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Lesson 69 — Newton-Raphson Method

The iteration $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ for finding roots. Quadratic convergence, failures, basins of attraction.

Used in: Year 2 of program (age 17) · Equivalent Japanese Math III (numerical methods) · Equivalent German Klasse 12 LK (Numerik)

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

O método de Newton-Raphson aproxima uma raiz rr de f(x)=0f(x)=0 por iteração: parta de x0x_0 próximo de rr, em cada passo substitua ff pela tangente em xnx_n e tome o cruzamento dessa tangente com o eixo xx. Sob hipóteses suaves, a convergência é quadrática: o número de dígitos corretos dobra a cada iteração.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição, derivação e convergência

A iteração de Newton-Raphson

"Newton's Method is a technique to approximate the solution of f(x)=0f(x) = 0. It works when one can perform repeated evaluations of ff and f′f', making it ideal for functions like polynomials, exponentials, and trigonometric functions." — APEX Calculus, §4.4

Derivação via aproximação linear (Taylor ordem 1)

Se rr é raiz de ff e xnx_n está próximo de rr, pela expansão de Taylor:

0=f(r)≈f(xn)+f′(xn)(r−xn).0 = f(r) \approx f(x_n) + f'(x_n)(r - x_n).

Resolvendo para rr: r≈xn−f(xn)/f′(xn)=xn+1r \approx x_n - f(x_n)/f'(x_n) = x_{n+1}. A iteração define a próxima estimativa como o zero da aproximação linear.

xy(xn,f(xn))(x_n, f(x_n))xn+1x_{n+1}xnx_nrry=f(x)y = f(x)tangente em xnx_n

A tangente em (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)) corta o eixo xx em xn+1x_{n+1}, sempre mais próximo da raiz rr (ponto preenchido azul) — desde que x0x_0 esteja próximo o suficiente.

Teorema de convergência local

Prova (esboço). Seja en=xn−re_n = x_n - r. Taylor de ff em torno de rr:

0=f(r)=f(xn)+f′(xn)(r−xn)+f′′(ξn)2(r−xn)20 = f(r) = f(x_n) + f'(x_n)(r - x_n) + \frac{f''(\xi_n)}{2}(r - x_n)^2

para algum ξn\xi_n entre xnx_n e rr. Da iteração, xn+1−r=xn−f(xn)/f′(xn)−rx_{n+1} - r = x_n - f(x_n)/f'(x_n) - r. Substituindo e simplificando:

en+1=−f′′(ξn)2f′(xn) en2.e_{n+1} = -\frac{f''(\xi_n)}{2 f'(x_n)}\, e_n^2.

Quando xn→rx_n \to r, ξn→r\xi_n \to r e f′(xn)→f′(r)≠0f'(x_n) \to f'(r) \neq 0, logo ∣en+1∣/∣en∣2→∣f′′(r)∣/(2∣f′(r)∣)=C|e_{n+1}|/|e_n|^2 \to |f''(r)|/(2|f'(r)|) = C. □\square

Patologias e falhas

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 12Modeling 3Challenge 8Proof 1
  1. Ex. 69.1Application

    Escreva a fórmula de Newton xn+1=F(xn)x_{n+1}=F(x_n) para resolver f(x)=0f(x)=0 com f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. O que pode concluir sobre a existência de raízes reais?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 406
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    Para f(x)=x2+1f(x)=x^2+1, temos f′(x)=2xf'(x)=2x. Newton: xn+1=xn−(xn2+1)/(2xn)x_{n+1}=x_n-(x_n^2+1)/(2x_n). Note que x2+1≥1>0x^2+1 \geq 1 > 0 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, portanto não há raízes reais e o método diverge.
  2. Ex. 69.2Application

