v1 · padrão canônico

Lesson 41 — Formal limit: epsilon-delta definition

The epsilon-delta definition of a limit. Cauchy 1821, Weierstrass 1872. Where calculus becomes rigorous.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis) · A-Level Further Maths — Limits

\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

A definição ε-δ de limite: dizemos que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ quando, para toda tolerância $\varepsilon>0$ escolhida por você, conseguimos exibir uma distância $\delta>0$ tal que todo $x$ dentro da faixa $0<|x-a|<\delta$ produz $f(x)$ dentro da faixa $|f(x)-L|<\varepsilon$ . É a fundação rigorosa do cálculo: sem ela não há derivada, sem derivada não há cálculo.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Definição ε-δ de limite

"We say that the limit of $f(x)$ , as $x$ approaches $a$ , equals $L$ , …if we can make the values of $f(x)$ arbitrarily close to $L$ …by restricting $x$ to be sufficiently close to $a$ (on either side of $a$ ) but not equal to $a$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2

Método ε-δ: como construir a demonstração

Escreva $|f(x) - L|$ e manipule algebricamente até aparecer um múltiplo de $|x - a|$ .
Restrinja $|x - a| < 1$ (ou outra constante) para controlar fatores adicionais.
Escolha $\delta = \min\bigl(1,\; \varepsilon / C\bigr)$ onde $C$ é o coeficiente obtido.
Verifique que a cadeia $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ se fecha.

Demonstração modelo: $\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7$

Rascunho: $|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$ . Para que $3|x-2| < \varepsilon$ , basta $|x-2| < \varepsilon/3$ .

Prova formal: Dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \varepsilon/3$ . Se $0 < |x - 2| < \delta$ , então $|f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

Limites laterais

Limite no infinito e infinito como limite

Definition· Quatro tipos de limite

Tipo	Definição
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow f(x)>M$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow f(x)>M$

Propriedades algébricas dos limites

Sejam $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ . Então:

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M, \qquad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M

what this means · Adição e multiplicação de limites. Demonstrável diretamente via ε-δ usando a desigualdade triangular.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M\neq 0

what this means · Quociente de limites: válido quando o limite do denominador é não-nulo.

Limites notáveis

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\!x}=e

what this means · Os quatro limites fundamentais do cálculo, usados em toda simplificação de indeterminações.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Cálculo intuitivo via tabela numérica (aplicação)

Problema. Estime numericamente $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ e confirme algebricamente.

Estratégia. Quando a substituição direta gera $0/0$ , a tabela numérica sugere o valor e a fatoração confirma.

Resolução:

Tabela de valores perto de $x = 2$ (com $x \neq 2$ ):

$x$	$(x^2-4)/(x-2)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

A tabela sugere $\lim = 4$ .

Confirmação algébrica: Para $x \neq 2$ , $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$ Logo $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$ .

Verificação: a fatoração cancela o fator $(x-2)$ que causava a indeterminação. O valor $f(2)$ está indefinido, mas o limite existe e vale 4.

Fonte. Active Calculus §1.2, Preview Activity 1.2.1 — licença CC-BY-SA.

Example— 2· Demonstração formal ε-δ para função linear (formal)

Problema. Demonstre rigorosamente via $\varepsilon$ - $\delta$ que $\displaystyle\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ .

Estratégia. Expressamos $|f(x) - L|$ em termos de $|x - a|$ , identificamos a relação linear e escolhemos $\delta = \varepsilon / C$ .

Resolução:

Rascunho (para orientar a escolha de $\delta$ ): $|f(x) - 13| = |5x - 2 - 13| = |5x - 15| = 5|x - 3|.$ Para que $5|x-3| < \varepsilon$ , precisamos $|x - 3| < \varepsilon/5$ .

Prova formal: Seja $\varepsilon > 0$ dado. Tome $\delta = \varepsilon/5$ . Suponha $0 < |x - 3| < \delta$ . Então: $|(5x - 2) - 13| = 5|x - 3| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.$ Portanto, por definição, $\displaystyle\lim_{x\to 3}(5x - 2) = 13$ . $\square$

Observação: para funções lineares $f(x) = mx + b$ , a relação $|f(x) - (ma+b)| = |m|\cdot|x-a|$ é sempre direta. O $\delta = \varepsilon/|m|$ funciona sem restrições adicionais.

