v1 · padrão canônico

Lesson 63 — Curve Sketching

Complete pipeline for graphical analysis via calculus: domain, intercepts, symmetries, asymptotes, monotonicity (f'), concavity (f''), inflection points, and final sketch.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês (Kurvendiskussion) · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã

\text{Dom} \to \text{Assínt.} \to f' \to f'' \to \text{Esboço}

O esboço de gráficos via cálculo é um pipeline sistemático: determinar domínio e interceptos, identificar assíntotas, estudar o sinal de $f'$ (crescimento/extremos) e de $f''$ (concavidade/inflexões), e só então desenhar — respeitando todas as informações coletadas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Pipeline de análise gráfica

Os oito passos formais

Definition· Pipeline de esboço via cálculo

Domínio $D \subseteq \mathbb{R}$ : onde $f$ está definida. Identifique zeros do denominador, radicandos negativos, logaritmos de não-positivos.
Interceptos: $f(0)$ (intercepto vertical); raízes de $f(x) = 0$ (interceptos horizontais, quando acessíveis).
Simetrias: $f(-x) = f(x)$ → par (gráfico simétrico em relação ao eixo $y$ ); $f(-x) = -f(x)$ → ímpar (simétrico em relação à origem); periodicidade.
Assíntotas:
- Vertical em $x = a$ : $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$ .
- Horizontal $y = L$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ .
- Oblíqua $y = mx + b$ : $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x$ e $b = \lim_{x \to \infty}(f(x) - mx)$ .
Primeira derivada $f'$ : encontre pontos críticos. Tabela de sinais → intervalos de crescimento ( $f' > 0$ ) e decrescimento ( $f' < 0$ ), extremos locais.
Segunda derivada $f''$ : encontre pontos candidatos a inflexão ( $f'' = 0$ ou inexistente). Tabela de sinais → concavidade para cima ( $f'' > 0$ ) ou para baixo ( $f'' < 0$ ).
Ponto de inflexão: ponto $c$ onde $f''$ muda de sinal (a concavidade troca).
Esboço: marque interceptos, assíntotas (linhas tracejadas), extremos e inflexões; desenhe a curva respeitando crescimento e concavidade em cada intervalo.

"If f'(x) > 0 on an interval, then f is increasing on that interval. If f''(x) > 0, then f is concave up. These two pieces of information, combined with critical and inflection points, give a complete picture of the graph." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5

Tabela de comportamento combinado

$f'$	$f''$	Comportamento
$> 0$	$> 0$	crescente, côncava para cima
$> 0$	$< 0$	crescente, côncava para baixo
$< 0$	$> 0$	decrescente, côncava para cima
$< 0$	$< 0$	decrescente, côncava para baixo

Definição de concavidade e inflexão

Curva típica: máximo local, dois pontos de inflexão (mudança de concavidade), mínimo local. Pontos de inflexão ocorrem onde a curvatura troca de direção.

Exemplos resolvidos

Example· Esboço completo de polinômio cúbico

Problema. Faça o esboço completo de $f(x) = x^3 - 3x$ .

Estratégia. Aplicar os 8 passos do pipeline.

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R}$ .
Interceptos: $f(0) = 0$ . Raízes: $x(x^2-3) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt{3}$ .
Simetria: $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ → ímpar.
Assíntotas: nenhuma (polinômio).
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . Pontos críticos: $x = \pm 1$ . Crescente em $(-\infty,-1)$ e $(1,\infty)$ ; decrescente em $(-1,1)$ . Máx local $f(-1) = 2$ ; mín local $f(1) = -2$ .
$f''(x) = 6x$ . Zero em $x = 0$ . Côncava para baixo em $x < 0$ ; para cima em $x > 0$ .
Inflexão: $x = 0$ (mudança de sinal de $f''$ ). Ponto: $(0, 0)$ .
Esboço: curva em "S" passando pela origem, máximo em $(-1, 2)$ , mínimo em $(1, -2)$ .

Verificação. Pela simetria ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem — os valores conferem.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5, Example 4.20 · CC-BY-NC-SA

Example· Função racional com assíntota horizontal

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ .

Estratégia. Identificar assíntotas, usar $f'$ e $f''$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R}$ (denominador nunca nulo).
Intercepto: $f(0) = 0$ . Única raiz: $x = 0$ .
Simetria: $f(-x) = f(x)$ → par.
Assíntota horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} x^2/(x^2+1) = 1$ . Reta $y = 1$ .
$f'(x) = 2x/(x^2+1)^2$ . Positivo para $x > 0$ , negativo para $x < 0$ . Mínimo local em $x = 0$ (por sinal: $f'$ muda de $-$ para $+$ ).
$f''(x) = (2(x^2+1)^2 - 2x \cdot 2(x^2+1)\cdot 2x)/(x^2+1)^4 = 2(1-3x^2)/(x^2+1)^3$ . Zero: $x = \pm 1/\sqrt{3}$ .
Inflexões em $x = \pm 1/\sqrt{3}$ . $f'' > 0$ em $|x| < 1/\sqrt{3}$ ; $f'' < 0$ em $|x| > 1/\sqrt{3}$ .
Curva simétrica, parte de 0, cresce assintoticamente para 1.

Verificação. $0 \leq f(x) < 1$ para todo $x$ — consistente com assíntota horizontal em 1.

Fonte. APEX Calculus §3.5, Example 3.5.2 · CC-BY-NC

Example· Função com assíntota vertical e horizontal

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{2x}{x - 1}$ .