    Escreva a fórmula de Newton para resolver f(x)=x3+2x+1=0f(x)=x^3+2x+1=0. Por que o denominador nunca se anula?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 407
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    Para f(x)=x3+2x+1f(x)=x^3+2x+1, temos f′(x)=3x2+2f'(x)=3x^2+2. Newton: xn+1=xn−(xn3+2xn+1)/(3xn2+2)x_{n+1}=x_n-(x_n^3+2x_n+1)/(3x_n^2+2). Como 3x2+2≥23x^2+2 \geq 2 para todo xx, o denominador nunca é zero e o método está sempre bem definido.
  3. Ex. 69.3ApplicationAnswer key

    Escreva a fórmula de Newton para resolver sin⁡x=0\sin x=0. Em que pontos o método falha? (Resp: xn+1=xn−tan⁡xnx_{n+1}=x_n-\tan x_n)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 408
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    Para f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x, f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x. Newton: xn+1=xn−sin⁡(xn)/cos⁡(xn)=xn−tan⁡(xn)x_{n+1}=x_n-\sin(x_n)/\cos(x_n)=x_n-\tan(x_n). O método falha quando cos⁡(xn)=0\cos(x_n)=0, i.e., xn=π/2+kπx_n=\pi/2+k\pi.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x e calcule f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x.
    2. Aplique: xn+1=xn−sin⁡xncos⁡xn=xn−tan⁡xnx_{n+1}=x_n - \frac{\sin x_n}{\cos x_n}=x_n-\tan x_n.
    3. Pontos de falha: onde cos⁡xn=0\cos x_n=0, ou seja xn=π/2+kπx_n=\pi/2+k\pi para k∈Zk\in\mathbb{Z}.
  4. Ex. 69.4ApplicationAnswer key

    Escreva a fórmula de Newton para f(x)=exf(x)=e^x. O que acontece com a sequência? Por que não há convergência?

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    OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 409
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    Para f(x)=exf(x)=e^x, f′(x)=exf'(x)=e^x. Newton: xn+1=xn−exn/exn=xn−1x_{n+1}=x_n-e^{x_n}/e^{x_n}=x_n-1. Como ex>0e^x > 0 sempre, não há raízes reais e a sequência diverge para −∞-\infty.
  5. Ex. 69.5Application

    Escreva a fórmula de Newton para resolver f(x)=x3+3xex=0f(x)=x^3+3xe^x=0. Qual é a raiz exata desta equação?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 410
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    Para f(x)=x3+3xexf(x)=x^3+3xe^x, pela regra do produto: f′(x)=3x2+3ex+3xexf'(x)=3x^2+3e^x+3xe^x. Newton: xn+1=xn−(xn3+3xnexn)/(3xn2+3exn+3xnexn)x_{n+1}=x_n-(x_n^3+3x_n e^{x_n})/(3x_n^2+3e^{x_n}+3x_n e^{x_n}). A raiz é x=0x=0.
  6. Ex. 69.6UnderstandingAnswer key

    Considere a iteração xn+1=xn−c f(xn)x_{n+1}=x_n-c\,f(x_n) para f(x)=x2−4f(x)=x^2-4, x0=0x_0=0. Qual afirmação melhor descreve quando essa iteração converge para uma raiz?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 411
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    A iteração xn+1=xn−c f(xn)x_{n+1}=x_n-c\,f(x_n) com f(x)=x2−4f(x)=x^2-4 e x0=0x_0=0: para c=1/(24)=1/4c=1/(2\sqrt{4})=1/4, o método converge para x=2x=2. Newton corresponde a c=1/f′(xn)c=1/f'(x_n) (variável). Escolhas ruins de cc divergem.
  7. Ex. 69.7Understanding

    Na iteração xn+1=xn−c f(xn)x_{n+1}=x_n-c\,f(x_n), qual escolha de cc (possivelmente dependente de xnx_n) recupera o método de Newton-Raphson?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 413
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    Na iteração generalizada xn+1=xn−c f(xn)x_{n+1}=x_n-c\,f(x_n), se c=1/f′(xn)c=1/f'(x_n), ela se torna xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n), que é exatamente o método de Newton-Raphson. O valor de cc é adaptativo (varia a cada iteração).
  8. Ex. 69.8ApplicationAnswer key

