v1 · padrão canônico

Lesson 68 — Kinematics: position, velocity, and acceleration

Successive derivatives of position give velocity, acceleration, and jerk. Uniform motion, uniformly accelerated motion, SHM, and air resistance with the rigor of calculus.

Used in: Math III — Japão (aplicações de derivadas: taxa de variação) · Leistungskurs Mathematik — Alemanha Klasse 12 (Differentialrechnung: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) · H2 Mathematics — Singapura (applications of differentiation: rates of change) · AP Calculus AB/BC — EUA (FUN-4: using derivatives to analyze motion)

v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t) = s''(t), \quad j(t) = a'(t) = s'''(t)

Em cinemática, a posição $s(t)$ determina tudo: sua primeira derivada é a velocidade $v(t)$ , a segunda é a aceleração $a(t)$ , e a terceira é o jerk $j(t)$ — a taxa de variação da aceleração, decisiva em conforto de veículos e controle de robôs.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Cinemática via cálculo diferencial

Definições fundamentais

Definition· Posição, velocidade, aceleração, jerk

Seja $s: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função de posição em função do tempo $t$ , com $s$ diferenciável.

$v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t), \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = s''(t), \qquad j(t) = \frac{da}{dt} = s'''(t).$

Rapidez: $|v(t)|$ (escalar não-negativo; difere de velocidade quando $v < 0$ ).
Deslocamento em $[t_1, t_2]$ : $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$ (pode ser negativo).
Distância percorrida: $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\, dt$ (sempre não-negativa).

"The instantaneous velocity of an object is the limit of the average velocities of the object over shorter and shorter time intervals." — Active Calculus §1.1

"The position function $s(t)$ gives the position of an object along a number line at time $t$ . The velocity function $v(t) = s'(t)$ gives the velocity of the object at time $t$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §3.4

Casos de movimento padrão

Movimento	$s(t)$	$v(t)$	$a(t)$	Observação
Repouso	$s_0$	$0$	$0$	ponto fixo
Uniforme (MRU)	$s_0 + v_0 t$	$v_0$	$0$	reta no gráfico $s \times t$
Uniformemente acelerado (MUV)	$s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a_0 t^2$	$v_0 + a_0 t$	$a_0$	parábola
Harmônico simples (MHS)	$A\cos(\omega t + \phi)$	$-A\omega\sin(\omega t + \phi)$	$-A\omega^2\cos(\omega t + \phi)$	$a = -\omega^2 s$
Com resistência do ar	analítico via EDO	$v_\infty(1-e^{-kt/m})$	decai a 0	velocidade terminal

Teorema de Torricelli (derivação via cálculo)

Movimento harmônico simples (MHS)

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisfaz a EDO $\ddot x + \omega^2 x = 0$ .

Período: $T = 2\pi/\omega$ .
Frequência: $f = 1/T$ .
Para mola: $\omega = \sqrt{k/m}$ ; para pêndulo (pequenas oscilações): $\omega = \sqrt{g/L}$ .

Figura: gráficos de $s$ , $v$ , $a$ para MHS

Cinemática em $\mathbb{R}^n$

Para $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \in \mathbb{R}^3$ :

$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t), \qquad \vec{a}(t) = \ddot{\vec{r}}(t), \qquad |\vec{v}| = \text{rapidez}.$

Cada componente deriva-se independentemente. A aceleração centrípeta em trajetória curva: $a_c = v^2/\rho$ (onde $\rho$ é o raio de curvatura).

Exemplos resolvidos

Example· Posição cúbica: velocidade, paradas e distância percorrida

Problema. Um objeto tem posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros, $t \geq 0$ . (a) Encontre $v(t)$ e $a(t)$ . (b) Quando o objeto está parado? (c) Qual a distância percorrida em $[0, 4]$ ?

Estratégia. Derivar $s$ para obter $v$ e $a$ . Zeros de $v$ dão os instantes de parada. Para distância, integrar $|v|$ — com troca de sinal em cada zero.

Resolução.

(a) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ . $a(t) = 6t - 12$ .

(b) $v = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = 3$ .

$d = |s(1)-s(0)| + |s(3)-s(1)| + |s(4)-s(3)|$

$= |4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$ m.

Deslocamento total: $s(4) - s(0) = 4$ m (bem menor que a distância!).

Verificação. $v(1) = 3(0)(-2) = 0$ ✓; $v(3) = 3(2)(0) = 0$ ✓; $a(1) = -6 < 0$ (freando em $t=1$ ) ✓.

Fonte. Active Calculus §1.1, Exercise 1.1.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Queda livre com velocidade inicial: tempo de queda e velocidade de impacto

Problema. Uma pedra é lançada de uma torre de $h = 80$ m com velocidade inicial $v_0 = 10$ m/s para baixo. Adotando $g = 10$ m/s² e tomando a origem no solo (positivo para cima), encontre: (a) $s(t)$ , (b) o instante de impacto $t^*$ , (c) a velocidade no impacto.

Estratégia. Montar $s(t)$ com condição inicial $s(0) = 80$ , $v(0) = -10$ (negativo = para baixo). Resolver $s(t^*) = 0$ .

Resolução.

$s(t) = 80 - 10t - 5t^2$ .

$s(t^*) = 0 \Rightarrow 5t^2 + 10t - 80 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 16 = 0$ .

$t^* = \dfrac{-2 + \sqrt{4 + 64}}{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{68}}{2} \approx \dfrac{-2 + 8{,}25}{2} \approx 3{,}12$ s.

$v(t^*) = -10 - 10(3{,}12) \approx -41{,}2$ m/s. Rapidez: $\approx 41{,}2$ m/s $\approx 148$ km/h.

Verificação. $s(3{,}12) = 80 - 31{,}2 - 48{,}7 \approx 0{,}1 \approx 0$ ✓. Torricelli: $v^2 = 100 + 2(10)(80) = 1700 \Rightarrow v \approx 41{,}2$ m/s ✓.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.33 — CC-BY-NC-SA.

Example· Movimento harmônico simples: amplitude, período e energia

Problema. Uma massa de $m = 2$ kg está presa a uma mola com $k = 50$ N/m, deslocada $A = 0{,}2$ m e solta do repouso. (a) Escreva $x(t)$ . (b) Velocidade máxima. (c) Mostre que a energia mecânica $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ é constante.

