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Lesson 61 — Maxima and Minima

Critical points, Fermat's Theorem, first and second derivative tests, and the absolute extrema algorithm on closed intervals.

Used in: 2nd year HS · Equiv. Math II/III Japanese · Equiv. Analysis/Kurvendiskussion German

f'(c) = 0 \;\Longrightarrow\; c \text{ candidato a extremo local}

Teorema de Fermat: se f tem extremo local em c (interior ao domínio) e é derivável em c, então $f'(c) = 0$ . Pontos onde $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe são chamados pontos críticos.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições, teoremas e algoritmos

Extremos locais e absolutos

"Se f tem um máximo ou mínimo local em c, então c é um ponto crítico de f." — Active Calculus §3.1

Teste da 2.ª derivada

"When the second derivative test is inconclusive, we resort to the first derivative test." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5

Teorema do Valor Extremo (Weierstrass)

Algoritmo dos extremos absolutos em [a, b]

Extremos locais ocorrem em pontos críticos (onde $f'=0$ ). Extremos absolutos podem ser extremos locais ou os endpoints $a$ e $b$ .

Exemplos resolvidos

Example· Pontos críticos de um polinômio cúbico

Problema. Encontre todos os pontos críticos de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ e classifique-os.

Estratégia. Derivar, zerar, e usar o teste da 2.ª derivada.

Resolução.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)

Pontos críticos: $x = 3$ e $x = -1$ .

Segunda derivada: $f''(x) = 6x - 6$ .

$f''(-1) = -12 < 0$ → máximo local em $x = -1$ , com $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ .
$f''(3) = 12 > 0$ → mínimo local em $x = 3$ , com $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ .

Verificação. Tabela de sinais de $f'$ : para $x < -1$ , $f' > 0$ (crescente). Para $-1 < x < 3$ , $f' < 0$ (decrescente). Para $x > 3$ , $f' > 0$ (crescente). Consistente com máximo em $-1$ e mínimo em $3$ .

Fonte. Active Calculus §3.1, Activity 3.1.2 · CC-BY-NC-SA

Example· Extremos absolutos em intervalo fechado

Problema. Determine os extremos absolutos de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ em $[0, 4]$ .

Estratégia. Algoritmo dos extremos absolutos: pontos críticos interiores + endpoints.

Resolução.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)

Pontos críticos em $(0,4)$ : $x = 1$ e $x = 3$ .

Avaliação:

$f(0) = 2$
$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$
$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$
$f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$

Máximo absoluto: $f = 6$ , atingido em $x = 1$ e $x = 4$ . Mínimo absoluto: $f = 2$ , atingido em $x = 0$ e $x = 3$ .

Verificação. Extremos em endpoints são válidos — o algoritmo inclui obrigatoriamente $a$ e $b$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.3, Example 4.13 · CC-BY-NC-SA

Example· Teste da 1.ª derivada com raiz quadrada

Problema. Encontre os extremos locais de $f(x) = x^{2/3}$ .

Estratégia. A derivada não existe em $x = 0$ ; isso cria um ponto crítico mesmo sem $f' = 0$ .

Resolução.

f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}

$f'(0)$ não existe (denominador zero), e $f(0) = 0$ existe → $x = 0$ é ponto crítico.

Tabela de sinais: para $x < 0$ , $x^{1/3} < 0$ , então $f' < 0$ . Para $x > 0$ , $f' > 0$ . Mudança $(-) \to (+)$ em $x = 0$ → mínimo local.

Verificação. $f(x) = x^{2/3} \geq 0$ para todo $x$ , e $f(0) = 0$ → mínimo absoluto também.

Fonte. Active Calculus §3.1, Exercise 3.1.3 · CC-BY-NC-SA

Example· Extremos de função trigonométrica em intervalo fechado

Problema. Determine os extremos absolutos de $f(x) = 2\sin x - x$ em $[0, 2\pi]$ .

Estratégia. Derivar, achar pontos críticos (raízes de cosseno), aplicar o algoritmo.

Resolução.

f'(x) = 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \tfrac{1}{2} \implies x = \tfrac{\pi}{3},\; x = \tfrac{5\pi}{3}

Avaliação nos pontos críticos e endpoints:

$f(0) = 0$
$f(\pi/3) = 2 \cdot (\sqrt{3}/2) - \pi/3 = \sqrt{3} - \pi/3 \approx 0{,}685$
$f(5\pi/3) = 2 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 5\pi/3 = -\sqrt{3} - 5\pi/3 \approx -6{,}97$
$f(2\pi) = 0 - 2\pi \approx -6{,}28$

Máximo absoluto: $f(\pi/3) = \sqrt{3} - \pi/3$ . Mínimo absoluto: $f(5\pi/3) = -\sqrt{3} - 5\pi/3$ .

