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Lesson 64 — L'Hôpital's Rule

L'Hôpital's Rule for indeterminate forms 0/0 and ∞/∞. Indeterminate forms 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 and remarkable limits like sin(x)/x and e^x/x^n.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{0/0\text{ ou }\infty/\infty}{=} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Regra de L'Hôpital (descoberta por Johann Bernoulli em 1694, publicada por L'Hôpital em 1696): quando $\lim f/g$ assume a forma indeterminada $0/0$ ou $\infty/\infty$ , o limite é igual ao limite da razão das derivadas — desde que este último exista ou seja $\pm\infty$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado, demonstração e extensões

Enunciado formal

Theorem· Regra de L'Hôpital (formas 0/0 e ∞/∞)

Sejam $f$ e $g$ deriváveis numa vizinhança aberta de $a$ (exceto possivelmente em $a$ ), com $g'(x) \neq 0$ nessa vizinhança.

Se $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ (forma $0/0$ ), ou se $\lim_{x \to a} |f(x)| = \lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$ (forma $\infty/\infty$ ), então:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

desde que o lado direito exista (em $\mathbb{R}$ ou seja $\pm\infty$ ).

Validade: a regra aplica-se também a $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$ .

"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8

Ideia da demonstração (caso 0/0)

Pelo Teorema do Valor Médio de Cauchy: se $f(a) = g(a) = 0$ , para $x$ próximo de $a$ existe $\xi$ entre $a$ e $x$ tal que:

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

Quando $x \to a$ , tem-se $\xi \to a$ , e o limite passa: $f(x)/g(x) \to f'(a)/g'(a)$ (quando a razão de derivadas converge).

Extensão a outras formas indeterminadas

Definition· Tabela de reduções

Forma	Redução
$0/0$	Aplicar L'Hôpital diretamente
$\infty/\infty$	Aplicar L'Hôpital diretamente
$0 \cdot \infty$	Reescreva: $f \cdot g = f / (1/g)$ ou $g / (1/f)$
$\infty - \infty$	Combine numa fração (mmc ou racionalização)
$1^{\infty}, 0^0, \infty^0$	Tome logaritmo: $f^g = e^{g \ln f}$ ; aplique L'Hôpital no expoente

"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8

Exemplos resolvidos

Example· Forma 0/0 simples

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ .

Estratégia. Verificar forma indeterminada; aplicar L'Hôpital uma vez.

Resolução.

Substituição direta: $\sin 0 / 0 = 0/0$ — forma indeterminada. Condições atendidas ( $f = \sin x$ e $g = x$ são deriváveis, $g' = 1 \neq 0$ ).

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1

Verificação. Esse resultado é o limite fundamental trigonométrico — consistente com a expansão de Taylor $\sin x = x - x^3/6 + \ldots$ , portanto $\sin x/x \to 1$ .

Fonte. Active Calculus §2.8, Exercise 2.8.1 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma 0/0 com L'Hôpital iterado

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Estratégia. Forma $0/0$ . Pode ser necessário aplicar L'Hôpital mais de uma vez.

Resolução.

Substituição direta: $(1-1-0)/0 = 0/0$ .

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}

Verificação. Taylor: $e^x = 1 + x + x^2/2 + \ldots$ , portanto $e^x - 1 - x = x^2/2 + \ldots$ e o quociente $\to 1/2$ . Confirma.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8, Example 4.40 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma 1^∞ via logaritmo

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^x$ (forma $0^0$ ).

Estratégia. Tomar logaritmo para converter em forma $0/0$ ou $\infty/\infty$ ; depois exponenciar.

Resolução.

Seja $L = \lim_{x \to 0^+} x^x$ . Então $\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln x$ — forma $0 \cdot (-\infty)$ .

Reescreva: $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ — forma $\infty/\infty$ .

\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Portanto $L = e^0 = 1$ . O limite $\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$ .

Verificação. Numericamente: $(0{,}1)^{0{,}1} \approx 0{,}794$ , $(0{,}01)^{0{,}01} \approx 0{,}955$ , convergindo para 1.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8, Example 4.43 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma ∞ − ∞ via combinação

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{1}{x}\right)$ .

Estratégia. Forma $\infty - \infty$ . Combinar em fração única, depois aplicar L'Hôpital.

Resolução.

\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}

Quando $x \to 0$ : numerador $\to 0$ , denominador $\to 0$ — forma $0/0$ .