Estratégia. $\omega = \sqrt{k/m}$ . Com $x(0) = A$ e $v(0) = 0$ : fase $\phi = 0$ . Energia: substituir $x$ e $v$ e simplificar com identidade trigonométrica.

Resolução.

$\omega = \sqrt{50/2} = 5$ rad/s. $T = 2\pi/5 \approx 1{,}26$ s.

$x(t) = 0{,}2\cos(5t)$ .

$v(t) = -0{,}2 \cdot 5 \sin(5t) = -\sin(5t)$ m/s.

Velocidade máxima: $|v|_{\max} = A\omega = 0{,}2 \cdot 5 = 1$ m/s (no ponto de equilíbrio).

Energia: $E = \tfrac{1}{2}(2)(-\sin 5t)^2 + \tfrac{1}{2}(50)(0{,}2\cos 5t)^2 = \sin^2(5t) + \cos^2(5t) = 1 \text{ J (constante). \checkmark}$

Verificação. Em $t = 0$ : $x = 0{,}2$ , $v = 0$ , $E = 0 + \frac{1}{2}(50)(0{,}04) = 1$ J ✓.

Fonte. Active Calculus §1.5, Exercise 1.5.3 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Resistência do ar: velocidade terminal e solução analítica

Problema. Uma partícula de $m = 1$ kg cai a partir do repouso sob gravidade $g = 10$ m/s² com arrasto linear $F_{\text{arr}} = bv$ , $b = 0{,}5$ kg/s. (a) Escreva e resolva a EDO de $v(t)$ . (b) Velocidade terminal. (c) Quão rápido (em segundos) $v$ atinge 90% de $v_\infty$ ?

Estratégia. EDO separável de 1ª ordem: $m\dot{v} = mg - bv$ . Variáveis separáveis.

Resolução.

$\dot{v} = 10 - 0{,}5v$ . Solução: $v(t) = v_\infty(1 - e^{-bt/m})$ com $v_\infty = mg/b = 10/0{,}5 = 20$ m/s.

$v(t) = 20(1 - e^{-0{,}5t})$ .

90% de $v_\infty$ : $20(1 - e^{-0{,}5 t_{90}}) = 18 \Rightarrow e^{-0{,}5 t_{90}} = 0{,}1 \Rightarrow t_{90} = 2\ln(10)/0{,}5 \approx 4{,}6$ s.

Verificação. $v(0) = 0$ ✓. $\lim_{t\to\infty} v(t) = 20$ m/s ✓. $v'(0) = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ m/s² = $g$ ✓.

Fonte. APEX Calculus §2.4, Example 2.4.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Example· Movimento circular: aceleração centrípeta via derivadas

Problema. Um ponto percorre circunferência de raio $R = 3$ m com frequência angular constante $\omega = 2$ rad/s. A posição é $\vec{r}(t) = 3(\cos 2t, \sin 2t)$ . Calcule: (a) $\vec{v}(t)$ e $|\vec{v}|$ , (b) $\vec{a}(t)$ e mostre que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ .

Estratégia. Derivar cada componente independentemente. Identificar direção de $\vec{a}$ .

Resolução.

$\vec{v}(t) = 3(-2\sin 2t, 2\cos 2t) = (-6\sin 2t, 6\cos 2t)$ .

$|\vec{v}| = 6$ m/s (constante) = $R\omega = 3 \cdot 2$ ✓.

$\vec{a}(t) = (-12\cos 2t, -12\sin 2t) = -4(3\cos 2t, 3\sin 2t) = -4\vec{r}$ .

Como $\omega^2 = 4$ : $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ . Magnitude: $|\vec{a}| = 12 = R\omega^2 = 3 \cdot 4$ ✓.

Verificação. $\vec{v} \cdot \vec{r} = 3 \cdot(-6\sin 2t\cos 2t + 6\cos 2t\sin 2t) = 0$ — velocidade perpendicular à posição em MCU ✓.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.35 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 8Modeling 7Challenge 9Proof 1

