v1 · padrão canônico

Lesson 73 — Quartiles, percentiles, and boxplot

Five-number summary: min, Q1, median, Q3, max. IQR, boxplot, and 1.5 IQR rule to detect outliers. Robust measures for skewed data.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math Statistics — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

IQR = Q_3 - Q_1, \quad \text{outlier se } x < Q_1 - 1{,}5\,IQR \text{ ou } x > Q_3 + 1{,}5\,IQR

O intervalo interquartil $IQR = Q_3 - Q_1$ cobre os 50% centrais dos dados. A regra de Tukey (1977) sinaliza como outlier qualquer ponto além de $1{,}5 \times IQR$ de cada quartil — critério robusto, pois não depende de média nem de desvio padrão.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Estatísticas de ordem e percentis

"The first quartile, $Q_1$ , is the value such that 25% of the data fall below it, and the third quartile, $Q_3$ , is such that 75% of the data fall below it." — OpenIntro Statistics §2.1

Anatomia do boxplot: caixa (Q1 a Q3), linha de mediana, bigodes até o extremo não-outlier, pontos isolados para outliers.

Exemplos resolvidos

Example— 73.1· Resumo de 5 números (conjunto pequeno)

Problema. Calcule o resumo de 5 números para os dados: 4, 7, 2, 9, 5, 11, 3, 8, 6, 10.

Estratégia. Ordenar, localizar posições de Q1, Q2, Q3 por interpolação.

Resolução. Ordenados: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ( $n = 10$ ).

Mediana ( $Q_2$ ): média dos valores nas posições 5 e 6 = $(6 + 7)/2 = 6{,}5$ .
$Q_1$ : mediana das 5 menores (2, 3, 4, 5, 6) = 4.
$Q_3$ : mediana das 5 maiores (7, 8, 9, 10, 11) = 9.
$\min = 2$ , $\max = 11$ .

Resumo de 5 números: $(2,\; 4,\; 6{,}5,\; 9,\; 11)$ .

Verificação. $IQR = 9 - 4 = 5$ . Limites: $4 - 7{,}5 = -3{,}5$ e $9 + 7{,}5 = 16{,}5$ . Todos os dados dentro — nenhum outlier. Consistente com dados uniformemente distribuídos em $[2, 11]$ .

Fonte. OpenIntro Statistics §2.1 — CC-BY-SA.

Example— 73.3· Cálculo de percentil por interpolação

Problema. Notas de 20 alunos (ordenadas): 28, 35, 42, 48, 51, 55, 58, 61, 63, 65, 68, 70, 72, 74, 77, 80, 83, 87, 91, 96. Calcule $P_{80}$ .

Estratégia. Usar fórmula de posição $L = 1 + (p/100)(n-1)$ .

Resolução. $p = 80$ , $n = 20$ .

$L = 1 + 0{,}80 \times 19 = 1 + 15{,}2 = 16{,}2$

$j = 16$ , $d = 0{,}2$ . Os dados na posição 16 e 17 são $x_{(16)} = 80$ e $x_{(17)} = 83$ .

$P_{80} = 80 + 0{,}2 \times (83 - 80) = 80 + 0{,}6 = 80{,}6$

Verificação. 80% de 20 alunos = 16 alunos abaixo. Os 16 primeiros são: 28, 35, ..., 80. O ponto $P_{80} = 80{,}6$ está logo acima de 80, correto.

Fonte. OpenStax Statistics §2.3 — CC-BY.

Example— 73.4· Boxplot comparativo (A/B)

Problema. Tempos de carregamento (ms) de dois servidores:

Servidor A: 120, 125, 128, 130, 132, 135, 138, 140, 142, 500.
Servidor B: 200, 210, 215, 220, 222, 225, 228, 230, 235, 240.

Compare usando resumo de 5 números e identifique outliers.

Estratégia. Calcular quartis de cada servidor, aplicar regra 1,5 IQR, interpretar comparativamente.

Resolução.

Servidor A ( $n = 10$ ):

$Q_1$ : média posições 2–3 = $(125 + 128)/2 = 126{,}5$ .
$Q_2$ : média posições 5–6 = $(132 + 135)/2 = 133{,}5$ .
$Q_3$ : média posições 8–9 = $(140 + 142)/2 = 141$ .
$IQR_A = 141 - 126{,}5 = 14{,}5$ . Limite superior: $141 + 21{,}75 = 162{,}75$ .
500 ms é outlier em A.

Servidor B ( $n = 10$ ):

$Q_1 = 212{,}5$ , $Q_2 = 223{,}5$ , $Q_3 = 231{,}5$ .
$IQR_B = 19$ . Limites: $[184{,}0;\; 260{,}0]$ . Nenhum outlier.

Verificação. Servidor A tem mediana mais baixa (133,5 vs. 223,5 ms) e menor variabilidade ( $IQR = 14{,}5$ vs. 19), mas tem um outlier grave (500 ms). Servidor A é preferível se outliers são raros e aceitáveis; Servidor B se consistência é crítica.

Fonte. OpenIntro Statistics §2.2 — CC-BY-SA.

Example— 73.5· IQR de distribuição contínua

Problema. Para $X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 1)$ , calcule $Q_1$ , $Q_3$ e $IQR$ analiticamente.

Estratégia. Inverter a CDF nos pontos 0,25 e 0,75.

Resolução. $F(x) = 1 - e^{-x}$ para $x \geq 0$ .

$Q_1 = F^{-1}(0{,}25): \quad 1 - e^{-Q_1} = 0{,}25 \implies Q_1 = -\ln(0{,}75) \approx 0{,}288$

$Q_3 = F^{-1}(0{,}75): \quad 1 - e^{-Q_3} = 0{,}75 \implies Q_3 = -\ln(0{,}25) = \ln 4 \approx 1{,}386$

$IQR = \ln 4 - \ln(4/3) = \ln 3 \approx 1{,}099$

Verificação. A mediana é $-\ln(0{,}5) = \ln 2 \approx 0{,}693$ . Note que $Q_2 - Q_1 \approx 0{,}405$ e $Q_3 - Q_2 \approx 0{,}693$ : distribuição assimétrica à direita, confirma que a cauda superior é mais longa.

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.1 — GNU FDL.

Exercise list

43 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 17Modeling 6Challenge 2

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §2.1 (quartis, percentis) e §2.2 (boxplot, outliers).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §2.3 (percentis por interpolação) e §2.4 (boxplot e regra 1,5 IQR).
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.1 — quartis de distribuições contínuas, estatísticas de ordem.