Estratégia. Identificar assíntota vertical ( $x = 1$ ) e horizontal, depois analisar $f'$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Interceptos: $f(0) = 0$ ; raiz: $x = 0$ .
Assíntota vertical: $x = 1$ ( $f \to \pm\infty$ ).
Assíntota horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} 2x/(x-1) = 2$ . Reta $y = 2$ .
$f'(x) = (2(x-1) - 2x)/(x-1)^2 = -2/(x-1)^2 < 0$ para todo $x \neq 1$ . Função estritamente decrescente em cada ramo.
$f''(x) = 4/(x-1)^3$ . Positivo para $x > 1$ (côncava para cima); negativo para $x < 1$ (côncava para baixo).
Sem inflexões (denominador nunca nulo fora de $x = 1$ ).
Dois ramos: $x < 1$ (decrescente, côncava para baixo) e $x > 1$ (decrescente, côncava para cima).

Verificação. $f$ nunca cruza a assíntota $y = 2$ (verificar: $2x/(x-1) = 2 \Rightarrow 2x = 2x - 2$ , impossível).

Fonte. Active Calculus §3.2, Activity 3.2.3 · CC-BY-NC-SA

Example· Ponto de inflexão e concavidade

Problema. Determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade de $f(x) = x^4 - 6x^2$ .

Estratégia. Calcular $f''$ , encontrar zeros, verificar mudança de sinal.

Resolução.

f'(x) = 4x^3 - 12x, quad f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)

Zeros de $f''$ : $x = \pm 1$ .

$x < -1$ : $f'' > 0$ → côncava para cima.
$-1 < x < 1$ : $f'' < 0$ → côncava para baixo.
$x > 1$ : $f'' > 0$ → côncava para cima.

Inflexões em $x = -1$ e $x = 1$ : $f(-1) = 1 - 6 = -5$ , $f(1) = -5$ .

Verificação. Teste de mudança de sinal de $f''$ confirmado. Nota: $f(x) = x^4 - 6x^2$ tem $f''(0) = -12 < 0$ e $f''(2) = 36 > 0$ , consistente.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5, Example 4.22 · CC-BY-NC-SA

Example· Função racional com assíntota oblíqua

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ .

Estratégia. Divisão polinomial para obter assíntota oblíqua; analisar $f'$ e $f''$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Interceptos: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0$ — sem raízes reais. Sem intercepto em $x = 0$ (fora do domínio).
Simetria: $f(-x) = (-x^2 - 1)/(-x) = (x^2+1)/x = f(x)$ ... aguarde: $f(-x) = (x^2+1)/(-x) = -f(x)$ → ímpar.
Assíntota vertical: $x = 0$ . Divisão: $f(x) = x + 1/x$ → assíntota oblíqua $y = x$ .
$f'(x) = 1 - 1/x^2$ . Zero: $x = \pm 1$ . Mínimo local em $x = 1$ (valor 2); máximo local em $x = -1$ (valor −2).
$f''(x) = 2/x^3$ . Positivo para $x > 0$ , negativo para $x < 0$ . Sem inflexões (descontinuidade em 0).
Esboço: dois ramos hiperbólicos, cada um aproximando-se de $y = x$ e de $x = 0$ .

Verificação. $f(x) - x = 1/x \to 0$ quando $x \to \pm\infty$ — assíntota oblíqua confirmada.