Verificação. Sinal de $f'$ : positivo em $(0, \pi/3)$ , negativo em $(\pi/3, 5\pi/3)$ , positivo em $(5\pi/3, 2\pi)$ . Máximo e mínimo confirmados.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.3, Example 4.14 · CC-BY-NC-SA

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 7Modeling 3Challenge 3Proof 1

Ex. 61.1Understanding
Por que é necessário verificar os endpoints ao encontrar o mínimo absoluto de uma função contínua sobre $[a, b]$ ?
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Há sempre exatamente um extremo absoluto em qualquer intervaloOs endpoints não precisam ser verificados se a função é contínuaUm mínimo absoluto pode ocorrer num ponto crítico interior ou num endpointO mínimo absoluto só ocorre onde a derivada é zero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 91
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Pelo algoritmo de extremos absolutos em $[a,b]$ , devemos avaliar $f$ em todos os pontos críticos interiores E nos endpoints. O mínimo absoluto pode estar em qualquer um desses pontos — não apenas onde $f'=0$ .
Ex. 61.2Understanding
Examinando uma função sobre o intervalo aberto $(a, b)$ , com $a$ e $b$ finitos, é possível não ter máximo absoluto ou mínimo absoluto?
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Sim, sempre que a função for contínua no intervalo abertoNão, o Teorema do Valor Extremo garante extremos em qualquer intervalo contínuoSim — por exemplo $f(x)=x$ em $(0,1)$ não atinge máximo nem mínimo absoluto no domínioNão, basta que a função seja diferenciável
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 92
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O Teorema do Valor Extremo exige intervalo fechado e limitado. Em $(a,b)$ (aberto), uma função contínua pode não atingir os valores extremos. Exemplo: $f(x)=x$ em $(0,1)$ tem supremo 1 e ínfimo 0, mas nenhum dos dois é atingido.
Ex. 61.3Understanding
Ao verificar pontos críticos, por que também é necessário determinar os pontos onde $f'(x)$ não existe?
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Não, basta procurar onde $f'(x)=0$ Sim — onde $f'$ não existe, pode haver extremo local mesmo sem $f'(c)=0$ Pontos onde $f'$ não existe nunca são extremos locaisO Teorema de Fermat já cobre todos os casos possíveis
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 93
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Ao procurar pontos críticos devemos incluir pontos onde $f'(x)$ não existe, pois extremos locais podem ocorrer nesses pontos. Exemplo: $f(x)=|x|$ tem mínimo absoluto em $x=0$ , mas $f'(0)$ não existe.
Ex. 61.4UnderstandingAnswer key
É possível ter máximo absoluto finito para $y = ax^2 + bx + c$ em todo $(-\infty, \infty)$ ?
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Sim, se $a<0$ a parábola abre para baixo e tem máximo absoluto finitoNão, parábolas nunca têm máximo absolutoSim, apenas quando $a>0$ Não, qualquer parábola é ilimitada em ambas as direções
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 94
Show solution
Para $y = ax^2+bx+c$ sobre $(-\infty,\infty)$ : se $a < 0$ , a parábola abre para baixo e tem máximo absoluto em $x = -b/(2a)$ . Se $a > 0$ , não há máximo (função vai a $+\infty$ ).
Ex. 61.5Understanding
É possível ter máximo absoluto finito para $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ com $a\neq 0$ em todo $(-\infty, \infty)$ ?
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Sim, se $a>0$ o cúbico tem máximo e mínimo absolutos finitosNão, cúbicos com $a\neq 0$ vão a $\pm\infty$ e não têm extremo absoluto finitoSim, sempre que o discriminante for positivoDepende exclusivamente dos valores de $b$ e $c$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 95
Show solution
Para $y = ax^3+bx^2+cx+d$ com $a\neq 0$ , o termo cúbico domina no infinito. Se $a>0$ : $y\to+\infty$ quando $x\to+\infty$ e $y\to-\infty$ quando $x\to-\infty$ . Logo não há máximo nem mínimo absoluto finito em $(-\infty,\infty)$ .
Ex. 61.6Application
Encontre os pontos críticos de $y = \sin^2(x)$ no domínio real.