    Use o método de Newton para resolver x2−10=0x^2-10=0 com 4 casas decimais de precisão. (Resp: x≈3,1623x \approx 3{,}1623)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 422
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    Para x2−10=0x^2-10=0, f(x)=x2−10f(x)=x^2-10, f′(x)=2xf'(x)=2x. Com x0=3x_0=3: x1=3−(9−10)/6=3,16‾x_1=3-(9-10)/6=3{,}1\overline{6}. Com mais iterações, converge para 10≈3,1623\sqrt{10}\approx3{,}1623.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva f(x)=x2−10f(x)=x^2-10, f′(x)=2xf'(x)=2x.
    2. Escolha x0=3x_0=3 (pois 32=93^2=9 é próximo de 10).
    3. x1=3−(9−10)/6=3+1/6≈3,1667x_1=3-(9-10)/6=3+1/6\approx3{,}1667.
    4. x2=3,1667−(3,16672−10)/(2⋅3,1667)≈3,1623x_2=3{,}1667-(3{,}1667^2-10)/(2\cdot3{,}1667)\approx3{,}1623.
    5. Valor exato: 10=3,16227…\sqrt{10}=3{,}16227\ldots. Correto a 4 casas.
  9. Ex. 69.9Application

    Use Newton para resolver x4−100=0x^4-100=0 com 4 casas de precisão. Qual é a raiz positiva? (Resp: x≈3,1623x\approx3{,}1623)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 423
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    Para x4−100=0x^4-100=0, as raízes positivas são x=1001/4=10≈3,1623x=100^{1/4}=\sqrt{10}\approx3{,}1623. Newton com f(x)=x4−100f(x)=x^4-100, f′(x)=4x3f'(x)=4x^3 converge rapidamente a partir de x0=3x_0=3.
  10. Ex. 69.10ApplicationAnswer key

    Aplique Newton para resolver x2−x=0x^2-x=0. Quais são as raízes exatas da equação?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 424
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    Para x2−x=0x^2-x=0, fatoramos: x(x−1)=0x(x-1)=0, logo raízes exatas x=0x=0 e x=1x=1. Newton com f(x)=x2−xf(x)=x^2-x, f′(x)=2x−1f'(x)=2x-1 encontra ambas dependendo do chute inicial.
  11. Ex. 69.11Application

    Aplique Newton para resolver x3−x=0x^3-x=0. Quais são todas as raízes reais desta equação?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 425
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    x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)=0x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0 tem raízes exatas x=0,±1x=0,\pm1. Newton encontra qualquer uma delas dependendo de x0x_0. Com f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^2-1, o método falha em xn=±1/3x_n=\pm1/\sqrt{3}.
  12. Ex. 69.12Application

    Use Newton para resolver x+5cos⁡x=0x+5\cos x=0 com 4 casas de precisão. (Resp: x≈−1,3065x\approx-1{,}3065)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 426
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    Para x+5cos⁡x=0x+5\cos x=0, f(x)=x+5cos⁡xf(x)=x+5\cos x, f′(x)=1−5sin⁡xf'(x)=1-5\sin x. Com x0=−1x_0=-1: Newton converge para x≈−1,3065x\approx-1{,}3065 em poucos passos.
  13. Ex. 69.13Application

    Use Newton para resolver x+tan⁡x=0x+\tan x=0 com x0∈(−π/2,π/2)x_0\in(-\pi/2,\pi/2). Qual é a raiz no intervalo?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 427
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    Para x+tan⁡x=0x+\tan x=0 em (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2): f(x)=x+tan⁡xf(x)=x+\tan x, f′(x)=1+sec⁡2xf'(x)=1+\sec^2 x. A única raiz no intervalo é x=0x=0. Newton converge para esse ponto a partir de qualquer x0∈(−π/2,π/2)x_0\in(-\pi/2,\pi/2).
  14. Ex. 69.14Application