\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{0}{2} = 0

Verificação. Taylor: $x - \sin x = x^3/6 - \ldots$ e $x \sin x = x^2 - x^4/6 + \ldots$ . Quociente: $(x^3/6)/x^2 = x/6 \to 0$ . Confirma.

Fonte. APEX Calculus §6.7, Example 6.7.4 · CC-BY-NC

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 33Understanding 3Modeling 1Challenge 2Proof 1

Ex. 64.1Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x}$ .
Select the correct option
$+\infty$ $0$ $1$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 356
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Forma $\infty/\infty$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$ . O exponencial cresce muito mais rápido que o linear.
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique a forma: numerador $e^x \to \infty$ , denominador $x \to \infty$ — forma $\infty/\infty$ .
2. Aplique L'Hôpital: $(e^x)' = e^x$ , $(x)' = 1$ .
3. Novo limite: $\lim_{x \to \infty} e^x = +\infty$ .
4. O exponencial domina qualquer potência de $x$ .
Ex. 64.2ApplicationAnswer key
Para $k$ inteiro positivo fixo, calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x^k}$ .
Select the correct option
$+\infty$ $0$ $k$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 357
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Forma $\infty/\infty$ . Aplicando L'Hôpital $k$ vezes: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^k} \stackrel{\infty/\infty}{=} \cdots = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{k!} = +\infty$ . O exponencial domina qualquer potência polinomial.
Ex. 64.3ApplicationAnswer key
Para $k$ inteiro positivo fixo, calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x^k}$ .
Select the correct option
$0$ $+\infty$ $1$ $k$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 358
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Forma $\infty/\infty$ . Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^k} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{k x^k} = 0$ . O logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência positiva.
Show step-by-step (with the why)
1. Forma: $\ln x \to \infty$ e $x^k \to \infty$ — forma $\infty/\infty$ .
2. Aplique L'Hôpital: $(\ln x)' = 1/x$ e $(x^k)' = k x^{k-1}$ .
3. Razão: $\frac{1/x}{k x^{k-1}} = \frac{1}{k x^k} \to 0$ .
4. Conclusão: $\ln x$ é assintoticamente menor que qualquer potência positiva.
Ex. 64.4Application
Para $a \neq 0$ , calcule $\lim_{x \to a} \dfrac{x - a}{x^2 - a^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2a}$ $\dfrac{1}{a}$ $0$ $2a$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 359
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^2 - a^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to a} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2a}$ . Alternativamente, fatore: $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ , cancel e avalie.
Ex. 64.5Application
Para $a \neq 0$ , calcule $\lim_{x \to a} \dfrac{x - a}{x^3 - a^3}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{3a^2}$ $\dfrac{1}{a^2}$ $3a^2$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 360
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^3 - a^3} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to a} \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3a^2}$ .
Ex. 64.6Application
Para $a \neq 0$ e $n$ inteiro positivo, calcule $\lim_{x \to a} \dfrac{x - a}{x^n - a^n}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{n a^{n-1}}$ $n a^{n-1}$ $\dfrac{1}{n}$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 361
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^n - a^n} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to a} \frac{1}{n x^{n-1}} = \frac{1}{n a^{n-1}}$ . Observe que este é o recíproco da derivada de $x^n$ em $x = a$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x = a$ : numerador $a - a = 0$ , denominador $a^n - a^n = 0$ — forma $0/0$ .
2. Aplique L'Hôpital: $(x - a)' = 1$ e $(x^n - a^n)' = n x^{n-1}$ .
3. Limite resultante: $\lim_{x \to a} \frac{1}{n x^{n-1}} = \frac{1}{n a^{n-1}}$ .
4. Verificação algébrica: fatorando $x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + a^{n-1})$ dá a soma de $n$ termos iguais a $a^{n-1}$ em $x = a$ , confirmando o resultado.
Ex. 64.7Understanding
Pode-se aplicar a Regra de L'Hôpital diretamente a $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$ ? Justifique e calcule o limite.
Select the correct option
Não se aplica diretamente pois a forma é $0 \cdot (-\infty)$ ; reescrever como fração $\infty/\infty$ e aplicar L'HôpitalAplica-se diretamente pois é uma multiplicaçãoNão se aplica e não há como transformarAplica-se pois a forma é $0/0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 362