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$x = \pm 1/4$ $x = 0$ e $x = 1$ $x = k\pi/2$ para todo inteiro $k$ Não tem pontos críticos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 116
Show solution
$y' = 2\sin x\cos x = \sin(2x)$ . $\sin(2x)=0$ quando $2x = k\pi$ , ou seja, $x = k\pi/2$ para todo inteiro $k$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y = \sin^2 x \Rightarrow y' = 2\sin x\cos x$ .
2. Identidade: $2\sin x\cos x = \sin(2x)$ .
3. Resolva $\sin(2x)=0$ : $2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$ .
Ex. 61.7ApplicationAnswer key
Encontre os pontos críticos de $y = x^{3/2} - 3x^{5/2}$ no domínio natural.
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$x = 0$ e $x = 1/4$ $x = 1/5$ apenas $x = 0$ e $x = 1/5$ Não tem pontos críticos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 114
Show solution
$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{15}{2}x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2}(1-5x)$ . Zeros: $x^{1/2}=0 \Rightarrow x=0$ e $1-5x=0 \Rightarrow x=1/5$ . Domínio: $x\geq 0$ . Pontos críticos: $x=0$ e $x=1/5$ .
Ex. 61.8Application
Encontre os extremos locais e absolutos de $y = x^2 + 4x + 5$ em $(-\infty,\infty)$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $f(-2)=1$ ; sem máximo absolutomáximo absoluto $f(-2)=1$ ; mínimo absoluto $f(4)=37$ mínimo absoluto $f(-2)=1$ ; função cresce sem limitemínimo local em $x=0$ , valor $5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 129
Show solution
$y = x^2+4x+5$ . $y'=2x+4=0 \Rightarrow x=-2$ . Em $(-\infty,\infty)$ : $y''(-2)=2>0$ → mínimo local e absoluto. Valor: $y(-2)=4-8+5=1$ . Sem máximo absoluto pois $y\to+\infty$ quando $x\to\pm\infty$ .
Ex. 61.9ApplicationAnswer key
Classifique os extremos locais de $y = x^3 - 12x$ em $(-\infty,\infty)$ .
Select the correct option
máximo local em $x=2$ ; mínimo local em $x=-2$ máximo local em $x=-2$ , $f(-2)=16$ ; mínimo local em $x=2$ , $f(2)=-16$ mínimo local em $x=-2$ ; máximo local em $x=2$ sem extremos locais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 130
Show solution
$y'=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$ . Zeros: $x=\pm 2$ . Em $x=-2$ : $y''(-2)=-12<0$ → máximo local, $y(-2)=-8+24=16$ . Em $x=2$ : $y''(2)=12>0$ → mínimo local, $y(2)=8-24=-16$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive $y=x^3-12x$ : $y'=3x^2-12$ .
2. Resolva $3x^2-12=0 \Rightarrow x=\pm 2$ .
3. Aplique o 2.º teste: $y''=6x$ ; em $x=-2$ : $y''=-12<0$ (máximo); em $x=2$ : $y''=12>0$ (mínimo).
4. Avalie: $y(-2)=16$ , $y(2)=-16$ .
Ex. 61.10Application
Encontre os extremos locais de $y = (x - x^2)^2$ em $[-1, 1]$ .
Select the correct option
máximo absoluto $f(2)=4$ ; mínimo absoluto $f(3)=-2$ mínimo absoluto $f(2)=4$ ; sem máximo absolutomínimo absoluto em $x=0$ e $x=1$ ; máximo em $x=-1$ mínimo local em $x=0$ , $f(0)=0$ ; mínimo local em $x=1$ , $f(1)=0$ ; máximo local em $x=-1$ , $f(-1)=1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 120
Show solution
$y=(x-x^2)^2$ . $y'=2(x-x^2)(1-2x)$ . Zeros: $x=0$ , $x=1$ , $x=1/2$ . Avaliação: $y(0)=0$ , $y(1)=0$ , $y(1/2)=1/16$ (mínimo local entre os zeros). Em $[-1,1]$ : $y(-1)=(-1-1)^2=4$ (máximo absoluto).
Ex. 61.11Application
Determine os extremos absolutos de $y = \sqrt{9-x}$ em $[1, 9]$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $f(1)=8$ ; máximo absoluto $f(9)=0$ mínimo absoluto $f(9)=0$ ; máximo absoluto $f(1)=8$ mínimo absoluto $f(9)=0$ ; máximo absoluto $f(1)=8$ mínimo absoluto $f(1)=0$ ; máximo absoluto $f(9)=8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 122
Show solution
$y=\sqrt{9-x}$ em $[1,9]$ . $y'=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}<0$ para todo $x<9$ : função estritamente decrescente. Mínimo absoluto: $y(9)=0$ . Máximo absoluto: $y(1)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ .
Ex. 61.12Application
Determine os extremos absolutos de $y = x + \sin(x)$ em $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $2\pi$ mínimo absoluto $0$ em $x=0$ ; máximo absoluto $2\pi+1$ em $x=2\pi$ mínimo absoluto $-1$ ; máximo absoluto $2\pi$ mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 123
Show solution
