v1 · padrão canônico

Lesson 44 — One-sided limits and existence of the two-sided limit

Right and left limits. Existence theorem via one-sided limits. Jump discontinuities in piecewise functions, step functions and floor functions. Applications in tiered pricing and tax brackets.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês §limites unilaterais · Equiv. Analysis-Vorkurs alemão

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

O limite bilateral existe (e é igual a $L$ ) se e somente se o limite pela esquerda $\lim_{x \to a^-} f(x)$ e o limite pela direita $\lim_{x \to a^+} f(x)$ existem e são iguais. Se diferem, o limite bilateral não existe — há uma descontinuidade de salto.

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Definições rigorosas

Limites laterais: definições épsilon-delta

"We say the function has a right-hand limit equal to L at a if for every number ε > 0 there exists a corresponding number δ > 0 such that for all x with 0 < x − a < δ we have |f(x) − L| < ε." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.2

Teorema da existência via laterais

"A function has a limit at a point if and only if both the left and right limits exist at that point and are equal." — APEX Calculus, §1.4

Tabela de formas quantificadas

Tipo de limite	Condição de $x$	Forma quantificada
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$0 < \lvert x - a \rvert < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$	$0 < x - a < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$	$0 < a - x < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$	$0 < x - a < \delta$	$f(x) > M$

Visualização: limites laterais num ponto de salto

Descontinuidade de salto em $x = a$ : limites laterais existem ( $L^-$ e $L^+$ ) mas diferem. O valor $f(a)$ (ponto preenchido) pode ser qualquer coisa — não interfere nos limites.

Domínio e limites em fronteira

Se $a$ é extremo esquerdo do domínio de $f$ (por exemplo, $f(x) = \sqrt{x}$ com domínio $[0, +\infty)$ ), então apenas o limite pela direita é relevante:

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.$

O limite pela esquerda não existe por falta de domínio. Nesses casos, o limite bilateral é identificado com o limite lateral que existe.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da leitura de gráfico à determinação de constante para existência do limite. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Lendo limites laterais de um gráfico

Problema. O gráfico de $f$ mostra: a curva vinda da esquerda de $x = 2$ se aproxima de $y = 3$ (ponto aberto); a curva vinda da direita se aproxima de $y = 5$ (ponto aberto); há um ponto cheio em $(2, 1)$ . Determine $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $f(2)$ .

Estratégia. Cada informação do gráfico tem papel distinto: a curva revela os limites laterais; o ponto cheio revela o valor da função. O limite bilateral existe somente se os laterais coincidem.

Resolução.

Limite pela esquerda. A curva tende a $y = 3$ quando $x \to 2^-$ (ponto aberto confirma que 3 não é atingido). Logo $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$ .
Limite pela direita. A curva tende a $y = 5$ quando $x \to 2^+$ . Logo $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$ .
Limite bilateral. Como $3 \neq 5$ , pelo critério de existência: $\lim_{x \to 2} f(x)$ não existe. Há uma descontinuidade de salto de amplitude $|5 - 3| = 2$ .
Valor da função. O ponto cheio em $(2, 1)$ indica $f(2) = 1$ . Esse valor é independente dos limites laterais.

Verificação. $f(2) = 1$ difere dos dois limites laterais (3 e 5), o que é consistente: o valor pontual não altera os limites.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limites laterais de função definida por partes

Problema. Seja

g(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x < 3 \\ 2x - 3 & x \geq 3 \\ \end{cases}

Calcule $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ , $\lim_{x \to 3^+} g(x)$ e determine se $\lim_{x \to 3} g(x)$ existe.

Estratégia. Para $x < 3$ usamos a fórmula $x^2 - 1$ ; para $x > 3$ (no limite pela direita, $x$ nunca é exatamente 3) usamos $2x - 3$ . O sinal $\geq$ em $g$ só afeta o valor $g(3)$ , não o limite lateral.

Resolução.

Limite pela esquerda ( $x \to 3^-$ , com $x < 3$ ):

$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 1) = 9 - 1 = 8.$

Limite pela direita ( $x \to 3^+$ , com $x > 3$ ):

$\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3} (2x - 3) = 6 - 3 = 3.$

Comparação. $8 \neq 3$ , portanto $\lim_{x \to 3} g(x)$ não existe. O salto tem amplitude $|8 - 3| = 5$ .
Valor da função. $g(3) = 2(3) - 3 = 3$ .

Verificação. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 8 \neq g(3) = 3$ : a função também é descontínua à esquerda em $x = 3$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2, exemplo 2.13 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Determinando constante para existência do limite

Problema. A função

h(x) = \begin{cases} ax + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}

deve ter $\lim_{x \to 2} h(x)$ existente. Encontre o valor de $a$ .

