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Lição 50 — Consolidação Trim 5: limites e continuidade

Workshop integrador do Trimestre 5. Limites ε-δ, leis dos limites, limites fundamentais, continuidade, TVI, assíntotas e sequências convergentes.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Analysis I (Gymnasium alemão) · Equiv. Math II japonês — seção limites

\lim_{x \to a} f(x) = L \;\iff\; \forall\,\varepsilon > 0,\;\exists\,\delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

A definição épsilon-delta de limite: para qualquer margem de erro $\varepsilon$ que se exija, encontra-se uma vizinhança $\delta$ em torno de $a$ que garante que $f(x)$ está dentro dessa margem de $L$ . Esse único enunciado sustenta continuidade, TVI, assíntotas e convergência de sequências — os cinco pilares do Trimestre 5.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Mapa dos teoremas do Trim 5

Definição central

"Dizemos que o limite de $f(x)$ , quando $x$ tende a $a$ , é $L$ , e escrevemos $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , se para todo número $\varepsilon > 0$ existe um número $\delta > 0$ tal que se $0 < |x - a| < \delta$ , então $|f(x) - L| < \varepsilon$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.5

Mapa do Trimestre 5

Lição	Tópico	Resultado central
41	Limite formal	Definição $\varepsilon$ - $\delta$
42	Leis dos limites	Soma, produto, quociente, confronto
43	Continuidade	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; tipos de descontinuidade
44	Limites laterais e infinitos	Limite existe $\iff$ $\lim^- = \lim^+$ ; assíntotas verticais
45	Limites fundamentais	$\sin x/x \to 1$ ; $(1+1/n)^n \to e$
46	TVI e Weierstrass	Existência de raízes e valores intermediários
47	Assíntotas	Verticais, horizontais, oblíquas
48	Limites trigonométricos	Manipulação de $\sin$ , $\cos$ , $\tan$
49	Sequências	Cauchy, Bolzano-Weierstrass, monótona limitada

Tabela-resumo dos teoremas principais

Teorema	Hipótese	Conclusão
Confronto (Squeeze)	$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ e $\lim g = \lim h = L$	$\lim f = L$
TVI	$f \in C([a,b])$ , $k$ entre $f(a)$ e $f(b)$	$\exists\,c \in (a,b)$ com $f(c) = k$
Weierstrass	$f \in C([a,b])$	$f$ atinge máximo e mínimo
Bolzano-Weierstrass	$(a_n)$ limitada em $\mathbb{R}$	Tem subsequência convergente
Monótona limitada	$(a_n)$ crescente (dec.) e limitada superiormente (inf.)	Converge
Cauchy	$(a_n)$ é sequência de Cauchy em $\mathbb{R}$	$(a_n)$ converge

Cheat sheet de indeterminações

Forma	Técnica padrão
$0/0$ polinomial	Fatore e cancele o fator nulo
$0/0$ com raízes	Multiplique pelo conjugado
$0/0$ trigonométrico	Limites fundamentais $\sin x/x \to 1$
$\infty/\infty$ racional	Divida pelo maior grau
$1^{\infty}$	$A^B = e^{B \ln A}$ , calcule $\lim B \ln A$
$0 \cdot \infty$	Reescreva como $\frac{0}{1/\infty}$ ou $\frac{\infty}{1/0}$
$\infty - \infty$	Fator comum ou conjugado

Hierarquia de crescimento

$\ln n \ll n^a \ll a^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 1,\; n \to \infty)$

Limites fundamentais para memorizar

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

what this means · Limite fundamental trigonométrico — usado para todo limite com seno dividido por argumento.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

what this means · Limites exponencial e logarítmico — base de todo limite 1 ao infinito.

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a

what this means · Definição de e como limite — o número de Euler aparece naturalmente nos juros compostos contínuos.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite 0/0 por fatoração

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Estratégia: Substituição direta produz $0/0$ . O numerador é diferença de quadrados e fatora, revelando o fator $(x-3)$ que cancela com o denominador.

Resolução:

Substituição direta: $\dfrac{9-9}{3-3} = \dfrac{0}{0}$ . Indeterminado — não podemos concluir.
Fatorar: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
Cancelar (válido pois $x \neq 3$ na definição de limite): $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6.$

Verificação: Para $x = 2{,}99$ : $(2{,}99 + 3) = 5{,}99 \approx 6$ . Para $x = 3{,}01$ : $(3{,}01 + 3) = 6{,}01 \approx 6$ . Ambos convergem a 6.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· TVI — existência de raiz

Problema: Mostre que $f(x) = x^3 - 2x - 1$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $(1, 2)$ .