$y=x+\sin x$ em $[0,2\pi]$ . $y'=1+\cos x\geq 0$ para todo $x$ , com igualdade apenas em $x=\pi$ . Função não-decrescente: mínimo em $x=0$ , $y(0)=0$ ; máximo em $x=2\pi$ , $y(2\pi)=2\pi+0=2\pi$ .
Ex. 61.13Application
Determine os extremos absolutos de $y = \dfrac{x}{1+x}$ em $[0, 100]$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $100/101$ mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $1$ mínimo absoluto $1/2$ ; máximo absoluto $1$ sem extremos locais; extremos apenas nos endpoints
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 124
Show solution
$y=\frac{x}{1+x}$ em $[0,100]$ . $y'=\frac{(1+x)-x}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}>0$ : função estritamente crescente, sem pontos críticos interiores. Mínimo absoluto: $y(0)=0$ . Máximo absoluto: $y(100)=100/101$ .
Ex. 61.14Application
Determine os extremos absolutos de $y = |x+1| + |x-1|$ em $[-3, 2]$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $0$ em $x=\pm1$ ; máximo absoluto $4$ em $x=-3$ mínimo absoluto $2$ ; máximo absoluto $4$ mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $2$ mínimo absoluto $2$ em $x=0$ ; máximo absoluto $4$ em $x=-3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 125
Show solution
$y=|x+1|+|x-1|$ em $[-3,2]$ . Para $x<-1$ : $y=-(x+1)-(x-1)=-2x$ . Para $-1\leq x\leq 1$ : $y=(x+1)-(x-1)=2$ . Para $x>1$ : $y=(x+1)+(x-1)=2x$ . Avaliação: $y(-3)=6$ , $y(-1)=2$ , $y(1)=2$ , $y(2)=4$ . Mínimo: $2$ em $[-1,1]$ . Máximo: $6$ em $x=-3$ .
Ex. 61.15Application
Determine os extremos absolutos de $y = x - x^3$ em $[0, 4]$ .
Select the correct option
mínimo absoluto $0$ em $x=0$ ; máximo absoluto $2\sqrt{2}/3$ em $x=1/3$ mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $1$ em $x=1$ mínimo absoluto $0$ ; máximo absoluto $3$ em $x=4$ sem extremos: função monotonamente crescente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 126
Show solution
$y=x-x^3$ em $[0,4]$ . $y'=1-3x^2=0 \Rightarrow x=1/\sqrt{3}$ . Avaliação: $y(0)=0$ , $y(1/\sqrt{3})=1/\sqrt{3}-1/(3\sqrt{3})=2/(3\sqrt{3})=2\sqrt{3}/9$ , $y(4)=4-64=-60$ . Mínimo absoluto: $-60$ em $x=4$ . Máximo absoluto: $2\sqrt{3}/9$ em $x=1/\sqrt{3}$ .
Ex. 61.16Application
Determine os extremos absolutos de $y = \sin x + \cos x$ em $[0, 2\pi]$ .
Select the correct option
máximo absoluto $\sqrt{2}$ em $x=\pi/4$ ; mínimo absoluto $-\sqrt{2}$ em $x=5\pi/4$ máximo $1$ ; mínimo $-1$ máximo $\sqrt{2}$ ; mínimo $0$ máximo $1$ em $x=\pi/2$ ; mínimo $-1$ em $x=3\pi/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 127
Show solution
$y=\sin x+\cos x$ em $[0,2\pi]$ . $y'=\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\pi/4,5\pi/4$ . Avaliação: $y(0)=1$ , $y(\pi/4)=\sqrt{2}$ , $y(5\pi/4)=-\sqrt{2}$ , $y(2\pi)=1$ . Máximo: $\sqrt{2}$ . Mínimo: $-\sqrt{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $y'=\cos x-\sin x$ .
2. Resolva $\cos x=\sin x \Rightarrow \tan x=1$ em $[0,2\pi]$ : $x=\pi/4$ e $x=5\pi/4$ .
3. Avalie em críticos e endpoints; compare os quatro valores.
Ex. 61.17Application
Determine os extremos absolutos de $f(x) = x^2 + 3$ em $[-1, 4]$ . (Resp: mín absoluto $4$ em $x=-1$ ; máx absoluto $19$ em $x=4$ .)
Select the correct option
mínimo absoluto em $x=-2$ , $f(-2)=1$ ; sem máximomínimo absoluto $f(-2)=1$ ; máximo absoluto em $x=2$ mínimo absoluto em $x=0$ ; máximo em $x=-2$ mínimo em $x=2$ ; máximo em $x=-2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 118
Show solution
$y = x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2+1$ . Em $(-\infty,\infty)$ : mínimo absoluto $f(-2)=1$ . Sem máximo absoluto (vai a $+\infty$ ).
Ex. 61.18Application
Determine os extremos absolutos de $y = x^2 + 2x$ em $[1, 4]$ .
Select the correct option
mín absoluto $3$ em $x=1$ ; máx absoluto $24$ em $x=4$ mín absoluto $3$ em $x=1$ ; máx absoluto $20$ em $x=4$ mín absoluto $0$ ; máx absoluto $24$ mín absoluto $3$ ; máx absoluto $12$ em $x=3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 119
Show solution
$y=x^2+2x$ em $[1,4]$ . $y'=2x+2=0 \Rightarrow x=-1$ (fora do intervalo). Função crescente em $[1,4]$ pois $y'>0$ aí. Avaliação: $y(1)=1+2=3$ , $y(4)=16+8=24$ . Mínimo absoluto: $3$ . Máximo absoluto: $24$ .
Ex. 61.19Application
