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Lesson 45 — Fundamental limits of calculus

The five atomic limits of calculus: sin(x)/x, (1-cos x)/x, definition of e, (e^x-1)/x, and ln(1+x)/x. Every trigonometric or exponential limit reduces to these five by algebraic manipulation.

Used in: 2nd year HS (Trim. 5) · Japanese Math II equivalent (ch. 3 — special limits) · German Class 11 equivalent (Grenzwerte trigonometrisch) · Singapore H2 Math equivalent (Special limits)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

O limite fundamental trigonométrico: quando $x$ se aproxima de zero (em radianos), a razão $\sin x / x$ tende a $1$ . É a base de toda derivada trigonométrica e surge da geometria do círculo unitário via teorema do confronto.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e demonstrações

Os cinco limites atômicos

Definition· Limites fundamentais do cálculo

Sejam os seguintes limites, todos demonstráveis sem L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

(LF1)

what this means · Limite trigonométrico fundamental. Indeterminação 0/0. Demonstrado por confronto com áreas de setores circulares.

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

(LF2)

what this means · Consequência de LF1 via identidade 1 - cos x = 2 sin²(x/2). O resultado é zero, não um.

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828\ldots

(LF3)

what this means · Define o número de Euler e. A sequência (1 + 1/n)^n é crescente e limitada superiormente por 3.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

(LF4)

what this means · Indeterminação 0/0. Afirma que a derivada de e^x em x=0 é 1. Deriva de LF3 por substituição.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

(LF5)

what this means · Indeterminação 0/0. Derivado de LF4 pela substituição y = ln(1+x).

Demonstração de LF1 — Teorema do confronto

"O teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche) é uma ferramenta poderosa para calcular limites de funções que são difíceis de avaliar diretamente." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Demonstração de $\lim_{x \to 0^+} \sin x / x = 1$ :

Considere o círculo unitário. Para $x \in (0, \pi/2)$ , compare três áreas:

Triângulo $OAP$ (inscrito): área $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
Setor circular $OAP$ : área $= \tfrac{1}{2}x$ .
Triângulo $OAT$ (circunscrito): área $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

Como triângulo inscrito $\subset$ setor $\subset$ triângulo circunscrito:

\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}

what this means · Desigualdade das três áreas, válida para x em (0, pi/2).

Dividindo por $\sin x / 2 > 0$ e tomando recíprocos (inverte as desigualdades):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$

Quando $x \to 0^+$ : $\cos x \to 1$ e $1 \to 1$ . Pelo confronto, $\sin x / x \to 1$ .

Por simetria ( $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ ), o resultado vale para $x \to 0^-$ também. ∎

Demonstração de LF2

Usando a identidade $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}$

Quando $x \to 0$ : o primeiro fator $\to \sin 0 = 0$ e o segundo $\to 1$ (por LF1). Logo o produto $\to 0$ . ∎

Demonstração de LF5

Seja $y = \ln(1+x)$ , ou seja $e^y = 1 + x$ , então $x = e^y - 1$ . Quando $x \to 0$ , temos $y \to 0$ . Portanto:

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{y}{e^y - 1} \xrightarrow{y \to 0} \frac{1}{1} = 1$

usando LF4 no denominador. ∎

Tabela de variantes importantes

Limite	Valor	Deriva de
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$	LF1
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/\sin(mx)$	$k/m$	LF1
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$	LF1
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$	LF2
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$	LF1 (inversa)
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$	LF1 (inversa)
$\lim_{x \to 0} (e^{kx} - 1)/x$	$k$	LF4
$\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x$	$\ln a$	LF4
$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^x$	$e^a$	LF3
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$	LF3
$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x}$	$0$	crescimento relativo
$\lim_{x \to \infty} (\ln x)/x$	$0$	crescimento relativo

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite trigonométrico por confronto

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Estratégia: O limite fundamental LF1 afirma que $\sin(u)/u \to 1$ quando $u \to 0$ . Precisamos reescrever a expressão de forma que o argumento de seno coincida com o denominador.

Resolução:

Identifique o argumento: dentro do seno temos $3x$ , mas o denominador é $5x$ . Precisamos criar a razão $\sin(3x)/(3x)$ .
Manipulação algébrica: multiplique e divida por $3$ :

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

Aplique LF1: quando $x \to 0$ , temos $3x \to 0$ . Pela substituição $u = 3x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

Combine:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$

Verificação: Para $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}003)/0{,}005 \approx 0{,}002999.../0{,}005 \approx 0{,}5999...$ . Consistente com $3/5 = 0{,}6$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.21 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limite com (1 - cos x) via identidade trigonométrica

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

Estratégia: A identidade $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ transforma o limite em produto de dois fatores que envolvem LF1.