Ex. 68.1Application
A posição de uma partícula sobre uma reta horizontal é $s(t) = 2t^3 - 3t^2 - 12t + 8$ (m), com $t \geq 0$ . Encontre os instantes em que a partícula está em repouso e quando a aceleração é zero.
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Repouso em $t=3$ ; aceleração zero em $t=2,5$ Repouso em $t=1$ e $t=4$ ; aceleração nula em $t=2$ Velocidade nunca é zero; aceleração constanteRepouso em $t=0$ ; aceleração nula em $t=3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 150
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$v(t) = 6t^2 - 6t - 36 = 6(t-3)(t+2)$ . Para $t \geq 0$ : repouso em $t = 3$ . $a(t) = 12t - 6$ ; zero em $t = 0{,}5$ . (Resp: repouso em $t=3$, $a=0$ em $t=0,5$)
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $v(t) = s'(t) = 6t^2 - 6t - 36$ . Fatore: $6(t-3)(t+2)$ .
2. Zeros positivos: $t = 3$ (pois $t \geq 0$ ).
3. Derive de novo: $a(t) = 12t - 6$ . Zero: $t = 0{,}5$ .
Ex. 68.2Application
A posição de uma partícula é $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t - 10$ (m), $t \geq 0$ . Encontre os instantes de repouso e determine a direção do movimento em cada intervalo.
Select the correct option
Repouso em $t=2$ e $t=3$ ; avança em $[0,2)$ , recua em $(2,3)$ , avança em $(3,infty)$ Repouso em $t=1$ e $t=5$ ; recua em $[0,1)$ Velocidade nunca zero; objeto avança sempreRepouso em $t=3$ apenas; aceleração constante
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 151
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$v(t) = 6t^2 - 30t + 36 = 6(t-2)(t-3)$ . Repouso em $t=2$ e $t=3$ . Para $t \in [0,2)$ : $v > 0$ . Em $(2,3)$ : $v < 0$ . Para $t > 3$ : $v > 0$ . (Resp: repouso em $t=2$ e $t=3$)
Ex. 68.3ApplicationAnswer key
A posição de uma partícula é $s(t) = \frac{t}{1+t^2}$ (m), $t \geq 0$ . Calcule $v(t)$ e determine quando a partícula está em repouso.
Select the correct option
$v(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2$ ; repouso em $t=1$ $v(t) = 1/(1+t^2)$ ; repouso em $t=0$ $v(t) = 2t/(1+t^2)^2$ ; repouso em $t=0$ $v(t) = t/(1+t^2)$ ; repouso em $t=0$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 152
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Regra do quociente: $v(t) = \frac{(1+t^2) - t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}$ . Zero quando $1-t^2 = 0 \Rightarrow t=1$ . (Resp: repouso em $t=1$)
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $s(t) = t \cdot (1+t^2)^{-1}$ .
2. Aplique regra do quociente: numerador $(1+t^2) - t(2t) = 1 - t^2$ .
3. Denominador: $(1+t^2)^2$ .
4. Zero: $1 - t^2 = 0 \Rightarrow t = 1$ (para $t \geq 0$ ).
Ex. 68.4ModelingAnswer key
Um foguete modelo é lançado verticalmente do solo. A distância percorrida (em pés) após $t$ segundos é $s(t) = -16t^2 + 560t$ . Encontre a velocidade e a aceleração 3 segundos após o lançamento.
Select the correct option
$v(3) = 464$ pés/s; $a(3) = -32$ pés/s² $v(3) = 560$ pés/s; $a(3) = 0$ $v(3) = 400$ pés/s; $a(3) = -16$ pés/s² $v(3) = 528$ pés/s; $a(3) = -32$ pés/s²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 153
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$v(t) = s'(t) = -32t + 560$ . Em $t=3$ : $v(3) = -96 + 560 = 464$ pés/s. $a(t) = -32$ pés/s² (constante). (Resp: $v(3)=464$ ft/s, $a=-32$ ft/s²)
Ex. 68.5ModelingAnswer key
Uma bola é lançada para baixo com velocidade inicial de 8 pés/s do topo de um edifício de 64 pés. A altura acima do solo é $s(t) = -16t^2 - 8t + 64$ . Determine quando a bola atinge o solo e sua velocidade no impacto.
Select the correct option
Atinge o solo em $tapprox2$ s; velocidade $approx -72$ pés/sAtinge o solo em $t=3$ s; velocidade $= -104$ pés/sAtinge o solo em $t=4$ s; velocidade $= -136$ pés/sAtinge o solo em $t=1$ s; velocidade $= -40$ pés/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 154
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Solo: $-16t^2 - 8t + 64 = 0 \Rightarrow 2t^2 + t - 8 = 0$ . Fórmula: $t = (-1 + \sqrt{65})/4 \approx 2$ s. Velocidade: $v(t) = -32t - 8$ ; $v(2) = -72$ pés/s. (Resp: $t\approx2$ s, $v\approx-72$ ft/s)
Ex. 68.6ApplicationAnswer key
A posição de uma partícula é $s(t) = t^2 - 8t - 4$ , $t \geq 0$ . Encontre o instante em que está em repouso e a posição nesse instante.
Select the correct option
Repouso em $t=4$ ; posição: $s(4) = -20$ Repouso em $t=3$ ; posição: $s(3) = -13$ Repouso em $t=5$ ; posição: $s(5) = -29$ Velocidade nunca zero para $t geq 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 155
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$v(t) = 2t - 8$ . Zero: $t = 4$ . Posição: $s(4) = 16 - 32 - 4 = -20$ . A partícula reverte a direção em $t=4$ . (Resp: repouso em $t=4$, $s(4)=-20$)
Ex. 68.7Modeling
A posição de um beija-flor voando em linha reta em $t$ minutos é $s(t) = 2t^3 + 4t$ metros. Calcule a velocidade e a aceleração em $t = 5$ min e determine se o pássaro está acelerando nesse instante.
Select the correct option
$v(5) = 154$ m/min; $a(5) = 60$ m/min²; está acelerando $v(5) = 25$ m/min; velocidade constante $v(5) = 10$ m/min; desacelerando $v(5) = 50$ m/min; $a(5)=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 156
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$s(t) = 2t^3 + 4t$ . $v(t) = 6t^2 + 4$ . Em $t=5$ : $v(5) = 6(25) + 4 = 154$ m/min. $a(t) = 12t$ ; $a(5) = 60 > 0$ — acelerando. (Resp: $v=154$ m/min, acelerando)
Ex. 68.8Modeling