    Use Newton para resolver 1/(1−x)=21/(1-x)=2. Qual é a raiz exata? (Resp: x=0,5000x=0{,}5000)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 428
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    Reescreva: 1/(1−x)=2⇒1=2(1−x)⇒x=1/21/(1-x)=2 \Rightarrow 1=2(1-x) \Rightarrow x=1/2. Newton com f(x)=1/(1−x)−2f(x)=1/(1-x)-2, f′(x)=1/(1−x)2f'(x)=1/(1-x)^2 converge para x=0,5x=0{,}5. A raiz exata é x=0,5000x=0{,}5000.
  15. Ex. 69.15Application

    Use Newton para resolver 1+x+x2+x3+x4=21+x+x^2+x^3+x^4=2 com 4 casas de precisão. (Resp: x≈0,5188x\approx0{,}5188)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 429
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    Escreva f(x)=1+x+x2+x3+x4−2=x4+x3+x2+x−1f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4-2=x^4+x^3+x^2+x-1. Newton com x0=0,5x_0=0{,}5 converge para x≈0,5188x\approx0{,}5188 em 4 iterações. Verifique: f(0,5188)≈0f(0{,}5188)\approx0.
  16. Ex. 69.16Application

    Use Newton para resolver x3+(x+1)3=103x^3+(x+1)^3=10^3 com 4 casas de precisão. (Resp: x≈2,1547x\approx2{,}1547)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 430
    Show solution
    Reescreva: x3+(x+1)3=103⇒f(x)=x3+(x+1)3−1000=0x^3+(x+1)^3=10^3 \Rightarrow f(x)=x^3+(x+1)^3-1000=0. f′(x)=3x2+3(x+1)2f'(x)=3x^2+3(x+1)^2. Com x0=4x_0=4, Newton converge para x≈2,1547x\approx2{,}1547 que satisfaz 2,15473+3,15473≈10002{,}1547^3+3{,}1547^3\approx1000.
  17. Ex. 69.17Understanding

    Use Newton para resolver x=sin⁡2(x)x=\sin^2(x). Quantas soluções reais existem e qual é o valor exato?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 431
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    Para x=sin⁡2(x)x=\sin^2(x), escreva f(x)=x−sin⁡2(x)f(x)=x-\sin^2(x). Graficamente, y=xy=x e y=sin⁡2(x)y=\sin^2(x) se cruzam apenas em x=0x=0 (pois 0≤sin⁡2(x)≤10\leq\sin^2(x)\leq1 e para x>1x>1, x>sin⁡2(x)x>\sin^2(x)). Newton confirma isso convergindo para x=0x=0.
  18. Ex. 69.18Understanding

    Use Newton para encontrar o(s) ponto(s) fixo(s) de g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x (onde g(x)=xg(x)=x). Arredonde a 3 casas.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 432
    Show solution
    Um ponto fixo de g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x satisfaz sin⁡x=x\sin x=x. Defina f(x)=sin⁡x−xf(x)=\sin x-x. Como ∣sin⁡x∣≤∣x∣|\sin x|\leq|x| com igualdade apenas em x=0x=0, o único ponto fixo real é x=0x=0. Newton com f′(x)=cos⁡x−1f'(x)=\cos x-1 confirma.
  19. Ex. 69.19Understanding

    Use Newton para encontrar o ponto fixo de g(x)=tan⁡xg(x)=\tan x em (π/2,3π/2)(\pi/2,3\pi/2) (onde tan⁡x=x\tan x=x). Arredonde a 3 casas.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 433
    Show solution
    Ponto fixo de tan⁡x\tan x em (π/2,3π/2)(\pi/2,3\pi/2): resolva tan⁡x=x\tan x=x. f(x)=tan⁡x−xf(x)=\tan x-x, f′(x)=sec⁡2x−1f'(x)=\sec^2 x-1. Com x0=4,5x_0=4{,}5, Newton converge para x≈4,493x\approx4{,}493.
  20. Ex. 69.20Understanding

