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Lição 47 — Assíntotas e comportamento assintótico

Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas: definições por limite, cálculo para funções racionais, aplicações em farmacocinética, economia e crescimento populacional.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês cap. 5 · Equiv. Klasse 11 alemã análise de funções

\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty \;\Rightarrow\; x = a \text{ é assíntota vertical}

A assíntota vertical $x = a$ ocorre quando a função cresce ou decresce sem limite ao se aproximar de $a$ pelo lado direito ou esquerdo. Para funções racionais $f = P/Q$ , isso acontece nos zeros do denominador onde o numerador é não-nulo.

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Definições e teoremas

Assíntota vertical

"We say the function has a vertical asymptote at $x = a$ if $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ or $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.2

Assíntota horizontal

"A function $f$ has a horizontal asymptote of $y = L$ if $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ or $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §4.6

Regra para racionais $f = P/Q$ com $\deg P = m$ , $\deg Q = n$ :

Caso	AH	AO
$m < n$	$y = 0$	Não
$m = n$	$y = a_m/b_n$ (razão dos coef. líderes)	Não
$m = n + 1$	Não	$y =$ quociente da divisão longa
$m > n + 1$	Não	Não (crescimento superlinear)

Assíntota oblíqua

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - mx\bigr)

what this means · Calcule m primeiro; depois b. Se m = 0, o limite seria uma AH, não AO.

"If the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, the rational function has an oblique asymptote found by polynomial long division." — APEX Calculus, §3.5

Funções clássicas — tabela de referência

Tabela de assíntotas para funções elementares. Ponto central: arctan tem duas AHs distintas; tan tem infinitas AVs.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Assíntotas verticais de função racional

Problema. Determine todas as assíntotas verticais de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 9}$ .

Estratégia. Fatorar o denominador, verificar se o numerador se anula nos mesmos pontos, e calcular os limites laterais.

Resolução.

Passo 1 — Zeros do denominador: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$ .

Passo 2 — Numerador: $2(3) = 6 \neq 0$ e $2(-3) = -6 \neq 0$ . Nenhum cancelamento.

Passo 3 — Limites laterais em $x = 3$ : perto de $x = 3$ , numerador $\approx 6$ , denominador $\approx (x-3) \cdot 6$ .

$\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty.$

Passo 4 — Limites laterais em $x = -3$ : perto de $x = -3$ , numerador $\approx -6$ , denominador $\approx (x+3) \cdot (-6)$ .

$\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty.$

Conclusão. Dois polos simples: AV em $x = 3$ e AV em $x = -3$ .

Verificação. Grau num $= 1 <$ grau den $= 2$ : logo $f \to 0$ em $\pm\infty$ (AH $y = 0$ ). Coerente com dois polos simples e sem AO.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 1, §2.2, Example 2.12 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Assíntota horizontal — regra dos graus e casos

Problema. Para cada função, determine a assíntota horizontal (se existir):

(a) $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{2x^2 + 7x - 1}$ , $\quad$ (b) $g(x) = \dfrac{4x - 1}{x^2 + 3}$ , $\quad$ (c) $h(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$ .

Estratégia. Dividir numerador e denominador pela maior potência do denominador; identificar o caso pelo padrão de graus.

Resolução.

(a) Graus iguais ( $m = n = 2$ ): dividir por $x^2$ :

$f(x) = \frac{3 - 5/x^2}{2 + 7/x - 1/x^2} \xrightarrow{x \to \pm\infty} \frac{3}{2}.$

AH: $y = 3/2$ .

(b) Grau num menor ( $m = 1 < n = 2$ ): dividir por $x^2$ :

$g(x) = \frac{4/x - 1/x^2}{1 + 3/x^2} \xrightarrow{x \to \pm\infty} 0.$

AH: $y = 0$ .

(c) Grau num maior ( $m = 3 > n = 2$ ): $h(x)/x = x^2/(x^2+1) \to 1$ . Há AO $y = x$ , mas não AH: $\lim_{x \to \pm\infty} h(x) = \pm\infty$ .