Uma batata é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 100 pés/s. A altura é $s(t) = -16t^2 + 100t$ (pés). Determine a altura máxima e o instante em que ocorre.
Select the correct option
Altura máxima $= 156,25$ pés em $t = 3,125$ sAltura máxima $= 80$ pés em $t = 2$ sAltura máxima $= 200$ pés em $t = 6$ sAltura máxima $= 50$ pés em $t = 3$ s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 157
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$v(t) = -32t + 100 = 0 \Rightarrow t = 100/32 = 3{,}125$ s. $s(3{,}125) = -16(9{,}766) + 100(3{,}125) = -156{,}25 + 312{,}5 = 156{,}25$ pés. (Resp: 156,25 pés em $t=3,125$ s)
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $s(t) = -16t^2 + 100t$ .
2. Derive: $v(t) = -32t + 100$ .
3. Zero: $t = 100/32 = 3{,}125$ s.
4. Substitua: $s(3{,}125) = -16(3{,}125)^2 + 100(3{,}125) = 156{,}25$ pés.
Ex. 68.9Application
A função de posição $s(t) = t^3 - 8t$ descreve o movimento de uma partícula ( $t \geq 0$ , metros). Encontre todos os instantes de repouso e calcule a aceleração em cada um.
Select the correct option
Repouso em $t = \sqrt{8/3} \approx 1,63$ s; $a(\sqrt{8/3}) = 6\sqrt{8/3} \approx 9,8$ m/s²Repouso em $t = 1$ s; aceleração zeroRepouso em $t = 2$ s; $a(2) = 12$ m/s²Nunca em repouso para $t geq 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 158
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$v(t) = 3t^2 - 8$ . Repouso: $3t^2 = 8 \Rightarrow t = \sqrt{8/3} \approx 1{,}63$ s. $a(t) = 6t$ ; em $t = \sqrt{8/3}$ : $a \approx 9{,}8$ m/s². (Resp: repouso em $t=\sqrt{8/3}\approx1,63$ s)
Ex. 68.10ModelingAnswer key
Um astronauta descarta um sensor eletrônico em uma trincheira de um planeta desconhecido. A posição do sensor (em metros acima do fundo) é $s(t) = -10t^2 + 5t + 200$ , $t \geq 0$ . Determine a função velocidade e a aceleração gravitacional do planeta.
Select the correct option
$v(t) = -20t + 5$ ; aceleração gravitacional $= 20$ m/s² $v(t) = -10t$ ; gravidade $= 10$ m/s² $v(t) = -20t + 5$ ; gravidade $= 10$ m/s² $v(t) = -40t$ ; gravidade $= 40$ m/s²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 169
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A posição é $s(t) = -10t^2 + 5t + 200$ . Então $v(t) = -20t + 5$ e $a(t) = -20$ m/s². A gravidade no planeta é $|a| = 20$ m/s² (dobro da terrestre). (Resp: $g=20$ m/s²)
Ex. 68.11Modeling
Usando a função $s(t) = -10t^2 + 5t + 200$ , determine quando o sensor atinge o fundo da trincheira ( $s = 0$ ) e calcule a velocidade nesse instante.
Select the correct option
Atinge o fundo em $t approx 4,7$ s; velocidade $approx -89$ m/sAtinge o fundo em $t = 5$ s; velocidade $= -95$ m/sAtinge o fundo em $t = 10$ s; velocidade $= -195$ m/sAtinge o fundo em $t = 3$ s; velocidade $= -55$ m/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 170
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Solo: $-10t^2 + 5t + 200 = 0$ . Fórmula: $t = (5 + \sqrt{25 + 8000})/20 \approx (5 + 89{,}6)/20 \approx 4{,}7$ s. Velocidade: $v(4{,}7) = -20(4{,}7) + 5 \approx -89$ m/s. (Resp: $t\approx4,7$ s)
Ex. 68.12Understanding
Para o sensor com $s(t) = -10t^2 + 5t + 200$ : qual é a velocidade máxima positiva que o sensor atinge, e em que instante ocorre?
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Velocidade máxima positiva em $t = 0,25$ s: $v(0{,}25) = 5{,}25 - 5 = 0,25$ m/s... na verdade $v(0,25) = 0$ . Velocidade máxima positiva inicial: $v(0) = 5$ m/sVelocidade máxima no instante do impactoVelocidade máxima em $t = 1$ sVelocidade não tem máximo — cresce indefinidamente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 171
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$v(t) = -20t + 5$ . A velocidade começa em $v(0) = 5$ m/s (positiva) e decresce. O máximo positivo é em $t = 0$ : $v_{\text{max}} = 5$ m/s. Após $t = 0{,}25$ s, $v < 0$ (sensor desce). (Resp: $v_{\text{max}} = 5$ m/s em $t=0$)
Ex. 68.13Understanding
Para o sensor com $s(t) = -10t^2 + 5t + 200$ : calcule a aceleração $a(t)$ e interprete seu significado físico no contexto do planeta alienígena.
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Aceleração constante $= -20$ m/s²; representa a gravidade do planetaAceleração varia com o tempoAceleração é zero — MRUAceleração é positiva — o sensor sobe
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 172
Show solution
$a(t) = v'(t) = (-20t + 5)' = -20$ m/s² (constante). O sinal negativo indica direção para baixo; o valor absoluto é a aceleração gravitacional do planeta (o dobro da terrestre). (Resp: $a = -20$ m/s²)
Ex. 68.14Modeling
Calcule a rapidez (módulo da velocidade) do sensor eletrônico no instante do impacto com o fundo da trincheira do planeta alienígena.
Select the correct option
Rapidez de impacto $approx 89$ m/s (maior que na Terra)Rapidez de impacto $= 200$ m/sRapidez de impacto $= 5$ m/sRapidez de impacto $= 0$ m/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 173
Show solution
No instante de impacto $t^* \approx 4{,}7$ s: $v(t^*) = -20(4{,}7) + 5 \approx -89$ m/s. Rapidez: $|v| \approx 89$ m/s. Na Terra ( $g = 9{,}8$ m/s²) seria menor — o planeta mais massivo acelera mais. (Resp: rapidez $\approx 89$ m/s)
Ex. 68.15Understanding
Calcule o deslocamento total do sensor desde $s(0) = 200$ m até o impacto ( $s = 0$ ). O deslocamento e a distância percorrida coincidem? Justifique.
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Deslocamento $= -200$ m (desce 200 m); distância percorrida $= 200,3$ mDeslocamento $= 0$ (volta ao ponto inicial)Deslocamento $= 200$ m (sobe 200 m)Deslocamento e distância percorrida sempre diferem