Fonte. APEX Calculus §3.5, Example 3.5.4 · CC-BY-NC

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 8Challenge 2Proof 1

Ex. 63.1Understanding
Para a função $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é simultaneamente ponto de inflexão e extremo local (máximo ou mínimo)?
Select the correct option
Sim, pois $f''(0)=0$ e $f'(0)=0$ simultaneamenteNão — em $x=0$ , $f'$ não muda de sinal, portanto não há extremo localSim, pois $f(0)=0$ é mínimo globalSim, pois $f''(0)=0$ indica ponto de inflexão e extremo ao mesmo tempo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
Show solution
Para $y = x^3$ , temos $f'(x) = 3x^2$ . Em $x = 0$ : $f'(0) = 0$ , mas $f'$ não muda de sinal (positivo dos dois lados). Logo não há extremo local. Já $f''(x) = 6x$ muda de sinal em $x = 0$ , confirmando ponto de inflexão. Resposta: $x = 0$ é inflexão, mas não extremo local.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 3x^2$ . Zero em $x = 0$ .
2. Tabela de sinais de $f'$ : positivo para $x < 0$ e para $x > 0$ . Sem mudança de sinal — sem extremo.
3. Calcule $f''(x) = 6x$ . Muda de sinal em $x = 0$ : ponto de inflexão.
4. Conclusão: $x = 0$ é inflexão, não extremo.
Ex. 63.2Understanding
Para a função $y = x^3$ , o ponto $x = 0$ é ponto de inflexão?
Select the correct option
Sim, pois $f''(0) = 0$ Sim, e $f'(0) = 0$ confirma a inflexãoSim — $f''$ muda de sinal em $x=0$ , portanto $x=0$ é ponto de inflexãoNão — $f''(0) = 0$ é necessário mas $f''$ não muda de sinal em $x=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 196
Show solution
Para $y = x^3$ : $f''(x) = 6x$ . Para $x < 0$ , $f'' < 0$ (côncava para baixo); para $x > 0$ , $f'' > 0$ (côncava para cima). Há mudança de sinal em $x = 0$ , portanto $x = 0$ é ponto de inflexão. Resposta: Sim.
Ex. 63.3Understanding
É possível que um ponto $c$ seja simultaneamente ponto de inflexão e extremo local de uma função duas vezes diferenciável?
Select the correct option
Não — inflexão exige $f''(c) = 0$ , e num extremo local $f'(c) = 0$ , o que contradiz inflexãoNão — uma função duas vezes diferenciável nunca pode ter inflexão e extremo no mesmo pontoSim — basta que $f'(c) = 0$ e $f''$ mude de sinal em $c$ ; o exemplo $f(x) = x^3$ com $c=0$ mostra que não é possível, mas outros casos podem ocorrerNão — se $f$ é duas vezes diferenciável e $c$ é extremo local, então $f''(c) \geq 0$ (mín) ou $f''(c) \leq 0$ (máx), impedindo mudança de sinal
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 197
Show solution
Se $c$ é extremo local de uma função duas vezes diferenciável, o Teste da 2ª Derivada indica que $f''(c) > 0$ (mínimo) ou $f''(c) < 0$ (máximo) — em ambos os casos $f''$ mantém sinal em torno de $c$ , sem mudança. Logo não pode ser inflexão simultaneamente. (Quando $f''(c) = 0$ , o teste é inconclusivo e pode haver inflexão, mas aí não temos extremo garantido.)
Ex. 63.4UnderstandingAnswer key
Uma função côncava para baixo é obrigada a cruzar $y = 0$ para algum valor de $x$ ?
Select the correct option
Sim — toda função côncava para baixo cruza $y=0$ pelo menos uma vezNão — uma função côncava para baixo pode permanecer inteiramente abaixo ou acima de $y=0$ Sim — côncava para baixo implica decrescente, e toda função decrescente cruza $y=0$ Não — côncava para baixo implica que a função é limitada, logo cruza $y=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 199
Show solution
Contra-exemplo: $f(x) = -x^2 - 1$ . Tem $f''(x) = -2 < 0$ (côncava para baixo), mas $f(x) leq -1 < 0$ para todo $x$ — nunca cruza $y = 0$ . Outro exemplo: $f(x) = -x^2 + 10$ cruza, mas não é obrigatório. Concavidade não implica cruzamento do eixo.
Ex. 63.5Understanding
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Select the correct option
Sim — todo polinômio de grau 2 tem $f''=0$ em algum pontoSim — o vértice de uma parábola é ponto de inflexãoNão — $f''$ é constante para qualquer polinômio de grau 2; sem mudança de sinal, não há inflexãoDepende do coeficiente do termo quadrático
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Show solution
Para $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a \neq 0$ : $f''(x) = 2a$ , constante. Não há ponto onde $f''$ mude de sinal — logo nenhum ponto de inflexão. O vértice é extremo, não inflexão.
Ex. 63.6Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Select the correct option
côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ ; côncava para baixo em $(4/3, \infty)$ ; PI em $x = 4/3$ côncava para baixo em $(-\infty, 0)$ ; côncava para cima em $(0, \infty)$ ; PI em $x=0$ côncava para cima em toda a reta; sem PIPI em $x = 4/3$ e $x = 1$ ; côncava para cima entre eles
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 1$ , $f''(x) = 6x - 8$ . Zero: $x = 8/6 = 4/3$ . Para $x < 4/3$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 4/3$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Mudança de sinal confirma PI em $x = 4/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive duas vezes: $f'(x) = 3x^2 - 8x + 1$ , $f''(x) = 6x - 8$ .
2. Zero de $f''$ : $6x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4/3$ .
3. Teste: $f''(0) = -8 < 0$ (côncava para baixo); $f''(2) = 4 > 0$ (côncava para cima).
4. Mudança de sinal: PI em $x = 4/3$ , $f(4/3) = (4/3)^3 - 4(4/3)^2 + (4/3) + 2$ .
Ex. 63.7Application
Determine intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = x^2 - 6x$ .
Select the correct option
côncava para cima em toda a reta; mínimo em $x=3$ ; sem PIcôncava para baixo em toda a reta; máximo em $x=3$ PI em $x=3$ ; sem extremoscôncava para cima em $(0,\infty)$ ; PI em $x=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 224
