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Lesson 42 — Algebraic Properties of Limits

Limit laws (sum, product, quotient, power, root), direct substitution, indeterminate forms 0/0 via factoring and rationalization, and the Squeeze Theorem.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês (極限の性質) · Equiv. Oberstufe Grenzwertregeln alemão

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0

A lei do quociente: o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador tenha limite $M \neq 0$ . Quando $M = 0$ , a lei falha e surge uma indeterminação que exige técnicas algébricas: fatoração, racionalização ou o Teorema do Confronto.

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Propriedades operatórias e Teorema do Confronto

Sejam $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , com $L, M \in \mathbb{R}$ . As leis abaixo valem para $x \to a$ , $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to \pm\infty$ .

Leis algébricas dos limites

Definition· Leis dos limites (Boelkins §1.4 / OpenStax §2.3)

Lei	Enunciado	Restrição
Soma / diferença	$\lim (f \pm g) = L \pm M$	nenhuma
Múltiplo por constante	$\lim (c \cdot f) = cL$	$c \in \mathbb{R}$
Produto	$\lim (f \cdot g) = L \cdot M$	nenhuma
Quociente	$\lim (f/g) = L/M$	$M \neq 0$
Potência	$\lim f^n = L^n$	$n \in \mathbb{N}$
Raiz	$\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$L \geq 0$ se $n$ par
Módulo	$\lim \lvert f \rvert = \lvert L \rvert$	nenhuma

"Se $\lim_{x\to a} f(x) = L$ e $\lim_{x\to a} g(x) = M$ , então $\lim_{x\to a}[f(x) + g(x)] = L + M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.4

"Se $\lim_{x\to c} f(x) = L$ e $\lim_{x\to c} g(x) = K$ , então $\lim_{x\to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$ ." — APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.1

Propriedade da substituição direta

Composição

Se $\lim_{x \to a} g(x) = b$ e $f$ é contínua em $b$ , então: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b) = f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right).$

Contraexemplo sem continuidade. Tome $g(x) = 0$ constante e $f$ com descontinuidade em $0$ . Então $\lim g = 0$ mas $\lim f(g(x)) = f(0) \neq \lim_{t \to 0} f(t)$ .

Teorema do Confronto

"If $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ for all $x \neq a$ in an open interval containing $a$ and $\lim_{x\to a} g(x) = L = \lim_{x\to a} h(x)$ , then $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.7

Aplicação clássica. Para $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ : note $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ , portanto $-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$ . Como $\lim_{x \to 0}(\pm x^2) = 0$ , o limite é $0$ .

Formas indeterminadas e técnicas de resolução

Quando a substituição direta produz $0/0$ ou $\infty/\infty$ , as propriedades algébricas não se aplicam diretamente:

Diagrama de escolha de técnica por tipo de indeterminação.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Substituição direta num polinômio

Problema. Calcule $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$ .

Estratégia. Polinômios são contínuos em todo ponto. Aplique a propriedade da substituição direta.

Resolução.

Verifique que a função é contínua em $x = 3$ . Todo polinômio é contínuo em $\mathbb{R}$ . O limite é simplesmente o valor da função em $x = 3$ .
Substitua $x = 3$ : $\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4.$
Por que funciona. Pelas leis algébricas: $\lim x^2 = 9$ (lei da potência), $\lim 2x^2 = 18$ (múltiplo por constante), $\lim 5x = 15$ , $\lim 1 = 1$ (constante). Somando: $18 - 15 + 1 = 4$ .

Verificação. Para $x = 3{,}01$ : $2(3{,}01)^2 - 5(3{,}01) + 1 = 18{,}1202 - 15{,}05 + 1 = 4{,}0702 \approx 4$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Forma indeterminada 0/0 por fatoração

Problema. Calcule $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Estratégia. A substituição direta produz $0/0$ . O numerador é diferença de quadrados — fatore e cancele o fator comum $(x - 2)$ .

Resolução.

Tente a substituição direta. $\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — indeterminação. Manipulação algébrica é necessária.
Fatore o numerador. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Cancele o fator comum. Para $x \neq 2$ : $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
Calcule o limite. Aplique substituição direta: $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4.$

Verificação. Para $x = 2{,}01$ : $\dfrac{(2{,}01)^2 - 4}{2{,}01 - 2} = \dfrac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01 \approx 4$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Forma indeterminada 0/0 por racionalização

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

Estratégia. Substituição dá $0/0$ . Elimine a raiz no numerador multiplicando pelo conjugado $(\sqrt{x+4} + 2)$ .

Resolução.

Tente a substituição direta. $\dfrac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \dfrac{0}{0}$ — indeterminação.
Multiplique pelo conjugado. Para $x \neq 0$ : $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}.$
Cancele $x$ (válido pois $x \neq 0$ ): $= \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$
Aplique substituição direta: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}.$

Verificação. Para $x = 0{,}01$ : $\dfrac{\sqrt{4{,}01} - 2}{0{,}01} \approx \dfrac{0{,}0025}{0{,}01} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ . Consistente.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Teorema do Confronto com função oscilante

Problema. Prove que $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0$ .

Estratégia. A função $\cos(1/x)$ oscila indefinidamente quando $x \to 0$ — não podemos calcular seu limite diretamente. Mas $|\cos(1/x)| \leq 1$ sempre. Use o Confronto.

Resolução.

Estabeleça as cotas. Para todo $x \neq 0$ : $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1.$
Multiplique por $x^2 \geq 0$ (não inverte as desigualdades): $-x^2 \leq x^2 \cos(1/x) \leq x^2.$
Calcule os limites das cotas: $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$
Aplique o Teorema do Confronto. Como $f(x) = x^2 \cos(1/x)$ está presa entre $-x^2$ e $x^2$ , ambos com limite $0$ : $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0. \quad \blacksquare$

Por que o Confronto é necessário. A lei do produto exigiria que $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ existisse — mas ele não existe (oscila entre $-1$ e $1$ ). O Confronto contorna essa dificuldade.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.7 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Limite de função racional no infinito

Problema. Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$ .

Estratégia. Forma $\infty/\infty$ — os graus do numerador e denominador são ambos $2$ . Divida tudo por $x^2$ para revelar os coeficientes líderes.

Resolução.

Identifique os graus. Numerador: grau 2. Denominador: grau 2. Forma $\infty/\infty$ .
Divida numerador e denominador por $x^2$ : $\frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2}.$
Calcule cada termo. Quando $x \to \infty$ : $1/x \to 0$ e $1/x^2 \to 0$ .
Aplique as leis algébricas: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3.$

Resultado geral. Quando graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.20 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 33Understanding 3Modeling 2Challenge 1Proof 3

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws) e §2.4 (Continuity) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para os exercícios de aplicação direta, fatoração, racionalização e limites no infinito.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §1.3 (Finding Limits Analytically) · CC-BY-NC 4.0. Fonte primária para exercícios do Confronto e desafios.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Referência para a motivação conceitual, atividades de descoberta e exercício 42.36.