v1 · padrão canônico

Lesson 58 — Related rates

When two varying quantities are linked by an equation, their rates of change in time are also linked. Spherical balloon, sliding ladder, conical tank, shadow and angle of elevation.

Used in: Year 2 of HS (16–17 yrs) · Equiv. Math II/III Japanese · Equiv. Grade 11–12 German

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

A regra da cadeia no tempo é o motor de toda taxa relacionada. Se $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ e $r$ varia com $t$ , derivar em $t$ ambos os lados entrega a relação entre $dV/dt$ (taxa de inflação de volume) e $dr/dt$ (taxa de crescimento do raio).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método formal e modelos canônicos

Estratégia geral para taxas relacionadas

Identifique as variáveis dinâmicas (dependem de $t$ ) e as constantes do problema.
Escreva a equação geométrica ou física que relaciona as variáveis — válida para todo $t$ .
Derive ambos os lados em relação a $t$ , usando a regra da cadeia em cada variável dinâmica.
Substitua os valores numéricos do instante de interesse (nunca antes de derivar).
Isole a taxa desejada e verifique a unidade e o sinal.

"Uma taxa relacionada é a taxa de variação de uma quantidade em termos da taxa de variação de outra quantidade. Podemos encontrar essa taxa de variação usando uma equação que relaciona as duas quantidades e diferenciando ambos os lados em relação ao tempo." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.1

Modelos canônicos

Cenário	Equação fundamental	Variáveis dinâmicas
Balão esférico	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$V(t),\; r(t)$
Escada deslizante	$x^2 + y^2 = L^2$	$x(t),\; y(t)$
Tanque cônico	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$	$V(t),\; r(t),\; h(t)$
Dois carros divergindo	$D^2 = x^2 + y^2$	$x(t),\; y(t),\; D(t)$
Sombra (semelhança)	razão proporcional	distância, sombra
Ângulo de elevação	$\tan\theta = h/x$	$\theta(t),\; x(t)$

Regra da cadeia — forma geral

Se $F(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = C$ (constante), então:

$\frac{d}{dt}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\dot x_i = 0$

Diferenciação implícita em $t$ . O resultado é uma equação linear nas taxas $\dot x_i$ , da qual se isola a desejada.

Erro clássico: substituir antes de derivar

Se $r = 5$ é o valor no instante de interesse, substituir $r = 5$ antes de derivar reduz $r$ a constante e faz $dr/dt$ desaparecer. O erro elimina a informação que se quer calcular.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Balão esférico — taxa de crescimento do raio (aplicação direta)

Problema: Um balão esférico é inflado de modo que seu volume aumenta à taxa de 100 cm³/s. Encontre a taxa de variação do raio quando $r = 5$ cm.

Estratégia: As grandezas dinâmicas são $V(t)$ e $r(t)$ , ligadas pela equação do volume da esfera. Derivamos essa equação em relação a $t$ pela regra da cadeia e isolamos $dr/dt$ .

Resolução:

Equação fundamental: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}$
Dados: $dV/dt = 100$ cm³/s, $r = 5$ cm. Substituir: $100 = 4\pi(5)^2\,\frac{dr}{dt} = 100\pi\,\frac{dr}{dt}$
Isolar: $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}318 \text{ cm/s.}$

Verificação: Unidade correta (cm/s). Sinal positivo: raio cresce, consistente com inflagem.

Fonte. Active Calculus §3.5, Activity 3.5.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Escada deslizante — taxa de descida do topo (intermediário)

Problema: Uma escada de 10 m apoia-se verticalmente em uma parede. O pé da escada escorrega para fora a 0,8 m/s. Encontre a taxa de descida do topo da escada quando o pé está a 6 m da parede.

Estratégia: As variáveis dinâmicas são $x(t)$ (distância do pé à parede) e $y(t)$ (altura do topo). A restrição é o Teorema de Pitágoras com $L = 10$ (constante).

Resolução:

Equação fundamental: $x^2 + y^2 = 100$ .
Derivar em $t$ : $2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0$
Dados: $dx/dt = 0{,}8$ m/s, $x = 6$ m. Calculamos $y$ : $y = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ m.}$
Substituir: $2(6)(0{,}8) + 2(8)\,\frac{dy}{dt} = 0 \implies 9{,}6 + 16\,\frac{dy}{dt} = 0$
Isolar: $\frac{dy}{dt} = -\frac{9{,}6}{16} = -0{,}6 \text{ m/s.}$

O topo da escada desce a 0,6 m/s. O sinal negativo é esperado: $y$ decresce quando $x$ cresce.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.3 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Tanque cônico enchendo — taxa de elevação do nível (intermediário)

Problema: Água é bombeada para um tanque cônico invertido (vértice para baixo) à taxa de 3 m³/min. O tanque tem altura total 6 m e raio do topo 2 m. Quão rápido o nível de água sobe quando a profundidade é $h = 4$ m?

Estratégia: O volume do cone depende de $r$ e $h$ , ambos dinâmicos. A geometria de semelhança permite expressar $r$ em função de $h$ , reduzindo o problema a uma única variável.

Resolução:

Semelhança: No cone, $r/h = 2/6 = 1/3$ , logo $r = h/3$ .
Expressar $V$ só em $h$ : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27}\,\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\,\frac{dh}{dt}$
Dados: $dV/dt = 3$ m³/min, $h = 4$ m: $3 = \frac{\pi(16)}{9}\,\frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = \frac{27}{16\pi} \approx 0{,}537 \text{ m/min.}$

Verificação: Conforme esperado, quanto maior $h$ , mais lenta a subida (área da seção cresce com $h^2$ ).

Fonte. Active Calculus §3.5, Example 3.5.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Dois carros afastando-se — distância crescendo (modelagem)

Problema: O carro A parte de uma interseção em direção ao norte a 60 km/h e o carro B parte da mesma interseção em direção ao leste a 80 km/h. Quão rápido a distância entre eles aumenta após 30 min de viagem?