Show solution
$f'(x) = 2x - 6$ . Zero: $x = 3$ . Decrescente em $(-\infty,3)$ ; crescente em $(3,\infty)$ . Mínimo em $(3, -9)$ . $f''(x) = 2 > 0$ — côncava para cima em todo domínio. Sem PI.
Ex. 63.8ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 6x^2$ .
Select the correct option
PI em $x=2$ ; côncava para baixo em $(-\infty,2)$ ; côncava para cima em $(2,\infty)$ PI em $x=2$ ; côncava para cima em $(-\infty,2)$ ; côncava para baixo em $(2,\infty)$ sem PI; côncava para baixo em toda a retaPI em $x=4$ ; côncava para baixo em $(-\infty,4)$ ; côncava para cima em $(4,\infty)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 12x$ , $f''(x) = 6x - 12$ . Zero: $x = 2$ . Côncava para baixo em $(-\infty,2)$ e côncava para cima em $(2,\infty)$ . PI em $x = 2$ : $f(2) = 8 - 24 = -16$ . (Resp: PI em $x = 2$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 3x^2 - 12x$ , $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$ .
2. Zero: $x = 2$ . Teste: $f''(0) = -12 < 0$ ; $f''(3) = 6 > 0$ .
3. Mudança de sinal: PI em $x = 2$ . Ponto: $(2, -16)$ .
4. Extremos: $f'(x) = 3x(x-4)$ ; zeros em $x=0$ (máx local) e $x=4$ (mín local).
Ex. 63.9ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^4 - 6x^3$ .
Select the correct option
PI em $x=0$ e $x=3$ PI em $x=3/2$ ; côncava para cima em $(0, 3/2)$ ; côncava para baixo em $(3/2, \infty)$ PI em $x=3$ ; côncava para baixo em $(-\infty,3)$ ; côncava para cima em $(3,\infty)$ sem PI; côncava para cima em toda a reta
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 226
Show solution
$f'(x) = 4x^3 - 18x^2$ , $f''(x) = 12x^2 - 36x = 12x(x-3)$ . Zeros: $x = 0$ e $x = 3$ . Tabela de sinais: $f'' > 0$ em $(-\infty,0)$ , $f'' < 0$ em $(0,3)$ , $f'' > 0$ em $(3,\infty)$ . PIs em $x=0$ e $x=3$ . (Resp: PIs em $x=0$ e $x=3$ )
Ex. 63.10Application
Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = x + x^2 - x^3$ .
Select the correct option
PI apenas em $x=0$ ; côncava para baixo em toda a retaPI em $x=1/3$ e $x=1$ PI em $x=1/3$ ; côncava para cima em $(-\infty,1/3)$ ; côncava para baixo em $(1/3,\infty)$ PI em $x=0$ e $x=1/3$ ; côncava para baixo em $(0, 1/3)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 228
Show solution
$f(x) = x + x^2 - x^3$ . $f'(x) = 1 + 2x - 3x^2$ , $f''(x) = 2 - 6x$ . Zero: $x = 1/3$ . Côncava para cima em $(-\infty,1/3)$ ; côncava para baixo em $(1/3,\infty)$ . PI em $x = 1/3$ : $f(1/3) = 1/3 + 1/9 - 1/27 = 11/27$ . (Resp: PI em $x = 1/3$ )
Ex. 63.11Application
Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = x^2 + x + 1$ .
Select the correct option
côncava para cima em toda a reta; mínimo em $x = -1/2$ ; sem PIcôncava para baixo em toda a reta; máximo em $x=-1/2$ PI em $x=0$ ; côncava para cima em $(0,\infty)$ sem extremo; sem PI; $f''>0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 229
Show solution
$f'(x) = 2x + 1$ . Zero: $x = -1/2$ . Mínimo em $(-1/2,\, 3/4)$ . $f''(x) = 2 > 0$ — côncava para cima em todo domínio. Sem PI.
Ex. 63.12Application
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 + x^4$ .
Select the correct option
PI em $x=0$ apenas; côncava para cima em $(-\infty,-1/2)$ ; côncava para baixo em $(-1/2,0)$ ; côncava para cima em $(0,\infty)$ PI em $x=0$ e $x=-1/2$ ; côncava para cima em $(-\infty,-1/2)\cup(0,\infty)$ ; côncava para baixo em $(-1/2,0)$ sem PI; côncava para cima em toda a retaPI em $x=-1$ e $x=0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 230
Show solution
$f'(x) = 3x^2 + 4x^3$ , $f''(x) = 6x + 12x^2 = 6x(1+2x)$ . Zeros: $x=0$ e $x=-1/2$ . Tabela de sinais: $f'' > 0$ em $(-\infty,-1/2)$ (côncava para cima); $f'' < 0$ em $(-1/2,0)$ (côncava para baixo); $f'' > 0$ em $(0,\infty)$ (côncava para cima). PIs em $x=0$ e $x=-1/2$ . (Resp: PIs em $x=0$ e $x=-1/2$ )
Ex. 63.13Application
Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = \sin x + \sin 3x$ em $(-\pi, \pi)$ .
Select the correct option
côncava para cima em toda a reta; PI em $x=0$ côncava para baixo em toda a reta; sem PIcôncava para cima em $(-\infty,\pi/2)$ ; côncava para baixo em $(\pi/2,3\pi/2)$ ; PIs em $x=\pi/2$ e $x=3\pi/2$ côncava para baixo em $(0,\pi)$ ; côncava para cima em $(-\pi,0)$ ; PI em $x=0$ ; crescente em todo $(-\pi,\pi)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 221
Show solution
$f(x) = \sin x + \sin 3x$ . $f'(x) = \cos x + 3\cos 3x$ . $f''(x) = -\sin x - 9\sin 3x$ . Em $x = 0$ : $f''(0) = 0$ . Para $x$ pequeno positivo, ambas componentes são negativas — côncava para baixo. Para $x$ pequeno negativo, côncava para cima. PI em $x = 0$ : $f(0) = 0$ . (Resp: PI em $x=0$ )
Ex. 63.14ApplicationAnswer key
Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de $f(x) = x^2 + \cos x$ .
Select the correct option
côncava para cima em toda a reta; mínimo em $x=0$ ; sem PIPI em $x=\pi$ ; côncava para baixo em $(0,\pi)$ PI em $x=\pi/2$ ; côncava para cima em $(0,\pi/2)$ côncava para baixo em toda a reta; sem PI
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 222
Show solution
$f'(x) = 2x - \sin x$ , $f''(x) = 2 - \cos x$ . Como $|\cos x| \leq 1$ , temos $f''(x) = 2 - \cos x \geq 1 > 0$ para todo $x$ . Côncava para cima em toda a reta. Sem PI. Mínimo global em $x = 0$ : $f(0) = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 2x - \sin x$ . Zero em $x = 0$ (único, pois $2x - \sin x$ é crescente).
2. Segunda derivada: $f''(x) = 2 - \cos x$ . Como $\cos x \leq 1$ , temos $f'' \geq 1 > 0$ sempre.
3. Côncava para cima em toda a reta; sem PI.
4. Mínimo global: $f(0) = 0$ .
Ex. 63.15Application