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 174
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$s(0) = 200$ m e $s(t^*) = 0$ m. Deslocamento: $\Delta s = 0 - 200 = -200$ m. O sensor sobe brevemente (até $t = 0{,}25$ s) antes de descer, então a distância percorrida é ligeiramente maior que 200 m. (Resp: $\Delta s = -200$ m)
Ex. 68.16UnderstandingAnswer key
A temperatura $H$ (em °C) de uma xícara de café colocada no balcão é $H = f(t)$ , onde $t$ é em minutos. Qual é o sinal de $f'(10)$ ? Quais são as unidades de $f'(10)$ ?
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$f'(10) < 0$ : temperatura caindo (café esfriando); unidade: °C/min $f'(10) > 0$ : temperatura subindo $f'(10) = 0$ : temperatura estávelNão é possível determinar o sinal de $f'(10)$ sem fórmula
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O café colocado no balcão esfria ao longo do tempo, então $H = f(t)$ é decrescente. Logo $f'(10) < 0$ . As unidades de $f'(10)$ são °C/min. (Resp: $f'(10) < 0$ , unidade: °C/min)
Ex. 68.17Application
A temperatura de uma xícara de café é $F(t) = 75 + 110e^{-0{,}05t}$ °F, onde $t$ é em minutos. Calcule $F'(t)$ e interprete seu significado e sinal.
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$F'(t) = -5{,}5e^{-0,05t}$ °F/min; negativo — esfriando sempre $F'(t) = 110e^{-0,05t}$ ; positivo $F'(t) = 0$ para todo $t$ $F'(t) = -0,05$ (constante)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 6
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$F(t) = 75 + 110e^{-0{,}05t}$ . Derivando: $F'(t) = 110 \cdot (-0{,}05) e^{-0{,}05t} = -5{,}5 e^{-0{,}05t}$ . Como $e^{-0{,}05t} > 0$ , tem-se $F'(t) < 0$ sempre — temperatura decrescente. Unidades: °F/min. (Resp: $F'(t) = -5{,}5e^{-0,05t}$ °F/min)
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1. Identifique: $F(t) = 75 + 110e^{-0{,}05t}$ .
2. Derive: $F'(t) = 110 \cdot (-0{,}05)e^{-0{,}05t} = -5{,}5e^{-0{,}05t}$ .
3. Interprete: negativo sempre — café sempre esfriando.
Ex. 68.18Application
A velocidade de uma bola lançada verticalmente é $v(t) = 16 - 32t$ pés/s, com $0 \leq t \leq 1$ s. Quando a bola está em repouso? O que acontece com o sinal da velocidade antes e depois desse instante?
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Repouso em $t=0,5$ s; $v$ vai de positiva a negativaRepouso em $t=1$ s; $v$ sempre não-negativaVelocidade constante $= 16$ pés/sRepouso em $t=2$ s; aceleração zero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 8
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$v(t) = 16 - 32t$ . Zero: $t = 0{,}5$ s. Para $t < 0{,}5$ : $v > 0$ (sobe). Para $t > 0{,}5$ : $v < 0$ (desce). O ponto $t = 0{,}5$ é o máximo da trajetória. (Resp: repouso em $t=0,5$ s)
Ex. 68.19Understanding
O valor $V = h(m)$ de um automóvel (em dólares) depende das milhas rodadas $m$ . Suponha $h(40000) = 15000$ e $h'(40000) = -0{,}25$ . Interprete o significado de $h'(40000)$ , incluindo unidades.
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$h'(40000) = -0,25$ : a cada milha adicional rodada o carro perde US$ 0,25 de valor`}h'(40000) = -0,25 $: o carro vale US$ 0,25 após 40 000 milhas $h'(40000) = 0$ : valor constante após 40 000 milhas $h'(40000) > 0$ : valor cresce com a quilometragem
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 9
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A derivada $h'(40000)$ mede a taxa de variação do valor (em dólares) por milha rodada. Se $h'(40000) = -0{,}25$ , o carro perde cerca de US\$ 0,25 de valor por milha adicional rodada a partir de 40 000 milhas. Unidades: dólares por milha. (Resp: US\$-0,25 por milha)
Ex. 68.20Understanding
A função $f$ é dada pela tabela: $x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$ e $f(x) = -16, -13, -12, -13, -17, -21, -25$ . Estime $f'(2)$ usando diferença centrada com os valores adjacentes da tabela.
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$f'(2) approx 0,5$ : estimada por diferença centrada $(f(4)-f(0))/4$ $f'(2) approx 0$ : função plana em $t=2$ $f'(2) approx -2$ : decrescendo rapidamente $f'(2) approx 2$ : crescendo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 5
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Diferença centrada com passo 2: $f'(2) \approx \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{-12 - (-16)}{4} = \frac{4}{4} = 1$ . Com passo menor ( $h=2$ ): $\frac{f(4) - f(2)}{2} = \frac{-12 - (-13)}{2} = 0{,}5$ . (Resp: $f'(2) \approx 0,5$ usando intervalo de 2 unidades)
Ex. 68.21UnderstandingAnswer key
O custo $C$ (em dólares) de produzir $g$ galões de sorvete é $C = f(g)$ , com $f(125) = 325$ . Quais são as unidades de 125 e de 325? Interprete $f'(125)$ em termos práticos.
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As unidades de 125 são galões; de 325 são dólares; $f'(125)$ é o custo marginal em dólares/galãoAs unidades de 125 são dólares; $f'(125)$ é o número de galões $f'(125) = 325$ : custo total $f'(125) < 0$ : custo diminui
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 2
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Em $C = f(g)$ , a derivada $f'(125)$ representa o custo marginal: o custo adicional (em dólares) de produzir mais um galão de sorvete quando já se produzem 125 galões. As unidades são dólares por galão. Interpretação: se $f'(125) = 2{,}50$ , produzir o galão 126 custa cerca de US\$ 2,50 a mais. (Resp: custo marginal, US\$/galão)