Estratégia: Após 30 min, $x = 40$ km (B) e $y = 30$ km (A). A distância $D$ satisfaz Pitágoras. As três variáveis $x$ , $y$ , $D$ são dinâmicas.

Resolução:

Equação fundamental: $D^2 = x^2 + y^2$ .
Derivar em $t$ : $2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt}$
Após $t = 0{,}5$ h: $x = 80 \times 0{,}5 = 40$ km; $y = 60 \times 0{,}5 = 30$ km. $D = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 \text{ km.}$
Dados: $dx/dt = 80$ km/h, $dy/dt = 60$ km/h. Substituir: $2(50)\,\frac{dD}{dt} = 2(40)(80) + 2(30)(60) = 6400 + 3600 = 10000$
Isolar: $\frac{dD}{dt} = \frac{10000}{100} = 100 \text{ km/h.}$

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.5 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Angulo de elevacao de um aviao — taxa angular (avancado)

Problema: Um observador no solo vê um avião que voa horizontalmente a 800 m de altitude e a 200 m/s. Qual a taxa de variação do ângulo de elevação quando o avião está diretamente a 600 m (horizontalmente) do observador?

Estratégia: $\theta$ e $x$ (distância horizontal) são dinâmicos, com $h = 800$ m constante. A relação trigonométrica $\tan\theta = h/x$ é a equação fundamental.

Resolução:

Equação fundamental: $\tan\theta = \dfrac{800}{x}$ .
Derivar em $t$ (lado esquerdo via regra da cadeia): $\sec^2\!\theta\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{x^2}\,\frac{dx}{dt}$
Dados: $x = 600$ m; o avião se aproxima, então $dx/dt = -200$ m/s. Calcule $\theta$ : $\tan\theta = \frac{800}{600} = \frac{4}{3} \implies \sec^2\!\theta = 1 + \tan^2\!\theta = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$
Substituir: $\frac{25}{9}\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{360000}\,(-200) = \frac{160000}{360000} = \frac{4}{9}$
Isolar: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{25} = \frac{4}{25} = 0{,}16 \text{ rad/s.}$

O ângulo de elevação cresce a 0,16 rad/s nesse instante.

Fonte. APEX Calculus §4.2, Example 4.2.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 8Modeling 9Challenge 2Proof 1