Analise completamente $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ , $x \neq 1$ : domínio, assíntotas, crescimento, concavidade.
Select the correct option
sem extremo; assíntota vertical $x=1$ ; decrescente em $(-\infty,1)$ e $(1,\infty)$ ; côncava para cima em $(1,\infty)$ mínimo em $x=2$ ; côncava para cima em toda a retamáximo em $x=0$ ; assíntota horizontal $y=1$ assíntota vertical $x=0$ ; assíntota horizontal $y=0$ ; crescente em toda a reta
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 235
Show solution
Domínio: $x \neq 1$ . Assíntota vertical: $x = 1$ . Assíntota horizontal: $y = 0$ . $f'(x) = -1/(1-x)^2 < 0$ — decrescente em cada ramo. $f''(x) = -2/(1-x)^3$ . Para $x > 1$ : $(1-x)^3 < 0$ , logo $f'' > 0$ (côncava para cima). Para $x < 1$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Sem PI.
Ex. 63.16Application
Determine os extremos locais e pontos de inflexão de $f(x) = \sin(x)\,e^x$ em $[-\pi, \pi]$ .
Select the correct option
mínimo global em $x=3\pi/4$ com $f(3\pi/4)=0$ ; côncava para cima em $(-\pi,0)$ PIs em $x = \pm 3\pi/4$ ; máximos locais em $x=0$ e extremos em $x=\pm\pi$ ; côncava para cima em $(-3\pi/4, 3\pi/4)$ máximo em $x=\pi/4$ ; mínimo em $x=-3\pi/4$ ; PIs onde $f''=0$ ; sem assíntotamáximos locais em $x=\pi/4$ e $x=-3\pi/4$ ; mínimos em $x=-\pi/4$ e $x=3\pi/4$ ; PIs em $x=0$ e $x=\pm\pi/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 237
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$f(x) = \sin x \cdot e^x$ em $[-\pi,\pi]$ . $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ . Zeros: $\tan x = -1 \Rightarrow x = -\pi/4, 3\pi/4$ (mínimos) e $x = \pi/4, -3\pi/4$ (máximos). $f''(x) = 2e^x \cos x$ . Zeros: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \pm\pi/2$ . PIs em $x = \pm\pi/2$ . (Resp: PIs em $x = \pm\pi/2$ )
Ex. 63.17Application
Analise $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ para $x > 0$ : máximo, ponto de inflexão, comportamento nos extremos do domínio.
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máximo em $x=e$ ; PI em $x=e^2$ ; assíntota horizontal $y=0$ máximo em $x=e$ ; PI em $x=e^{3/2}$ ; assíntota horizontal $y=0$ quando $x\to\infty$ e $x\to 0^+$ mínimo em $x=1$ ; sem PI; assíntota vertical $x=0$ sem extremo; PI em $x=e$ ; assíntota oblíqua $y=x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 238
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Domínio: $x > 0$ . $f'(x) = (1/x \cdot x - \ln x)/x^2 = (1 - \ln x)/x^2$ . Zero: $x = e$ . Máximo em $(e, 1/e)$ . $f''(x) = (-1/x \cdot x^2 - (1-\ln x)\cdot 2x)/x^4 = (2\ln x - 3)/x^3$ . Zero: $x = e^{3/2}$ . PI em $x = e^{3/2}$ . Assíntota: $\lim_{x\to\infty}(\ln x)/x = 0$ ; $\lim_{x\to 0^+}(\ln x)/x = -\infty$ (sem assíntota horizontal à esquerda). (Resp: máximo em $x=e$ , PI em $x=e^{3/2}$ )
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1. Derive com regra do quociente: $f'(x) = (1-\ln x)/x^2$ . Zero em $x=e$ .
2. $f'$ positivo para $x < e$ ; negativo para $x > e$ : máximo em $x=e$ , $f(e)=1/e$ .
3. Segunda derivada: $f''(x) = (2\ln x - 3)/x^3$ . Zero em $x = e^{3/2}$ .
4. Verificar mudança de sinal: PI em $x = e^{3/2} \approx 4{,}48$ .
Ex. 63.18Application
Analise $f(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x}$ para $x > 0$ : mínimo, concavidade, assíntotas.
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mínimo em $x=2$ ; côncava para baixo em $(0,2)$ ; côncava para cima em $(2,\infty)$ ; PI em $x=2$ mínimo em $x=1/2$ ; côncava para cima em $x>0$ ; sem PImínimo em $x=2$ ; côncava para cima em todo o domínio; sem PImáximo em $x=2$ ; PI em $x=4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 239
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$f(x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}$ , $x > 0$ . $f'(x) = 1/4 - 1/x^2$ . Zero: $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ . Mínimo em $(2, 1)$ . $f''(x) = 2/x^3 > 0$ para todo $x > 0$ — côncava para cima sempre. Sem PI. Assíntota vertical $x = 0$ ; sem assíntota horizontal.
Ex. 63.19Application
Analise $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ , $x \neq 0$ : assíntotas, extremos, concavidade.
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mínimo em $x=-1$ ; PI em $x=-2$ ; assíntota horizontal $y=0$ quando $x\to-\infty$ mínimo em $x=1$ ; PI em $x=2$ ; assíntota vertical $x=0$ ; assíntota horizontal $y=0$ sem extremo; PI em $x=0$ ; assíntota oblíqua $y=x$ máximo em $x=1$ ; assíntota horizontal $y=e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 240
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Domínio: $x \neq 0$ . Assíntota vertical: $x = 0$ . Assíntota horizontal: $e^x/x \to 0$ quando... na verdade $e^x/x \to \pm\infty$ quando $x \to 0^\pm$ ; e $e^x/x \to +\infty$ quando $x\to+\infty$ ; e $e^x/x \to 0^-$ quando $x \to -\infty$ . $f'(x) = e^x(x-1)/x^2$ . Zero: $x=1$ . Mínimo em $(1,e)$ . $f''(x) = e^x(x^2-2x+2)/x^3$ . Para $x > 0$ : numerador $x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 > 0$ sempre; logo $f'' > 0$ (côncava para cima). PI em $x=-...$ mais precisamente para $x<0$ , $f'' < 0$ . (Resp: mínimo em $x=1$ )
Ex. 63.20Understanding
Interprete a frase "a população está crescendo mais lentamente" em termos de $f$ , $f'$ e $f''$ , onde $f$ é a população.
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$f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' > 0$ (crescimento acelerando) $f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' < 0$ (crescimento desacelerando) $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 241