Classifique os extremos locais de $y = x^3(1-x)^6$ em $(-\infty,\infty)$ .
Select the correct option
mínimo em $x=0$ ; máximo em $x=3/4$ mínimo local em $x=0$ e $x=1$ ; máximo local em $x=3/4$ , valor $3\sqrt{3}/16$ mínimo em $x=0$ ; máximo em $x=1$ sem extremos locais; apenas endpoints
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 132
Show solution
$y=x^3(1-x)^6$ . $y'=3x^2(1-x)^6 + x^3\cdot 6(1-x)^5(-1) = x^2(1-x)^5[3(1-x)-6x]=x^2(1-x)^5(3-9x)$ . Zeros: $x=0,\, x=1,\, x=1/3$ . Em $x=1/3$ : sinal de $y'$ muda de $+$ para $-$ → máximo local. $y(1/3)=(1/3)^3(2/3)^6=64/6561$ .
Ex. 61.20Application
Uma empresa tem custo $C = x^2 - 1200x + 36400$ (em dólares), onde $x$ é o número de celulares produzidos (em milhares). Quantas unidades (em milhares) minimizam este custo?
Select the correct option
600 mil unidades minimizam o custo1200 mil unidades minimizam o custo400 mil unidades minimizam o custo600 unidades (em milhares) minimizam o custo
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 140
Show solution
$C(x)=x^2-1200x+36400$ . $C'(x)=2x-1200=0 \Rightarrow x=600$ . $C''(x)=2>0$ → mínimo. Custo mínimo: $C(600)=360000-720000+36400=-323600$ ... corrigindo: custo mínimo em $x=600$ (mil unidades).
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $C'(x)=2x-1200$ .
2. Zere: $x=600$ (em milhares de unidades).
3. Confirme mínimo: $C''=2>0$ .
Ex. 61.21Modeling
Uma bola é lançada verticalmente e sua posição é $h(t) = -4{,}9t^2 + 60t + 5$ metros. Determine a altura máxima atingida e quando isso ocorre.
Select the correct option
$t \approx 4{,}08$ s; altura $\approx 178$ m $t \approx 6{,}12$ s; altura $\approx 183$ m $t \approx 6{,}12$ s; altura $\approx 188{,}67$ m $t = 5$ s; altura $= 180$ m
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 141
Show solution
$h(t)=-4{,}9t^2+60t+5$ . $h'(t)=-9{,}8t+60=0 \Rightarrow t=60/9{,}8\approx 6{,}12$ s. Altura máxima: $h(6{,}12)=-4{,}9(37{,}45)+60(6{,}12)+5\approx -183{,}5+367{,}2+5=188{,}67$ m.
Ex. 61.22Application
Dado $y = ax^2 + bx + c$ com $a > 0$ , determine o ponto crítico e classifique-o.
Select the correct option
mínimo absoluto em $x=-b/(2a)$ ; máximo absoluto nos endpointsmáximo absoluto em $x=-b/(2a)$ para todo $a$ crítico em $x=b/(2a)$ ; sempre é mínimosem ponto crítico quando $b=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 146
Show solution
Para $y=ax^2+bx+c$ com $a>0$ : $y'=2ax+b=0 \Rightarrow x=-b/(2a)$ . Como $y''=2a>0$ , é mínimo local (e absoluto em $(-\infty,\infty)$ ). Para intervalos fechados, compare também com os endpoints.
Ex. 61.23Application
Para $y = (x-1)^a$ com $a > 1$ inteiro, determine o ponto crítico e sua classificação.
Select the correct option
$x=4$ ; mínimo local em $x=1$ , $f(1)=0$ $x=1$ (único ponto crítico); é mínimo local quando $a>1$ $x=1$ é máximo local para qualquer inteiro $a>1$ sem pontos críticos para $a$ inteiro
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 147
Show solution
$y=(x-1)^a$ , $a>1$ inteiro. $y'=a(x-1)^{a-1}=0 \Rightarrow x=1$ . Se $a$ é par: $(x-1)^{a-1}$ muda de sinal em $x=1$ (de negativo para positivo) → mínimo local. Se $a$ é ímpar: sem mudança de sinal → ponto de inflexão.
Ex. 61.24Application
Para $f(x) = 3e^{-9x^2}$ , encontre os pontos críticos e classifique-os.
Select the correct option
ponto crítico em $x=0$ ; é mínimo localponto crítico em $x=0$ ; é máximo localponto crítico em $x=\pm 1/\sqrt{3}$ sem pontos críticos
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 1
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$f(x)=3e^{-9x^2}$ . $f'(x)=3\cdot(-18x)e^{-9x^2}=-54xe^{-9x^2}$ . Zero: $x=0$ . Para $x<0$ : $f'>0$ ; para $x>0$ : $f'<0$ . Mudança de $+$ para $-$ → máximo local (não mínimo). Valor: $f(0)=3$ .
Ex. 61.25ApplicationAnswer key
Para $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 9$ , determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
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$f$ é crescente em $(-\infty,-\sqrt{2})$ e $(-\sqrt{2},0)$ ; decrescente em $(0,\sqrt{2})$ e $(\sqrt{2},\infty)$ $f$ é crescente em $(-\sqrt{2},0)$ e $(\sqrt{2},\infty)$ ; decrescente em $(-\infty,-\sqrt{2})$ e $(0,\sqrt{2})$ $f$ é sempre crescente $f$ é decrescente em todo o domínio