Ex. 58.1Application
Dada $y = x^2 + 3$ , encontre $dy/dt$ em $x = 1$ sabendo que $dx/dt = 4$ .
Select the correct option
$dy/dt = 8$ $dy/dt = 4$ $dy/dt = 2$ $dy/dt = 16$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 1
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Com $y = x^2 + 3$ , derivando em $t$ : $dy/dt = 2x\,dx/dt$ . Em $x = 1$ com $dx/dt = 4$ : $dy/dt = 2(1)(4) = 8$ .
Ex. 58.2Application
Dada $y = 2x^2 + 1$ , encontre $dx/dt$ em $x = -2$ sabendo que $dy/dt = -1$ .
Select the correct option
$dx/dt = 1/8$ $dx/dt = -1/8$ $dx/dt = 1/4$ $dx/dt = -1/4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 2
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Com $y = 2x^2 + 1$ , derivando em $t$ : $dy/dt = 4x\,dx/dt$ . Em $x = -2$ com $dy/dt = -1$ : $-1 = 4(-2)\,dx/dt = -8\,dx/dt$ . Logo $dx/dt = 1/8$ .
Ex. 58.3Application
Dada $z^2 = x^2 + y^2$ , encontre $dz/dt$ em $(x,y) = (1,3)$ sabendo que $dx/dt = 4$ e $dy/dt = 3$ .
Select the correct option
$dz/dt = 10/\sqrt{10}$ $dz/dt = 8/\sqrt{10}$ $dz/dt = 4$ $dz/dt = 5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 3
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Com $z^2 = x^2 + y^2$ , derivando em $t$ : $2z\,dz/dt = 2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt$ . Em $(x,y) = (1,3)$ : $z = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ . Com $dx/dt = 4$ e $dy/dt = -3$ : $2\sqrt{10}\,dz/dt = 2(1)(4) + 2(3)(-3) = 8 - 18 = -10$ , logo $dz/dt = -10/(2\sqrt{10}) = -\sqrt{10}/2$ . A resposta correta para $dy/dt = 3$ (positivo) seria $dz/dt = (4+9)/\sqrt{10} = 13/\sqrt{10}$ ; para os dados originais do livro com $dx/dt = 4$ , $dy/dt = 3$ : $dz/dt = 10/\sqrt{10} = \sqrt{10}$ .
Ex. 58.4Application
O raio de uma esfera aumenta a razão de 1 m/s. Encontre a taxa de variação do volume quando o raio mede 1 m.
Select the correct option
O raio da esfera cresce a $\sqrt{1/(3\pi)}$ m/sO raio cresce a 1 m/sO raio cresce a $3\pi$ m/sO raio decresce a $1/(3\pi)$ m/s
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 20
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Volume da esfera: $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Derivando: $dV/dt = 4\pi r^2\,dr/dt$ . Com $dV/dt = 1$ m³/s e $r = 1$ m: $1 = 4\pi(1)^2\,dr/dt$ , logo $dr/dt = 1/(4\pi)$ m/s. Para raio crescendo a 1 m/s: $dV/dt = 4\pi$ m³/s. O enunciado pede quando $dV/dt = 1$ e $r = 1$ : $dr/dt = 1/(4\pi)$ m/s.
Ex. 58.5Application
O topo de uma escada de 10 pés desliza para baixo pela parede a 4 pés/s. Quão rápido o pé da escada se afasta da parede quando o topo está a 6 pés do chão?
Select the correct option
$3/4$ m/s $4/3$ m/s $3/8$ m/s $8/3$ m/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 5
Show solution
Escada de 10 pés: $x^2 + y^2 = 100$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Topo desce a 4 pés/s, $dy/dt = -4$ . Quando $y = 6$ : $x = \sqrt{100-36} = 8$ . Logo $2(8)\,dx/dt + 2(6)(-4) = 0 \implies dx/dt = 48/16 = 3$ pés/s.
Show step-by-step (with the why)
1. Equação de vínculo. $x^2 + y^2 = 100$ , escada de 10 pés.
2. Derivar em t. $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ .
3. Calcular x. Com $y = 6$ : $x = \sqrt{100-36} = 8$ pés.
4. Substituir. $dy/dt = -4$ (topo desce): $16\,dx/dt - 48 = 0 \implies dx/dt = 3$ pés/s.
Ex. 58.6Application
Uma escada de 25 pés encostada na parede tem o pé empurrado em direção à parede a 2 pés/s. Encontre a taxa de subida do topo quando o pé está a 7 pés da parede.
Select the correct option
Empurrar a pé a 2 pés/s faz o topo subir a $7\sqrt{3}/12$ pés/sO topo sobe a 2 pés/sO topo sobe a $2\sqrt{3}$ pés/sO topo sobe a $1/\sqrt{3}$ pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 6
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Escada de 25 pés: $x^2 + y^2 = 625$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Pé se move para a parede a 2 pés/s: $dx/dt = -2$ . Quando o pé está a 7 pés da parede ( $x = 7$ ): $y = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24$ . Logo $2(7)(-2) + 2(24)\,dy/dt = 0 \implies dy/dt = 28/48 = 7/12$ pés/s.
Ex. 58.7Application
O volume de um cubo diminui a 10 m³/s. Encontre a taxa de variação da aresta quando o volume é 8 m³.
Select the correct option
A aresta diminui a $10/(3 \cdot 2^{2/3})$ m/sA aresta diminui a $10/3$ m/sA aresta diminui a $10$ m/sA aresta diminui a $10/9$ m/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 17
Show solution
Volume do cubo: $V = s^3$ . Derivando: $dV/dt = 3s^2\,ds/dt$ . Com $dV/dt = -10$ m³/s e $s = 2$ m (pois $V = 8$ m³): $-10 = 3(4)\,ds/dt \implies ds/dt = -10/12 = -5/6$ m/s.
Ex. 58.8Application
O raio de um círculo aumenta a 2 m/s. Encontre a taxa de variação da área quando o raio mede 1 m.
Select the correct option
$dA/dt = 4\pi$ m²/s, onde A é a área $dA/dt = 2\pi$ m²/s $dA/dt = 8\pi$ m²/s $dA/dt = \pi$ m²/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 18
Show solution
Área do círculo: $A = \pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 2\pi r\,dr/dt$ . Com $dr/dt = 2$ m/s e $r = 1$ m: $dA/dt = 2\pi(1)(2) = 4\pi$ m²/s.
Ex. 58.9ApplicationAnswer key
O raio de uma esfera diminui a 3 m/s. Encontre a taxa de variação da área superficial quando o raio mede 3 m.
Select the correct option
A área superficial diminui a $72\pi$ m²/sA área superficial diminui a $36\pi$ m²/sA área superficial diminui a $12\pi$ m²/sA área superficial diminui a $144\pi$ m²/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 19
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Área superficial da esfera: $A = 4\pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 8\pi r\,dr/dt$ . Com $dr/dt = -3$ m/s e $r = 3$ m: $dA/dt = 8\pi(3)(-3) = -72\pi$ m²/s. A área superficial diminui a $72\pi$ m²/s.
Ex. 58.10Application
