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Lesson 49 — Limit of sequences (formalized)

Rigorous epsilon-N definition of convergence. Fundamental theorems: uniqueness, algebra of limits, squeeze, monotone bounded, Bolzano-Weierstrass. Applications in iterative algorithms and finance.

Used in: 2.º year of the program (17 years) · Equiv. Math III Japanese ch. 6 · Equiv. Klasse 12 LK Analysis German · Equiv. H2 Math Singaporean — Sequences & Series

\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

A sequência $(a_n)$ converge para $L$ se, para qualquer tolerância $\varepsilon > 0$ escolhida, todos os termos além do índice $N$ já estão a menos de $\varepsilon$ de distância de $L$ . É a versão discreta da definição $\varepsilon$ - $\delta$ — o "N" substitui o "delta" porque o domínio agora é $\mathbb{N}$ , não $\mathbb{R}$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e teoremas fundamentais

Definição épsilon-N

"We say the sequence $(x_n)$ converges to a number $L$ if for every $\varepsilon > 0$ , there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that $|x_n - L| < \varepsilon$ for all $n \geq M$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.1

"A sequence $(x_n)$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon > 0$ there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that for all $n, k \geq M$ we have $|x_n - x_k| < \varepsilon$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.4

Interpretação geométrica

A faixa horizontal $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ captura todos os termos com $n > N$ . Para qualquer faixa que você escolha (por mais estreita que seja), existe um $N$ que funciona.

Teoremas fundamentais

Teorema	Enunciado resumido
Álgebra dos limites	$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$ ; análogo para produto e quociente (denominador $\neq 0$ )
Teorema do confronto	$a_n \leq b_n \leq c_n$ e $\lim a_n = \lim c_n = L$ implica $\lim b_n = L$
Bolzano-Weierstrass	Toda sequência limitada tem subsequência convergente
Cauchy $\iff$ convergente	Em $\mathbb{R}$ : toda sequência de Cauchy converge (equivalência que define completude)

Limites notáveis

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0\;(p>0),\quad \lim_{n\to\infty}r^n = 0\;(|r|<1),\quad \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1,\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.

what this means · Sequências fundamentais cujos limites devem ser memorizados.

Hierarquia de crescimento

\ln n \ll n^a \ll b^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 0,\; b > 1).

what this means · Qualquer função à esquerda cresce muito mais devagar do que qualquer função à direita.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite de sequência racional por divisão de potência

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}$ .

Estratégia. Divisão de numerador e denominador pelo maior grau de $n$ que aparece ( $n^2$ ). Após isso, cada parcela com $n$ no denominador vai para zero.

Resolução.

Divida numerador e denominador por $n^2$ :

$\frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5} = \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}.$

Aplique o limite usando álgebra dos limites. Cada fração $c/n^k \to 0$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.$

Verificação. Para $n = 100$ : $(20000 - 300 + 1)/(10000 + 5) = 19701/10005 \approx 1{,}969$ . Para $n = 10000$ : $(2 \cdot 10^8 - 30000 + 1)/(10^8 + 5) \approx 2{,}0003$ . Convergindo para 2.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Teorema do confronto: sequência oscilante dividida por n

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Estratégia. A função $\sin n$ oscila sem convergir, mas está sempre entre $-1$ e $1$ . Usamos o teorema do confronto prensando a sequência entre $-1/n$ e $1/n$ .

Resolução.

Use a desigualdade fundamental $-1 \leq \sin n \leq 1$ :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad \text{para todo } n \geq 1.$

Calcule os limites das sequências balizadoras:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

Pelo teorema do confronto, a sequência do meio também vai a 0:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.$

Verificação. Para $n = 100$ : $\sin(100)/100 \approx -0{,}00506$ . Para $n = 1000$ : $\sin(1000)/1000 \approx 0{,}000827$ . Ambos próximos de zero.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.7 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Sequência monotona limitada: convergencia de (1+1/n)^n

Problema. Mostre que a sequência $a_n = (1 + 1/n)^n$ é crescente e limitada superiormente por 3, logo converge. Identifique o limite.