    Use Newton para encontrar o ponto fixo de g(x)=ex−2g(x)=e^x-2 (onde ex−2=xe^x-2=x). Arredonde a 3 casas. (Resp: x≈1,146x\approx1{,}146)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 434
    Show solution
    Ponto fixo de ex−2e^x-2: resolva ex−2=xe^x-2=x, i.e., f(x)=ex−2−xf(x)=e^x-2-x, f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1. Com x0=1x_0=1, Newton converge para x≈1,146x\approx1{,}146.
  21. Ex. 69.21Understanding

    Use Newton para encontrar o ponto fixo de g(x)=ln⁡(x)+2g(x)=\ln(x)+2 (onde ln⁡x+2=x\ln x+2=x). Arredonde a 3 casas.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 435
    Show solution
    Ponto fixo de ln⁡(x)+2\ln(x)+2: resolva ln⁡x+2=x\ln x+2=x, i.e., f(x)=ln⁡x+2−xf(x)=\ln x+2-x, f′(x)=1/x−1f'(x)=1/x-1. Com x0=0,2x_0=0{,}2, Newton converge para x≈0,158x\approx0{,}158. Verifique também o ponto x≈−1,841x\approx-1{,}841 com domínio estendido.
  22. Ex. 69.22Proof

    Mostre que para encontrar pontos críticos de ff via Newton aplicado a f′f', a iteração é xn+1=xn−f′(xn)/f′′(xn)x_{n+1}=x_n-f'(x_n)/f''(x_n).

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    OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 436
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    Para encontrar pontos críticos, queremos f′(x)=0f'(x)=0. Aplique Newton à função g(x)=f′(x)g(x)=f'(x): xn+1=xn−g(xn)/g′(xn)=xn−f′(xn)/f′′(xn)x_{n+1}=x_n-g(x_n)/g'(x_n)=x_n-f'(x_n)/f''(x_n). Requer que f′′(xn)≠0f''(x_n)\neq0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Queremos raízes de f′(x)=0f'(x)=0. Defina g=f′g=f'.
    2. Newton aplicado a gg: xn+1=xn−g(xn)/g′(xn)x_{n+1}=x_n-g(x_n)/g'(x_n).
    3. Como g′=f′′g'=f'', obtemos xn+1=xn−f′(xn)/f′′(xn)x_{n+1}=x_n-f'(x_n)/f''(x_n).
    4. Condição de boa definição: f′′(xn)≠0f''(x_n)\neq0.
  23. Ex. 69.23Understanding

    Ao aplicar Newton para encontrar máximos e mínimos de ff (i.e., raízes de f′f'), quais restrições adicionais sobre ff são necessárias?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 437
    Show solution
    Para usar Newton em f′(x)=0f'(x)=0, precisamos: (1) f′′(xn)≠0f''(x_n)\neq0 (o denominador da iteração); (2) que os pontos críticos sejam raízes simples de f′f' (i.e., f′′(x∗)≠0f''(x^*)\neq0) para garantir convergência quadrática. Pontos de inflexão onde f′=f′′=0f'=f''=0 causam falha.
  24. Ex. 69.24Application

    Use Newton (aplicado a f′f') para localizar o mínimo de f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4. Arredonde a 3 casas. (Resp: x=−1x=-1)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 438
    Show solution
    Para o mínimo de f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4, resolva f′(x)=2x+2=0f'(x)=2x+2=0. Newton com f′′(x)=2f''(x)=2: xn+1=xn−(2xn+2)/2=xn−xn−1=−1x_{n+1}=x_n-(2x_n+2)/2=x_n-x_n-1=-1. Converge em **1 passo** para x=−1x=-1. Faz sentido: f′f' é linear.
  25. Ex. 69.25Application