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 6
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$f(x)=3x^4-6x^2+9$ . $f'(x)=12x^3-12x=12x(x^2-1)=12x(x-1)(x+1)$ . Pontos críticos: $x=-1,0,1$ . Tabela de sinais: $f'>0$ em $(-1,0)\cup(1,\infty)$ ; $f'<0$ em $(-\infty,-1)\cup(0,1)$ . Logo crescente em $(-1,0)\cup(1,\infty)$ .
Ex. 61.26Application
Use o teste da 2.ª derivada para encontrar extremos locais de $f(x) = x^2 + 7x - 14$ .
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mínimo local em $x=7/2$ , valor $-63/4$ máximo local em $x=-7/2$ , valor $63/4$ mínimo local em $x=-7/2$ ; máximo em $x=7/2$ sem extremos locais; ponto de inflexão em $x=-7/2$
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 7
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$f(x)=x^2+7x-14$ . $f'(x)=2x+7=0 \Rightarrow x=-7/2$ . $f''(x)=2>0$ → mínimo local em $x=-7/2$ . Valor: $f(-7/2)=49/4-49/2-14=49/4-98/4-56/4=-105/4$ .
Ex. 61.27Application
Encontre e classifique os pontos críticos de $f(x) = 7x^7(5-x)^6$ .
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pontos críticos em $x=5/13$ e $x=0$ ; $x=0$ é máximopontos críticos em $x=0$ e $x=5/13$ ; $x=0$ é máximo local, $x=5/13$ é mínimo localúnico ponto crítico em $x=5/13$ ; é máximo localpontos críticos em $x=0$ e $x=5/13$ ; ambos são mínimos
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 8
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$f(x)=7x^7(5-x)^6$ . $f'(x)=49x^6(5-x)^6+7x^7\cdot 6(5-x)^5(-1)=7x^6(5-x)^5[7(5-x)-6x]=7x^6(5-x)^5(35-13x)$ . Zeros: $x=0$ , $x=5$ , $x=35/13$ . Em $x=35/13$ : sinal de $f'$ muda de $+$ para $-$ → máximo local. Em $x=0$ e $x=5$ : sem mudança de sinal (potências pares) → sem extremos.
Ex. 61.28Understanding
Suponha que $g'(2) = 0$ e que $g'(x) > 0$ em $(1,2)$ e em $(2,3)$ . $g$ tem máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois em $x=2$ ?
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máximo local em $x=2$ , pois $g'(2)=0$ mínimo local em $x=2$ , pois $g'(2)=0$ nem máximo nem mínimo em $x=2$ — é ponto de inflexão pois $g'$ não muda de sinalinconclusivo sem conhecer $g''(2)$
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 10
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Se $g'(x) > 0$ tanto em $(1,2)$ quanto em $(2,3)$ , então a derivada não muda de sinal em torno de $x=2$ . Pelo 1.º teste, isso significa que $x=2$ não é nem máximo nem mínimo local — é um ponto de inflexão (ponto crítico sem extremo).
Ex. 61.29UnderstandingAnswer key
Suponha que $g'(x) = \dfrac{(x+4)(x-1)^2}{x-2}$ e que $g$ tem assíntota vertical em $x=2$ . Classifique o ponto crítico $x=-4$ .
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máximo local, porque $g'$ é positivo à esquerda de $x=-4$ mínimo local em $x=-4$ , porque $g'$ muda de sinal de negativo para positivoponto de inflexão em $x=-4$ sem extremo local: $g'(-4)=0$ é insuficiente
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 12
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$g'(x)=\frac{(x+4)(x-1)^2}{x-2}$ . Pontos críticos onde numerador é zero: $x=-4$ e $x=1$ . Em $x=-4$ : $(x-1)^2>0$ e $(x-2)<0$ (para $x$ próximo de $-4$ ). Sinal de $g'$ : para $x<-4$ , $(x+4)<0$ → $g'<0$ ; para $x>-4$ (próximo), $(x+4)>0$ → $g'>0$ . Mudança de $-$ para $+$ → mínimo local.
Ex. 61.30Application
Determine os extremos absolutos de $f(x) = x^2 + 3$ em $[-1, 4]$ .
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mínimo absoluto $f(4)=18$ ; máximo absoluto $f(-1)=-3$ mínimo absoluto $f(1)=2$ ; máximo absoluto $f(4)=18$ mínimo absoluto $f(1)=2$ ; máximo absoluto $f(-1)=0$ sem extremos absolutos no intervalo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 118
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$f(x)=x^2+3$ em $[-1,4]$ . $f'(x)=2x=0 \Rightarrow x=0$ . Avaliação: $f(-1)=1+3=4$ , $f(0)=3$ , $f(4)=16+3=19$ . Mínimo absoluto: $3$ em $x=0$ . Máximo absoluto: $19$ em $x=4$ .
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1. Derive: $f'(x)=2x$ .
2. Ponto crítico: $x=0$ , que pertence a $(-1,4)$ .
3. Avalie em $x=-1,0,4$ : valores $4,3,19$ .
