v1 · padrão canônico

Lesson 60 — Term 6 Consolidation: Derivatives

Integrative workshop for Term 6: definition via limit, operational rules, chain rule, implicit derivative, higher derivatives, inverses, linearization, related rates, and differentiability.

Used in: 2nd Year HS — Term 6 · Equivalent Japanese Math III (Derivatives) · Equivalent German Analysis LK — Ableitung

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

A derivada como limite: a taxa instantânea de variação de $f$ em $x$ . Toda regra de derivação — produto, quociente, cadeia, implícita — é consequência desta definição. Dominar esse conceito é dominar o Trimestre 6.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Mapa formal do Trimestre 6

Hierarquia das ferramentas de derivação

"The derivative of a function $f$ at a value $a$ , denoted $f'(a)$ , is defined by the formula $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , provided this limit exists." — Active Calculus, §1.3

Tabela de derivadas fundamentais

$f(x)$	$f'(x)$	Regra
$x^n$	$n x^{n-1}$	potência
$e^x$	$e^x$	exponencial natural
$a^x$	$a^x \ln a$	exponencial geral
$\ln x$	$1/x$	logaritmo
$\sin x$	$\cos x$	seno
$\cos x$	$-\sin x$	cosseno
$\tan x$	$\sec^2 x$	tangente
$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$	arco-seno
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$	arco-tangente

Regras operatórias

"The Product Rule states: if $f$ and $g$ are differentiable functions, then $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.3

Derivada implícita e derivadas de ordem superior

Linearização e taxas relacionadas

Teorema fundamental de diferenciabilidade

"If $f$ is differentiable at $a$ , then $f$ is continuous at $a$ ." — Active Calculus, §1.7

Reconhecimento de padrão

Sinal no enunciado	Técnica
"Compute $f'(a)$ diretamente"	Regras + tabela
" $y = f(\text{composta})$ "	Cadeia
" $F(x, y) = 0$ , ache $y'$ "	Derivada implícita
" $f''$ , concavidade, inflexão"	Derivadas de ordem superior
"Derivada de $\arcsin$ , $\arctan$ , $\ln$ , $e^x$ , $a^x$ "	Tabela de inversas
"Aproxime $f(x)$ perto de $a$ "	Linearização
"Quão rápido $X$ muda com o tempo?"	Taxas relacionadas
" $f$ é diferenciável em $a$ ?"	Verificar continuidade + limite bilateral

Exemplos resolvidos

Example· Definição via limite — cálculo direto

Problema. Use a definição de derivada para calcular $f'(2)$ onde $f(x) = x^2 - 3x + 1$ .

Estratégia. Aplicar diretamente $f'(2) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}$ , expandir o numerador e cancelar o $h$ .

Resolução.

$f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 1 = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 1 = -1 + h + h^2$

$f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(-1 + h + h^2) - (-1)}{h} = \frac{h + h^2}{h} = 1 + h$

$f'(2) = \lim_{h \to 0}(1 + h) = 1$

Verificação. Por regras: $f'(x) = 2x - 3$ , logo $f'(2) = 4 - 3 = 1$ . Consistente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §1.3, Preview Activity 1.3.1 — CC-BY-NC-SA.

Example· Regra da cadeia com composição dupla

Problema. Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \sin^3(2x + 1)$ .

Estratégia. Identificar a estrutura de composição: $f = u^3$ onde $u = \sin(v)$ e $v = 2x+1$ . Aplicar cadeia duas vezes.

Resolução.

$f(x) = [\sin(2x+1)]^3$

Seja $u = \sin(2x+1)$ , então $f = u^3$ e $f' = 3u^2 \cdot u'$ .

Calculando $u'$ pela cadeia: $u' = \cos(2x+1) \cdot (2x+1)' = 2\cos(2x+1)$ .

Portanto:

$f'(x) = 3\sin^2(2x+1) \cdot 2\cos(2x+1) = 6\sin^2(2x+1)\cos(2x+1)$

Verificação. Em $x = 0$ : $f'(0) = 6\sin^2(1)\cos(1) \approx 6(0{,}708)(0{,}540) \approx 2{,}296$ . Confirmação numérica: $\dfrac{f(0{,}001) - f(0)}{0{,}001} \approx 2{,}296$ . Consistente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §2.5, Example 2.5.3 — CC-BY-NC-SA.

Example· Derivada implícita — tangente a uma curva

Problema. Encontre a equação da reta tangente à curva $x^3 + y^3 = 9$ no ponto $(1, 2)$ .

Estratégia. Diferenciar ambos os lados em relação a $x$ , tratando $y$ como função de $x$ , isolar $y'$ , avaliar em $(1, 2)$ e escrever a equação da reta.

Resolução.

Diferenciando $x^3 + y^3 = 9$ :

$3x^2 + 3y^2 \cdot y' = 0 \implies y' = -\frac{x^2}{y^2}$

Em $(1, 2)$ :

$y'\big|_{(1,2)} = -\frac{1}{4}$

Equação da tangente (ponto-inclinação):

$y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1) \implies y = -\frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Verificação. O ponto $(1, 2)$ pertence à curva: $1 + 8 = 9$ . A reta passa por $(1, 2)$ : $-\tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{4} = 2$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 — §3.8, Example 3.71 — CC-BY-NC-SA.

Example· Linearização — aproximação de raiz cúbica

Problema. Use a linearização de $f(x) = \sqrt[3]{x}$ em $a = 8$ para aproximar $\sqrt[3]{8{,}1}$ .

Estratégia. Calcular $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ e avaliar em $x = 8{,}1$ .

Resolução.

$f(x) = x^{1/3}$ , logo $f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-2/3}$ .

Em $a = 8$ :

$f(8) = 2, \qquad f'(8) = \frac{1}{3} \cdot 8^{-2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

$L(x) = 2 + \frac{1}{12}(x - 8) \implies \sqrt[3]{8{,}1} \approx L(8{,}1) = 2 + \frac{0{,}1}{12} \approx 2{,}00833$

Verificação. Valor exato: $8{,}1^{1/3} \approx 2{,}00832$ . Erro relativo $< 0{,}001\%$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 — §4.2, Example 4.11 — CC-BY-NC-SA.

Example· Taxa relacionada — balão esférico

Problema. O raio de um balão esférico aumenta à taxa de $3$ cm/s. Qual é a taxa de variação do volume quando o raio é $10$ cm?

Estratégia. Escrever $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ , derivar em relação a $t$ pela cadeia, substituir $r = 10$ e $\dfrac{dr}{dt} = 3$ .

Resolução.

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$

Substituindo $r = 10$ e $\dfrac{dr}{dt} = 3$ :

$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 \cdot 3 = 1200\pi \approx 3\,769{,}9 \text{ cm}^3/\text{s}$

Verificação. Unidades: $\text{cm}^2 \cdot \text{cm/s} = \text{cm}^3/\text{s}$ . Correto. O volume cresce muito rápido porque a área superficial $4\pi r^2 = 400\pi$ é grande.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §3.5, Example 3.5.1 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 3Modeling 6Challenge 4

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · cap. 1–3. Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.1–3.9, §4.1–4.2. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · cap. 2. CC-BY-NC.