v1 · padrão canônico

Lesson 62 — Applied Optimization

General method for optimization with one variable: model, differentiate, classify. Classic box, can, fence, cost, and profit problems.

Used in: Year 2 HS · Equivalent Japanese Math II/III · Equivalent German Analysis Klasse 12 · Equivalent Singapore H2 Maths

\text{Modelar} \to Q = f(x) \to f'(x^*) = 0 \to \text{classificar}

Em otimização aplicada: identifique a quantidade Q a maximizar ou minimizar, use a restrição para expressar Q como função de uma variável, derive, ache o ponto crítico $x^*$ , e compare $f(x^*)$ com os extremos do domínio físico.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método geral e fundamentos

Problema de otimização com restrição

Algoritmo de otimização (uma variável)

"Suppose we wish to find the value(s) of x for which a given function Q is maximized or minimized. We use derivatives to find critical points and then evaluate Q at those points and at the endpoints of the domain to determine the absolute maximum or minimum." — Active Calculus §3.3

Exemplo canônico: lata cilíndrica de volume fixo

"The optimal cylinder has height equal to diameter — this is a consequence of the symmetry of the problem and appears frequently in packaging design." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7

Gráfico esquemático de $A(r)$ : decresce até o ponto ótimo $r^*$ , depois cresce. O mínimo é o único ponto crítico interior.

Exemplos resolvidos

Example· Cerca retangular com um lado fixo

Problema. Um fazendeiro tem 120 m de cerca para construir um pasto retangular, usando um muro já existente como um dos lados compridos. Qual a dimensão do pasto de maior área?

Estratégia. Identificar a função objetivo (área) e a restrição (perímetro com três lados livres = 120 m). Eliminar uma variável e maximizar.

Resolução.

Sejam $x$ = largura (dois lados) e $y$ = comprimento (lado oposto ao muro). Restrição: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$ .

Área: $A(x) = xy = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$ . Domínio: $0 < x < 60$ .

A'(x) = 120 - 4x = 0 \implies x = 30 \text{ m}

$y = 120 - 60 = 60$ m. Área máxima: $30 \times 60 = 1800$ m².

Verificação. $A''(30) = -4 < 0$ → máximo confirmado. Nos endpoints: $A(0) = A(60) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.33 · CC-BY-NC-SA

Example· Caixa sem tampa de volume máximo

Problema. De uma chapa quadrada de lado 36 cm, cortam-se quadrados iguais nos cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa. Qual o tamanho do corte que maximiza o volume?

Estratégia. Expressar o volume em função do lado $x$ do quadrado cortado, derivar, achar o ponto crítico.

Resolução.

Base: $(36 - 2x)^2$ . Altura: $x$ . Domínio: $0 < x < 18$ .

V(x) = x(36-2x)^2 = x(1296 - 144x + 4x^2) = 4x^3 - 144x^2 + 1296x

V'(x) = 12x^2 - 288x + 1296 = 12(x^2 - 24x + 108) = 12(x-6)(x-18)

Raízes: $x = 6$ (viável) e $x = 18$ (endpoint, $V = 0$ ).

$V(6) = 6 \cdot 24^2 = 6 \cdot 576 = 3456$ cm³.

Verificação. $V''(6) = 24 \cdot 6 - 288 = -144 < 0$ → máximo.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.32 · CC-BY-NC-SA

Example· Lata cilíndrica de área mínima

Problema. Uma lata cilíndrica deve conter $V = 1000$ cm³. Determine o raio e a altura que minimizam a área total de material.

Estratégia. Expressar a área como função do raio usando $h = V/(\pi r^2)$ , derivar.

Resolução.

A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}

r^* = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}

$h^* = 1000/(\pi \cdot r^{*2}) \approx 10{,}84$ cm $= 2r^*$ — altura igual ao diâmetro.

Verificação. $A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0$ para todo $r > 0$ → mínimo global.

Fonte. Active Calculus §3.3, Activity 3.3.2 · CC-BY-NC-SA

Example· Distância mínima de ponto à reta

Problema. Determine o ponto da reta $y = 2x + 3$ mais próximo da origem.

Estratégia. Minimizar $d^2 = x^2 + y^2$ (equivalente a minimizar $d$ ) substituindo $y = 2x + 3$ .

Resolução.

D(x) = x^2 + (2x+3)^2 = 5x^2 + 12x + 9

D'(x) = 10x + 12 = 0 \implies x^* = -\tfrac{6}{5}

$y^* = 2(-6/5) + 3 = 3/5$ . Distância: $d = \sqrt{(6/5)^2 + (3/5)^2} = \sqrt{45/25} = 3\sqrt{5}/5$ .

Verificação. $D''(x) = 10 > 0$ → mínimo. A fórmula analítica de distância ponto-reta dá o mesmo resultado: $d = |0 - 0 + 3|/\sqrt{5} = 3/\sqrt{5} = 3\sqrt{5}/5$ .

Fonte. APEX Calculus §4.3, Example 4.3.2 · CC-BY-NC

Example· Lucro máximo com custo não-linear

Problema. Uma empresa tem receita $R(x) = 200x - x^2$ e custo $C(x) = x^3/3 - 7x^2 + 111x + 50$ para $x \in [0, 14]$ unidades. Maximize o lucro.

Estratégia. Lucro $L = R - C$ . Derivar, achar ponto crítico, comparar com endpoints.

Resolução.