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"A população está crescendo mais lentamente" indica: $f > 0$ (população positiva), $f' > 0$ (ainda crescendo), mas $f'' < 0$ (a taxa de crescimento está diminuindo — concavidade para baixo). Esta é a leitura correta em termos de $f$ , $f'$ e $f''$ .
Ex. 63.21Understanding
Interprete a frase "o avião pousa suavemente" em termos de $f$ , $f'$ e $f''$ , onde $f$ é a altitude do avião.
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$f > 0$ , $f' > 0$ , $f'' > 0$ (altitude positiva, descendo, acelerando) $f > 0$ , $f' < 0$ , $f'' > 0$ (altitude positiva, descendo, desacelerando) $f < 0$ , $f' < 0$ , $f'' < 0$ $f > 0$ , $f' = 0$ , $f'' < 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 243
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"O avião pousa suavemente": altitude $f > 0$ (está acima do solo), taxa de descida $f' < 0$ (descendo), mas a descida está desacelerando suavemente: $f'' > 0$ (concavidade para cima — taxa de descida ficando menos negativa, pouso suave sem bater).
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1. "Pousa" indica $f' < 0$ (altitude diminuindo).
2. "Suavemente" indica que a velocidade de descida está diminuindo: $|f'|$ está diminuindo, ou seja, $f''$ e $f'$ têm sinais opostos. Como $f' < 0$ e a descida suaviza, $f'' > 0$ .
3. Altitude positiva: $f > 0$ (ainda no ar).
Ex. 63.22Understanding
Uma empresa rastreia custos de mão-de-obra ao longo do ano. Em 1.º de julho os custos estão no pico. Se $f$ representa o custo de mão-de-obra, como se expressam essas informações em termos de $f$ , $f'$ e $f''$ ?
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$f' > 0$ em julho: os custos estão crescendo nessa data $f'(\text{jul}) = 0$ e $f''(\text{jul}) < 0$ : pico de custo no dia 1.º de julho $f'(\text{jul}) = 0$ e $f''(\text{jul}) > 0$ : mínimo de custo em julho $f'' = 0$ em julho; ponto de inflexão dos custos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 244
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"Custos atingem o pico em 1.º de julho" significa que $f$ tem máximo local nessa data. Logo: $f'(\text{jul}) = 0$ (derivada zero no extremo) e $f''(\text{jul}) < 0$ (teste da 2ª derivada confirma máximo — côncava para baixo).
Ex. 63.23Challenge
Seja $f(x)$ um polinômio de grau 3 com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . É verdade que $f''(x) = 0$ para algum $1 \leq x \leq 3$ ?
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Verdadeiro — pelo Teorema do Valor Médio, $f''=0$ em algum ponto entre 1 e 3Falso — $f''$ pode ser sempre positiva em $[1,3]$ mesmo com $f'(1)=f'(3)=0$ Verdadeiro — toda cúbica tem dois pontos críticos separados por um PIFalso — $f''=0$ ocorre somente nos extremos, não entre eles
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 247
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Dado que $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ , pelo Teorema de Rolle (ou TVM) aplicado a $f'$ no intervalo $[1,3]$ : como $f'$ é contínua e diferenciável e $f'(1) = f'(3) = 0$ , existe $c \in (1,3)$ com $(f')' (c) = f''(c) = 0$ . Logo a afirmação é Verdadeira.
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1. Condição: $f'(1) = f'(3) = 0$ .
2. Aplique o Teorema de Rolle à função $f'$ no intervalo $[1,3]$ : existe $c \in (1,3)$ com $f''(c) = 0$ .
3. Verificação: toda cúbica tem $f''$ linear, que tem exatamente um zero — e ele está entre os dois pontos críticos. Confirmado.
Ex. 63.24ChallengeAnswer key
Seja $f(x)$ um polinômio cúbico com três raízes reais. É verdade que $f$ tem exatamente 1 ponto de inflexão?
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Falso — uma cúbica com três raízes pode ter 0 ou 2 PIsVerdadeiro — toda cúbica tem exatamente um PI; com três raízes, esse PI está necessariamente entre elasFalso — o PI de uma cúbica pode estar fora do intervalo entre as raízesVerdadeiro — três raízes implicam dois pontos críticos, cada um separado por um PI
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 249
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Toda cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tem $f''(x) = 6ax + 2b$ — linear, com exatamente um zero em $x_0 = -b/(3a)$ . Este é o único PI. Se $f$ tem três raízes reais $r_1 < r_2 < r_3$ , então por Rolle aplicado em $[r_1,r_2]$ e $[r_2,r_3]$ existem dois pontos críticos. O PI está entre eles (pelo TVM aplicado a $f'$ ), logo entre $r_1$ e $r_3$ . Afirmação: Verdadeira.
Ex. 63.25ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de $f(x) = \dfrac{1}{x^3 + x^2}$ .
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assíntota vertical $x=0$ ; assíntota horizontal $y=1$ assíntota vertical $x=0$ ; assíntota oblíqua $y=1$ quando $x\to\infty$ assíntota horizontal $y=0$ ; assíntota vertical $x=0$ sem assíntota; função contínua em toda a reta
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 279
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$f(x) = \dfrac{1}{x^3 + x^2} = \dfrac{1}{x^2(x+1)}$ . Assíntotas verticais: $x = 0$ (polo duplo) e $x = -1$ . $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ — assíntota horizontal $y = 0$ . (Resp: AVs em $x=0$ e $x=-1$ ; AH: $y=0$ )
Ex. 63.26Application
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de $f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^3-1}$ .
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assíntota horizontal $y=1$ ; assíntotas verticais $x=\pm1$ sem assíntota vertical; assíntota horizontal $y=0$ assíntota oblíqua $y=x$ ; assíntota vertical $x=1$ assíntota horizontal $y=0$ ; assíntota vertical $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 281