    Use Newton (aplicado a f′f') para localizar o mínimo de f(x)=3x3+2x2−16f(x)=3x^3+2x^2-16. Arredonde a 3 casas.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 439
    Show solution
    Para o mínimo de f(x)=3x3+2x2−16f(x)=3x^3+2x^2-16, f′(x)=9x2+4xf'(x)=9x^2+4x, f′′(x)=18x+4f''(x)=18x+4. Newton: xn+1=xn−(9xn2+4xn)/(18xn+4)x_{n+1}=x_n-(9x_n^2+4x_n)/(18x_n+4). Com x0=−0,5x_0=-0{,}5, converge para x≈−0,444x\approx-0{,}444.
  26. Ex. 69.26ChallengeAnswer key

    Use Newton para localizar os mínimos locais de f(x)=x2exf(x)=x^2 e^x. Arredonde a 3 casas.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 440
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    Para o mínimo de f(x)=x2exf(x)=x^2 e^x: f′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)f'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x). Raízes de f′f': x=0x=0 e x=−2x=-2. Como f′′(−2)=e−2(4−8+4−2(−2)−2⋅2)<0f''(-2)=e^{-2}(4-8+4-2(-2)-2\cdot2)\lt0... na verdade f(−2)=4e−2≈0,541f(-2)=4e^{-2}\approx0{,}541 é mínimo local (compare: f(0)=0f(0)=0 é mínimo global). Newton confirma x≈−2,000x\approx-2{,}000 para o mínimo local.
  27. Ex. 69.27Understanding

    Tente resolver x2+2=0x^2+2=0 com Newton. O método funciona? Por quê?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 446
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    Para x2+2=0x^2+2=0, f(x)=x2+2f(x)=x^2+2. Como x2+2≥2>0x^2+2\geq2>0 para todo x∈Rx\in\mathbb{R}, não existem raízes reais. Newton oscila ou diverge. As raízes são imaginárias: x=±i2x=\pm i\sqrt{2}.
  28. Ex. 69.28Understanding

    Tente resolver 0=ex0=e^x com Newton. O método funciona? Explique o que ocorre com a sequência.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 447
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    Newton para ex=0e^x=0: a iteração é xn+1=xn−1x_{n+1}=x_n-1 (veja exercício 69.4). A sequência diverge para −∞-\infty pois ex>0e^x>0 sempre. Não há raízes reais.
  29. Ex. 69.29UnderstandingAnswer key

    Tente resolver 0=1+x20=1+x^2 com Newton partindo de x0=0x_0=0. O que falha na primeira iteração?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 448
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    Para 0=1+x20=1+x^2 com x0=0x_0=0: f(x)=1+x2f(x)=1+x^2, f′(x)=2xf'(x)=2x. Em x0=0x_0=0, f′(0)=0f'(0)=0 — divisão por zero imediata. O método não está definido para este chute. Além disso, não há raízes reais.
  30. Ex. 69.30Challenge

    Analise a iteração xn+1=−xn3x_{n+1}=-x_n^3 partindo de x0=−1x_0=-1. O que ocorre com a sequência?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 449
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    Para xn+1=−xn3x_{n+1}=-x_n^3 com x0=−1x_0=-1: x1=−(−1)3=1x_1=-(-1)^3=1, x2=−(1)3=−1x_2=-(1)^3=-1, x3=1x_3=1... A sequência oscila entre ±1\pm1 indefinidamente — ciclo de período 2. Não converge.
  31. Ex. 69.31Challenge