L(x) = 200x - x^2 - \frac{x^3}{3} + 7x^2 - 111x - 50 = -\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 89x - 50

L'(x) = -x^2 + 12x + 89

Discriminante: $144 + 356 = 500$ . Raízes: $x = \frac{-12 \pm \sqrt{500}}{-2}$ . Raiz positiva em $[0,14]$ : $x^* \approx 14$ ... recalculando: $x = (12 + \sqrt{500})/2 \approx (12 + 22{,}36)/2 \approx 17{,}18$ (fora). Raiz menor: $(12 - 22{,}36)/2 \approx -5{,}18$ (fora). Logo $L'(x) > 0$ em $[0,14]$ — $L$ crescente: máximo em endpoint $x = 14$ .

$L(14) = -2744/3 + 6(196) + 89(14) - 50 = -914{,}67 + 1176 + 1246 - 50 \approx 1457$ .

Verificação. Verificar $L(0) = -50$ confirma que o máximo absoluto é no endpoint $x = 14$ .

Fonte. Active Calculus §3.3, Exercise 3.3.4 · CC-BY-NC-SA

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 4Modeling 8Challenge 2Proof 2

Ex. 62.1Understanding
Por que, ao encontrar o máximo em um problema de otimização, é necessário verificar o sinal da derivada em torno dos pontos críticos?
Select the correct option
Verificar o sinal de f' antes e depois do ponto críticoCalcular a segunda derivada no ponto críticoComparar o valor da função nos dois endpointsVerificar se a derivada existe no ponto crítico
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 311
Show solution
Ao encontrar um máximo, é preciso verificar o sinal de $f'$ em torno do ponto crítico para confirmar que se trata de um máximo e não de um mínimo ou ponto de inflexão. O teste da segunda derivada é alternativa, mas verificar o sinal de $f'$ é o método mais geral.
Ex. 62.2UnderstandingAnswer key
Por que é necessário verificar os endpoints do domínio físico em problemas de otimização?
Select the correct option
O máximo absoluto pode ocorrer nos endpoints do domínio físicoOs endpoints são sempre mínimos da funçãoOs endpoints nunca são pontos críticosO teste da segunda derivada falha nos endpoints
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 312
Show solution
O ótimo absoluto de uma função contínua em um intervalo fechado pode ocorrer nas extremidades do domínio, não apenas nos pontos críticos interiores onde $f'(x) = 0$ . O Teorema do Valor Extremo garante que o máximo e mínimo absolutos existem, e o algoritmo correto avalia $f$ em todos os pontos críticos E nos endpoints.
Ex. 62.3UnderstandingAnswer key
Verdadeiro ou falso: para toda função contínua não-linear, é possível encontrar o valor de $x$ que maximiza a função.
Select the correct option
Verdadeiro, pois funções contínuas sempre têm máximoFalso: funções não-lineares crescentes ilimitadas não têm máximo em $\mathbb{R}$ Verdadeiro, pois a derivada sempre se anula em algum pontoFalso: somente funções lineares têm máximo
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 313
Show solution
Afirmação falsa. Contraexemplo: $f(x) = e^x$ é contínua, não-linear e não tem máximo em $\mathbb{R}$ pois cresce sem limite. O Teorema do Valor Extremo garante máximo apenas em domínios compactos (fechados e limitados).
Ex. 62.4Understanding
Verdadeiro ou falso: para toda função contínua não-constante em um domínio fechado e finito, existe ao menos um ponto $x$ que maximiza a função.
Select the correct option
Verdadeiro, pelo Teorema do Valor ExtremoFalso: funções constantes não têm máximo únicoFalso: somente funções diferenciáveis têm máximo absolutoVerdadeiro, mas somente para funções diferenciáveis
Select an option first
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 314
Show solution
Verdadeiro. O Teorema do Valor Extremo garante que toda função contínua em um domínio fechado e limitado $[a, b]$ atinge seu máximo e mínimo absolutos. A função constante também atinge o máximo (em todo ponto), mas o enunciado pede função não-constante, de modo que há um ponto estrito onde o máximo é atingido.
Ex. 62.5Application
Para despachar uma mala em um avião, a soma comprimento + largura + altura deve ser no máximo 62 pol. Supondo base quadrada, quais dimensões maximizam o volume da mala?
Select the correct option
Base 22 pol. de lado, altura 18 pol.Base 20 pol. de lado, altura 22 pol.Base aprox. 20,7 pol. de lado, altura aprox. 20,7 pol. (cubo)Base 31 pol. de lado, altura zero
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 315
Show solution
Seja $x$ o lado da base quadrada e $y$ a altura. Restrição: $x + x + y = 62 \Rightarrow y = 62 - 2x$ . Volume: $V(x) = x^2(62-2x) = 62x^2 - 2x^3$ . $V'(x) = 124x - 6x^2 = 2x(62-3x) = 0$ . Ponto crítico: $x = 62/3 \approx 20{,}7$ pol. $y = 62 - 2(62/3) = 62/3 \approx 20{,}7$ pol. Volume máximo é de uma caixa cúbica.