4. Mínimo absoluto: $3$ . Máximo absoluto: $19$ .
Ex. 61.31Application
Determine os extremos absolutos de $y = x^2 + 2x$ em $[1, 4]$ .
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mín absoluto $f(1)=3$ ; máx absoluto $f(4)=24$ mín absoluto $f(0)=0$ ; máx absoluto $f(4)=24$ mín absoluto $f(-1)=0$ ; máx absoluto $f(4)=24$ mín absoluto $3$ ; máx absoluto $18$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 119
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$y=x^2+2x$ em $[1,4]$ . $y'=2x+2=0 \Rightarrow x=-1$ , fora do intervalo. Em $[1,4]$ : $y'>0$ , função crescente. Avaliação: $y(1)=1+2=3$ , $y(4)=16+8=24$ . Mínimo absoluto: $3$ . Máximo absoluto: $24$ .
Ex. 61.32ModelingAnswer key
A produção de ouro durante a corrida do ouro da Califórnia (1848–1888) é modelada por $G(t) = \dfrac{25t}{t^2+16}$ , onde $t$ é o número de anos após 1848. Encontre quando e quanto foi a produção máxima.
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Máximo de produção em $t=4$ (4 anos após 1848), 25 milhões de onçasMáximo de produção em $t=4$ , aproximadamente 3{,}125 milhões de onçasMáximo em $t=16$ , 25 milhões de onçasMáximo em $t=4$ , 50 milhões de onças
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 142
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$G(t)=\frac{25t}{t^2+16}$ . $G'(t)=\frac{25(t^2+16)-25t\cdot 2t}{(t^2+16)^2}=\frac{25(16-t^2)}{(t^2+16)^2}$ . Zero: $t=4$ . Máximo: $G(4)=\frac{100}{32}=3{,}125$ milhões de onças em $t=4$ (1852).
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1. Derive $G(t)=25t/(t^2+16)$ pela regra do quociente.
2. Numerador da derivada: $25(16-t^2)$ ; zero quando $t=4$ .
3. Para $t<4$ : $G'>0$ ; para $t>4$ : $G'<0$ → máximo local e absoluto em $t=4$ .
4. Calcule $G(4)=100/32=3{,}125$ .
Ex. 61.33ModelingAnswer key
Usando o modelo $G(t) = \dfrac{25t}{t^2+16}$ da produção de ouro californiano em $[0, 40]$ , encontre quando e quanto foi a produção mínima.
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Mínimo em $t=0$ , $G=0$ (início), e mínimo no final $t=40$ Mínimos absolutos em $t=0$ e $t=40$ ( $G=0$ e $G\approx 0{,}61$ )Mínimo em $t=4$ ; sem outros mínimosMínimo em $t=40$ , $G=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 143
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Com $G(t)=25t/(t^2+16)$ em $[0,40]$ : $G(0)=0$ e $G(40)=1000/1616\approx 0{,}619$ . O único ponto crítico interior é o máximo em $t=4$ . Os mínimos absolutos são nos endpoints: $G(0)=0$ (mínimo global) e $G(40)\approx 0{,}619$ .
Ex. 61.34ApplicationAnswer key
Encontre os extremos locais de $y = 3x^4 + 8x^3 - 18x^2$ .
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máximo local em $x=-2$ ; mínimo local em $x=0$ ; sem máximo em $x=4$ máximo local em $x=-2$ e $x=2$ ; mínimo local em $x=0$ máximo local em $x=-2$ ; máximo absoluto em $x=4$ ; mínimo local em $x=0$ mínimo local em $x=-2$ ; máximo em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 131
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$y=3x^4+8x^3-18x^2$ . $y'=12x^3+24x^2-36x=12x(x^2+2x-3)=12x(x+3)(x-1)$ . Zeros: $x=-3,0,1$ . Tabela de sinais: máximo local em $x=-3$ , mínimo local em $x=0$ e $x=1$ (verificar). Em $x=-3$ : $y''=36x^2+48x-36$ , $y''(-3)=324-144-36=144>0$ → mínimo local. Em $x=0$ : $y''(0)=-36<0$ → máximo local. Em $x=1$ : $y''(1)=36+48-36=48>0$ → mínimo local.
Ex. 61.35ApplicationAnswer key
Use o teste da 2.ª derivada para encontrar e classificar o extremo local de $f(x) = x^2 + 7x - 14$ .
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$x=2$ ; é mínimo local $x=2$ ; é máximo local $x=4$ ; é mínimo local porque $f''(4)=2>0$ $x=-7/2$ ; é mínimo local com valor $-105/4$
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Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 7
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Para $f(x) = x^2+7x-14$ : $f'(x)=2x+7=0 \Rightarrow x=-7/2$ . $f''(x)=2>0$ → mínimo local. Valor: $f(-7/2)=49/4-49/2-14=-105/4$ .
Ex. 61.36Application
Determine os extremos absolutos de $y = 4\sin\theta - 3\cos\theta$ em $[0, 2\pi]$ .
