v1 · padrão canônico

Lesson 43 — Continuity of functions

Continuity at a point, on an interval. Types of discontinuity. Intermediate Value Theorem and Weierstrass Theorem.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II Japanese §2 · Equiv. Class 11 German — Differentialrechnung Vorbereitung · Equiv. H2 Math Singaporean §2.1

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Continuidade em um ponto: a função $f$ é contínua em $a$ quando três condições valem simultaneamente — $f(a)$ existe, o limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, e os dois coincidem. Geometricamente: gráfico sem buracos, sem saltos e sem assíntotas verticais em $a$ .

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Definição rigorosa

Continuidade em um ponto

"Dizemos que uma função $f$ é contínua em $a$ se $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4

Formulação via épsilon-delta

$f$ é contínua em $a$ se e somente se

$\forall\,\varepsilon > 0,\quad \exists\,\delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$

Ao contrário da definição de limite, aqui admitimos $x = a$ : $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ é satisfeito trivialmente.

Tipos de descontinuidade

Definition· Classificação das descontinuidades

Tipo	Caracterização	Exemplo canônico
Removível	$\lim_{x \to a} f(x)$ existe mas $\neq f(a)$ (ou $f(a)$ indefinido)	$\tfrac{x^2-4}{x-2}$ em $x=2$
Salto	Limites laterais existem mas diferem: $f(a^-) \neq f(a^+)$	$\lfloor x \rfloor$ em inteiros
Infinita	Pelo menos um limite lateral é $\pm\infty$	$1/x$ em $x=0$
Oscilatória	Os limites laterais não existem por oscilação	$\sin(1/x)$ em $x=0$

Descontinuidade removível pode ser eliminada redefinindo $f(a)$ ; as demais são estruturalmente irreparáveis.

Perfis típicos dos quatro tipos de descontinuidade. Da esquerda para direita: removível (buraco com valor errado), salto (lateral), infinita (assíntota vertical), oscilatória.

Continuidade em intervalos

Funções elementares contínuas

Os seguintes tipos de função são contínuos em todo o seu domínio natural:

Polinômios $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ : contínuos em $\mathbb{R}$ .
Funções racionais $p(x)/q(x)$ : contínuas onde $q(x) \neq 0$ .
Trigonométricas $\sin x$ , $\cos x$ : contínuas em $\mathbb{R}$ . $\tan x$ contínua em $\mathbb{R} \setminus \{(2k+1)\pi/2 : k \in \mathbb{Z}\}$ .
Exponencial $e^x$ , $a^x$ ( $a > 0$ ): contínuas em $\mathbb{R}$ .
Logaritmo $\ln x$ : contínua em $(0,+\infty)$ .
Composição de contínuas é contínua (onde definida).

Álgebra das funções contínuas

Teorema do Valor Intermediário

"Se $f$ é contínua em um intervalo fechado $[a, b]$ , então para qualquer número $M$ entre $f(a)$ e $f(b)$ , há pelo menos um ponto $c$ em $[a, b]$ tal que $f(c) = M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4

Teorema de Weierstrass

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificação das três condições — descontinuidade removível

Problema: Determine se $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ é contínua em $x = 3$ .

Estratégia: Aplicar o checklist das três condições em ordem. Se alguma falhar, identificar o tipo de descontinuidade.

Resolução:

$f(3)$ está definido? $f(3) = \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminado)}$ $f(3)$ não está definido. Condição 1 falha.
$\lim_{x \to 3} f(x)$ existe? Fatorando: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Para $x \neq 3$ : $f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$ O limite existe e vale $6$ .
Conclusão: $f$ é descontínua em $x = 3$ , tipo removível. O limite existe ( $= 6$ ), mas $f(3)$ não está definido.

Reparação: Defina

g(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq 3 \\ 6 & x = 3 \end{cases}

Então $g$ é contínua em $x = 3$ .

Verificação: $f(2{,}9) = 5{,}9 \approx 6$ e $f(3{,}1) = 6{,}1 \approx 6$ . O gráfico se aproxima de $6$ dos dois lados — confirmado.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Classificação dos quatro tipos de descontinuidade

Problema: Classifique a descontinuidade de cada função no ponto indicado.

(a) $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ , em $x = 2$ .

(b) $g(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$ , em $x = 1$ .

(c) $h(x) = \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ , em $x = 0$ .

Estratégia: Calcular limites laterais em cada caso e comparar com o valor da função.

Resolução:

(a) Salto.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 + 1 = 3$ . $f(2) = 2^2 = 4$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$ .