Verificação. Nos três casos, a regra dos graus previu corretamente: $m < n \Rightarrow y=0$ ; $m = n \Rightarrow y = a_m/b_n$ ; $m > n \Rightarrow$ sem AH.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 1, §4.6, Examples 4.22–4.24 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Assíntota oblíqua por divisão longa

Problema. Encontre a assíntota oblíqua de $f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2}$ .

Estratégia. $\deg(\text{num}) = 2 = \deg(\text{den}) + 1$ . Aplicar divisão longa; o quociente linear é a AO.

Resolução.

Divisão longa de $x^2 + 3x + 1$ por $x - 2$ :

$x^2 \div x = x$ . Subtrair $x(x-2) = x^2 - 2x$ . Resto: $5x + 1$ .
$5x \div x = 5$ . Subtrair $5(x-2) = 5x - 10$ . Resto: $11$ .

$f(x) = x + 5 + \frac{11}{x - 2}.$

Quando $x \to \pm\infty$ : o resto $11/(x-2) \to 0$ . AO: $y = x + 5$ .

AV. $x = 2$ (denom. zero; num. $= 4 + 6 + 1 = 11 \neq 0$ ). Confirmada.

Verificação. Em $x = 0$ : $f(0) = 1/(-2) = -0{,}5$ . A AO em $x = 0$ dá $y = 5$ . Diferença: $f(0) - 5 = -5{,}5 = 11/(0-2)$ . Correto.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 1, §4.6, Example 4.28 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Função que cruza a assíntota horizontal

Problema. Seja $f(x) = \dfrac{x \sin x}{x^2 + 1}$ . Mostre que $y = 0$ é AH mas $f$ cruza essa reta infinitas vezes.

Estratégia. Calcular o limite no infinito (compressão); encontrar os zeros de $f$ .

Resolução.

Limite. $|f(x)| \leq |x|/(x^2+1) \leq 1/(2\sqrt{x^2+1}) \to 0$ . Logo $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$ . AH: $y = 0$ .

Cruzamentos. $f(x) = 0 \iff x \sin x = 0 \iff x = 0$ ou $\sin x = 0$ , i.e., $x = k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$ .

Há infinitos zeros em $x = k\pi$ — a curva cruza $y = 0$ infinitas vezes, mesmo convergindo para ela.

Moral. Uma função pode cruzar sua AH (e AO). Somente a AV não pode ser cruzada — ela está fora do domínio da função.

Fonte. APEX Calculus, §1.4, Example 1.4.6 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Modelo de concentração farmacológica — AH como dose de equilíbrio

Problema. A concentração (em mg/L) de um fármaco no plasma segue

$C(t) = \frac{120t}{t + 4}, \quad t \geq 0 \text{ (horas)}.$

(a) Qual é a concentração máxima assintótica? (b) Em que instante a concentração atinge $90\%$ do valor assintótico? (c) A função tem AV em $t \geq 0$ ? Justifique.

Estratégia. Calcular AH; resolver equação para 90%; verificar denominador no domínio físico.

Resolução.

(a) AH. Dividir por $t$ : $C(t) = 120/(1 + 4/t) \to 120$ quando $t \to \infty$ . AH: $C = 120$ mg/L.

(b) $90\% \times 120 = 108$ mg/L.

$\frac{120t}{t + 4} = 108 \iff 120t = 108(t + 4) = 108t + 432 \iff 12t = 432 \iff t = 36 \text{ h}.$

(c) AV. O denominador $t + 4 = 0 \iff t = -4$ . Como o domínio físico é $t \geq 0$ , não há AV no domínio de aplicação.

Interpretação. O platô terapêutico é $120$ mg/L. Atingir $90\%$ dele requer 36 horas — aproximação lenta, típica de drogas com meia-vida longa.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 1, §4.6, Example 4.31 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 8Modeling 9Challenge 2

Fontes

Calculus Volume 1 — OpenStax · Strang & Herman · 2016 · §2.2 (limites infinitos e AVs) e §4.6 (AH, AO, aplicações) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para definições, regra dos graus e exemplos aplicados.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.4 (limites infinitos, comportamento de tan e log) e §3.5 (esboço de curvas, AO por divisão longa) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.2 e §1.8 (comportamento de longo prazo, limites no infinito) · CC-BY-NC-SA 4.0. Abordagem ativa com questões de prévia, exercícios de investigação.