A aresta de um cubo aumenta a $1/2$ m/s. Encontre a taxa de variação do volume quando a aresta mede 2 m.
Select the correct option
A aresta do cubo cresce a $1/12$ m/sA aresta cresce a $1/6$ m/sA aresta cresce a $1/4$ m/sA aresta cresce a $1/3$ m/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 16
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Volume do cubo: $V = s^3$ . Derivando: $dV/dt = 3s^2\,ds/dt$ . Com $dV/dt = 1/2$ m³/s: $1/2 = 3s^2\,ds/dt$ . Quando $s = 2$ m: $1/2 = 3(4)\,ds/dt \implies ds/dt = 1/24$ m/s. Para $s = 1$ : $ds/dt = 1/6$ . O enunciado pede $s$ tal que $ds/dt = 1/12$ ; com $s = 2$ : $ds/dt = 1/2 \div 12 = 1/24$ . Com $s$ genérico e $dV/dt = 1/2$ : $ds/dt = 1/(6s^2)$ .
Ex. 58.11Application
Água é despejada em uma piscina cilíndrica de raio 7 pés e altura 8 pés à taxa de 3 ft³/min. Qual é a taxa de subida do nível da água?
Select the correct option
O raio cresce a $1/(18\pi)$ pés/minO raio cresce a $1/(9\pi)$ pés/minO raio cresce a $1/(6\pi)$ pés/minO raio cresce a $9\pi$ pés/min
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 2
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Piscina cilíndrica de raio 7 pés: $V = \pi r^2 h = 49\pi h$ . Derivando: $dV/dt = 49\pi\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 3$ ft³/min: $dh/dt = 3/(49\pi)$ pés/min. A taxa de subida do nível é $3/(49\pi)$ pés/min.
Show step-by-step (with the why)
1. Equação fundamental. Cilindro de raio fixo $r = 7$ : $V = \pi(49)h = 49\pi h$ .
2. Derivar em t. $dV/dt = 49\pi\,dh/dt$ .
3. Substituir. $3 = 49\pi\,dh/dt \implies dh/dt = 3/(49\pi)$ pés/min.
Ex. 58.12Application
Dois amigos partem de um cruzamento: um vai para o Norte a velocidade constante $v$ e o outro para o Oeste a velocidade constante $w$ . Encontre a taxa de variação da distância entre eles.
Select the correct option
A distância aumenta a $\sqrt{v^2 + w^2}$ por unidade de tempoA distância aumenta a $v + w$ por unidade de tempoA distância aumenta a $|v - w|$ por unidade de tempoA distância aumenta a $vw/\sqrt{v^2+w^2}$ por unidade de tempo
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 3
Show solution
Dois amigos partem de um cruzamento: um vai para o Norte a velocidade $v$ , outro para o Oeste a velocidade $w$ . Após tempo $t$ : distâncias $vt$ e $wt$ . Distância entre eles: $L = \sqrt{(vt)^2 + (wt)^2} = t\sqrt{v^2+w^2}$ . Derivando: $dL/dt = \sqrt{v^2+w^2}$ . A taxa é constante.
Ex. 58.13ApplicationAnswer key
Óleo derramado de um navio espalhase em um círculo cuja área aumenta à taxa constante de 6 mi²/hora. Quão rapidamente o raio do derramamento cresce quando a área é 5 mi²?
Select the correct option
O raio do derramamento cresce a $3/(\pi\sqrt{5/\pi})$ milhas/horaO raio cresce a $6/\pi$ milhas/horaO raio cresce a $3/\pi$ milhas/horaO raio cresce a $6$ milhas/hora
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 4
Show solution
Área do círculo: $A = \pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 2\pi r\,dr/dt$ . Com $dA/dt = 6$ mi²/h e $A = 5$ mi²: $r = \sqrt{5/\pi}$ . Logo $6 = 2\pi\sqrt{5/\pi}\,dr/dt \implies dr/dt = 6/(2\pi\sqrt{5/\pi}) = 3/(\pi\sqrt{5/\pi})$ mi/h.
Ex. 58.14Application
Uma escada de 14 pés encostada na parede tem o topo deslizando para baixo a 4 pés/s. Quão rápido o pé se afasta da parede quando o topo está a 10 pés do chão?
Select the correct option
O pé se afasta a $4\sqrt{10}/9$ pés/sO pé se afasta a $4/9$ pés/sO pé se afasta a $\sqrt{10}$ pés/sO pé se afasta a $40/9$ pés/s
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 5
Show solution
Escada de 14 pés: $x^2 + y^2 = 196$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Topo desce a 4 pés/s: $dy/dt = -4$ . Com $y = 10$ : $x = \sqrt{196-100} = \sqrt{96}$ . Logo $2\sqrt{96}\,dx/dt - 80 = 0 \implies dx/dt = 80/(2\sqrt{96}) = 40/\sqrt{96} = 40/(4\sqrt{6}) = 10/\sqrt{6}$ pés/s.
Ex. 58.15ApplicationAnswer key
Uma tensão constante de 13 volts é aplicada a uma resistência que aumenta a 0,4 ohms/s quando a resistência é 90 ohms. Encontre a taxa de variação da corrente.
Select the correct option
A corrente diminui a $13/180$ A/sA corrente diminui a $13/90$ A/sA corrente aumenta a $13/180$ A/sA corrente diminui a $13/18$ A/s
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 6
Show solution
Lei de Ohm: $I = V/R$ . Derivando em $t$ : $dI/dt = (R\,dV/dt - V\,dR/dt)/R^2$ . Com $V = 13$ V (constante, $dV/dt = 0$ ), $R = 90$ ohms e $dR/dt = 0{,}4$ ohms/s: $dI/dt = -13(0{,}4)/90^2 = -5{,}2/8100 = -13/20250$ A/s. Simplificando: $dI/dt = -(13 \times 0{,}4)/(90^2) = -5{,}2/8100$ A/s.
Ex. 58.16Application
Um tanque cônico (vértice para baixo) tem altura 16 pés e raio 5 pés. Água vaza a 2 ft³/min. Quão rápido cai o nível quando a profundidade é 16 pés?
Select the correct option
A profundidade cai a $-25/(16\pi)$ pés/min quando $h = 16$ A profundidade cai a $-5/(16\pi)$ pés/minA profundidade cai a $-5/\pi$ pés/minA profundidade cai a $-25\pi/16$ pés/min
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 25
Show solution
Tanque cônico: altura 16 pés, raio 5 pés. Por semelhança: $r/h = 5/16$ , logo $r = 5h/16$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(5h/16)^2 h = 25\pi h^3/768$ . Derivando: $dV/dt = 25\pi h^2/256\,dh/dt$ . Com $dV/dt = -2$ e $h = 16$ : $-2 = 25\pi(256)/256\,dh/dt = 25\pi\,dh/dt$ . Logo $dh/dt = -2/(25\pi)$ .
Ex. 58.17Application
Um cilindro vertical de raio 2 cm vaza água. Se a vazão de saída é $10\pi$ cm³/min, encontre a taxa de queda do nível.
Select the correct option
O nível cai a $5/(2\pi)$ cm/minO nível cai a $1/\pi$ cm/minO nível cai a $5\pi/2$ cm/minO nível cai a $2/(5\pi)$ cm/min
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 28
Show solution
Cilindro vertical que vaza: $V = \pi r^2 h$ . Com raio fixo $r = 2$ cm: $dV/dt = 4\pi\,dh/dt$ . Vazão de saída $dV/dt = -10\pi$ cm³/min: $-10\pi = 4\pi\,dh/dt \implies dh/dt = -10\pi/(4\pi) = -5/2$ cm/min. O nível cai a $5/2$ cm/min.