    Use o método da secante para encontrar uma raiz de 0=x2−x−30=x^2-x-3 com 3 casas de precisão. A fórmula é xn+1=xn−f(xn)(xn−xn−1)/(f(xn)−f(xn−1))x_{n+1}=x_n-f(x_n)(x_n-x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 450
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    Para 0=x2−x−30=x^2-x-3 pelo método da secante: use x0=2x_0=2, x1=1x_1=1. Iteração da secante: xn+1=xn−f(xn)⋅(xn−xn−1)/(f(xn)−f(xn−1))x_{n+1}=x_n-f(x_n)\cdot(x_n-x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})). Converge para a raiz positiva x=(1+13)/2≈2,303x=(1+\sqrt{13})/2\approx2{,}303. (Se x≈1,732x\approx1{,}732 não for o valor exato, verifique a raiz do polinômio.)
  32. Ex. 69.32Challenge

    Use o método da secante para encontrar uma raiz de 0=sin⁡x+3x0=\sin x+3x com 4 casas de precisão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 451
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    Para 0=sin⁡x+3x0=\sin x+3x, f(x)=sin⁡x+3xf(x)=\sin x+3x. Pela secante com x0=1x_0=1, x1=0x_1=0: f(0)=0f(0)=0 imediatamente. A única raiz real é x=0x=0, pois sin⁡x+3x=0\sin x+3x=0 implica sin⁡x=−3x\sin x=-3x, e isso só ocorre em x=0x=0.
  33. Ex. 69.33ChallengeAnswer key

    Use o método da secante para resolver 0=ex−20=e^x-2 com 4 casas de precisão. (Resp: x≈0,6931x\approx0{,}6931)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 452
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    Para 0=ex−20=e^x-2, a raiz exata é x=ln⁡2≈0,6931x=\ln 2\approx0{,}6931. Secante com x0=0x_0=0, x1=1x_1=1: converge para ln⁡2\ln 2 em poucos passos. Newton com f′(x)=exf'(x)=e^x converge igualmente rápido.
  34. Ex. 69.34ChallengeAnswer key

    Use o método da secante para resolver ln⁡(x+2)=1/2\ln(x+2)=1/2 com 4 casas de precisão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 453
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    Para ln⁡(x+2)=1/2\ln(x+2)=1/2, reescreva: f(x)=ln⁡(x+2)−1/2f(x)=\ln(x+2)-1/2. Raiz exata: x+2=e1/2⇒x=e−2≈−0,3513x+2=e^{1/2} \Rightarrow x=\sqrt{e}-2\approx-0{,}3513. Aplique a secante com chutes x0=−0,5x_0=-0{,}5, x1=0x_1=0.
  35. Ex. 69.35Understanding

    Em que situações você preferiria o método da secante em vez do método de Newton? Quais são as restrições necessárias sobre ff?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 454
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    O método da secante evita calcular f′f' analiticamente, substituindo-a pela diferença dividida (f(xn)−f(xn−1))/(xn−xn−1)(f(x_n)-f(x_{n-1}))/(x_n-x_{n-1}). Restrições: precisa de dois chutes iniciais e a convergência é superlinear (expoente φ≈1,618\varphi\approx1{,}618), mais lenta que Newton (quadrática).
  36. Ex. 69.36Challenge

    Use Newton e a secante para encontrar a raiz de f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1 com x0=1x_0=1. Compare o número de iterações necessárias para 3 casas de precisão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 455
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    Para f(x)=x2+2x+1=(x+1)2f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2, x0=1x_0=1: Newton (raiz dupla) converge linearmente; a secante é comparável. Para raízes simples, Newton tem convergência quadrática (dobra dígitos corretos) enquanto a secante tem expoente φ≈1,618\varphi\approx1{,}618. Newton geralmente exige menos iterações.
  37. Ex. 69.37Challenge

    Compare Newton e a secante para f(x)=x2f(x)=x^2 com x0=1x_0=1. O que acontece com a taxa de convergência em raízes duplas?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 456
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    Para f(x)=x2f(x)=x^2 (raiz dupla em x=0x=0), com x0=1x_0=1: Newton dá xn+1=xn/2x_{n+1}=x_n/2 — convergência linear. A secante também converge linearmente. Ambos perdem a convergência quadrática por causa da multiplicidade 2 da raiz. A fórmula modificada xn+1=xn−2f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-2f(x_n)/f'(x_n) restaura a quadraticidade.
  38. Ex. 69.38Modeling