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$f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^3-1}$ . Assíntota horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty}(x^3+1)/(x^3-1) = 1$ . Assíntota vertical: denominador nulo em $x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$ . (Atenção: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ , $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ , sem cancelamento.) AV: $x=1$ ; AH: $y=1$ .
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1. Assíntota horizontal: divida pelo termo dominante $x^3$ : limite = $(1+1/x^3)/(1-1/x^3) \to 1$ . Logo $y=1$ .
2. Zeros do denominador: $x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ .
3. Verificar que numerador $x^3+1 \neq 0$ em $x=1$ : $1+1=2 \neq 0$ . Logo AV em $x=1$ .
Ex. 63.27Application
Calcule $\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{3x+6}$ .
Select the correct option
$\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{3x+6} = \dfrac{1}{3}$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{3x+6} = 0$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{3x+6} = \infty$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{3x+6} = 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 261
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O denominador $3x + 6 \to +\infty$ quando $x \to \infty$ . Logo $1/(3x+6) \to 0$ . A assíntota horizontal é $y = 0$ .
Ex. 63.28Application
Calcule $\lim_{x\to\infty} \dfrac{2x-5}{4x}$ .
Select the correct option
$\lim_{x\to\infty} \dfrac{2x-5}{4x} = \dfrac{1}{2}$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{2x-5}{4x} = 2$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{2x-5}{4x} = 0$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{2x-5}{4x} = \infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 262
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Divida numerador e denominador por $x$ : $(2-5/x)/4$ . Quando $x\to\infty$ , $5/x \to 0$ . Logo limite $= 2/4 = 1/2$ .
Ex. 63.29Application
Calcule $\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4}$ .
Select the correct option
$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4} = 0$ $\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4} = -\dfrac{1}{7}$ $\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4} = +\infty$ $\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^4-4x^3+1}{2-2x^2-7x^4} = \dfrac{1}{7}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 265
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Divida por $x^4$ (termo dominante): numerador $\to 1$ , denominador $\to -7$ . Logo limite $= 1/(-7) = -1/7$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Divida tudo por $x^4$ : $(1 - 4/x + 1/x^4)/(2/x^4 - 2/x^2 - 7)$ .
2. Quando $x\to-\infty$ : termos com $1/x^n \to 0$ .
3. Limite = $1/(-7) = -1/7$ .
Ex. 63.30Application
Calcule $\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$ .
Select the correct option
$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = 3$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = 0$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \infty$ $\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 266
Show solution
Divida por $x$ (positivo para $x\to+\infty$ ): $3x/\sqrt{x^2+1} = 3/\sqrt{1+1/x^2} \to 3/\sqrt{1} = 3$ .
Ex. 63.31ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de $f(x) = x - \dfrac{9}{x}$ .
Select the correct option
AV: $x=0$ ; AH: $y=1$ AV: $x=0$ ; sem assíntota horizontalAV: $x=9$ ; AH: $y=0$ sem assíntota; contínua em toda a reta
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 271
Show solution
$f(x) = x - 9/x$ . Assíntota vertical: $x = 0$ . Quando $x\to\infty$ : $f(x) \to +\infty$ ; quando $x\to-\infty$ : $f(x)\to-\infty$ . Sem assíntota horizontal. Assíntota oblíqua: $f(x) \approx x$ (a parte $-9/x\to 0$ ), logo AO: $y=x$ .
Ex. 63.32ApplicationAnswer key
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de $f(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$ .
Select the correct option
AV: $x=\pm1$ ; AH: $y=0$ AV: $x=0$ ; AH: $y=1$ sem AV; AH: $y=0$ AV: $x=1$ ; AH: $y=-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 272
Show solution
$f(x) = \dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)}$ . Zeros do denominador: $x = \pm 1$ . $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$ . Logo AVs em $x=\pm1$ e AH: $y=0$ .
Ex. 63.33Application
Encontre as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^3}{4 - x^2}$ .
Select the correct option
AV: $x=\pm2$ ; sem AH; AO: $y=-x$ AV: $x=\pm2$ ; sem AH; AO: nenhumaAV: $x=\pm2$ ; AH: $y=0$ AV: $x=\pm2$ ; sem AH; AO: oblíqua inexistente pois o grau do num. excede o do den. por mais de 1
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 273
Show solution
$f(x) = \dfrac{x^3}{4-x^2}$ . AVs: $4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm2$ . Grau do numerador (3) maior que grau do denominador (2) por 1 — logo poderia haver AO. Divisão: $x^3/(4-x^2) = -x + 4x/(4-x^2)$ . Quando $x\to\infty$ , $4x/(4-x^2)\to 0$ . AO: $y=-x$ . Sem AH.
Ex. 63.34Application
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de $f(x) = \dfrac{x^2+3}{x^2+1}$ .
Select the correct option
AV: $x=\pm1$ ; AH: $y=1$ AV: $x=0$ ; AH: $y=3$ sem AV; AH: $y=1$ AV: $x=1$ ; AH: $y=3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 274
Show solution
$f(x) = \dfrac{x^2+3}{x^2+1}$ . Denominador $x^2+1 > 0$ sempre — sem AV. $\lim_{x\to\pm\infty}(x^2+3)/(x^2+1) = 1$ (graus iguais, razão dos coeficientes líderes). AH: $y=1$ . Sem AV.