Ex. 58.18ApplicationAnswer key
Água vaza de um tanque cônico invertido (altura 600 cm, raio 200 cm) a 12500 cm³/min, enquanto é bombeada. Se o nível sobe a 20 cm/min quando a profundidade é 200 cm, qual é a taxa de bombeamento?
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O nível sobe a $500/(\pi \cdot 25^2)$ cm/minO nível sobe a $12500/(\pi)$ cm/minO nível sobe a $1/\pi$ cm/minO nível sobe a $500\pi$ cm/min
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 8
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Tanque cônico invertido: altura 600 cm, raio 200 cm. Por semelhança: $r/h = 200/600 = 1/3$ , logo $r = h/3$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi(h/3)^2 h = \pi h^3/27$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2/9\,dh/dt$ . Com água sendo bombeada a taxa constante e vazando $12500$ cm³/min, o balanço líquido fornece $dV/dt$ ; com $h = 200$ cm e nível subindo a 20 cm/min: taxa de bombeamento $= \pi(200)^2/9 \cdot 20 + 12500 = 800000\pi/9 + 12500$ cm³/min.
Ex. 58.19ApplicationAnswer key
Um barco a vela é puxado por corda em uma polia a 5 pés acima da proa. A corda é recolhida a 1 pé/s quando o comprimento da corda é 13 pés. Quão rápido o barco se aproxima do cais?
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O barco se aproxima a $5/4$ pés/sO barco se aproxima a $4/5$ pés/sO barco se aproxima a $5/8$ pés/sO barco se aproxima a $5$ pés/s
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 9
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Polia a 5 pés acima do arco da proa. Cabo de comprimento $L$ ; distância horizontal do barco à doca $d$ . Pitágoras: $L^2 = d^2 + 25$ . Derivando: $2L\,dL/dt = 2d\,dd/dt$ . Cabo recolhido a 1 pé/s: $dL/dt = -1$ . Com $L = 13$ pés: $d = \sqrt{169-25} = 12$ . Logo $2(13)(-1) = 2(12)\,dd/dt \implies dd/dt = -13/12$ pés/s. Velocidade de aproximação: $13/12$ pés/s.
Ex. 58.20Application
Um campo de beisebol tem um quadrado de 90 pés de lado. Uma jogadora avança da segunda para a terceira base a 24 pés/s. O árbitro está em home plate. Qual é a taxa de variação da distância entre o árbitro e a jogadora quando ela está a meio caminho entre segunda e terceira?
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A distância muda a $-7/5$ pés/s (se aproximam)A distância muda a $7/5$ pés/s (se afastam)A distância muda a $-5/7$ pés/sA distância não muda
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 11
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Jogadora corre da segunda para a terceira base a 24 pés/s. Diamante com lados de 90 pés. Coloque terceira base na origem; segunda base a 90 pés. Distância do árbitro (home plate) ao jogador: use coordenadas — home plate está a 90 pés de terceira, segundo de terceira. Seja $x(t)$ a posição da jogadora ao longo da linha da segunda à terceira base (começa em 90, termina em 0). Distância do árbitro em home plate: $D = \sqrt{x^2 + 90^2}$ . Derivando: $\dot D = x\dot x/D$ . Com $x = 45$ , $\dot x = -24$ , $D = \sqrt{2025+8100} = \sqrt{10125} = 45\sqrt{5}$ : $\dot D = 45(-24)/(45\sqrt{5}) = -24/\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.21Understanding
Dois aviões voam na mesma altitude: o avião A voa para leste a 500 km/h e o avião B voa para norte a 300 km/h, partindo do mesmo ponto. Qual é a taxa de afastamento após 2 horas?
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Dois aviões partem simultaneamente, A para leste a 500 km/h e B para norte a 300 km/h. Após 2 h, a taxa de afastamento é 583 km/hApós 2 h, a taxa de afastamento é 800 km/h (soma das velocidades)Após 2 h, a taxa de afastamento é 200 km/h (diferença das velocidades)A taxa de afastamento é sempre 500 km/h
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 7
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Após 2 h: $x = 1000$ km, $y = 600$ km. $D = \sqrt{1000^2+600^2} = \sqrt{1360000} = 200\sqrt{34}$ km. Derivando $D^2 = x^2+y^2$ : $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y$ . $\dot D = (1000\cdot500 + 600\cdot300)/(200\sqrt{34}) = 680000/(200\sqrt{34}) \approx 583$ km/h.
Ex. 58.22Understanding
Uma pessoa de 6 pés caminha a 3 pés/s se afastando de um poste de 10 pés. Qual é a taxa de crescimento do comprimento da sombra?
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A sombra cresce a $3/2$ pés/sA sombra cresce a $3$ pés/sA sombra cresce a $1/2$ pés/sA sombra cresce a $9/4$ pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 10
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Poste de 10 pés; pessoa de 6 pés caminhando a 3 pés/s. Seja $x$ a distância da pessoa ao poste e $s$ o comprimento da sombra. Por semelhança: $10/(x+s) = 6/s \implies 10s = 6x+6s \implies 4s = 6x \implies s = 3x/2$ . Derivando: $ds/dt = (3/2)\,dx/dt = (3/2)(3) = 9/2$ pés/s. O comprimento da sombra cresce a $9/2$ pés/s.
Ex. 58.23UnderstandingAnswer key
Usando o mesmo cenário do exercício 58.22: qual é a taxa a que a ponta da sombra se move (em relação ao poste)?
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A ponta da sombra se move a $5$ pés/sA ponta se move a $3$ pés/sA ponta se move a $3/2$ pés/sA ponta se move a $10/3$ pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 11
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Do exercício anterior: ponta da sombra está a distância $x + s = x + 3x/2 = 5x/2$ do poste. Derivando: taxa da ponta $= (5/2)\,dx/dt = (5/2)(3) = 15/2$ pés/s. Alternativa: a taxa da ponta = taxa da pessoa + taxa do comprimento da sombra $= 3 + 9/2 = 15/2$ pés/s.
Ex. 58.24UnderstandingAnswer key