Estratégia. Expansão binomial para mostrar crescimento; comparação com série geométrica para a cota superior.

Resolução.

Expansão binomial:

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right).$

Cada parcela é crescente em $n$ : o produto $\prod_{j=0}^{k-1}(1 - j/n)$ aumenta quando $n$ aumenta. Logo $a_n$ é crescente.
Cota superior: cada parcela é no máximo $1/k!$ , então:

$a_n \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3.$

Pelo teorema da monótona limitada, $(a_n)$ converge. Por definição, seu limite é $e \approx 2{,}71828$ .

Verificação. $a_{10} \approx 2{,}5937$ , $a_{100} \approx 2{,}7048$ , $a_{1000} \approx 2{,}7169$ . Crescendo em direção a $e$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.9 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Sequência recursiva: ponto fixo e seção aurea

Problema. Seja $F_n$ a sequência de Fibonacci com $F_1 = F_2 = 1$ e $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Determine $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Estratégia. Definimos $r_n = F_{n+1}/F_n$ e derivamos uma recorrência para $r_n$ . Se a sequência $r_n$ converge, seu limite satisfaz uma equação de ponto fixo.

Resolução.

Recorrência para $r_n$ : Da identidade $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dividindo por $F_{n+1}$ :

$r_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{r_n}.$

Valores iniciais: $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3/2 = 1{,}5$ , $r_4 = 5/3 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 8/5 = 1{,}6$ , $r_6 = 13/8 = 1{,}625$ . A sequência oscila convergindo.
Equação de ponto fixo: Se $r_n \to L$ , tomando limite na recorrência:

$L = 1 + \frac{1}{L} \implies L^2 - L - 1 = 0 \implies L = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi \approx 1{,}618.$

(Raiz negativa descartada pois $L > 0$ .)

Verificação. $r_{10} = 89/55 \approx 1{,}6182$ , $r_{15} = 987/610 \approx 1{,}6180$ . Convergindo para $\varphi$ .

Fonte. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Capitalização composta e o limite e^r (modelagem financeira)

Problema. Um banco oferece 12% ao ano com capitalização $n$ vezes por ano. Qual o montante final em R$ 1.000 quando $n to infty$ ? Compare com capitalização anual ( $n = 1$ ) e mensal ( $n = 12$ ).

Estratégia. Expressamos o montante como $A_n = 1000 \cdot (1 + r/n)^n$ e calculamos o limite usando o limite fundamental $(1 + x/n)^n \to e^x$ .

Resolução.

Identifique $r = 0{,}12$ . O montante após 1 ano com $n$ capitalizações é:

$A_n = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{n}\right)^n.$

Use o limite: $\left(1 + r/n\right)^n \to e^r$ quando $n \to \infty$ :

$A_\infty = 1000 \cdot e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}12749\ldots \approx 1127{,}50 \text{ reais.}$

Compare as três situações:

Capitalização	Fórmula	Montante
Anual ( $n=1$ )	$1000 cdot (1{,}12)^1$	R$ 1.120,00
Mensal ( $n=12$ )	$1000 cdot (1{,}01)^{12}$	R$ 1.126,83
Contínua ( $n to infty$ )	$1000 cdot e^{0{,}12}$	R$ 1.127,50

A diferença entre capitalização contínua e mensal é de apenas R$ 0,67 por ano.

Verificação. $e^{0{,}12} = 1{,}12749...$ . Para $n = 365$ (diária): $(1 + 0{,}12/365)^{365} \approx 1{,}12747$ — praticamente igual ao contínuo.

Fonte. Active Calculus, §8.1, Preview Activity 8.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 10Modeling 4Challenge 2

Fontes

Lebl — Basic Analysis: Introduction to Real Analysis — Jiří Lebl · CC-BY-NC-SA · §2.1–2.4 (Sequences). Definição épsilon-N, unicidade, Cauchy, Bolzano-Weierstrass. Referência primária para rigor.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences) e §8.2 (Geometric Series). Atividades com sequências recursivas, Fibonacci, aplicações financeiras.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0 · §5.1 (Sequences). Limites notáveis, drill de exercícios com soluções completas.