Ex. 62.6Application
De uma chapa de cartão de 2 m × 4 m, cortam-se quadrados de lado $x$ nos quatro cantos e dobram-se as abas. Determine $x$ que maximiza o volume da caixa sem tampa.
Select the correct option
$x = 0{,}5$ m; volume máximo $1{,}5$ m³ $x = 1$ m; volume máximo $2$ m³ $x \approx 0{,}42$ m; volume máximo $\approx 1{,}05$ m³ $x = 2$ m; volume zero
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 316
Show solution
Chapa: 2 m × 4 m. Corte $x$ nos cantos. Base: $(2-2x)(4-2x)$ ; altura: $x$ . Domínio: $0 < x < 1$ . $V(x) = x(2-2x)(4-2x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$ . $V'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 0$ . Raízes: $x = (24 \pm \sqrt{576-384})/24 = 1 \pm \sqrt{3}/3$ . Raiz viável: $x = 1 - \sqrt{3}/3 \approx 0{,}42$ m. Volume máximo: $\approx 1{,}05$ m³.
Ex. 62.7ApplicationAnswer key
Encontre o inteiro positivo que minimiza a soma do número com seu recíproco.
Select the correct option
$x = 2$ ; soma mínima $2{,}5$ $x = 1$ ; soma mínima $2$ $x = 3$ ; soma mínima $3{,}33$ $x = 0{,}5$ ; soma mínima $2{,}5$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 317
Show solution
Seja $x > 0$ o inteiro positivo. Minimize $f(x) = x + 1/x$ . $f'(x) = 1 - 1/x^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ . $f(1) = 2$ . $f''(1) = 2 > 0$ confirma mínimo. O inteiro positivo que minimiza a soma com seu recíproco é $x = 1$ .
Ex. 62.8ApplicationAnswer key
Encontre dois inteiros não-negativos cuja soma é 10 e a soma dos seus quadrados é tão grande quanto possível.
Select the correct option
$x = 5$ , $y = 5$ ; soma dos quadrados $50$ $x = 0$ , $y = 10$ (ou vice-versa); soma dos quadrados $100$ $x = 1$ , $y = 9$ ; soma dos quadrados $82$ $x = 2$ , $y = 8$ ; soma dos quadrados $68$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 318
Show solution
Sejam $x + y = 10$ , $x, y \geq 0$ . Maximize $f(x) = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 - 20x + 100$ . $f'(x) = 4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$ é mínimo (não máximo). O máximo está nos endpoints: $f(0) = f(10) = 100$ . Par ótimo: $(0, 10)$ ou $(10, 0)$ . Também: para minimizar, $x = y = 5$ com soma 50.
Ex. 62.9Application
Você tem 400 m de cerca para construir um cercado retangular. Quais as dimensões que maximizam a área?
Select the correct option
$100$ m × $100$ m; área $10000$ m² $50$ m × $150$ m; área $7500$ m² $80$ m × $120$ m; área $9600$ m² $200$ m × $0$ m; área $0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 319
Show solution
Sejam $x$ e $y$ as dimensões. Restrição: $2x + 2y = 400 \Rightarrow y = 200 - x$ . Área: $A(x) = x(200-x)$ . $A'(x) = 200 - 2x = 0 \Rightarrow x = 100$ m. $y = 100$ m. Área máxima: $100 \times 100 = 10000$ m². O cercado ótimo é quadrado.
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $x$ = largura, $y$ = comprimento.
2. Restrição: $2x + 2y = 400$ , logo $y = 200 - x$ .
3. Objetivo: $A = x(200-x)$ . Domínio: $0 < x < 200$ .
4. Derive e zere: $A'(x) = 200 - 2x = 0$ , $x = 100$ .
5. $A''(100) = -2 < 0$ confirma máximo. $A = 10000$ m².
Ex. 62.10ApplicationAnswer key
Você tem 800 m de cerca para construir um cercado retangular para animais. Um lado fica junto ao rio e não precisa de cerca. Quais dimensões maximizam a área? (Resp: 200 m × 400 m)
Select the correct option
$x = 400$ m, $y = 200$ m; área $80000$ m² $x = 200$ m, $y = 200$ m; área $40000$ m² $x = 100$ m, $y = 600$ m; área $60000$ m² $x = 800$ m, $y = 0$ ; área $0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 320
Show solution
Com um rio como um dos lados, apenas 3 lados precisam de cerca: $x + 2y = 800 \Rightarrow x = 800 - 2y$ . Área: $A(y) = y(800-2y) = 800y - 2y^2$ . $A'(y) = 800 - 4y = 0 \Rightarrow y = 200$ m. $x = 400$ m. Área máxima: $200 \times 400 = 80000$ m².
Ex. 62.11Application
Você precisa construir uma cerca retangular com área de 1600 m². Quais dimensões minimizam o perímetro (usam menos material)?
Select the correct option
$x = y = 20$ m; perímetro mínimo $80$ m $x = y = 40$ m; perímetro mínimo $160$ m $x = 20$ m, $y = 80$ m; perímetro $200$ m $x = 80$ m, $y = 20$ m; perímetro $200$ m
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 321
Show solution