Um helicóptero decola do chão subindo verticalmente a 25 pés/s. Um observador está a 400 pés de distância horizontal. Qual é a taxa de variação da distância entre o helicóptero e o observador quando a altitude é 200 pés?
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O helicóptero sobe a 25 pés/s; a taxa de variação da distância é $25 \cdot 200/\sqrt{200^2 + 100^2}$ A taxa de variação da distância é sempre 25 pés/sA taxa de variação da distância é 0 quando o helicóptero está acima do observadorA taxa de variação da distância é 25/2 pés/s quando a altitude é 100 pés
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 14
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Helicóptero decola verticalmente a 25 pés/s; observador a 400 pés de distância horizontal. Seja $h$ a altitude e $D$ a distância ao observador. $D^2 = h^2 + 400^2$ . Derivando: $2D\dot D = 2h\dot h$ . Com $h = 200$ : $D = \sqrt{40000+160000} = \sqrt{200000} = 200\sqrt{5}$ . $\dot D = 200 \cdot 25/(200\sqrt{5}) = 25/\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.25UnderstandingAnswer key
A área de um triângulo aumenta a 3 cm²/min e a altura aumenta a 2 cm/min. Encontre a taxa de variação da base quando a altura é 10 cm e a base é 1 cm.
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A base diminui a $20$ cm/min quando altura é 10 cm e base é 1 cmA base e a altura variam independentementeA área é constante somente se base e altura variam na mesma razãoA taxa de variação da base é sempre negativa
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 24
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Área do triângulo: $A = \tfrac{1}{2}bh$ . Derivando: $dA/dt = \tfrac{1}{2}(b\,dh/dt + h\,db/dt)$ . Com $dh/dt = 2$ cm/min, $dA/dt = 3$ cm²/min, $b = 1$ cm e $h = 10$ cm: $3 = \tfrac{1}{2}(1\cdot2 + 10\,db/dt) = 1 + 5\,db/dt \implies db/dt = 2/5$ cm/min.
Ex. 58.26Understanding
Um triângulo tem dois lados constantes de 3 e 5 pés. O ângulo entre eles cresce a $\pi/6$ rad/min. Qual é a taxa de variação da área quando o ângulo é $\pi/3$ ?
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A área do triângulo cresce a $15\cos(\pi/6)/2 = 15\sqrt{3}/4$ ft²/sA área cresce a $15/2$ ft²/sA área cresce a $15\pi/6$ ft²/sA área cresce a $15$ ft²/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 23
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Triângulo com dois lados constantes de 3 e 5 pés e ângulo entre eles $\theta$ crescendo. Área: $A = \tfrac{1}{2}(3)(5)\sin\theta = \tfrac{15}{2}\sin\theta$ . Derivando: $dA/dt = \tfrac{15}{2}\cos\theta\,d\theta/dt$ . Com $d\theta/dt = \pi/6$ rad/min e $\theta = \pi/3$ : $dA/dt = \tfrac{15}{2}\cos(\pi/3)(\pi/6) = \tfrac{15}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{6} = 5\pi/8$ ft²/min.
Ex. 58.27UnderstandingAnswer key
Areia é descarregada de uma esteira e forma um cone cuja base é sempre igual à altura. A areia é despejada a 30 ft³/min. Quão rápido a altura cresce quando a altura é 10 pés?
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A areia sobe a $\sqrt{3}/(180\pi)$ pés/s quando altura é 1 péA areia sobe a $1/(180\pi)$ pés/sA areia sobe a $\sqrt{3}\pi/180$ pés/sA taxa é constante independente da altura
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 12
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Areia forma cone com $r = h$ (raio igual à altura). Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi h^3$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 30$ ft³/min e $h = 10$ pés: $30 = \pi(100)\,dh/dt \implies dh/dt = 30/(100\pi) = 3/(10\pi)$ pés/min.
Ex. 58.28Understanding
Uma piscina tem 60 pés de comprimento, 25 pés de largura e profundidade que varia uniformemente de 3 pés no raso a 15 pés no fundo. Se a água entra a 40 ft³/min, qual é o volume total da piscina?
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A piscina enche completamente em $(1/3)(25)(60)(12)/(40)$ horasA água sobe a taxa constante em toda a piscinaA taxa de subida é maior na parte fundaA piscina nunca enche pois a largura aumenta
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 10
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Piscina de 60 pés de comprimento e 25 pés de largura, profundidade de 3 pés (raso) a 15 pés (fundo). Seção transversal é trapézio com comprimento variando de 3 a 15 pés ao longo de 60 pés. Volume como função da profundidade $h$ no ponto mais fundo: a piscina é preenchida linearmente. Para $h$ medido desde o fundo, a largura do trapézio no nível $h$ é proporcional; o volume total é $(1/2)(3+15)(60)(25) = 16200$ ft³. Com enchimento a 40 ft³/min: tempo total $= 16200/40 = 405$ min.
Ex. 58.29Modeling
Você está a 40 pés de um foguete de garrafa no chão que sobe a 25 pés/s. Qual é a taxa de variação do ângulo de elevação quando o foguete está a 200 pés de altitude?
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O ângulo de elevação varia a $-1/425$ rad/s quando o foguete está a 200 pés de altitudeO ângulo de elevação é constanteO ângulo varia a $-25/400$ rad/sO ângulo varia a $25/600$ rad/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 38
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Observador a 40 pés do foguete (horizontal); foguete sobe a 25 pés/s. $\tan\theta = h/40$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/40)\,dh/dt$ . Com $h = 200$ : $\tan\theta = 200/40 = 5$ , $\sec^2\theta = 1 + 25 = 26$ . Logo $26\,d\theta/dt = 25/40 \implies d\theta/dt = 25/(40\cdot26) = 5/208$ rad/s.
Ex. 58.30Modeling
Um farol está em uma ilha a 4 km da costa (linha reta). O farol gira a 3 rotações por minuto. Quão rápido o feixe de luz se move ao longo da costa quando é perpendicular à costa?
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O farol ilumina a costa a $3\pi$ km/min quando perpendicular à praiaA velocidade é sempre constante ao longo da costaA velocidade é $3$ km/min independente da posiçãoA velocidade é $12\pi$ km/min quando perpendicular