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A forma $x^2 \ln x$ quando $x \to 0^+$ é $0 \cdot (-\infty)$ — não é $0/0$ nem $\infty/\infty$ diretamente. Reescreva: $x^2 \ln x = \frac{\ln x}{1/x^2}$ — forma $\infty/\infty$ . Então L'Hôpital se aplica: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0$ .
Ex. 64.8Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ .
Select the correct option
$1$ $+\infty$ $0$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 363
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Forma $\infty^0$ . Seja $L = \lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ . Então $\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$ . Logo $L = e^0 = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a forma: $x \to \infty$ com expoente $1/x \to 0$ — forma $\infty^0$ .
2. Tome logaritmo: $\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln x = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ — forma $\infty/\infty$ .
3. Aplique L'Hôpital: $\lim \frac{1/x}{1} = 0$ .
4. Exponencie: $L = e^0 = 1$ .
Ex. 64.9Application
Calcule $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
Select the correct option
$6$ $0$ $3$ $9$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 367
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 3} \frac{2x}{1} = 6$ . Alternativamente: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ , cancelando dá $\lim_{x \to 3}(x+3) = 6$ .
Ex. 64.10Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^{-2} - 1}{x}$ .
Select the correct option
$-2$ $0$ $2$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 369
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{-2} - 1}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-2(1+x)^{-3}}{1} = -2$ . Este limite é precisamente a derivada de $f(x) = (1+x)^{-2}$ em $x = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x = 0$ : numerador $1^{-2} - 1 = 0$ , denominador $0$ — forma $0/0$ .
2. Aplique L'Hôpital: numerador deriva para $-2(1+x)^{-3}$ , denominador para $1$ .
3. Avalie em $x = 0$ : $-2 \cdot 1^{-3} = -2$ .
Ex. 64.11Application
Calcule $\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{\pi/2 - x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $-1$ $\pi/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 370
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Forma $0/0$ pois $\cos(\pi/2) = 0$ e $\pi/2 - \pi/2 = 0$ . $\lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos x}{\pi/2 - x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to \pi/2} \frac{-\sin x}{-1} = \sin(\pi/2) = 1$ .
Ex. 64.12Application
Calcule $\lim_{x \to \pi} \dfrac{x - \pi}{\sin x}$ .
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$-1$ $1$ $0$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 371
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Forma $0/0$ pois $\sin(\pi) = 0$ . $\lim_{x \to \pi} \frac{x - \pi}{\sin x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to \pi} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x = \pi$ : numerador $\pi - \pi = 0$ , denominador $\sin \pi = 0$ — forma $0/0$ .
2. Aplique L'Hôpital: $(x - \pi)' = 1$ , $(\sin x)' = \cos x$ .
3. Avalie: $\frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1$ .
Ex. 64.13Application
Para $n$ inteiro positivo, calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^n - 1}{x}$ .
Select the correct option
$n$ $n - 1$ $1$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 373
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Forma $0/0$ pois $(1+0)^n - 1 = 0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n - 1}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{n(1+x)^{n-1}}{1} = n$ . Este é exatamente o valor da derivada de $(1+x)^n$ em $x = 0$ .
Ex. 64.14Application
Para $n$ inteiro positivo, calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^n - 1 - nx}{x^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{n(n-1)}{2}$ $n$ $\dfrac{n}{2}$ $n^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 374
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Forma $0/0$ . 1.ª aplicação: $\lim_{x \to 0} \frac{n(1+x)^{n-1} - n}{2x}$ — ainda $0/0$ . 2.ª aplicação: $\lim_{x \to 0} \frac{n(n-1)(1+x)^{n-2}}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x = 0$ : numerador $(1+0)^n - 1 - n \cdot 0 = 0$ , denominador $0$ — forma $0/0$ .
2. 1.ª aplicação de L'Hôpital: numerador deriva para $n(1+x)^{n-1} - n$ , denominador para $2x$ . Em $x=0$ : $n - n = 0$ — ainda $0/0$ .
3. 2.ª aplicação: numerador $\to n(n-1)(1+x)^{n-2}$ , denominador $\to 2$ . Em $x=0$ : resultado $n(n-1)/2$ .
Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \tan x}{x^3}$ .
Select the correct option
$-\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 375
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ . Aplique L'Hôpital: $\frac{\cos x - \sec^2 x}{3x^2}$ — ainda $0/0$ . Aplique novamente: $\frac{-\sin x - 2\sec^2 x \tan x}{6x}$ — ainda $0/0$ . Terceira aplicação: $\frac{-\cos x - 2\sec^4 x - 4\sec^2 x \tan^2 x}{6} \to \frac{-1 - 2}{6} = -\frac{1}{2}$ .
