Active Calculus §1.3

Definition· Pilar 2 — Trigonometria e sequências (Trim 2)

Ciclo trigonométrico, identidade fundamental: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
Lei dos senos: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ .
Lei dos cossenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ .
Progressão aritmética (PA) e geométrica (PG):

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}

(PA)

what this means · Soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo a₁ e razão r.

S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}

(PG)

what this means · Soma dos n primeiros termos de uma PG com razão q ≠ 1. Quando |q| < 1 e n → ∞, a soma converge para a₁/(1-q).

Definition· Pilar 3 — Geometria analítica e vetores (Trim 3)

Distância entre pontos: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .
Equação da reta: $y = mx + b$ ou forma geral $ax + by + c = 0$ .
Cônicas: circunferência, elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , hipérbole, parábola.
Produto escalar e ângulo entre vetores:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta

(PE)

what this means · O produto escalar é zero se e somente se os vetores são perpendiculares. O ângulo θ é obtido dividindo o produto escalar pelo produto dos módulos.

"The dot product is distributive over addition and satisfies $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$ where $\theta$ is the angle between $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.4

Definition· Pilar 4 — Álgebra linear, combinatória e probabilidade (Trim 4)

Matrizes, determinante (regra de Sarrus ou expansão de Laplace), inversa $A \cdot A^{-1} = I$ .
Sistemas $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ : eliminação de Gauss, regra de Cramer.
Contagem estruturada:

\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}

(Comb)

what this means · Número de subconjuntos de tamanho p de um conjunto de n elementos. A ordem não importa. Arranjo A_n^p = n!/(n-p)! conta quando a ordem importa.

Probabilidade condicional e Teorema de Bayes:

P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B|A)\,P(A) + P(B|\bar{A})\,P(\bar{A})}

(Bayes)

what this means · Bayes inverte a condicional: dado que B ocorreu, qual a probabilidade de A? O denominador é a probabilidade total de B, calculada pela lei da probabilidade total.

"Bayes' theorem gives a mathematical rule for revising an estimate or forecast in light of experience and new information." — OpenIntro Statistics §3.2

O fio condutor

Mapa por trimestre

Trim	Tópicos centrais	Aulas
1	Conjuntos, funções, taxa de variação, exponencial/log	1–10
2	Trigonometria, sequências (PA/PG), limite intuitivo	11–20
3	Geometria analítica, cônicas, vetores, sistemas lineares	21–30
4	Matrizes, determinantes, combinatória, probabilidade	31–40

Exemplos resolvidos

Example— 1· Função composta + taxa de variação (Trim 1)

Problema: Sejam $f(x) = x^2 - 1$ e $g(x) = 2x + 3$ . (a) Calcule $(f \circ g)(x)$ . (b) Calcule $\text{TVM}_{[0,2]}$ de $h = f \circ g$ .

Estratégia: Composição primeiro; depois aplica a definição de TVM. Dois conceitos do Trim 1 encadeados.

Resolução:

Composição: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 8$ .
TVM no intervalo $[0, 2]$ :

$\text{TVM}_{[0,2]} = \frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{(4 \cdot 4 + 24 + 8) - (0 + 0 + 8)}{2} = \frac{48 - 8}{2} = 20.$

Verificação: $h(0) = 4(0) + 12(0) + 8 = 8$ . $h(2) = 4(4) + 12(2) + 8 = 16 + 24 + 8 = 48$ . $\frac{48-8}{2} = 20$ . Correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Lei dos cossenos + identidade trigonométrica (Trim 2)

Problema: Em um triângulo com $a = 7$ , $b = 5$ e $C = 120°$ , determine o lado $c$ e o $\cos A$ .

Estratégia: Lei dos cossenos para $c$ ; depois segunda aplicação para $\cos A$ . Encadeia dois usos da mesma lei.

Resolução:

Calcular $c$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos(120°).$

$\cos(120°) = -\frac{1}{2}, \text{ então } c^2 = 74 - 70 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 74 + 35 = 109.$

$c = \sqrt{109} \approx 10{,}44.$

Calcular $\cos A$ (lei dos cossenos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ ):

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 109 - 49}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{109}} = \frac{85}{10\sqrt{109}}.$

Verificação: $85 / (10\sqrt{109}) \approx 85/104{,}4 \approx 0{,}814$ , logo $A \approx 35{,}4°$ . Ângulo menor que $C = 120°$ — consistente com o lado oposto $a = 7 < c = \sqrt{109}$ .

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Cônica + sistema linear (Trim 3 cruzado com Trim 4)

Problema: Determine os pontos de interseção da elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ com a reta $y = x - 1$ .