Estratégia. Para que o limite bilateral exista, os limites laterais devem ser iguais. Calcula-se cada um em função de $a$ e iguala-se.

Resolução.

Limite pela esquerda:

$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2} (ax + 1) = 2a + 1.$

Limite pela direita:

$\lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 4 - 1 = 3.$

Condição de existência: $2a + 1 = 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$ .
Verificação. Com $a = 1$ : limite pela esquerda $= 3$ , pela direita $= 3$ . O limite bilateral existe e vale $3$ . Como $h(2) = 4 - 1 = 3$ também, $h$ é contínua em $x = 2$ quando $a = 1$ .

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exercício 1.4.7 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Limite unilateral infinito e assíntota vertical

Problema. Calcule $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1}$ e $\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x - 1}$ . Identifique a assíntota vertical.

Estratégia. Analisar o sinal de $x - 1$ quando $x \to 1^+$ (denominador positivo) e $x \to 1^-$ (denominador negativo).

Resolução.

Pela direita ( $x > 1$ ): $x - 1 > 0$ , portanto $1/(x - 1) > 0$ . Conforme $x \to 1^+$ , $x - 1 \to 0^+$ , logo $1/(x-1) \to +\infty$ .

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty.$

Pela esquerda ( $x < 1$ ): $x - 1 < 0$ , portanto $1/(x - 1) < 0$ . Conforme $x \to 1^-$ , $x - 1 \to 0^-$ , logo $1/(x-1) \to -\infty$ .

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty.$

Assíntota vertical. Como pelo menos um limite lateral é infinito em $x = 1$ , a reta $x = 1$ é assíntota vertical do gráfico de $f(x) = 1/(x-1)$ .
Limite bilateral. Os dois lados diferem ( $+\infty \neq -\infty$ ); o limite bilateral não existe.

Verificação. Em $x = 1{,}01$ : $1/(0{,}01) = 100 > 0$ . Em $x = 0{,}99$ : $1/(-0{,}01) = -100 < 0$ . Sinais confirmados.

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exemplo 1.4.2 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Faixas tarifárias: limites laterais em aplicação real

Problema. Um serviço de streaming cobra mensalidade $P(n)$ (em R$) de acordo com o número de telas simultâneas $n$ :

P(n) = \begin{cases} 19{,}90 & 1 \leq n \leq 2 \\ 34{,}90 & 3 \leq n \leq 4 \\ 54{,}90 & n \geq 5 \\ \end{cases}

Modele $P$ como função de $n \in \mathbb{R}^+$ por interpolação constante por partes. Calcule os limites laterais em $n = 2$ e em $n = 4$ .

Estratégia. Estenda $P$ para $n$ real por interpolação de degrau: a faixa $[1, 2]$ vale R$ 19,90 até $n = 2{,}999ldots$ ; a faixa seguinte começa em $n = 3$ . Calcule os limites com a fórmula de cada faixa.

Resolução.

Em $n = 2$ :

$\lim_{n \to 2^-} P(n) = 19{,}90 \quad \text{(faixa } [1, 2]\text{)}, \qquad \lim_{n \to 2^+} P(n) = 34{,}90 \quad \text{(faixa seguinte)}.$

Como R$ 19,90 $neq$ R$ 34,90, o limite bilateral em $n = 2$ não existe. O salto é R$ 15,00.

Em $n = 4$ :

$\lim_{n \to 4^-} P(n) = 34{,}90, \qquad \lim_{n \to 4^+} P(n) = 54{,}90.$

Como R$ 34,90 $neq$ R$ 54,90, o limite bilateral em $n = 4$ não existe. O salto é R$ 20,00.

Interpretação. Cada fronteira de faixa é uma descontinuidade de salto. O cliente paga o mesmo preço para qualquer número de telas dentro da faixa — função constante por partes, com descontinuidades nos pontos de transição.

Verificação. O valor $P(2) = 19{,}90$ (definido pelo contrato) pode diferir do limite pela direita — ilustrando que $f(a)$ e $\lim_{x \to a^+} f(x)$ são objetos distintos.

Fonte. Active Calculus, §1.2, atividade 1.2.2 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 7Modeling 2Challenge 6

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang et al. · OpenStax · 2016 · §2.2 (The Limit of a Function), §2.4 (Continuity), §2.5 (Precise Definition) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária dos exercícios de leitura de gráficos e funções por partes.
APEX Calculus — Hartman et al. · §1.3 (Finding Limits Analytically), §1.4 (One-Sided and Infinite Limits) · CC-BY-NC 4.0. Fonte primária das demonstrações épsilon-delta e da determinação de constantes.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária das aplicações em tarifas, oscilações amortecidas e farmacocinética.