Ex. 64.16Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $2$ $\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 376
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x = 0$ : $\sqrt{1} - \sqrt{1} = 0$ — forma $0/0$ .
2. Derive numerador: $\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ .
3. Avalie em $x = 0$ : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Ex. 64.17Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x^2}$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}$ $0$ $1$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 377
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$ .
Ex. 64.18Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\tan x}{x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $+\infty$ $-\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 378
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Forma $0/0$ pois $\tan(0) = 0$ . $\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{\sec^2 x}{1} = \sec^2(0) = 1$ . Este é o análogo trigonométrico de $\lim \sin x/x = 1$ .
Ex. 64.19Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{\ln x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $e$ $\ln 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 379
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Forma $0/0$ pois $1 - 1 = 0$ e $\ln 1 = 0$ . $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 1} \frac{1}{1/x} = \lim_{x \to 1} x = 1$ .
Ex. 64.20ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} (x + 1)^{1/x}$ .
Select the correct option
$e$ $1$ $0$ $e^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 380
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Forma $1^{\infty}$ . Seja $L = \lim_{x \to 0} (x+1)^{1/x}$ . Então $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1/(x+1)}{1} = 1$ . Logo $L = e^1 = e$ . Este é o limite fundamental que define $e$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Forma: $x \to 0$ , base $(x+1) \to 1$ , expoente $1/x \to \infty$ — forma $1^{\infty}$ .
2. Tome logaritmo: $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ — forma $0/0$ .
3. Aplique L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$ .
4. Exponencie: $L = e^1 = e$ .
Ex. 64.21Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x - x^3}{x - 1}$ .
Select the correct option
$-2$ $0$ $2$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 381
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 1} \frac{x - x^3}{x - 1} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 1} \frac{1 - 3x^2}{1} = 1 - 3 = -2$ .
Ex. 64.22ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{2x}$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $e$ $e^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 382
Show solution
Forma $0^0$ . Seja $L = \lim_{x \to 0^+} x^{2x}$ . Então $\ln L = \lim_{x \to 0^+} 2x \ln x$ — forma $0 \cdot (-\infty)$ . Reescreva: $\frac{2 \ln x}{1/x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \frac{2/x}{-1/x^2} = -2x \to 0$ . Logo $L = e^0 = 1$ .
Ex. 64.23ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Select the correct option
$1$ $0$ $+\infty$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 383
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Forma $\infty \cdot 0$ . Reescreva: $x \sin(1/x) = \frac{\sin(1/x)}{1/x}$ . Seja $u = 1/x \to 0^+$ . Então o limite é $\lim_{u \to 0^+} \frac{\sin u}{u} = 1$ (limite fundamental).
Ex. 64.24Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^2}$ .
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$0$ $-\dfrac{1}{2}$ $1$ $\dfrac{1}{2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 384
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Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{2x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = 0$ .
Ex. 64.25ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^4)$ .
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$0$ $-\infty$ $4$ $-4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 385
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Forma $0 \cdot (-\infty)$ . $x \ln(x^4) = 4x \ln x$ . Reescreva: $\frac{4 \ln x}{1/x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \frac{4/x}{-1/x^2} = -4x \to 0$ .
Ex. 64.26Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ .
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$0$ $+\infty$ $1$ $e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 387
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Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$ . O exponencial domina qualquer potência.
Ex. 64.27Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{3^x - 2^x}{x}$ .
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$\ln(3/2)$ $0$ $1$ $\ln 3 + \ln 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 388