Os limites laterais diferem ( $3 \neq 4$ ). O limite bilateral não existe. Descontinuidade de salto em $x = 2$ , com magnitude $1$ .

(b) Infinita. $\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty$ $g(1)$ não está definido e o limite é $+\infty$ . Descontinuidade infinita em $x = 1$ .

(c) Oscilatória. Quando $x \to 0$ , $1/x \to \pm\infty$ e $\sin(1/x)$ oscila entre $-1$ e $1$ sem se estabilizar. Descontinuidade oscilatória em $x = 0$ .

Verificação: Para (a), note que $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$ seria contínua em $x = 2$ (ambos os laterais valeriam $3$ ). Isso ilustra que funções por partes podem ou não ser contínuas nos pontos de mudança — sempre verifique.

Fonte. APEX Calculus, §1.5 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Determinacao de constante para continuidade em R

Problema: Determine o valor de $k$ para que

f(x) = \begin{cases} 2x^2 + k & x \leq 1 \\ 5x - 1 & x > 1 \end{cases}

seja contínua em $\mathbb{R}$ .

Estratégia: Polinômios são contínuos em todo $\mathbb{R}$ . A única possível descontinuidade é em $x = 1$ . Para continuidade em $x = 1$ , os limites laterais devem coincidir com $f(1)$ .

Resolução:

$f(1)$ pelo ramo esquerdo: $f(1) = 2(1)^2 + k = 2 + k$ .
Limite pela direita em $x = 1$ : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5(1) - 1 = 4$
Condição de continuidade: $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 2 + k = 4 \implies k = 2.$
Verificação: Com $k = 2$ : $f(1) = 4$ , $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 2 = 4$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ . Todos coincidem. Como ambos os ramos são polinômios, $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Aplicação do TVI — existencia de raiz

Problema: Prove que a equação $x^3 - x - 1 = 0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $(1, 2)$ .

Estratégia: Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Definir $f(x) = x^3 - x - 1$ , verificar continuidade, avaliar nos extremos, e concluir pela mudança de sinal.

Resolução:

Continuidade: $f(x) = x^3 - x - 1$ é polinômio, contínuo em todo $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
Avaliação nos extremos: $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$
Aplicação do TVI: $f$ é contínua em $[1,2]$ , $f(1) < 0 < f(2)$ . O valor $0$ está entre $f(1)$ e $f(2)$ , portanto o TVI garante a existência de pelo menos um $c \in (1,2)$ com $f(c) = 0$ .
Refinamento numérico: $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ e $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . A raiz é aproximadamente $c \approx 1{,}3247$ .

Fonte. Active Calculus, §1.7 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Ponto fixo via TVI — demonstracao

Problema: Seja $f$ contínua em $[0, 1]$ com $0 \leq f(x) \leq 1$ para todo $x \in [0,1]$ . Prove que $f$ tem pelo menos um ponto fixo: existe $c \in [0,1]$ com $f(c) = c$ .

Estratégia: Definir uma função auxiliar $g(x) = f(x) - x$ e aplicar o TVI a $g$ .

Resolução:

Definir $g(x) = f(x) - x$ . $g$ é contínua em $[0,1]$ (diferença de contínuas).
Avaliar nos extremos:
- $g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0$ (pois $f(0) \geq 0$ ).
- $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ (pois $f(1) \leq 1$ ).
Aplicar o TVI:
- Caso 1: $g(0) = 0 \Rightarrow c = 0$ é ponto fixo. ∎
- Caso 2: $g(1) = 0 \Rightarrow c = 1$ é ponto fixo. ∎
- Caso 3: $g(0) > 0$ e $g(1) < 0$ . O TVI garante $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ , ou seja, $f(c) = c$ . ∎

Interpretação: Se um processo iterativo $x_{n+1} = f(x_n)$ opera em $[0,1]$ com $f$ contínua mapeando $[0,1]$ em si mesmo, existe pelo menos um estado de equilíbrio.

Fonte. Active Calculus, §1.7, Activity 1.7.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 12Modeling 3Challenge 2Proof 1

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.7 (Limits, Continuity, and Differentiability) · licença CC-BY-SA 4.0. Fonte primária para exemplos do TVI e atividades investigativas.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.4 (Continuity) · licença CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para exercícios dos Blocos A, B e C.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2022 · §1.5 (Continuity) · licença CC-BY-NC 4.0. Classificação de descontinuidades, exercícios de fixação e demonstrações do Bloco D.