Lesson 71 — Measures of central tendency: mean, median, mode

Dois conjuntos de dados: (1) 3, 5, 6, 7, 9 e (2) 3, 5, 6, 7, 20. Compare as medianas e os IQRs dos dois conjuntos explicando seu raciocínio. (Resp: mesma mediana 6; IQR de (2) maior)

Dados do Facebook indicam que 50% dos usuários têm 100 ou mais amigos, e que a média de amigos é 190. O que esses achados sugerem sobre a forma da distribuição do número de amigos? (Resp: assimétrica à direita, mediana = 100, média = 190)

O midrange de uma distribuição é $(\max + \min)/2$. Essa estatística é robusta a outliers e assimetria extrema? Justifique com um exemplo numérico. (Resp: não é robusta — um único outlier destrói o midrange)

Um artigo universitário afirma que estudantes dormem em média 5,5 horas por noite. Uma estudante cética fez uma pesquisa com 25 alunos e obteve média de 6,25 horas. Identifique qual valor representa a média amostral e qual o parâmetro populacional alegado. (Resp: $\bar{x} = 6{,}25$ h amostral; $\mu_0 = 5{,}5$ h população)

A distribuição de renda de 40 clientes de uma cafeteria universitária tinha média de US$17.600/ano e mediana de US$ 16.000/ano. Dois novos clientes entram: um com US$225.000 e outro com US$ 250.000/ano. Qual medida (média ou mediana) muda mais? Por quê? (Resp: a média sobe muito mais que a mediana)

Para cada variável, indique se a distribuição esperada é simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda, e qual medida (média ou mediana) melhor representa a observação típica: (a) renda per capita dos países do mundo; (b) número de livros lidos por ano por adultos; (c) temperatura máxima diária de uma cidade com clima estável.

Para cada variável, determine a forma esperada da distribuição e a medida de tendência central mais adequada: (a) horas trabalhadas por semana por estudantes universitários em part-time; (b) anos de escolaridade de adultos numa cidade com acesso universal ao ensino fundamental; (c) altura (em cm) de mulheres adultas entre 20 e 40 anos. (Resp: (a) e (b) mediana; (c) média)

Calcule a média, a mediana e a moda para os comprimentos de barcos (em pés): 16, 17, 19, 20, 20, 21, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 33, 34, 35, 37, 39, 40. (Resp: média ≈ 27,33; mediana = 27; moda = 25 e 27)

Uma tabela mostra carros vendidos por semana por 65 vendedores: 14 venderam 3, 19 venderam 4, 12 venderam 5, 9 venderam 6, 11 venderam 7. Calcule a média amostral, a mediana e a moda. (Resp: média ≈ 4,75; mediana = 4; moda = 4)

Os dados 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 representam notas de 20 alunos. A distribuição é simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda? Calcule média e mediana para justificar. (Resp: assimétrica à esquerda; média = 2,85, mediana = 3)

Os dados 16, 17, 19, 22, 22, 22, 22, 22, 23 representam idades de 9 participantes. Determine a forma da distribuição calculando e comparando média, mediana e moda. (Resp: assimétrica à esquerda; média ≈ 20,6, mediana = moda = 22)

Os dados 87, 87, 87, 87, 87, 88, 89, 89, 90, 91 representam pontuações de 10 atletas. Calcule média, mediana e moda. Determine a forma da distribuição. (Resp: assimétrica à direita; moda = 87, mediana = 87,5, média = 88,2)

Qual é a relação típica entre média e mediana em distribuições assimétricas à esquerda? Explique usando o conceito de sensibilidade da média a valores extremos. (Resp: média menor que mediana)

Em distribuições simétricas, qual é a relação típica entre média e mediana? Por que isso acontece algebricamente? (Resp: média e mediana tendem a ser iguais)

Qual palavra descreve uma distribuição com exatamente duas modas? Dê um exemplo real de variável que tipicamente produz essa forma de distribuição. (Resp: bimodal; exemplo: altura de amostra mista de homens e mulheres)