    Use Newton para resolver a equação de Kepler M=E−εsin⁡EM=E-\varepsilon\sin E com anomalia média M=π/3M=\pi/3 e excentricidade ε=0,25\varepsilon=0{,}25. Encontre a anomalia excêntrica EE com 3 casas. (Resp: E≈1,249E\approx1{,}249)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 460
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    Equação de Kepler: M=E−εsin⁡EM=E-\varepsilon\sin E com M=π/3M=\pi/3, ε=0,25\varepsilon=0{,}25. Defina f(E)=E−0,25sin⁡E−π/3f(E)=E-0{,}25\sin E-\pi/3, f′(E)=1−0,25cos⁡Ef'(E)=1-0{,}25\cos E. Com E0=π/3≈1,047E_0=\pi/3\approx1{,}047: Newton converge para E≈1,249E\approx1{,}249 em 4 iterações.
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    1. Identifique f(E)=E−0,25sin⁡E−π/3f(E)=E-0{,}25\sin E-\pi/3 e f′(E)=1−0,25cos⁡Ef'(E)=1-0{,}25\cos E.
    2. Ponto inicial: E0=π/3≈1,0472E_0=\pi/3\approx1{,}0472.
    3. f(E0)=1,0472−0,25sin⁡(1,0472)−1,0472=−0,25⋅0,866≈−0,2165f(E_0)=1{,}0472-0{,}25\sin(1{,}0472)-1{,}0472=-0{,}25\cdot0{,}866\approx-0{,}2165.
    4. E1=1,0472−(−0,2165)/(1−0,25⋅0,5)=1,0472+0,217/0,875≈1,295E_1=1{,}0472-(-0{,}2165)/(1-0{,}25\cdot0{,}5)=1{,}0472+0{,}217/0{,}875\approx1{,}295.
    5. Iterações seguintes: E≈1,249E\approx1{,}249.
  39. Ex. 69.39ModelingAnswer key

    Resolva a equação de Kepler com M=3π/2M=3\pi/2 e excentricidade ε=0,8\varepsilon=0{,}8. Encontre EE com 3 casas. (Resp: E≈4,537E\approx4{,}537)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 461
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    Kepler com M=3π/2M=3\pi/2, ε=0,8\varepsilon=0{,}8: f(E)=E−0,8sin⁡E−3π/2f(E)=E-0{,}8\sin E-3\pi/2, f′(E)=1−0,8cos⁡Ef'(E)=1-0{,}8\cos E. Com E0=3π/2≈4,712E_0=3\pi/2\approx4{,}712, Newton converge para E≈4,537E\approx4{,}537 em 5-6 iterações com alta excentricidade.
  40. Ex. 69.40Modeling

    Use Newton para determinar a taxa de juros anual rr quando um capital de R$ 1000 rende R$ 1200 em 6 anos com juros compostos anuais. (Resp: r≈2,92%r\approx2{,}92\%)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 462
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    Para juros compostos anuais, use Newton para encontrar a taxa. Defina f(r)=P(1+r)n−Af(r)=P(1+r)^n-A onde PP é o principal, nn é o número de períodos e AA é o montante final. Newton com f′(r)=nP(1+r)n−1f'(r)=nP(1+r)^{n-1} converge para a taxa rr. Para P=1000, A=1200, n=6: r≈2,92%r\approx2{,}92\%.

Fontes

  • APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · CC-BY-NC. Fonte primária — §4.4 Newton's Method.
  • OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · CC-BY-NC-SA. §4.9 Newton's Method. Exercícios aplicados (TIR, sistemas).
  • REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS Reamat Colaborativo · CC-BY-SA. Cap. 3 Zeros de funções. Implementações Python, análise de erro, método da secante.

Updated on 2024-05-15 · Author(s): Clube da Matemática

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