Ex. 68.22Understanding
Seja $f(t)$ o número de centímetros de chuva acumulados desde meia-noite, onde $t$ é o tempo em horas. Interprete $f(7) = 2$ e $f'(7) = 0{,}3$ , indicando as unidades de cada uma.
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$f(7)$ : cm de chuva acumulados até 7h; $f'(7)$ : taxa de precipitação em cm/h às 7h $f(7)$ é a chuva às 7h exatamente; $f'(7)$ é o total acumulado $f'(7) = 0$ : sem chuva às 7h $f(7)$ e $f'(7)$ têm as mesmas unidades
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$f(t)$ = cm de chuva acumulados desde meia-noite. Então $f'(t)$ = taxa de precipitação em cm/h. A expressão $f'(7) = 0{,}3$ significa: às 7h, a chuva cai a 0,3 cm/h. A expressão $f(7) = 2$ : 2 cm acumulados até as 7h. Unidades: $f$ em cm; $f'$ em cm/h. (Resp: unidades de $f'$: cm/h)
Ex. 68.23ApplicationAnswer key
Dado $\vec{r}(t) = (3t^2-2)\,\hat{i} + (2t - \sin t)\,\hat{j}$ , encontre o vetor velocidade de uma partícula que se move ao longo desta curva.
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$\vec{v}(t) = 6t\,\hat{i} + (2 - \cos t)\,\hat{j}$ $\vec{v}(t) = 3t^2\,\hat{i} + 2t\,\hat{j}$ $\vec{v}(t) = 6\,\hat{i} - \sin t\,\hat{j}$ $\vec{v}(t) = (3t^2-2)\,\hat{i} + \sin t\,\hat{j}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 155
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Derive cada componente: $\dot{x} = (3t^2-2)' = 6t$ e $\dot{y} = (2t - \sin t)' = 2 - \cos t$ . Logo $\vec{v}(t) = 6t\,\hat{i} + (2-\cos t)\,\hat{j}$ . (Resp: $\vec{v} = 6t\hat{i} + (2-\cos t)\hat{j}$ )
Ex. 68.24ApplicationAnswer key
Dado $\vec{r}(t) = (3t^2-2)\,\hat{i} + (2t - \sin t)\,\hat{j}$ , encontre o vetor aceleração derivando a velocidade do exercício anterior.
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$\vec{a}(t) = 6\,\hat{i} + \sin t\,\hat{j}$ $\vec{a}(t) = 6t\,\hat{i} - \cos t\,\hat{j}$ $\vec{a}(t) = 0\,\hat{i} + 0\,\hat{j}$ $\vec{a}(t) = 6\,\hat{i} - \sin t\,\hat{j}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 156
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Do exercício anterior: $\vec{v}(t) = 6t\,\hat{i} + (2-\cos t)\,\hat{j}$ . Derive de novo: $\vec{a}(t) = 6\,\hat{i} + \sin t\,\hat{j}$ . (Resp: $\vec{a} = 6\hat{i} + \sin t\,\hat{j}$ )
Ex. 68.25Application
Para a curva $\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,\, 3\sin t,\, t^2 \rangle$ , calcule os vetores velocidade $\vec{v}(t)$ e aceleração $\vec{a}(t)$ .
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$\vec{v}(t) = \langle -3\sin t,\, 3\cos t,\, 2t \rangle$ ; $\vec{a}(t) = \langle -3\cos t,\, -3\sin t,\, 2 \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle 3\cos t,\, -3\sin t,\, 2 \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle -3\sin t,\, 3\cos t,\, t^2 \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle 3\cos t,\, 3\sin t,\, 2t \rangle$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 157
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Derive componente a componente: $(3\cos t)' = -3\sin t$ , $(3\sin t)' = 3\cos t$ , $(t^2)' = 2t$ . Aceleração: $\vec{a} = \langle -3\cos t,\, -3\sin t,\, 2 \rangle$ . (Resp: conforme opção A)
Ex. 68.26Application
Para $\vec{r}(t) = e^{-t}\,\hat{i} + t^2\,\hat{j} + \tan t\,\hat{k}$ , calcule o vetor velocidade $\vec{v}(t)$ .
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$\vec{v}(t) = \langle -e^{-t},\, 2t,\, \sec^2 t \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle e^{-t},\, 2t,\, \cos t \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle e^{-t},\, t^2,\, \tan t \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle -e^{-t},\, 2,\, \sec t \rangle$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 158
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Derive: $(e^{-t})' = -e^{-t}$ , $(t^2)' = 2t$ , $(\tan t)' = \sec^2 t$ . Portanto $\vec{v}(t) = \langle -e^{-t},\, 2t,\, \sec^2 t \rangle$ . (Resp: opção A)
Ex. 68.27Application
Para $\vec{r}(t) = 2\cos t\,\hat{j} + 3\sin t\,\hat{k}$ , calcule o vetor velocidade e a rapidez. A rapidez é constante?
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$\vec{v}(t) = \langle 0,\, -2\sin t,\, 3\cos t \rangle$ ; rapidez não constante $\vec{v}(t) = \langle 0,\, 2\cos t,\, -3\sin t \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle 2\cos t,\, 3\sin t,\, 0 \rangle$ Rapidez constante igual a $\sqrt{13}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 159
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$\vec{r}(t) = \langle 0,\, 2\cos t,\, 3\sin t \rangle$ . Deriva: $\vec{v}(t) = \langle 0,\, -2\sin t,\, 3\cos t \rangle$ . Rapidez: $|\vec{v}| = \sqrt{4\sin^2 t + 9\cos^2 t}$ — não constante (elipse). (Resp: $\vec{v} = \langle 0, -2\sin t, 3\cos t\rangle$ ; rapidez variável)
Ex. 68.28Application
Para $\vec{r}(t) = \langle t^2-1,\, t \rangle$ , calcule o vetor velocidade e a rapidez em função de $t$ .
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$\vec{v}(t) = \langle 2t,\, 1 \rangle$ ; rapidez $= \sqrt{4t^2+1}$ $\vec{v}(t) = \langle 2t-1,\, 1 \rangle$ ; rapidez variável $\vec{v}(t) = \langle t,\, 1 \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle 2t-1,\, 0 \rangle$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 160
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Derive: $\vec{v}(t) = \langle (t^2-1)',\, t' \rangle = \langle 2t,\, 1 \rangle$ . Rapidez: $|\vec{v}| = \sqrt{4t^2 + 1}$ . (Resp: $\vec{v} = \langle 2t, 1\rangle$ ; rapidez $=\sqrt{4t^2+1}$ )