Verificação: Tomando $\varepsilon = 0{,}1$ : $\delta = 0{,}02$ . Para $|x - 3| < 0{,}02$ , tem-se $|5x - 15| = 5|x-3| < 5(0{,}02) = 0{,}1 = \varepsilon$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.5, Example 2.39 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Limites laterais e existência do limite (compreensão)

Problema. Considere a função $f(x) = |x|/x$ para $x \neq 0$ . Calcule os limites laterais em $x = 0$ e determine se $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe.

Estratégia. Calcular separadamente o limite à direita e à esquerda. O limite bilateral existe somente se ambos coincidem.

Resolução:

Observe que:

f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}

Limite à direita ( $x \to 0^+$ , isto é, $x > 0$ ): $f(x) = 1$ para todo $x > 0$ , portanto $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .

Limite à esquerda ( $x \to 0^-$ , isto é, $x < 0$ ): $f(x) = -1$ para todo $x < 0$ , portanto $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

Como $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ , os limites laterais são diferentes.

Conclusão: $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ não existe.

Verificação: o gráfico de $f$ é uma "escada" com degrau em $x = 0$ . É a descontinuidade de salto mais simples possível.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2, Example 2.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Limite no infinito de função racional (aplicação)

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7}$ .

Estratégia. Dividir numerador e denominador pela maior potência de $x$ presente ( $x^2$ ) e usar o fato de que $k/x^n \to 0$ quando $x \to \infty$ para qualquer constante $k$ e $n > 0$ .

Resolução:

Divida tudo por $x^2$ : $\frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7} = \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2}.$

Quando $x \to +\infty$ : $5/x \to 0$ , $1/x^2 \to 0$ , $7/x^2 \to 0$ . Portanto: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}.$

Regra geral: para $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ , o resultado depende de $n$ vs. $m$ :

$n < m$ : limite $= 0$ .
$n = m$ : limite $= a_n/b_m$ .
$n > m$ : limite $= \pm\infty$ (depende dos sinais).

Verificação: Em $x = 1000$ : $(3 \cdot 10^6 + 5000 - 1)/(2 \cdot 10^6 - 7) \approx 3005000/1999993 \approx 1{,}5025$ — converge para $3/2$ . ✓

Fonte. APEX Calculus §1.6, Example 1.6.1 — licença CC-BY-NC.

Example— 5· Limite que não existe — oscilação (desafio)

Problema. Mostre que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ não existe.

Estratégia. Usar a caracterização sequencial de Heine: se o limite existisse, toda sequência $x_n \to 0$ com $x_n \neq 0$ produziria $f(x_n) \to L$ . Exibimos duas sequências com imagens convergindo a valores distintos.

Resolução:

Considere as duas sequências: $x_n = \frac{1}{2n\pi} \quad \text{e} \quad y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$

Ambas satisfazem $x_n \to 0$ e $y_n \to 0$ (denominadores crescem sem limite).

Para $x_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin(2n\pi) = 0 \quad \text{para todo } n.$ Logo $f(x_n) \to 0$ .

Para $y_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\!\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \sin\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{para todo } n.$ Logo $f(y_n) \to 1$ .

Como duas sequências em $x_n \to 0$ produzem limites diferentes ( $0$ e $1$ ), pela caracterização de Heine o limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ não existe. $\square$

Nota: o gráfico oscila infinitamente entre $-1$ e $1$ conforme $x \to 0$ — nenhum valor específico é privilegiado.

Fonte. Active Calculus §1.2, Activity 1.2.3 — licença CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 7Understanding 13Modeling 2Challenge 6Proof 12

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2, §1.7 · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária. Exercícios de álgebra de limites (ex. 2, 11), continuidade e diferenciabilidade (ex. 2, 5, 10).
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.3, §2.5 · CC-BY-NC-SA 4.0. Leis dos limites (ex. 83–130), definição ε-δ precisa (ex. 176–205).
Cours d'analyse — Augustin-Louis Cauchy · 1821 · domínio público. Origem histórica da definição formal de limite.