Resolução:

Aplique a identidade: $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ .
Reescreva o limite:

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}$

Force a forma LF1: note que $x^2 = 4 \cdot (x/2)^2$ :

$\frac{\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

Calcule:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Verificação: Para $x = 0{,}1$ : $(1 - \cos 0{,}1)/0{,}01 \approx 0{,}04998...$ , consistente com $0{,}5$ .

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Definição de e via juros compostos

Problema: Uma aplicação de R$ 1,00 rende 100% ao ano. Calcule o montante final com capitalização (a) anual, (b) mensal, (c) diária e (d) contínua.

Estratégia: O montante com $n$ capitalizações/ano é $(1 + 1/n)^n$ . Conforme $n \to \infty$ , esse produto converge para $e$ .

Resolução:

Capitalização	$n$	$(1 + 1/n)^n$
Anual	1	$2{,}000000$
Semestral	2	$2{,}250000$
Trimestral	4	$2{,}441406$
Mensal	12	$2{,}613035$
Diária	365	$2{,}714567$
Por hora	8760	$2{,}718127$
Contínua	$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

A diferença entre capitalização diária e contínua é de apenas R$ 0,000001 por real investido. Isso justifica o modelo contínuo $V(T) = V_0 e^{rT}$ como excelente aproximação na prática financeira.

Formalização: Por LF3,

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.9 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Redução de limite composto a fundamental

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x}$ .

Estratégia: Decompor a expressão em razões da forma LF1. Usar $\tan x = \sin x / \cos x$ para separar fatores conhecidos.

Resolução:

Substitua $\tan x$ :

$\frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = \frac{\sin(x^2)}{x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Identifique os fatores:

$= \underbrace{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sin x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\to 1}$

Para o primeiro fator: $u = x^2 \to 0$ quando $x \to 0$ , logo $\sin(x^2)/x^2 \to 1$ .

Para o segundo: $x/\sin x = 1/(\sin x / x) \to 1$ .

Limite:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Verificação: Para $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}0001)/(0{,}01 \cdot \tan 0{,}01) \approx 1{,}000...$ . Confirmado.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Exercises 1.3 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Indeterminacao 1^∞ via substituicao

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$ .

Estratégia: A base tende a $1$ e o expoente a $\infty$ : indeterminação $1^{\infty}$ . Escrever $A^B = e^{B \ln A}$ e calcular o expoente separadamente.

Resolução:

Reescreva como exponencial:

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \exp\!\left(x \ln\frac{x+3}{x-1}\right)$

Simplifique o argumento do logaritmo:

$\ln\frac{x+3}{x-1} = \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right)$

Calcule $x \ln(1 + 4/(x-1))$ : seja $u = 4/(x-1)$ ; quando $x \to \infty$ , $u \to 0^+$ . Então $x - 1 = 4/u$ e $x = 4/u + 1$ :

$x \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right) = \left(\frac{4}{u} + 1\right) \cdot u \cdot \frac{\ln(1+u)}{u} = (4 + u) \cdot \underbrace{\frac{\ln(1+u)}{u}}_{\to 1} \xrightarrow{u \to 0} 4$

Limite final:

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = e^4$

Verificação: Para $x = 10^4$ : $((10^4 + 3)/(10^4 - 1))^{10^4} \approx e^4 \approx 54{,}598$ . Confirmado.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Exercises — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 3Modeling 3Challenge 3Proof 2

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · 2016 · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária. §2.3 (Leis dos Limites e Teorema do Confronto), §3.5 (Derivadas trigonométricas — prova geométrica de sin(x)/x), §3.9 (Derivadas exponenciais e logarítmicas — definição de e via LF3).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC 4.0. §1.3 (Encontrando Limites Analiticamente). Exercícios de manipulação algébrica, variantes de LF1 e LF3, desafio da tangente menos seno.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. §2.2 (Funções seno e cosseno — modelagem de pêndulo e decaimento radioativo), §2.6 (Derivadas de funções inversas — limites de arcsin e arctan). Exercícios de modelagem.