Para os dados 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 15, 17, 22, 22, 22, determine qual das três medidas de tendência central (média, moda ou mediana) é a maior. Calcule todas as três. (Resp: média ≈ 15,08 é a maior)

Para os dados 56, 56, 56, 58, 59, 60, 62, 64, 64, 65, 67, determine qual das três medidas de tendência central (média, moda ou mediana) é a menor. Calcule todas as três. (Resp: moda = 56 é a menor)

Entre média, moda e mediana, qual medida de tendência central reflete mais a assimetria de uma distribuição e por quê? (Resp: a média, pois é sensível aos valores extremos da cauda)

Numa distribuição perfeitamente simétrica, em que situação a moda pode diferir da média e da mediana? Explique com um exemplo numérico ou real. (Resp: quando a distribuição é bimodal — duas modas afastadas simetricamente do centro)

Jesse ficou em 37.° lugar numa turma de 180 alunos, ordenados da maior para a menor nota. Em que percentil está sua colocação? (Resp: percentil ≈ 79)

Mina esperou 32 minutos no banco. O banco informa que seu tempo de espera está no percentil 85. Mina deve ficar satisfeita ou insatisfeita? Interprete corretamente o percentil nesse contexto. (Resp: satisfeita — 85% dos clientes esperaram mais)

Para os 29 atores vencedores do Oscar pelo papel principal (idades ao ganhar): 18, 21, 22, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 36, 37, 41, 42, 47, 52, 55, 57, 58, 62, 64, 67, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 77. Calcule Q1, a mediana (Q2) e Q3, e o IQR. (Resp: Q1 = 29,5; mediana = 47; Q3 = 68; IQR = 38,5)

Usando os dados dos 29 atores do exercício anterior, encontre: (a) o 40.° percentil; (b) o 78.° percentil. (Resp: (a) 37 anos; (b) ≈ 70 anos)

Para 32 atores (idades ordenadas): 18, 18, 21, 22, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 31, 33, 36, 37, 37, 41, 42, 47, 52, 55, 57, 58, 62, 64, 67, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 77. Encontre: (a) o percentil do valor 37; (b) o percentil do valor 72. (Resp: (a) ≈ percentil 42; (b) ≈ percentil 86)

Uma família pode pagar uma casa de até R$240.000. A pesquisa imobiliária informa que R$ 240.000 está no 34.° percentil dos preços do bairro. Essa família pode pagar 34% ou 66% das casas disponíveis? Explique. (Resp: 34% das casas — as mais baratas)

Um artigo afirma que estudantes universitários dormem em média 5,5 horas por noite. Uma estudante amostrou 25 colegas e obteve média de 6,25 horas. (a) Qual valor é a média amostral e qual é o parâmetro populacional alegado? (b) A diferença de 0,75 h prova que o artigo está errado? Justifique. (Resp: $\bar{x} = 6{,}25$ h amostral; diferença não prova nada sem teste de hipótese)

Os trabalhadores de uma mineradora recebem em média 35 dias de férias por ano, abaixo da média nacional. O gerente quer elevar a média sem conceder mais dias. Ele pensa em demitir os 10 funcionários com menos dias de férias e contratar outros com mais dias. (a) Essa estratégia elevaria a média? (b) Os trabalhadores remanescentes se beneficiariam? Discuta o uso ético de médias. (Resp: média sobe, mas é manipulação — nenhum trabalhador ganha mais dias)

Identifique em cada caso qual valor representa a média amostral e qual representa o parâmetro populacional alegado. (a) Lares americanos gastaram em média US$52 em 2007 com Halloween. Uma nova pesquisa com 1.500 lares em 2008 obteve média de US$ 58. (b) O GPA médio em 2001 era 3,37. Uma amostra de 203 estudantes uma década depois obteve GPA 3,59. (Resp: (a) $\bar{x}=58$, $\mu=52$; (b) $\bar{x}=3{,}59$, $\mu=3{,}37$)