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Forma $0/0$ pois $3^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 2^x}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{3^x \ln 3 - 2^x \ln 2}{1} = \ln 3 - \ln 2 = \ln\!\left(\frac{3}{2}\right)$ .
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1. Em $x = 0$ : numerador $3^0 - 2^0 = 0$ , denominador $0$ — forma $0/0$ .
2. Derive: $(3^x)' = 3^x \ln 3$ e $(2^x)' = 2^x \ln 2$ .
3. Avalie em $x = 0$ : $\ln 3 - \ln 2 = \ln(3/2)$ .
Ex. 64.28Understanding
Calcule $\lim_{x \to \pi/4} (1 - \tan x) \cot x$ . (Dica: identifique se a forma é realmente indeterminada.)
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$0$ $1$ $-1$ O limite não existe
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 390
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Em $x \to \pi/4$ : $\tan(\pi/4) = 1$ e $\cot(\pi/4) = 1$ . A forma é $0 \cdot 1 = 0$ — não é indeterminada! Substituição direta: $(1 - 1) \cdot 1 = 0$ . L'Hôpital não é necessário.
Ex. 64.29Application
Analise $\lim_{x \to \infty} x e^{1/x}$ . É uma forma indeterminada? Calcule o limite.
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$1$ $0$ $e$ $+\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 391
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Forma $\infty \cdot 0$ . Reescreva: $x e^{1/x} = \frac{e^{1/x}}{1/x}$ . Seja $u = 1/x \to 0^+$ : limite torna-se $\lim_{u \to 0^+} \frac{e^u}{u}$ — que diverge para $+\infty$ . Portanto o limite original é $+\infty$ . Mas espere: analisando melhor: $x e^{1/x}$ com $x \to \infty$ , temos $e^{1/x} \to e^0 = 1$ , então $x \cdot 1 \to \infty$ . O limite é $+\infty$ . (Resp: $+\infty$ )
Ex. 64.30ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)^x$ .
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$1/e$ $1$ $e$ $0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 395
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Forma $1^{\infty}$ . Seja $L = \lim_{x \to \infty} (1 - 1/x)^x$ . $\ln L = \lim_{x \to \infty} x \ln(1 - 1/x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 - 1/x)}{1/x}$ — forma $0/0$ . L'Hôpital: $\frac{(1/x^2)/(1-1/x)}{-1/x^2} = \frac{-1}{1-1/x} \to -1$ . Logo $L = e^{-1} = 1/e$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Forma $1^{\infty}$ : base $(1-1/x) \to 1$ , expoente $x \to \infty$ .
2. Tome logaritmo: $\ln L = \lim x \ln(1-1/x)$ — forma $\infty \cdot 0$ .
3. Reescreva como $\frac{\ln(1-1/x)}{1/x}$ — forma $0/0$ .
4. L'Hôpital e simplificação: resultado $-1$ . Portanto $L = e^{-1}$ .
Ex. 64.31ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{e^{x-1} - 1}{x - 1}$ .
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$1$ $0$ $e$ $1/e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 399
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Forma $0/0$ pois $e^{1-1} - 1 = 0$ . $\lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1} - 1}{x - 1} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1}}{1} = e^0 = 1$ . Este limite é a derivada de $e^t$ em $t = 0$ , que vale 1.
Ex. 64.32Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)^2}{\ln x}$ .
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$0$ $1$ $+\infty$ $-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 400
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Forma $0/0$ pois em $x = 1$ : $(1-1)^2 = 0$ e $\ln 1 = 0$ . L'Hôpital: $\frac{2(x-1)}{1/x} = 2x(x-1) \to 0$ quando $x \to 1$ .
Ex. 64.33Application
Calcule $\lim_{x \to \pi} \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$ .
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$0$ $1$ $-1$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 401
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Forma $0/0$ pois $1 + \cos \pi = 0$ e $\sin \pi = 0$ . L'Hôpital: $\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{\cos x} = \frac{-\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0$ .
Ex. 64.34Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \left(\csc x - \dfrac{1}{x}\right)$ .
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$0$ $1$ $-\infty$ $+\infty$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 402
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Forma $\infty - \infty$ . Combine: $\csc x - 1/x = (x - \sin x)/(x \sin x)$ — forma $0/0$ . L'Hôpital iterado: $\frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} \stackrel{0/0}{=} \frac{\sin x}{2\cos x - x \sin x} \to \frac{0}{2} = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Forma $\infty - \infty$ : combine em fração $\frac{x - \sin x}{x \sin x}$ .
2. Em $x \to 0$ : numerador $\to 0$ e denominador $\to 0$ — forma $0/0$ .
3. 1.ª L'Hôpital: $\frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$ — ainda $0/0$ .
4. 2.ª L'Hôpital: $\frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x} \to 0/2 = 0$ .