Estratégia: Verificar que $f$ é contínua em $[1,2]$ e que $f(1)$ e $f(2)$ têm sinais opostos. O TVI garante a existência.

Resolução:

Continuidade: $f$ é polinomial, portanto contínua em todo $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
Avaliar os extremos: $f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0, \qquad f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0.$
Aplicar TVI: Como $f \in C([1,2])$ e $f(1) < 0 < f(2)$ , existe $c \in (1, 2)$ com $f(c) = 0$ .

Verificação: Bisseção: $f(1{,}5) = 3{,}375 - 3 - 1 = -0{,}625 < 0$ , logo $c \in (1{,}5, 2)$ . A raiz real é $c \approx 1{,}618$ (a razão áurea, pois $\varphi^3 = 2\varphi + 1$ ).

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Example 2.38 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Assíntotas vertical, horizontal e oblíqua

Problema: Determine todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ .

Estratégia: Verificar assíntota vertical (denominador zero), horizontal (graus) e oblíqua (divisão quando $\deg P = \deg Q + 1$ ).

Resolução:

Assíntota vertical: $x = 2$ anula o denominador e $f(2)$ está indefinida. Como $(x^2+1)|_{x=2} = 5 \neq 0$ : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty.$ Logo $x = 2$ é assíntota vertical.

Assíntota horizontal: $\deg(x^2+1) = 2 > 1 = \deg(x-2)$ , portanto não existe assíntota horizontal.

Assíntota oblíqua: Divisão euclidiana de $x^2 + 1$ por $x - 2$ : $\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}.$ Como $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5}{x-2} = 0$ , a reta $y = x + 2$ é assíntota oblíqua nos dois sentidos.

Verificação: Para $x = 100$ : $f(100) = 10001/98 \approx 102{,}05$ e $y(100) = 102$ . Diferença $\approx 0{,}05 \to 0$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus, §1.6, Example 1.6.2 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Limite fundamental trigonométrico com substituição

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Estratégia: Reescrever para aplicar $\lim_{u \to 0} \sin u/u = 1$ com substituição $u = 3x$ .

Resolução:

Reescrever: $\dfrac{\sin(3x)}{5x} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x}$ .
Aplicar o limite fundamental: Quando $x \to 0$ , também $3x \to 0$ , então $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$ .
Resultado: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$ .

Verificação: Para $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}03)/0{,}05 \approx 0{,}02999/0{,}05 \approx 0{,}5998$ . Converge a $0{,}6 = 3/5$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Checkpoint 2.20 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Sequência recursiva — monótona limitada

Problema: Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Mostre que $(a_n)$ converge e encontre seu limite.

Estratégia: Provar por indução que $(a_n)$ é crescente e limitada superiormente por 2. Pelo teorema da sequência monótona limitada, $(a_n)$ converge. O limite satisfaz uma equação de ponto fixo.

Resolução:

Passo 1 — Limitação superior: Por indução, $a_n \leq 2$ para todo $n$ .

Base: $a_1 = 1 \leq 2$ .
Passo: se $a_n \leq 2$ , então $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \leq \sqrt{4} = 2$ .

Passo 2 — Crescimento: Para $a_n \in [1, 2]$ : $a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1) \geq 0$ . Como $a_n > 0$ , segue $a_{n+1} > a_n$ .

Passo 3 — Limite: Seja $L = \lim a_n$ . Passando ao limite em $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ : $L = \sqrt{2 + L} \implies L^2 - L - 2 = 0 \implies (L-2)(L+1) = 0.$ Como $a_n \geq 1$ , temos $L \geq 1$ , logo $L = 2$ .

Verificação: $a_1 = 1,\ a_2 \approx 1{,}73,\ a_3 \approx 1{,}93,\ a_4 \approx 1{,}98$ . A sequência converge rapidamente para 2.

Fonte. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 8Modeling 2

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · Capítulo 2 (§2.1–§2.5): Limites, leis dos limites, continuidade, TVI, definição ε-δ. Licença CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária deste consolidado.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · Capítulo 1 (§1.1–§1.6): limites, técnicas de cálculo, assíntotas, limites trigonométricos. Licença CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.1–§1.7 (limites e taxas de variação) + §8.1 (sequências e convergência). Licença CC-BY-SA 4.0.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang & Herman · 2016 · §5.1: Sequências, convergência, Bolzano-Weierstrass, Cauchy. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.