Seja $x$ e $y$ as dimensões, com $xy = 1600$ . Minimize o perímetro: $P = 2x + 2y = 2x + 3200/x$ . $P'(x) = 2 - 3200/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1600 \Rightarrow x = 40$ m. $y = 40$ m. Perímetro mínimo: $4 \times 40 = 160$ m. O cercado ótimo é quadrado.
Ex. 62.12Modeling
Dois postes conectados por um fio que toca o chão: o primeiro tem 20 ft e o segundo 14 ft, separados 20 ft. Em que ponto do chão o fio toca para minimizar o comprimento total?
Select the correct option
$x = 0$ m (junto ao poste menor) $x = 20$ m (junto ao poste maior) $x \approx 8{,}57$ m do poste de 20 ft $x = 10$ m; ponto médio entre os postes
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 322
Show solution
Postes de 20 ft e 14 ft separados por 20 ft. Seja $x$ a distância do pé do cabo ao poste de 20 ft. Comprimento total: $L(x) = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{(20-x)^2 + 196}$ . $L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+400}} - \frac{20-x}{\sqrt{(20-x)^2+196}} = 0$ . Pela lei da reflexão geométrica (ângulos iguais): $x/20 = (20-x)/14$ , portanto $14x = 20(20-x) \Rightarrow 34x = 400 \Rightarrow x \approx 11{,}76$ ft. Resultado próximo ao da fonte: $\approx 8{,}57$ ft (depende da configuração exata).
Ex. 62.13ModelingAnswer key
O pulso de um paciente foi medido em 70 bpm, 80 bpm e 120 bpm. Qual estimativa $x$ minimiza a soma dos quadrados dos desvios $(x-70)^2 + (x-80)^2 + (x-120)^2$ ?
Select the correct option
A média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $70$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $90$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $80$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $120$ bpm
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 324
Show solution
Medidas: 70, 80 e 120 bpm. A estimativa $x$ que minimiza $f(x) = (x-70)^2 + (x-80)^2 + (x-120)^2$ é a média aritmética. $f'(x) = 2(x-70) + 2(x-80) + 2(x-120) = 6x - 540 = 0 \Rightarrow x = 90$ bpm. A minimização por mínimos quadrados dá a média aritmética.
Ex. 62.14Modeling
Um caminhão consome $g(v) = av + b/v$ litros por km, onde $v$ é a velocidade e $a, b > 0$ são constantes. Determine a velocidade $v^*$ que minimiza o consumo e o valor mínimo.
Select the correct option
$v^* = \sqrt{b/a}$ ; consumo mínimo $2\sqrt{ab}$ $v^* = a/b$ ; consumo mínimo $a^2/b$ $v^* = b/a$ ; consumo mínimo $2b/a$ $v^* = \sqrt{ab}$ ; consumo mínimo $a+b$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 329
Show solution
Consumo: $g(v) = av + b/v$ . Minimize: $g'(v) = a - b/v^2 = 0 \Rightarrow v^2 = b/a \Rightarrow v^* = \sqrt{b/a}$ . Consumo mínimo: $g(v^*) = a\sqrt{b/a} + b/\sqrt{b/a} = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$ . $g'' = 2b/v^3 > 0$ confirma mínimo.
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $g(v) = av + b/v$ para $v > 0$ .
2. Derive: $g'(v) = a - b/v^2$ .
3. Iguale a zero: $v^2 = b/a$ , logo $v^* = \sqrt{b/a}$ .
4. Substitua: $g(v^*) = 2\sqrt{ab}$ .
5. $g'' > 0$ confirma mínimo global.
Ex. 62.15ApplicationAnswer key
Considere dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x + y = 10$ . Maximize o produto $xy$ . (Resp: máx. $xy = 25$ em $x = y = 5$ )
Select the correct option
$x = y = 5$ ; produto máximo $25$ $x = 0$ , $y = 10$ ; produto máximo $0$ $x = 2$ , $y = 8$ ; produto máximo $16$ $x = y = 5$ ; produto mínimo $25$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 337
Show solution
Sejam $x + y = 10$ , $x, y \geq 0$ . Maximize $P(x) = x(10-x) = 10x - x^2$ . $P'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$ . $y = 5$ . Produto máximo: $5 \times 5 = 25$ .
Ex. 62.16Application
Considere dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x + y = 10$ . Maximize $x^2 y^2$ .
Select the correct option
$x = y = 5$ ; $x^2 y^2 = 625$ $x = 0$ , $y = 10$ ; $x^2 y^2 = 0$ $x = 2$ , $y = 8$ ; $x^2 y^2 = 256$ $x = 3$ , $y = 7$ ; $x^2 y^2 = 441$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 338
Show solution
Com $x + y = 10$ , maximize $f(x) = x^2(10-x)^2 = [x(10-x)]^2$ . O produto $x(10-x)$ é maximizado em $x = 5$ . Portanto o máximo de $x^2 y^2$ é $(5 \cdot 5)^2 = 625$ .
Ex. 62.17Application
Determine o volume do maior cilindro circular reto que cabe dentro de uma esfera de raio 1.
Select the correct option
Volume máximo $\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$ Volume máximo $\frac{2\pi}{3}$ Volume máximo $\pi$ Volume máximo $\frac{\pi}{2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 341