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 39
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Farol na ilha a 4 km da costa; gira a 3 rotações por minuto, ou seja, $d\theta/dt = 6\pi$ rad/min. Seja $x$ a posição do feixe na costa. $\tan\theta = x/4$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/4)\,dx/dt$ . Quando perpendicular ( $\theta = 0$ , $\sec^2\theta = 1$ ): $dx/dt = 4 \cdot 6\pi = 24\pi$ km/min.
Ex. 58.31Modeling
Dois resistores em paralelo satisfazem $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$ . Se $R_1$ aumenta a 0,3 ohm/s e $R_2$ aumenta a 0,2 ohm/s, encontre a taxa de variação de $R$ quando $R_1 = R_2 = 10$ ohms.
Select the correct option
A resistência total diminui a $1/225$ ohm/s quando ambas estão a 10 ohmsA resistência total aumenta à mesma taxa que cada resistênciaA resistência total muda a $0{,}2$ ohm/sA resistência total não muda
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 4
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Resistores em paralelo: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$ . Derivando em $t$ : $-dR/dt/R^2 = -dR_1/dt/R_1^2 - dR_2/dt/R_2^2$ . Com $R_1 = R_2 = 10$ : $R = 5$ . Com $dR_1/dt = 0{,}3$ e $dR_2/dt = 0{,}2$ : $dR/dt/25 = 0{,}3/100 + 0{,}2/100 = 0{,}005 \implies dR/dt = 0{,}125$ ohm/s.
Ex. 58.32Modeling
No mesmo tanque cônico (altura 16 pés, raio 5 pés), se o nível de água cai a 3 ft³/min, encontre a taxa de queda do nível quando a profundidade é 5 pés.
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O nível sobe a $-3/(25\pi)$ pés/min (cai) quando a profundidade é 5 pésO nível sobe independente da profundidadeO nível sobe a $3/(25\pi)$ pés/minO nível não muda quando vaza e enche simultaneamente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 27
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Tanque cônico: altura 16 pés, raio 5 pés. Por semelhança: $r = 5h/16$ . Volume: $V = 25\pi h^3/768$ . Derivando: $dV/dt = 75\pi h^2/768\,dh/dt = 25\pi h^2/256\,dh/dt$ . Com nível caindo a 3 ft³/min ( $dV/dt = -3$ ) e $h = 5$ : $-3 = 25\pi(25)/256\,dh/dt \implies dh/dt = -3 \times 256/(625\pi) = -768/(625\pi)$ .
Ex. 58.33Modeling
Uma calha tem extremidades em forma de triângulos isósceles com base 3 pés e altura 3 pés, e comprimento 10 pés. Água é adicionada a 2 ft³/min. Quão rápido o nível sobe quando a profundidade é 3 pés?
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O nível sobe a $2/(9\pi)$ pés/min quando a profundidade é 3 pésO nível sobe a $2/\pi$ pés/minO nível sobe a $9\pi/2$ pés/minO nível sobe a $2/(3\pi)$ pés/min
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 30
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Calha com extremidades triangulares isósceles: base 3 pés, altura 3 pés, comprimento 10 pés. Seção transversal triangular com $b = h$ (isósceles e simétrica). Área da seção: $A_{sec} = h^2/2$ . Volume: $V = 10 \cdot h^2/2 = 5h^2$ . Derivando: $dV/dt = 10h\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 2$ ft³/min e $h = 3$ : $2 = 30\,dh/dt \implies dh/dt = 1/15$ pés/min.
Ex. 58.34Modeling
Um rebatedor acerta a bola em direção à terceira base a 75 pés/s e corre para a primeira base a 24 pés/s. O campo de beisebol tem lados de 90 pés. Descreva a abordagem para encontrar a taxa de variação da distância entre o rebatedor e a segunda base quando o rebatedor está a 45 pés de home.
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A distância ao segundo base muda a $(-75 \cdot 90 + 24 \cdot x_B)/D$ A distância sempre decresce quando o rebatedor correA distância permanece constante pois as velocidades se cancelamA distância muda a 75 pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 42
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Diamante de beisebol: lados de 90 pés. Rebatedor corre para a primeira base a 24 pés/s; bola vai para a terceira base a 75 pés/s. Seja $x_R$ a distância percorrida pelo rebatedor (de home para primeira) e $x_B$ a distância percorrida pela bola (de home para terceira). Distância ao segundo base: depende da geometria do quadrado. Com o segundo base no vértice oposto ao home (diagonal = $90\sqrt{2}$ ), a distância varia com o tempo. A taxa de variação da distância entre rebatedor e segundo base envolve a posição relativa.
Ex. 58.35Modeling
Um tanque em forma de pirâmide invertida quadrada tem base $4 \times 4$ m e profundidade 5 m. Água vaza a 1 ft³/s. Encontre a taxa de queda do nível quando a profundidade é 2 m.
Select the correct option
A profundidade cai a $-1/(1\pi)$ in/s quando a altura é 1 péA profundidade cai a constante independente da alturaA profundidade cai mais devagar conforme o tanque esvaziaA profundidade não muda pois o tanque é quadrado
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 31
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Tanque em forma de pirâmide invertida quadrada: base $4 \times 4$ m, profundidade 5 m. Por semelhança: quando a profundidade é $h$ , o comprimento do lado da base é $4h/5$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}(4h/5)^2 h = 16h^3/75$ . Derivando: $dV/dt = 48h^2/75\,dh/dt = 16h^2/25\,dh/dt$ . Com $dV/dt = -1$ ft³/s e $h = 2$ : $-1 = 16(4)/25\,dh/dt \implies dh/dt = -25/64$ .
Ex. 58.36Modeling
Cascalho é descarregado de um caminhão e forma um cone cujo ângulo de repouso é $60°$ com a horizontal. O volume aumenta a $\pi/3$ m³/min. Encontre a taxa de crescimento da altura quando esta é 3 m.
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A areia sobe a $1/(6\pi)$ m/min quando a altura é 3 mA areia sobe a $1/(2\pi)$ m/minA areia sobe a $6\pi$ m/minA areia sobe mais rápido conforme o cone cresce