Estratégia: Substituir a reta na equação da cônica gera uma equação quadrática. Sistema cônica + reta — problema clássico de geometria analítica.

Resolução:

Substituir $y = x - 1$ :

$\frac{x^2}{25} + \frac{(x-1)^2}{9} = 1.$

MMC = 225, multiplicar tudo por 225:

$9x^2 + 25(x-1)^2 = 225.$

$9x^2 + 25x^2 - 50x + 25 = 225 \implies 34x^2 - 50x - 200 = 0 \implies 17x^2 - 25x - 100 = 0.$

Resolver pela fórmula de Bhaskara:

$\Delta = 625 + 4 \cdot 17 \cdot 100 = 625 + 6800 = 7425.$

$x = \frac{25 \pm \sqrt{7425}}{34} = \frac{25 \pm 15\sqrt{33}}{34}.$

Coordenadas $y$ : $y = x - 1$ em cada caso.

Verificação: os dois pontos satisfazem ambas as equações (verificar numericamente substituindo $x \approx 3{,}28$ e $x \approx -1{,}81$ ).

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §12.3 — CC-BY 4.0.

Example— 4· Determinante + probabilidade condicional (Trim 4)

Problema: A matriz $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & k-1 \end{pmatrix}$ tem determinante zero para $k = ?$ . Em seguida: em uma urna com 4 bolas vermelhas e 6 azuis, retira-se uma bola sem reposição. Qual a probabilidade de a segunda ser azul, dado que a primeira foi vermelha?

Estratégia: Dois problemas do Trim 4 em sequência — determinante e probabilidade condicional.

Resolução:

Parte 1 — Determinante:

$\det A = k(k-1) - 6 = k^2 - k - 6 = (k-3)(k+2) = 0.$

Logo $k = 3$ ou $k = -2$ .

Parte 2 — Probabilidade condicional:

Evento $B_2$ : segunda bola é azul. Evento $V_1$ : primeira bola é vermelha.

$P(B_2 | V_1) = \frac{\text{azuis restantes}}{\text{total restante}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Verificação: Após retirar uma bola vermelha, restam $10 - 1 = 9$ bolas, das quais 6 são azuis. Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §11.4 e §11.5 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Problema integrador (Trim 1 + 2 + 3 + 4)

Problema: Uma empresa modela seu lucro mensal (em mil reais) por $L(t) = 10 + 3t - t^2/10$ , onde $t$ é o mês ( $t = 1, 2, \ldots, 12$ ). (a) Calcule a TVM de $L$ entre $t = 2$ e $t = 8$ . (b) O vetor $\mathbf{v} = (L(3),\, L(6))$ aponta para que quadrante? (c) Quantas estratégias de marketing são possíveis se a empresa escolhe 2 entre 5 canais disponíveis (ordem não importa)?

Estratégia: Parte (a) usa Trim 1 (TVM). Parte (b) usa Trim 3 (vetores no plano). Parte (c) usa Trim 4 (combinações). Problema integrador explícito.

Resolução:

Parte (a) — TVM:

$L(2) = 10 + 6 - 0{,}4 = 15{,}6$ . $L(8) = 10 + 24 - 6{,}4 = 27{,}6$ .

$\text{TVM}_{[2,8]} = \frac{27{,}6 - 15{,}6}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2.$

Lucro cresce 2 mil reais por mês, em média, nesse período.

Parte (b) — Vetor:

$L(3) = 10 + 9 - 0{,}9 = 18{,}1$ e $L(6) = 10 + 18 - 3{,}6 = 24{,}4$ .

$\mathbf{v} = (18{,}1;\, 24{,}4)$ . Ambas as coordenadas positivas: primeiro quadrante.

Parte (c) — Combinações:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10 \text{ estratégias possíveis}.$

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §11.3 e §11.5 — CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 7Modeling 8Challenge 3

Fontes desta lição

Workshop reúne fontes do Ano 1 inteiro. Todas as fontes abaixo são de acesso aberto e licença compatível com uso educacional não-comercial.

Stitz–Zeager Precalculus — Stitz, Zeager · 2013, v3.07 · EN · CC-BY-NC-SA. §1–§11: funções, trig, sequências, cônicas.
OpenStax College Algebra 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §2–§11: funções, sistemas, matrizes, combinatória, probabilidade.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §7–§12: trigonometria, vetores, cônicas, sequências.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA. §1.2–§1.3: limites intuitivos e taxa de variação.
OpenIntro Statistics, 4th ed. — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. §3.1–§3.4: probabilidade clássica, condicional, Bayes, binomial.
Book of Proof — Richard Hammack · 3ª ed. · EN · CC-BY-ND. §3.4: combinatória, identidade de Pascal.

Catálogo completo em /livros.

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