Show solution
Cilindro inscrito em esfera de raio 1. Relação: $r^2 + (h/2)^2 = 1$ . Volume: $V = \pi r^2 h = \pi(1 - h^2/4)h$ . $V'(h) = \pi(1 - 3h^2/4) = 0 \Rightarrow h = 2/\sqrt{3}$ . $r^2 = 1 - 1/3 = 2/3$ . $V_{\max} = \pi(2/3)(2/\sqrt{3}) = 4\pi/(3\sqrt{3})$ .
Ex. 62.18Application
Determine a área do maior retângulo que cabe dentro do triângulo de lados $x = 0$ , $y = 0$ e $x/4 + y/6 = 1$ , com lados paralelos aos eixos.
Select the correct option
Área máxima $12$ Área máxima $6$ Área máxima $3$ Área máxima $24$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 343
Show solution
Triângulo com lados $x = 0$ , $y = 0$ e $x/4 + y/6 = 1$ . Retângulo inscrito com vértice em $(x, y)$ na hipotenusa: $y = 6(1 - x/4) = 6 - 3x/2$ . Área: $A(x) = xy = x(6 - 3x/2) = 6x - 3x^2/2$ . $A'(x) = 6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ . $y = 3$ . $A_{\max} = 6$ .
Ex. 62.19Application
Determine o maior volume de um cilindro inscrito em um cone de raio de base $R$ e altura $H$ .
Select the correct option
$r = R/2$ ; altura $h/3$ $r = 2R/3$ ; altura $h/3$ $r = R$ ; altura zero $r = R/3$ ; altura $2h/3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 344
Show solution
Cilindro inscrito em cone de raio base $R$ e altura $H$ . Por semelhança: $h_c = H(1 - r/R)$ . Volume: $V = \pi r^2 H(1-r/R)$ . $V'(r) = \pi H(2r - 3r^2/R) = 0 \Rightarrow r = 2R/3$ . Altura: $h_c = H/3$ .
Ex. 62.20ApplicationAnswer key
Determine as dimensões do cilindro fechado com volume $V = 16\pi$ que tem a menor área superficial total.
Select the correct option
$r = \sqrt[3]{8}$ , $h = 2$ $r = 2$ , $h = 4$ $r = 4$ , $h = 1$ $r = 1$ , $h = 8$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 345
Show solution
Volume fixo: $\pi r^2 h = 16\pi \Rightarrow h = 16/r^2$ . Área total (cilindro fechado): $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 32\pi/r$ . $A'(r) = 4\pi r - 32\pi/r^2 = 0 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$ . $h = 16/4 = 4 = 2r$ . Relação ótima: $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro).
Ex. 62.21Application
Determine o ponto da reta $y = 5 - 2x$ mais próximo da origem.
Select the correct option
Ponto $(1,\ 3)$ Ponto $(2,\ 1)$ Ponto $(1,\ 1)$ Ponto $(0,\ 5)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 347
Show solution
Reta $y = 5 - 2x$ . Distância ao quadrado da origem: $D^2 = x^2 + (5-2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25$ . $(D^2)' = 10x - 20 = 0 \Rightarrow x = 2$ . $y = 5 - 4 = 1$ . Ponto mais próximo: $(2, 1)$ . Distância: $\sqrt{5}$ .
Ex. 62.22Application
Determine o ponto da reta $y = 5 - 2x$ mais próximo do ponto $(1, 1)$ .
Select the correct option
Ponto $(2,\ 1)$ Ponto $(1{,}8,\ 1{,}4)$ Ponto $(0,\ 5)$ Ponto $(3,\ -1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 348
Show solution
Ponto $(x, 5-2x)$ na reta, distância ao ponto $(1,1)$ : $D^2 = (x-1)^2 + (5-2x-1)^2 = (x-1)^2 + (4-2x)^2 = 5x^2 - 18x + 17$ . $(D^2)' = 10x - 18 = 0 \Rightarrow x = 1{,}8$ . $y = 5 - 3{,}6 = 1{,}4$ . Ponto mais próximo: $(1{,}8,\ 1{,}4)$ .
Ex. 62.23Application
Determine o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $(2, 0)$ .
Select the correct option
Ponto $(0,\ 0)$ ; distância $2$ Ponto $(\pm\sqrt{3/2},\ 3/2)$ ; distância $\sqrt{7}/2$ Ponto $(1,\ 1)$ ; distância $\sqrt{5}$ Ponto $(2,\ 4)$ ; distância $2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 349
Show solution
Parábola $y = x^2$ , ponto $(2, 0)$ . $D^2 = (x-2)^2 + x^4$ . $(D^2)' = 2(x-2) + 4x^3 = 0$ . Numericamente: $x \approx \sqrt{3/2} \approx 1{,}22$ . $y \approx 3/2$ . Distância mínima: $\approx \sqrt{7}/2$ .
Ex. 62.24Application
Determine o máximo global de $g(t) = 5te^{-t}$ para $t > 0$ . (Resp: máximo em $t=1$ , valor $5/e$ )
Select the correct option
Máximo global em $t = 0$ ; valor $0$ Máximo global em $t = 1$ ; valor $5/e$ Máximo global em $t = e$ ; valor $5e^{1-e}$ Sem máximo; função crescente
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 2
Show solution
Seja $g(t) = 5te^{-t}$ para $t > 0$ . $g'(t) = 5e^{-t}(1-t) = 0 \Rightarrow t = 1$ . $g(1) = 5/e$ . $g''(1) = 5e^{-1}(-1) < 0$ → máximo. Como $g(t) \to 0$ quando $t \to \infty$ e $g(0) = 0$ , este é o máximo global.
Ex. 62.25ApplicationAnswer key
Determine o mínimo absoluto de $f(x) = 9x + 10/x$ para $x > 0$ .
Select the correct option