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 35
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Cone de areia com ângulo de $60°$ no vértice implica $r = h\tan(30°) = h/\sqrt{3}$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi(h/\sqrt{3})^2 h = \pi h^3/9$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2/3\,dh/dt$ . Com $dV/dt = \pi/3$ m³/min e $h = 1$ : $\pi/3 = \pi/3\,dh/dt \implies dh/dt = 1$ m/min. Com $h = 3$ : $dh/dt = 1/(9)$ m/min.
Ex. 58.37ModelingAnswer key
Em expansão adiabática, $PV^{1{,}4} = C$ . Se $P = 25$ kPa, $V = 200$ m³ e o volume aumenta a 10 m³/s, encontre a taxa de variação da pressão.
Select the correct option
A pressão cai a $-3/2$ kPa/s quando o volume é 400 m³A pressão aumenta quando o volume aumentaA pressão cai a $1{,}4$ kPa/s sempreA pressão e o volume variam à mesma taxa
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 7
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Expansão adiabática: $PV^{1{,}4} = C$ (constante). Derivando em $t$ : $\dot P V^{1{,}4} + P \cdot 1{,}4 V^{0{,}4}\dot V = 0$ . Com $P = 25$ kPa, $V = 200$ m³ e $\dot V = 10$ m³/s: $\dot P (200)^{1{,}4} + 25 \cdot 1{,}4 (200)^{0{,}4}(10) = 0$ . Logo $\dot P = -25 \cdot 14/(200) = -7/4 = -1{,}75$ kPa/s.
Ex. 58.38Challenge
Você está estacionado no chão e observa um balão de ar quente subindo verticalmente a 25 pés/s. O balão decolou a 500 pés de você. Qual é a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está a 500 pés de altitude?
Select the correct option
O ângulo de elevação varia a $25/\sqrt{1+625/1600}$ rad/sO ângulo varia a taxa constanteO ângulo varia a $1/25$ rad/sO ângulo é constante quando o balão sobe verticalmente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 37
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Balão sobe verticalmente a 25 ft/s; observador a 500 pés. $\tan\theta = h/500$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/500)\,dh/dt = 25/500 = 1/20$ . Com $h = 500$ : $\tan\theta = 1$ , $\sec^2\theta = 2$ . Logo $d\theta/dt = 1/(20 \cdot 2) = 1/40$ rad/s.
Show step-by-step (with the why)
1. Definir variáveis. $h(t)$ = altitude do balão; observador a 500 pés; $\theta$ = ângulo de elevação.
2. Equação fundamental. $\tan\theta = h/500$ .
3. Derivar em t. $\sec^2\theta\,d\theta/dt = dh/dt/500 = 25/500 = 1/20$ .
4. Com h = 500. $\tan\theta = 1 \implies \theta = 45° \implies \sec^2(45°) = 2$ .
5. Isolar. $d\theta/dt = 1/(20 \times 2) = 1/40$ rad/s.
Ex. 58.39Challenge
Um corredor de beisebol avança da segunda para a terceira base a 24 pés/s em um campo com lados de 90 pés. Um árbitro está em home plate. Qual é a taxa de variação da distância entre o corredor e o árbitro quando o corredor está a meio caminho entre segunda e terceira?
Select the correct option
A taxa de afastamento é $(-24/\sqrt{5})$ pés/s quando o corredor está a 45 pés de segundaA taxa é 24 pés/s (mesma velocidade do corredor)A taxa é 0 pois o árbitro está fixoA taxa é $24\sqrt{2}$ pés/s
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 11
Show solution
Corredor avança da segunda para a terceira base a 30 pés/s; árbitro em home plate. Coloque home em origem, primeira em (90, 0), segunda em (90, 90), terceira em (0, 90). Corredor em segunda: posição (90, 90). Ao correr para terceira, sua posição é $(90-90t/\tau, 90)$ . Mais simples: distância do corredor ao home plate. Quando corredor está a 45 pés de segunda (ou seja, em (45, 90) se correr para terceira... use AC §3.1 ex. 11 direito): com o corredor na posição $(90, s)$ onde $s$ vai de 90 a 0 ao correr para terceira. Distância ao home: $D = \sqrt{90^2 + s^2}$ . Derivando: $\dot D = s\dot s/D$ . Com $s = 45$ , $\dot s = -24$ : $D = \sqrt{8100+2025} = \sqrt{10125} = 45\sqrt{5}$ ; $\dot D = 45(-24)/(45\sqrt{5}) = -24/\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.40Proof
Demonstração. Dois ciclistas partem de um cruzamento: você vai para leste a velocidade constante $v$ e seu amigo para o norte a velocidade constante $w$ . Prove que a taxa de afastamento entre vocês é constante e igual a $\sqrt{v^2+w^2}$ para todo $t > 0$ .
Select the correct option
A distância entre os dois ciclistas cresce a $\sqrt{v^2+w^2}$ a partir de $t = 0$ A taxa de afastamento aumenta com o tempoA taxa de afastamento é zero quando os dois vão na mesma direçãoA taxa de afastamento é $v + w$ quando v e w são positivos
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Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 3
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Dois ciclistas partem do mesmo ponto: você vai para leste a velocidade $v$ , amigo vai para o norte a velocidade $w$ . Distância: $D = \sqrt{(vt)^2+(wt)^2} = t\sqrt{v^2+w^2}$ . Derivando: $dD/dt = \sqrt{v^2+w^2}$ . Taxa constante (independe de t). Verificação via taxa relacionada: $D^2 = x^2 + y^2$ , $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y$ , com $x = vt$ , $y = wt$ : $\dot D = (vt\cdot v + wt\cdot w)/(t\sqrt{v^2+w^2}) = (v^2+w^2)\sqrt{v^2+w^2}/(v^2+w^2) = \sqrt{v^2+w^2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Definir variáveis. $x(t) = vt$ (você, leste), $y(t) = wt$ (amigo, norte), distância $D(t)$ .
2. Equação fundamental. $D^2 = x^2 + y^2$ .
3. Derivar em t. $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y = 2(vt)v + 2(wt)w = 2t(v^2+w^2)$ .
4. Isolar. $\dot D = t(v^2+w^2)/D = t(v^2+w^2)/(t\sqrt{v^2+w^2}) = \sqrt{v^2+w^2}$ .
5. Conclusão. A taxa de afastamento é constante em todo $t$ . Ela é a norma do vetor velocidade relativa.

Fontes

Active Calculus — Matthew Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §3.5 "Related rates". Fonte primária.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1 "Related rates".
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · §4.2 "Related rates".