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$f(x)=4\sin\theta - 3\cos\theta$ ; máximo $5$ em $\theta = \arctan(4/3)$ ; mínimo $-5$ máximo $4$ ; mínimo $-3$ máximo $3$ ; mínimo $-4$ máximo $7$ ; mínimo $-7$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 128
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$y=4\sin\theta-3\cos\theta$ . $y'=4\cos\theta+3\sin\theta=0 \Rightarrow \tan\theta=-4/3$ . Em $[0,2\pi]$ : dois pontos críticos. O máximo de $a\sin\theta+b\cos\theta$ é $\sqrt{a^2+b^2}$ . Aqui: amplitude $=\sqrt{16+9}=5$ . Máximo absoluto: $5$ . Mínimo absoluto: $-5$ .
Ex. 61.37Challenge
Prove que $C(x) = x^2 - 1200x + 36400$ tem um único ponto crítico e que este é o mínimo global de $C$ .
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Mínimo absoluto $f(600)$ ; a função tem dois pontos críticosPonto crítico em $x=600$ ; como $C''=2>0$ e $C\to+\infty$ , é mínimo globalMáximo global em $x=600$ Sem ponto crítico interior; extremo no endpoint
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 140
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$C(x)=x^2-1200x+36400$ . $C'(x)=2x-1200=0 \Rightarrow x=600$ . $C''(x)=2>0$ → mínimo local. Como $C\to+\infty$ quando $x\to\pm\infty$ e há único ponto crítico, é mínimo global. Custo mínimo: $C(600)=360000-720000+36400=-323600$ ... corrigindo: $C(600)=600^2-1200(600)+36400=360000-720000+36400=-323600$ . Resultado negativo indica erro no problema original (custo em dólares deve ser positivo); mas o ponto de mínimo é $x=600$ .
Ex. 61.38Challenge
Mostre que $f(x) = x^4 - 4x + 6$ tem um único ponto crítico real e que este é o mínimo global da função.
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Ponto crítico em $x=1$ ; é máximo local pois $f''(1)<0$ Ponto crítico em $x=1$ ; como $f''(1)=12>0$ e $f\to+\infty$ , é mínimo globalDois pontos críticos em $x=\pm1$ ; ambos são mínimosPonto crítico em $x=1$ ; inconclusivo pelo 2.º teste
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 90
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$f(x)=x^4-4x+6$ . $f'(x)=4x^3-4=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1$ (único real). $f''(x)=12x^2$ ; $f''(1)=12>0$ → mínimo local. Como $f(x)\to+\infty$ quando $x\to\pm\infty$ e há único ponto crítico, é mínimo global. Valor: $f(1)=1-4+6=3$ .
Ex. 61.39ProofAnswer key
Use cálculo para demonstrar que a posição do vértice da parábola $y = ax^2 + bx + c$ é $x = -b/(2a)$ .
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A fórmula $h=-b/(2a)$ vem de completar o quadrado, não do cálculo $f'(x)=2ax+b=0 \Rightarrow x=-b/(2a)$ ; como $f''=2a\neq 0$ , é extremoA fórmula só vale quando $b=0$ $f'(x)=0$ tem solução $x=b/(2a)$ (sem o sinal negativo)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 90
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Dado $y=ax^2+bx+c$ : $y'=2ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{2a}$ . Se $a>0$ : $y''=2a>0$ → mínimo em $x=-b/(2a)$ . Se $a<0$ : máximo. Isso prova que o vértice da parábola é sempre em $h=-b/(2a)$ , justificando a fórmula do pré-cálculo via derivada.
Ex. 61.40Challenge
Determine os extremos absolutos de $G(t) = \dfrac{25t}{t^2+16}$ em $[0, 40]$ .
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Mínimo absoluto em $t=0$ , $G=0$ ; máximo absoluto em $t=4$ , $G=3{,}125$ Máximo absoluto em $t=4$ ; mínimos absolutos em $t=0$ e $t=40$ (endpoints)Mínimo absoluto em $t=10$ ; máximo em $t=4$ Máximo absoluto em $t=0$ ; mínimo em $t=4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.3 · ex. 144
Show solution
Com $G(t)=25t/(t^2+16)$ em $[0,40]$ : único ponto crítico interior em $t=4$ (máximo absoluto, $G(4)=3{,}125$ ). Nos endpoints: $G(0)=0$ e $G(40)=1000/1616\approx 0{,}619$ . Logo mínimo absoluto é $G(0)=0$ e máximo absoluto é $G(4)=3{,}125$ milhões de onças.
Show step-by-step (with the why)
1. Já encontramos $G'(t)=25(16-t^2)/(t^2+16)^2$ ; único zero interior em $t=4$ .
2. Avalie nos três candidatos: $G(0)=0$ , $G(4)=3{,}125$ , $G(40)\approx 0{,}619$ .
3. Máximo absoluto: $3{,}125$ em $t=4$ . Mínimo absoluto: $0$ em $t=0$ .

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-3-tests.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com