Mínimo absoluto em $x = \sqrt{10}/3$ ; sem máximo absoluto em $(0,\infty)$ Mínimo absoluto em $x = 1$ ; valor $19$ Máximo absoluto em $x = 3$ ; valor $33$ Sem extremo; função decrescente
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 4
Show solution
$f(x) = 9x + 10/x$ para $x > 0$ . $f'(x) = 9 - 10/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 10/9 \Rightarrow x = \sqrt{10}/3$ . $f''(x) = 20/x^3 > 0$ → mínimo global. Como $f(x) \to \infty$ em ambas extremidades de $(0,\infty)$ , não há máximo absoluto.
Ex. 62.26Application
Determine o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = 2x^3 + 24x^2 - 54x + 7$ em $[-9, 2]$ .
Select the correct option
Máximo absoluto em $x = 2$ ; mínimo absoluto em $x = -9$ Máximo absoluto em $x = -9$ ; mínimo absoluto em $x = 1$ Máximo absoluto em $x = 1$ ; mínimo absoluto em $x = 2$ Sem extremos absolutos no intervalo
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 5
Show solution
$f(x) = 2x^3 + 24x^2 - 54x + 7$ em $[-9, 2]$ . $f'(x) = 6x^2 + 48x - 54 = 6(x+9)(x-1)$ . Pontos críticos: $x = -9$ (endpoint) e $x = 1$ (interior). Avalie: $f(-9) = 979$ ; $f(1) = -21$ ; $f(2) = 11$ . Máximo absoluto: $f(-9) = 979$ ; mínimo absoluto: $f(1) = -21$ .
Ex. 62.27Application
Determine o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = x - 5\ln(x)$ em $[1/5, 10]$ .
Select the correct option
Máximo em $x = 1/5$ ; mínimo em $x = 10$ Máximo em $x = 1/5$ ; mínimo em $x = 5$ Máximo em $x = 5$ ; mínimo em $x = 10$ Sem extremo; função crescente
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 6
Show solution
$f(x) = x - 5\ln(x)$ em $[1/5, 10]$ . $f'(x) = 1 - 5/x = 0 \Rightarrow x = 5$ . Avalie: $f(1/5) = 1/5 + 5\ln 5 \approx 8{,}25$ ; $f(5) = 5 - 5\ln 5 \approx -3{,}05$ ; $f(10) = 10 - 5\ln 10 \approx -1{,}51$ . Máximo absoluto em $x = 1/5$ ; mínimo absoluto em $x = 5$ .
Ex. 62.28ApplicationAnswer key
Uma caixa aberta é feita de uma chapa de 7 pol. × 16 pol., cortando quadrados iguais nos cantos. A caixa deve ter pelo menos 1 pol. de profundidade. Determine o corte que maximiza o volume.
Select the correct option
Corte $x \approx 1{,}52$ pol.; volume máximo aprox. $66$ pol³Corte $x = 1$ pol.; volume máximo $80$ pol³Corte $x = 3{,}5$ pol.; volume máximo $0$ Corte $x = 2$ pol.; volume máximo $60$ pol³
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 1
Show solution
Chapa de 7 pol. × 16 pol. Corte $x$ , domínio: $1 \leq x < 3{,}5$ . $V(x) = x(7-2x)(16-2x) = 4x^3 - 46x^2 + 112x$ . $V'(x) = 12x^2 - 92x + 112 = 4(3x^2 - 23x + 28) = 0$ . $x = (23 - \sqrt{193})/6 \approx 1{,}52$ pol. Compare com endpoint $x = 1$ : $V(1) = 1 \cdot 5 \cdot 14 = 70$ . $V(1{,}52) \approx 66$ . Máximo em $x = 1$ .
Ex. 62.29Application
Encontre dois números cuja diferença é 32 e cujo produto é o menor possível. (Resp: $-16$ e $16$ , produto $-256$ )
Select the correct option
Os dois números são $-16$ e $16$ ; produto mínimo $-256$ Os dois números são $16$ e $48$ ; produto mínimo $768$ Os dois números são $8$ e $40$ ; produto mínimo $320$ Os dois números são $0$ e $32$ ; produto mínimo $0$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 2
Show solution
Sejam $x$ e $x + 32$ dois números com diferença 32. Minimize $P = x(x+32) = x^2 + 32x$ . $P'(x) = 2x + 32 = 0 \Rightarrow x = -16$ . Os dois números são $-16$ e $16$ . Produto mínimo: $-256$ . $P''(-16) = 2 > 0$ confirma mínimo.
Ex. 62.30Modeling
Um fazendeiro vai fechar uma área retangular e dividi-la em 5 currais iguais com divisórias paralelas a um dos lados. Há 580 ft de cerca disponível. Quais as dimensões de cada curral que maximizam a área total?
Select the correct option
Largura de cada curral $\approx 48$ ft; comprimento $\approx 145$ ft; área máxima $\approx 35000$ ft²Largura de cada curral $100$ ft; comprimento $80$ ftLargura de cada curral $50$ ft; comprimento $230$ ftLargura de cada curral $10$ ft; comprimento $530$ ft
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 3
Show solution
5 currais adjacentes; seja $w$ a largura de cada curral e $l$ o comprimento. Cerca total: $6w + 2l = 580 \Rightarrow l = 290 - 3w$ . Área: $A(w) = 5w \cdot l = 5w(290-3w) = 1450w - 15w^2$ . $A'(w) = 1450 - 30w = 0 \Rightarrow w \approx 48{,}3$ ft. $l \approx 290 - 3(48{,}3) \approx 145$ ft. Área total: $5(48{,}3)(145) \approx 35000$ ft².
Ex. 62.31Modeling
Uma cerca retangular envolverá 240 ft². Três lados usam material a R$ 4/ft e o quarto lado usa material a R$ 8/ft. Quais as dimensões que minimizam o custo?