Ex. 64.35ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - e^{-x}}{x}$ .
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$2$ $0$ $1$ $e^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 405
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Forma $0/0$ pois $e^0 - e^0 = 0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = 1 + 1 = 2$ . Note que $(e^x - e^{-x})/2 = \sinh x$ , e $\sinh'(0) = \cosh(0) = 1$ .
Ex. 64.36Understanding
A forma $\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x}$ é indeterminada? Aplique L'Hôpital e interprete o resultado.
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Não — a forma $\infty/\infty$ se aplica, e o limite é $+\infty$ Sim — L'Hôpital dá diretamente o resultadoNão — o limite não existeSim — mas a forma é $0/0$ ao reescrever
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 366
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Em $x \to \infty$ : $e^x \to \infty$ e $x \to \infty$ — forma $\infty/\infty$ . Aplique L'Hôpital: $e^x/1 = e^x \to \infty$ . O limite é $+\infty$ . A forma $\infty/\infty$ é indeterminada e L'Hôpital resolve mostrando que $e^x$ domina $x$ .
Ex. 64.37Challenge
Verifique se L'Hôpital é aplicável e calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{1 - \cos(\pi x)}$ . (Resp: 0)
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$\dfrac{-1}{\pi^2}$ $0$ $1$ $\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 398
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Forma $0/0$ pois em $x = 1$ : numerador $1 - 1 = 0$ e $1 - \cos(\pi \cdot 1) = 1 - (-1) = 2 \neq 0$ . Espera — verifique: $1 - \cos(\pi) = 1 + 1 = 2$ . Então não é $0/0$ ! O limite é $0/2 = 0$ . (Resp: 0) — recalculando com cuidado.
Ex. 64.38Challenge
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{1/x}$ . Justifique por que a forma não é simplesmente $0^0$ .
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$0$ $1$ $+\infty$ $1/e$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 393
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Forma $0^0$ . Seja $L = \lim_{x \to 0^+} x^{1/x}$ . Então $\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x}$ . Quando $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ e $x \to 0^+$ . Forme $\infty/0$ — não é $0/0$ nem $\infty/\infty$ ; em vez disso, a razão $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$ . Portanto $L = e^{-\infty} = 0$ .
Ex. 64.39Modeling
Em análise financeira, compara-se o crescimento de dois investimentos com bases de capitalização distintas. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{3^x - 2^x}{x}$ e interprete o resultado como diferença de taxas de crescimento logarítmicas entre as bases 3 e 2.
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$\ln 3 - \ln 2$ $\ln 3 + \ln 2$ $0$ $1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 388
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Em finanças, a taxa de crescimento instantânea de um investimento a juros $r$ compostos $n$ vezes por ano é o limite de $n((1+r/n)^n - 1)/r$ quando $n \to \infty$ . Para comparar duas taxas, o limite $\lim_{x \to 0} (3^x - 2^x)/x$ mede a diferença instantânea de crescimento das bases 3 e 2 — e vale $\ln 3 - \ln 2 = \ln(3/2)$ (exercício 64.27). A diferença logarítmica indica a vantagem relativa de crescimento. (Resp: $\ln(3/2)$ )
Ex. 64.40Proof
Prove por indução que $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ para todo inteiro $n \geq 1$ , usando L'Hôpital iterado como passo indutivo.
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$0$ , porque o exponencial domina qualquer potência inteira de $x$ após $n$ aplicações de L'Hôpital $1$ , pois ambos crescem no mesmo ritmo $+\infty$ , pois $x^n$ cresce mais rápidoDepende do valor de $n$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §4.8 · ex. 357
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Prove por indução no número de aplicações de L'Hôpital. Para $n = 1$ : $x/e^x \stackrel{\infty/\infty}{\to} 1/e^x \to 0$ . Supondo que $x^k/e^x \to 0$ para todo $k \leq n-1$ , aplique L'Hôpital a $x^n/e^x$ : resultado é $n x^{n-1}/e^x \to 0$ pela hipótese. Logo $\lim_{x \to \infty} x^n/e^x = 0$ para todo inteiro positivo $n$ . Formalmente: $x^n = o(e^x)$ .
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1. Base: $n = 1$ . $\lim_{x \to \infty} x/e^x \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim 1/e^x = 0$ .
2. Hipótese indutiva: assuma $\lim_{x \to \infty} x^{n-1}/e^x = 0$ .
3. Passo indutivo: $\lim_{x \to \infty} x^n/e^x \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim n x^{n-1}/e^x = n \cdot 0 = 0$ .
4. Conclusão: $e^x$ domina toda potência polinomial — hierarquia de infinitos confirmada.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-2-LHR.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com