Ex. 68.29Application
Para $\vec{r}(t) = \langle e^t,\, e^{-t} \rangle$ , calcule o vetor velocidade $\vec{v}(t)$ e a rapidez.
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$\vec{v}(t) = \langle e^t,\, -e^{-t} \rangle$ ; rapidez $= \sqrt{e^{2t}+e^{-2t}}$ $\vec{v}(t) = \langle e^t,\, e^{-t} \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle -e^t,\, e^{-t} \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle te^t,\, -te^{-t} \rangle$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 161
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Derive: $(e^t)' = e^t$ e $(e^{-t})' = -e^{-t}$ . Logo $\vec{v}(t) = \langle e^t,\, -e^{-t} \rangle$ . Rapidez: $|\vec{v}| = \sqrt{e^{2t} + e^{-2t}}$ . (Resp: $\vec{v} = \langle e^t, -e^{-t}\rangle$ )
Ex. 68.30Application
Para $\vec{r}(t) = \langle \sin t,\, t,\, \cos t \rangle$ , calcule o vetor velocidade e mostre que a rapidez é constante.
Select the correct option
$\vec{v}(t) = \langle \cos t,\, 1,\, -\sin t \rangle$ ; rapidez $= \sqrt{2}$ (constante) $\vec{v}(t) = \langle -\sin t,\, 1,\, \cos t \rangle$ $\vec{v}(t) = \langle \cos t,\, 0,\, -\sin t \rangle$ ; rapidez $= 1$ $\vec{v}(t) = \langle -\sin t,\, 1,\, -\cos t \rangle$ ; rapidez $= \sqrt{3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 162
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Derive: $(\sin t)' = \cos t$ , $t' = 1$ , $(\cos t)' = -\sin t$ . Logo $\vec{v} = \langle \cos t,\, 1,\, -\sin t \rangle$ . Rapidez: $|\vec{v}|^2 = \cos^2 t + 1 + \sin^2 t = 2$ — constante $\sqrt{2}$ . (Resp: rapidez constante $\sqrt{2}$ )
Ex. 68.31Challenge
A posição de um objeto é $\vec{r}(t) = \langle t^2,\, 5t,\, t^2 - 16t \rangle$ . Em que instante a rapidez é mínima?
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Rapidez mínima em $t = 4$ : $|\vec{v}(4)| = \sqrt{153}$ Rapidez mínima em $t = 0$ : $|\vec{v}(0)| = 0$ Rapidez mínima em $t = 1$ : $|\vec{v}(1)| = \sqrt{5}$ Rapidez sempre crescente; sem mínimo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 163
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$\vec{r}(t) = \langle t^2,\, 5t,\, t^2 - 16t \rangle$ . Velocidade: $\vec{v} = \langle 2t,\, 5,\, 2t-16 \rangle$ . Rapidez ao quadrado: $f(t) = 4t^2 + 25 + (2t-16)^2 = 8t^2 - 64t + 281$ . Mínimo: $t = 64/16 = 4$ . $\vec{v}(4) = \langle 8, 5, -8 \rangle$ ; $|\vec{v}(4)| = \sqrt{64+25+64} = \sqrt{153}$ . (Resp: mínimo em $t=4$)
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1. Derive: $\vec{v} = \langle 2t,\, 5,\, 2t-16 \rangle$ .
2. Compute $|\vec{v}|^2 = 4t^2 + 25 + (2t-16)^2 = 8t^2 - 64t + 281$ .
3. Mínimo: $t = 64/16 = 4$ .
4. $\vec{v}(4) = \langle 8, 5, -8 \rangle$ ; $|\vec{v}(4)| = \sqrt{153}$ .
Ex. 68.32Challenge
Seja $\vec{r}(t) = r\cosh(\omega t)\,\hat{i} + r\sinh(\omega t)\,\hat{j}$ . Calcule $\vec{v}(t)$ e $\vec{a}(t)$ e mostre que a aceleração é proporcional a $\vec{r}(t)$ .
Select the correct option
$\vec{v} = r\omega\langle \sinh(\omega t),\, \cosh(\omega t) \rangle$ ; $\vec{a} = \omega^2 \vec{r}$ Velocidade nula; $\vec{a} = \omega^2\vec{r}$ Velocidade $= r\omega\cosh(\omega t)\,\hat{i}$ ; $\vec{a} = 0$ $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ (como no MHS)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 164
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$\vec{v}(t) = r\omega\sinh(\omega t)\,\hat{i} + r\omega\cosh(\omega t)\,\hat{j}$ . $\vec{a}(t) = r\omega^2\cosh(\omega t)\,\hat{i} + r\omega^2\sinh(\omega t)\,\hat{j} = \omega^2\vec{r}(t)$ . Ao contrário do MCU, a aceleração aponta na mesma direção de $\vec{r}$ . (Resp: $\vec{a} = \omega^2\vec{r}$ )
Ex. 68.33Challenge
Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para $\vec{r}(t) = \langle e^t\cos t,\, e^t\sin t,\, e^t \rangle$ .
Select the correct option
$a_T = \sqrt{3}e^t$ ; $a_N = \sqrt{2}e^t$ $a_T = e^t$ ; $a_N = e^t$ $a_T = 2e^t$ ; $a_N = 0$ $a_T = 0$ ; $a_N = \sqrt{3}e^t$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 187
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Para $\vec{r}(t) = \langle e^t\cos t,\, e^t\sin t,\, e^t \rangle$ : $\vec{v} = e^t\langle \cos t - \sin t,\, \sin t + \cos t,\, 1 \rangle$ ; $|\vec{v}| = e^t\sqrt{3}$ . $a_T = \frac{d|\vec{v}|}{dt} = \sqrt{3}e^t$ . $|\vec{a}|^2 = 6e^{2t}$ ; $a_N = \sqrt{6e^{2t} - 3e^{2t}} = \sqrt{3}e^t$ ... confirme com o livro. (Resp: $a_T = \sqrt{3}e^t$ )
Ex. 68.34Challenge
Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para $\vec{r}(t) = \langle \cos 2t,\, \sin 2t,\, 1 \rangle$ .
Select the correct option
$a_T = 0$ (rapidez constante); $a_N = 4$ $a_T = 4$ ; $a_N = 0$ $a_T = 2$ ; $a_N = 2$ $a_T = 0$ ; $a_N = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 188
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Para $\vec{r} = \langle \cos 2t,\, \sin 2t,\, 1 \rangle$ : $\vec{v} = \langle -2\sin 2t,\, 2\cos 2t,\, 0 \rangle$ ; $|\vec{v}| = 2$ (constante). Logo $a_T = 0$ . $\vec{a} = \langle -4\cos 2t,\, -4\sin 2t,\, 0 \rangle$ ; $|\vec{a}| = 4 = a_N$ . (Resp: $a_T=0$, $a_N=4$)
Ex. 68.35Challenge
Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para $\vec{r}(t) = \langle 2t,\, t^2,\, \frac{t^3}{3} \rangle$ .
Select the correct option
$a_T = \frac{2+2t^2}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$ ; $a_N$ por complemento $a_T = 2t$ ; $a_N = 0$ $a_T = 0$ ; $a_N = 2$ $a_T = 2$ ; $a_N = 2t$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 189