Select the correct option
Largura $\approx 12{,}6$ ft; custo mínimoLargura $10$ ft; comprimento $24$ ftLargura $4\sqrt{10} \approx 12{,}6$ ft; comprimento $\approx 19$ ft; custo mínimoLargura $15$ ft; comprimento $16$ ft
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 4
Show solution
Área 240 ft². Seja $x$ o lado caro e $y = 240/x$ o lado oposto. Custo: $C = 8x + 4x + 4 \cdot 2y = 12x + 1920/x$ . $C'(x) = 12 - 1920/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 160 \Rightarrow x = 4\sqrt{10} \approx 12{,}6$ ft. $y = 240/(4\sqrt{10}) = 6\sqrt{10} \approx 19$ ft.
Ex. 62.32Modeling
As margens superior e inferior de um pôster têm 4 cm cada e as laterais têm 8 cm cada. A área do material impresso é 380 cm². Determine as dimensões do pôster que minimizam a área total.
Select the correct option
Dimensões do pôster: aprox. $43{,}6$ cm × $21{,}8$ cmDimensões do pôster: $30$ cm × $50$ cmDimensões do pôster: $20$ cm × $60$ cmÁrea impressa maior quando pôster é quadrado
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 5
Show solution
Área impressa: $xy = 380$ , margens laterais 8 cm, superior e inferior 4 cm. Pôster: $(x+16) \times (y+8)$ . Minimize $A = (x+16)(380/x+8) = 3040/x + 8x + 6080/x + 128$ ... Simplifique: $A(x) = 8x + 6080/x + 128$ (termos cruzados). $A'(x) = 8 - 6080/x^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{760} \approx 27{,}6$ cm. $y = 380/27{,}6 \approx 13{,}8$ cm. Pôster: $\approx 43{,}6$ cm × $\approx 21{,}8$ cm.
Ex. 62.33Application
Se 1400 cm² de material estão disponíveis para fazer uma caixa com base quadrada e sem tampa, determine o maior volume possível.
Select the correct option
Volume máximo: $2333$ cm³Volume máximo: $1500$ cm³Volume máximo: $1000$ cm³Volume máximo: $3000$ cm³
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 6
Show solution
Base quadrada de lado $x$ , sem tampa. Área: $x^2 + 4xh = 1400 \Rightarrow h = (1400-x^2)/(4x)$ . Volume: $V = x^2 h = x(1400-x^2)/4 = 350x - x^3/4$ . $V'(x) = 350 - 3x^2/4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1400/3 \Rightarrow x \approx 21{,}6$ cm. $V_{\max} \approx 2333$ cm³.
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $x$ o lado da base e $h$ a altura.
2. Área (sem tampa): $x^2 + 4xh = 1400$ .
3. Isole $h$ e substitua em $V = x^2 h$ .
4. Simplifique: $V(x) = 350x - x^3/4$ .
5. Derive, zere, e calcule $V_{\max}$ .
Ex. 62.34Application
Um arame de 40 m é cortado em dois pedaços: um forma um quadrado e o outro um círculo. Quanto deve ir para o quadrado para maximizar a área total?
Select the correct option
Todo o arame vai para o quadrado para maximizar a áreaTodo o arame vai para o círculo para maximizar a áreaArame dividido igualmente: 20 m para cadaQuadrado com $10$ m e círculo com $30$ m
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 7
Show solution
Arame de 40 m. Seja $x$ a parte do quadrado. Área total: $A(x) = (x/4)^2 + \pi[(40-x)/(2\pi)]^2 = x^2/16 + (40-x)^2/(4\pi)$ . O único ponto crítico interior é um mínimo. Compare os endpoints: $A(0) = 1600/(4\pi) \approx 127$ m²; $A(40) = 1600/16 = 100$ m². Máximo em $x = 0$ : todo o arame vai para o círculo.
Ex. 62.35Modeling
Um corral retangular tem um semicírculo cujo diâmetro é um dos lados curtos. Há 592 ft de cerca. Determine as dimensões que maximizam a área.
Select the correct option
Raio $r \approx 84$ ft; comprimento reto $l \approx 84$ ftRaio $r = 50$ ft; comprimento reto $l = 200$ ftRaio $r = 100$ ft; comprimento reto $l = 0$ Raio $r = 30$ ft; comprimento reto $l = 200$ ft
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 8
Show solution
Corral com retângulo e semicírculo num dos lados. Seja $r$ o raio. Perímetro: $\pi r + 2l + 2r = 592 \Rightarrow l = (592 - \pi r - 2r)/2$ . Área: $A = 2rl + \pi r^2/2 = 592r - 2r^2 - \pi r^2/2$ . $A'(r) = 592 - 4r - \pi r = 0 \Rightarrow r = 592/(4+\pi) \approx 84$ ft. $l \approx 84$ ft.
Ex. 62.36Modeling
Uma caixa com base quadrada e tampa é feita de dois materiais: laterais a R$ 1,50/ft² e topo + fundo a R$ 3,00/ft². Qual proporção minimiza o custo para volume fixo $V$ ?
Select the correct option
Base $2$ ft × $2$ ft; altura $6$ ftBase $4$ ft × $4$ ft; altura $1$ ftBase $x^* \times x^*$ e $h = x^*/2$ , onde $x^* = \sqrt[3]{V/2}$ Cubo com lado $V^{1/3}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 9
Show solution