Ex. 63.35Application
Construa uma função $f(x)$ que tenha assíntota vertical $x=1$ e assíntota horizontal $y=2$ .
Select the correct option
É possível com $f(x) = \dfrac{2}{x-1}$ Não é possível construir tal função com uma fração racionalÉ possível com $f(x) = \dfrac{1}{x^2-1}$ , que tem AV em $x=1$ e AH em $y=2$ É possível somente com funções transcendentais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 285
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Uma função com AV em $x=1$ e AH em $y=2$ pode ser construída como: $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{2x-1}{x-1}$ . Verificação: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 2$ (AH); $f \to \pm\infty$ em $x=1$ (AV). Também aceita $f(x) = 2/(x-1)$ com AH em $y=0$ — mas para AH em $y=2$ , use o primeiro.
Ex. 63.36Application
Construa uma função $f(x)$ com assíntota vertical $x=-1$ e assíntota horizontal $y=4$ .
Select the correct option
$f(x) = \dfrac{4}{x+1}$ , que tem AV em $x=-1$ e AH em $y=4$ $f(x) = 4x+1$ , que tem AO em $y=4x$ e sem AV $f(x) = \dfrac{1}{4(x+1)}$ , que tem AV em $x=-1$ e AH em $y=0$ Não é possível construir tal função racional
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 287
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Para AV em $x=-1$ e AH em $y=4$ : tome $f(x) = 4 + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{4x+5}{x+1}$ . Mais simples: $f(x) = \dfrac{4}{x+1}$ tem AV em $x=-1$ e AH em $y=0$ . Para AH em $y=4$ : $f(x) = \dfrac{4x}{x+1}$ — verificar: $\lim_{x\to\pm\infty} 4x/(x+1) = 4$ . AV: $x=-1$ . Correto.
Ex. 63.37Application
Faça o esboço completo de $y = 3x^2 + 2x + 4$ : extremos, concavidade, assíntotas.
Select the correct option
mínimo em $x=-1$ ; sem assíntota; PI em $x=0$ máximo em $x=-1/3$ ; mínimo em $x=1$ ; PI em $x=1/3$ ; sem assíntotasem extremo; côncava para cima; assíntota oblíqua $y=3x$ sem extremo local; côncava para cima em toda a reta; sem PI; sem assíntota
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 294
Show solution
$f(x) = 3x^2 + 2x + 4$ . $f'(x) = 6x + 2$ . Zero: $x = -1/3$ . Mínimo local em $x=-1/3$ : $f(-1/3) = 3(1/9) - 2/3 + 4 = 1/3 - 2/3 + 4 = 11/3$ . $f''(x) = 6 > 0$ — côncava para cima, sem PI. Polinômio: sem assíntota.
Ex. 63.38Application
Faça o esboço completo de $y = x^3 - 3x^2 + 4$ : extremos locais, ponto de inflexão, assíntotas.
Select the correct option
máximo em $x=0$ ; mínimos em $x=\pm2$ ; PI em $x=\pm1$ ; sem assíntotamáximo local em $x=0$ com $f(0)=4$ ; mínimo local em $x=2$ ; PI em $x=2$ máximo local em $x=0$ com $f(0)=4$ ; mínimo local em $x=2$ com $f(2)=0$ ; PI em $x=4/3$ ; sem assíntotasem extremo local; PI em $x=1$ ; côncava para cima em toda a reta
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 295
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ . Zeros: $x=0$ e $x=2$ . Máximo local em $x=0$ : $f(0)=4$ . Mínimo local em $x=2$ : $f(2)=8-12+4=0$ . $f''(x)=6x-6$ . Zero: $x=1$ . PI em $x=1$ : $f(1)=1-3+4=2$ . Sem assíntota (polinômio).
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ . Zeros: $x=0$ , $x=2$ .
2. Tabela de sinais: crescente em $(-\infty,0)$ e $(2,\infty)$ ; decrescente em $(0,2)$ . Máx em $x=0$ , mín em $x=2$ .
3. $f''(x)=6x-6$ . Zero: $x=1$ . PI em $(1,2)$ .
4. Cálculo: $f(0)=4$ , $f(2)=8-12+4=0$ .
Ex. 63.39ApplicationAnswer key
Esboce $y = \dfrac{2x+1}{x^2+6x+5}$ : assíntotas, extremos e concavidade.
Select the correct option
AV: $x=-1$ e $x=-5$ ; AH: $y=0$ ; máximo local e mínimo local em $x=3$ e $x=-3$ AV: $x=-1$ e $x=-5$ ; AH: $y=0$ ; mínimo local em $x=3$ ; máximo local em $x=-3$ AV: $x=1$ ; AH: $y=2$ ; sem extremosem AV; AH: $y=0$ ; máximo em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 296
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$f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+6x+5} = \dfrac{2x+1}{(x+1)(x+5)}$ . AVs: $x=-1$ e $x=-5$ . AH: grau denominador maior, logo $y=0$ . $f'(x) = (2(x^2+6x+5)-(2x+1)(2x+6))/(x^2+6x+5)^2$ . Numerador: $2x^2+12x+10 - (4x^2+14x+6) = -2x^2-2x+4 = -2(x^2+x-2) = -2(x+2)(x-1)$ . Zeros: $x=-2$ e $x=1$ . (Resp: extremos em $x=-2$ e $x=1$ )
Ex. 63.40ProofAnswer key
Verdadeiro ou falso: toda razão de polinômios tem assíntota vertical. Justifique com um exemplo ou contraexemplo.
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Verdadeiro — toda razão de polinômios tem pelo menos uma assíntota verticalFalso — se o denominador não tem raízes reais, não há assíntota vertical; exemplo: $f(x)=1/(x^2+1)$ Verdadeiro — sempre que o denominador tem grau maior que o numerador há AVFalso — toda fração racional tem AH mas não necessariamente AV
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · ex. 310
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A afirmação é Falsa. Contra-exemplo: $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ . O denominador $x^2+1 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ — nunca é nulo. Logo não há assíntota vertical. A função é contínua em toda a reta. AH: $y=0$ .
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1. Para existir AV em $x=a$ numa função racional, o denominador deve se anular em $x=a$ sem cancelamento com o numerador.
2. Se o denominador $Q(x)$ não tem raízes reais (discriminante negativo no caso quadrático), não há AV.
3. Exemplo: $Q(x) = x^2+1$ . Discriminante: $0 - 4 = -4 < 0$ . Sem raízes reais. Sem AV.
4. Conclusão: a afirmação é Falsa.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-4-families.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com