v1 · padrão canônico

Lesson 46 — IVT and Average Rate of Change

Intermediate Value Theorem (existence of roots, bisection) and Average Rate of Change (slope of secant, bridge to the derivative).

Used in: 2.º ano do EM (cálculo intro) · Equiv. Math II japonês §5 · Equiv. Analysis/Klasse 11 alemã

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A Taxa de Variação Média de $f$ no intervalo $[a, b]$ é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos $(a,\, f(a))$ e $(b,\, f(b))$ . Quando $b \to a$ , essa taxa se aproxima da taxa de variação instantânea — a derivada.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas

Teorema do Valor Intermediário (TVI)

"Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $k$ é qualquer valor entre $f(a)$ e $f(b)$ , então existe pelo menos um número $c$ em $(a, b)$ tal que $f(c) = k$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

Corolário (existência de raiz). Se $f \in C([a, b])$ e $f(a) \cdot f(b) < 0$ , então existe $c \in (a, b)$ com $f(c) = 0$ .

f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0

what this means · Produto negativo equivale a sinais opostos: f(a) e f(b) estão em lados opostos de zero, logo f precisa cruzar zero em algum ponto interior.

Demonstração (esboço via completude). Suponha $f(a) < 0 < f(b)$ . Defina $S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}$ . O conjunto $S$ é não-vazio ( $a \in S$ ) e limitado superiormente por $b$ . Por completude de $\mathbb{R}$ , existe $c = \sup S \in [a, b]$ . Por continuidade de $f$ , se $f(c) \neq 0$ obtém-se contradição. Logo $f(c) = 0$ . $\square$

Por que a continuidade é indispensável. A função de Heaviside $H(x) = 0$ se $x < 0$ e $H(x) = 1$ se $x \geq 0$ satisfaz $H(-1) = 0$ e $H(1) = 1$ , mas nunca assume $1/2$ — pois tem um salto em $x = 0$ e não é contínua lá.

Método da Bisseção

Dado $f \in C([a, b])$ com $f(a)f(b) < 0$ , a bisseção localiza a raiz iterativamente. A cada passo, calcula-se o ponto médio e guarda-se a metade onde $f$ muda de sinal:

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}

what this means · A cada iteração, o ponto médio m_n subdivide o intervalo atual. O erro cai pela metade a cada passo — convergência garantida e quantificável.

Para precisão $\varepsilon$ , são necessárias $n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1$ iterações.

Taxa de Variação Média (TVM)

"A taxa de variação média de $f$ ao longo do intervalo $[a, b]$ é $\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Geometricamente, a taxa de variação média representa a inclinação da reta que passa pelos pontos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ ." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

A notação com $h = b - a$ é equivalente:

\text{TVM} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0

what this means · Substituindo b = a + h, a TVM fica expressa em termos do incremento h. Quando h → 0, essa expressão define a derivada — a taxa de variação instantânea.

Passagem ao limite. Se $f$ é diferenciável em $a$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

A reta secante liga (a, f(a)) a (b, f(b)). Sua inclinação é a TVM. Quando b → a, a secante converge para a reta tangente em a, cuja inclinação é f'(a).

Exemplos resolvidos

Example— 1· TVI — existência de raiz polinomial

Problema. Mostre que $f(x) = x^3 - x - 1$ tem pelo menos uma raiz no intervalo $(1, 2)$ .

Estratégia. Verificar que $f$ é contínua (polinômio) e que $f(1)$ e $f(2)$ têm sinais opostos. Se sim, TVI garante a existência.

Resolução.

Continuidade: $f(x) = x^3 - x - 1$ é polinômio, logo contínua em $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
Calcular os extremos:

$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

Aplicar TVI: como $f(1) < 0 < f(2)$ e $f$ é contínua em $[1, 2]$ , pelo TVI existe $c \in (1, 2)$ tal que $f(c) = 0$ .

Verificação. $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ e $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . Raiz confirmada em $(1{,}3;\; 1{,}4)$ . Numericamente, $c \approx 1{,}3247$ .

Fonte. Active Calculus §1.1, Example 1.1.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA. Adaptado.

Example— 2· Bisseção — 4 iterações e análise de erro

Problema. Use o método da bisseção para aproximar a raiz de $f(x) = x^3 - x - 1$ em $(1, 2)$ com 4 iterações. Qual é o erro máximo após essas iterações?

Estratégia. A cada passo calcular o ponto médio $m$ , avaliar $f(m)$ e guardar a metade onde o sinal muda.

Resolução.

Dados iniciais: $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ .

Iteração 1: $m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ . Novo intervalo: $[1;\; 1{,}5]$ .

Iteração 2: $m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25$ . $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . Novo intervalo: $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .

Iteração 3: $m_3 = (1{,}25 + 1{,}5)/2 = 1{,}375$ . $f(1{,}375) = 2{,}600 - 1{,}375 - 1 = 0{,}225 > 0$ . Novo intervalo: $[1{,}25;\; 1{,}375]$ .

Iteração 4: $m_4 = (1{,}25 + 1{,}375)/2 = 1{,}3125$ . $f(1{,}3125) = 2{,}259 - 1{,}3125 - 1 = -0{,}053 < 0$ . Novo intervalo: $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ .

Erro máximo após 4 iterações:

$|c - m_4| \leq \frac{b - a}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$

Verificação. O ponto médio de $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ é $1{,}34375 \approx 1{,}34$ , com $f(1{,}34375) \approx -0{,}0059 < 0$ . A raiz real $c \approx 1{,}3247$ está no intervalo — confirmado.

Fonte. REAMAT — Cálculo Numérico §3.1, Exemplo 3.1 — UFRGS · CC-BY 4.0.

Example— 3· TVM — cinemática e velocidade média

Problema. A posição (em metros) de uma partícula é $s(t) = t^2 + 3t$ para $t$ em segundos. Calcule a TVM de $s$ no intervalo $[1, 4]$ e interprete.

Estratégia. Aplicar diretamente $\text{TVM} = (s(4) - s(1))/(4 - 1)$ . Depois comparar com $s'(t) = 2t + 3$ para encontrar o instante com velocidade instantânea igual à TVM.

Resolução.

Calcular $s(1)$ e $s(4)$ :

$s(1) = 1 + 3 = 4 \text{ m}, \qquad s(4) = 16 + 12 = 28 \text{ m}$

Calcular a TVM:

$\text{TVM} = \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8 \text{ m/s}$

Interpretação: a partícula se deslocou 24 m em 3 s, com velocidade média 8 m/s.
Conexão com derivada: $s'(t) = 2t + 3$ . Queremos $s'(c) = 8$ : $2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4)$ . O Teorema do Valor Médio do Cálculo (Lição 56) garantirá formalmente que esse $c$ existe.

Verificação. $s'(1) = 5$ m/s, $s'(4) = 11$ m/s. A TVM de 8 m/s está entre as velocidades instantâneas nos extremos — correto.

Fonte. Active Calculus §1.1, Preview Activity 1.1.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· TVM algébrica e passagem ao limite

Problema. Para $f(x) = x^2$ , calcule a TVM no intervalo $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ ) e mostre o que acontece quando $h \to 0$ .

Estratégia. Calcular a TVM em função de $h$ , simplificar algebricamente e tomar o limite — isso revela $f'(2)$ .

Resolução.

TVM em $[2, 2+h]$ :

$\text{TVM} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Expandir $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$\text{TVM} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$

Passar ao limite:

$\lim_{h \to 0}(4 + h) = 4 = f'(2)$

Verificação. Para $h = 1$ : TVM $= 5$ . Para $h = 0{,}1$ : TVM $= 4{,}1$ . Para $h = 0{,}01$ : TVM $= 4{,}01$ . A secante converge para a tangente em $(2, 4)$ com inclinação 4.

Fonte. Active Calculus §1.3, Example 1.3.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· TVM e TVI combinados — dados tabulares

Problema. A posição (em km) de um veículo em função do tempo (em horas) é:

$t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
$s(t)$ (km)	0	20	50	90	140

(a) Calcule a TVM em cada subintervalo de 0,5 h. (b) Calcule a TVM total em $[0, 2]$ . (c) A velocidade instantânea atingiu 80 km/h em algum momento do percurso?

Estratégia. Aplicar a fórmula da TVM em cada intervalo; para (c), usar o TVI aplicado à função velocidade.

Resolução.

(a) TVMs por subintervalo:

$\text{TVM}_{[0;\, 0{,}5]} = \frac{20}{0{,}5} = 40 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[0{,}5;\, 1]} = \frac{30}{0{,}5} = 60 \text{ km/h}$ $\text{TVM}_{[1;\, 1{,}5]} = \frac{40}{0{,}5} = 80 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[1{,}5;\, 2]} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \text{ km/h}$

(b) TVM total:

$\text{TVM}_{[0;\, 2]} = \frac{140 - 0}{2} = 70 \text{ km/h}$

(c) Velocidade de 80 km/h. Assumindo $s$ diferenciável, a velocidade $v(t) = s'(t)$ é contínua. Pela TVM: $v$ vale em média 60 km/h em $[0{,}5;\; 1]$ e 80 km/h em $[1;\; 1{,}5]$ . Pelo TVI aplicado a $v$ , existe pelo menos um instante em $[0{,}5;\; 1{,}5]$ onde $v(t) = 80$ km/h. Resposta: sim.

Verificação. A velocidade média em $[0{,}5;\; 1{,}5]$ é $(90 - 20)/1 = 70$ km/h $< 80$ km/h, mas a velocidade cresceu de 60 para 100 km/h nas metades — deve ter passado por 80 km/h no interior.

Fonte. Active Calculus §1.1, Example 1.1.3 e Exercises 1.1.3–1.1.5 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 6Modeling 5Challenge 4Proof 1

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) e §1.3 (The Derivative at a Point) — base dos Exemplos 3, 4, 5, Blocos C, D e E.
OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity e TVI) — base do Exemplo 1 e Blocos A e E. §2.1 (A Preview of Calculus) — base do Bloco D.
REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — base do Exemplo 2 e Bloco B.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — demonstração do TVI via completude de $\mathbb{R}$ (Porta formal).