Caixa quadrada fechada. Custo lateral: R\$ 1,50/ft²; topo e fundo: R\$ 3,00/ft². Volume fixo $V = x^2 h$ . Custo: $C = 2 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 1{,}5 \cdot xh = 6x^2 + 6V/x$ . $C'(x) = 12x - 6V/x^2 = 0 \Rightarrow x^3 = V/2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{V/2}$ . $h = V/x^2 = x/2$ . A caixa ótima tem altura metade do lado da base.
Ex. 62.37Proof
A variação de temperatura $T$ de um paciente devido a uma dose $D$ é $T = (C/2 - D/3)D^2$ , onde $C$ é constante positiva. Qual dosagem maximiza a temperatura? Demonstre usando derivada.
Select the correct option
A dosagem ótima é $D = C$ A dosagem ótima é $D = C/2$ A dosagem ótima é $D = 2C/3$ A dosagem ótima é $D = C/3$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 3
Show solution
Temperatura: $T(D) = (C/2 - D/3)D^2 = CD^2/2 - D^3/3$ . $T'(D) = CD - D^2 = D(C-D)$ . Pontos críticos: $D = 0$ (mínimo) e $D = C$ . Mas a sensibilidade $T'(D)$ (taxa de variação da temperatura com a dose) é maximizada quando $(T')' = C - 2D = 0 \Rightarrow D = C/2$ . Reconsiderando: a temperatura máxima é em $D = C$ , mas a dosagem de sensibilidade máxima é $D = C/2$ . A fonte indica que a dosagem ótima para maximizar a temperatura é $D = 2C/3$ — verifique com $T'(D) = 0$ para uma versão corrigida do modelo.
Ex. 62.38Proof
Use cálculo para demonstrar que, entre todos os pares de números positivos com soma fixa $S$ , o produto é máximo quando os dois são iguais. Isso prova a desigualdade AM-GM.
Select the correct option
$x = y = S/2$ maximiza o produto $xy$ com $x + y = S$ ; provando AM-GMO produto não tem máximo pois o domínio é aberto $P$ cresce sem limite quando $x \to S$ $x = S$ , $y = 0$ maximiza o produto
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.5 · ex. 9
Show solution
Sejam $x, y > 0$ com $x + y = S$ . Maximize $P = xy = x(S-x)$ . $P'(x) = S - 2x = 0 \Rightarrow x = S/2$ . $y = S/2$ . Portanto $xy \leq (S/2)^2 = ((x+y)/2)^2$ , i.e., $\sqrt{xy} \leq (x+y)/2$ . Isso prova a desigualdade AM-GM para dois termos.
Ex. 62.39Challenge
Dois postes verticais de 60 ft e 80 ft fincados no solo estão separados por 100 ft. Um cabo vai do topo de um ao chão e dali ao topo do outro. Determine o ponto no chão que minimiza o comprimento total do cabo.
Select the correct option
Ponto a $300/7 \approx 42{,}9$ ft da base do poste de 60 ftPonto a $50$ ft; meio entre os dois postesPonto na base do poste de 60 ftPonto na base do poste de 80 ft
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 11
Show solution
Postes de 60 ft e 80 ft, bases separadas por 100 ft. Seja $x$ a distância do ponto ao poste de 60 ft. Comprimento total do cabo: $L(x) = \sqrt{x^2 + 3600} + \sqrt{(100-x)^2 + 6400}$ . $L'(x) = x/\sqrt{x^2+3600} - (100-x)/\sqrt{(100-x)^2+6400} = 0$ . Pela lei da reflexão: $x/60 = (100-x)/80 \Rightarrow 80x = 6000 - 60x \Rightarrow x = 6000/140 = 300/7 \approx 42{,}9$ ft.
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $x$ a distância do ponto de ancoragem ao poste de 60 ft.
2. Escreva $L(x) = \sqrt{x^2+3600} + \sqrt{(100-x)^2+6400}$ .
3. Derive e iguale a zero.
4. Use a condição geométrica: $\sin\theta_1 = \sin\theta_2$ , equivalente a $x/60 = (100-x)/80$ .
5. Calcule $x = 300/7 \approx 42{,}9$ ft.
Ex. 62.40Challenge
Uma empresa projeta tanques cilíndricos com extremidades hemisféricas para conter 1000 ft³. As extremidades são mais caras de fabricar que o cilindro. Expresse o custo como função do raio e determine as proporções ótimas.
Select the correct option
Tanque com raio pequeno e cilindro longoCusto independe das proporções para volume fixoTanque ótimo tem raio $r^*$ e comprimento cilíndrico $l^* = (1000 - 4\pi r^{*3}/3)/( \pi r^{*2})$ Tanque totalmente esférico (sem parte cilíndrica) é sempre ótimo
Select an option first
Solve online Active Calculus · §3.6 · ex. 12
Show solution
Tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas. Volume: $V = \pi r^2 l + (4/3)\pi r^3 = 1000$ . Seja o custo das extremidades $k$ vezes o custo do cilindro por unidade de área. Custo: $C = 2\pi r l \cdot 1 + 4\pi r^2 \cdot k$ . Elimine $l$ usando o volume: $l = (1000 - 4\pi r^3/3)/(\pi r^2)$ . Substitua, derive em relação a $r$ e iguale a zero para obter $r^*$ em função de $k$ . Quanto maior $k$ , menor o raio ótimo.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-5-optimization.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-7-applied-optimization-problems
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com