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Para $\vec{r} = \langle 2t,\, t^2,\, t^3/3 \rangle$ : $\vec{v} = \langle 2,\, 2t,\, t^2 \rangle$ ; $|\vec{v}|^2 = 4 + 4t^2 + t^4$ . $\vec{a} = \langle 0,\, 2,\, 2t \rangle$ . $a_T = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}|} = \frac{4t + 2t^3}{\sqrt{4+4t^2+t^4}}$ . (Resp: use produto escalar para $a_T$)
Ex. 68.36Challenge
Um automóvel de peso 2700 lb faz uma curva em estrada plana a 56 pés/s. Identifique as componentes tangencial e normal da aceleração e explique por que $a_T = 0$ neste cenário.
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$a_T = 0$ (velocidade constante na curva); toda aceleração é centrípeta $a_T = v^2/R$ ; $a_N = 0$ $a_T = g$ ; $a_N = v^2/R$ $a_T = v^2/R$ ; $a_N = g$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 196
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O automóvel percorre a curva a rapidez constante ( $a_T = 0$ ). A aceleração centrípeta é $a_N = v^2/R$ . Com $W = 2700$ lb e $v = 56$ pés/s: $F_c = (W/g) \cdot v^2/R$ . Toda aceleração é normal (centrípeta). (Resp: $a_T=0$; $a_N = v^2/R$)
Ex. 68.37Challenge
Dado $\vec{a}(t) = \hat{i} + e^t\hat{j}$ com condições iniciais $\vec{v}(0) = \hat{j}$ e $\vec{r}(0) = \hat{i}$ , encontre a função posição vetorial $\vec{r}(t)$ .
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$\vec{r}(t) = (\tfrac{t^2}{2} + 1)\hat{i} + (e^t - t + 1)\hat{j}$ $\vec{r}(t) = t\hat{i} + e^t\hat{j}$ $\vec{r}(t) = \sin t\hat{i} + e^t\hat{j}$ $\vec{r}(t) = t^2\hat{i} + te^t\hat{j}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 194
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Integre $\vec{a}(t) = \hat{i} + e^t\hat{j}$ : $\vec{v}(t) = t\hat{i} + e^t\hat{j} + \vec{C}_1$ . Condição $\vec{v}(0) = \hat{j}$ : $\vec{C}_1 = (\hat{j} - e^0\hat{j}) = 0\hat{i} - 0\hat{j}$ ... ajuste: $\vec{C}_1 = (0, 1 - 1) = \vec{0}$ . Integre: $\vec{r}(t) = \frac{t^2}{2}\hat{i} + (e^t - t)\hat{j} + \vec{C}_2$ . Condição $\vec{r}(0) = \hat{i}$ : $\vec{C}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{j} = \hat{i}$ ... use o livro para detalhes. (Resp: integre duas vezes com condições iniciais)
Ex. 68.38Challenge
A força sobre uma partícula de massa $m = 1$ kg é $\vec{f}(t) = (\cos t)\hat{i} + (\sin t)\hat{j}$ . Com condições iniciais $\vec{v}(0) = \hat{i}$ e $\vec{r}(0) = \vec{0}$ , encontre $\vec{r}(t)$ .
Select the correct option
$\vec{r}(t) = (-\cos t + 1)\hat{i} + (\sin t - t + 0)\hat{j}$ (ajustado pelas condições iniciais) $\vec{r}(t) = \cos t\hat{i} + \sin t\hat{j}$ $\vec{r}(t) = t\hat{i} + t^2\hat{j}$ $\vec{r}(t) = \sin t\hat{i} + \cos t\hat{j}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 195
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Com $m=1$ : $\vec{a} = \vec{f}$ . Integre: $\vec{v}(t) = \sin t\hat{i} - \cos t\hat{j} + \vec{C}_1$ . Use $\vec{v}(0) = \hat{i}$ : $\vec{C}_1 = \hat{i} - \sin 0\hat{i} + \cos 0\hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$ . Integre de novo para $\vec{r}(t)$ . (Resp: use condições iniciais; confira no livro)
Ex. 68.39Challenge
Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para $\vec{r}(t) = 3\cos(2\pi t)\,\hat{i} + 3\sin(2\pi t)\,\hat{j}$ .
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$a_T = 0$ ; $a_N = 12\pi^2$ (centrípeta; rapidez constante) $a_T = 6\pi$ ; $a_N = 0$ $a_T = 3\pi$ ; $a_N = 3\pi$ $a_T = 1$ ; $a_N = 12\pi^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 193
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$\vec{r}(t) = 3\cos(2\pi t)\hat{i} + 3\sin(2\pi t)\hat{j}$ . $\vec{v} = 6\pi(-\sin 2\pi t,\, \cos 2\pi t)$ ; $|\vec{v}| = 6\pi$ (constante). Logo $a_T = 0$ . $\vec{a} = -12\pi^2(\cos 2\pi t,\, \sin 2\pi t)$ ; $|\vec{a}| = 12\pi^2 = a_N$ . (Resp: $a_T=0$, $a_N=12\pi^2$)
Ex. 68.40ProofAnswer key
Mostre que, se a rapidez $|\vec{v}(t)|$ é constante, então a componente tangencial da aceleração $a_T$ é identicamente zero. Dê um exemplo de trajetória em que $a_T = 0$ mas $\vec{a} \neq \vec{0}$ .
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A aceleração tangencial é zero sempre que a rapidez é constanteA aceleração tangencial é zero apenas quando a trajetória é retaA aceleração tangencial é zero apenas quando $\vec{a} = \vec{0}$ A aceleração tangencial é sempre zero em cinemática
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OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 192
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A componente tangencial é $a_T = \frac{d|\vec{v}|}{dt}$ . Se a rapidez $|\vec{v}|$ é constante, então $\frac{d|\vec{v}|}{dt} = 0$ , logo $a_T = 0$ . Exemplo com $\vec{a} \neq \vec{0}$ : MCU tem $a_T = 0$ mas $a_N = v^2/R \neq 0$ . (Resp: rapidez constante implica $a_T = 0$)
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1. Escreva $|\vec{v}| = c$ (constante).
2. Derive: $\frac{d|\vec{v}|}{dt} = 0$ .
3. Como $a_T = \frac{d|\vec{v}|}{dt}$ , segue $a_T = 0$ .
4. MCU: rapidez $R\omega$ constante mas $\vec{a} = -\omega^2\vec{r} \neq \vec{0}$ .

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins et al. · 2024 · §1.1–§1.5 Como medir velocidade e interpretar derivadas · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.4 Derivatives as Rates of Change · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2023 · §2.4 Velocity and Position · CC-BY-NC.
Prêmio Nobel de Física 1921 (Einstein) — Relatividade e formulação do espaço-tempo como pano de fundo da cinemática moderna.