Para cada variável, indique se a média ou a mediana é mais adequada para representar a observação típica e justifique: (a) renda domiciliar anual; (b) preço de imóveis residenciais numa cidade; (c) duração de vida (em anos) de smartphones. (Resp: (a) e (b) mediana; (c) depende — mediana se houver muitas falhas prematuras)

Qual das três medidas de tendência central — média, mediana ou moda — minimiza a soma dos desvios absolutos $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$? Qual minimiza a soma dos desvios quadráticos $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$? (Resp: mediana minimiza desvios absolutos; média minimiza desvios quadráticos)

Um histograma mostra a distribuição do percentual da população hispânica em 3.142 condados dos EUA em 2010. A distribuição original é fortemente assimétrica. (a) Qual é a direção da assimetria esperada? (b) Por que uma transformação logarítmica pode ser útil? (c) Após a transformação, qual medida de centro é mais representativa? (Resp: assimétrica à direita; log reduz assimetria; após log, a média é mais representativa)

A mediana de idade da população dos EUA era 30,0 anos em 1980 e subiu para 35,5 anos em 1991. O que esse aumento da mediana indica sobre a estrutura demográfica da população? (Resp: a população está envelhecendo — metade tinha mais de 35,5 anos em 1991)

A mediana de idade para a etnia A é 30,9 anos e para a etnia B é 42,3 anos. Dê duas razões demograficamente plausíveis pelas quais a mediana da etnia A pode ser menor, sem que isso implique menor longevidade individual. (Resp: maior taxa de natalidade ou maior mortalidade precoce)

Um conjunto de $n$ valores tem média $\bar{x}$. O valor $x_k$ é substituído por $a$. (a) Derive uma fórmula para a nova média em função de $\bar{x}$, $x_k$, $a$ e $n$. (b) Quando a mediana muda? (Resp: nova média = $\bar{x} + (a-x_k)/n$; mediana muda só se $x_k$ era central)

"Em qualquer distribuição assimétrica à direita, a moda é menor que a mediana, que é menor que a média." (a) Essa afirmação é um teorema ou uma regra empírica? (b) Construa dois contraexemplos numéricos que mostrem quando ela falha. (Resp: regra empírica — falha em distribuições bimodais e com assimetria extrema)

Uma fabricante mede a duração de vida (em anos) de 100 smartphones. Ocasionalmente, um falha na fábrica (duração = 0) ou dura décadas (outlier alto). (a) Qual medida tem maior breakdown point? (b) Calcule o breakdown point da média e da mediana. (Resp: mediana com 50%; média com ≈ 0%)

A média ponderada de $x_1, \ldots, x_k$ com pesos positivos $w_1, \ldots, w_k$ é $\bar{x}_w = \sum w_i x_i / \sum w_i$. (a) Mostre que com pesos iguais ela reduz à média simples. (b) Prove via derivada que $\bar{x}_w$ minimiza $\sum w_i(x_i - c)^2$. (c) Calcule a média ponderada das notas 7 e 9 com pesos 60% e 40%. (Resp: (a) álgebra direta; (b) $f'(c)=0 \Rightarrow c=\bar{x}_w$; (c) 7,8)

Prove algebricamente que a soma dos desvios em torno da média é sempre zero: $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$. Essa prova exige alguma hipótese sobre a distribuição dos dados, ou vale para qualquer conjunto de números reais? (Resp: vale para qualquer conjunto finito de reais — prova algébrica direta)

Prove via cálculo que a média aritmética $\bar{x}$ minimiza a função $f(c) = \sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$. Verifique que o ponto crítico é de fato mínimo calculando a segunda derivada. (Resp: $f'(c)=0 \Rightarrow c=\bar{x}$, $f''(c)=2n > 0$)

Prove que a mediana minimiza a soma dos desvios absolutos: mostre que $S_1(c) = \sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ é minimizada quando $c$ é a mediana. Dica: analise o que acontece com $S_1(c)$ ao deslocar $c$ por $\varepsilon > 0$. (Resp: mínimo quando $n_- = n_+$, definição de mediana)