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Lesson 75 — Binomial distribution

n independent Bernoulli trials. Binomial PMF, expectation np, variance np(1-p). Applications in quality control, A/B testing, genetics, and elections.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)

A distribuição binomial $\text{Bin}(n, p)$ conta o número de sucessos em $n$ ensaios independentes, cada um com probabilidade $p$ de sucesso. O fator $\binom{n}{k}$ conta as maneiras de arranjar os sucessos; $p^k(1-p)^{n-k}$ é a probabilidade de cada arranjo.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Hipóteses BInS

Definition· Ensaio de Bernoulli e distribuição binomial

Um ensaio de Bernoulli é um experimento com dois resultados: sucesso (prob. $p$ ) e fracasso (prob. $1-p$ ). A v.a. $Y_i = \mathbf{1}[\text{sucesso no ensaio }i]$ tem distribuição $\text{Bernoulli}(p)$ : $E[Y_i] = p$ , $\text{Var}(Y_i) = p(1-p)$ .

$X \sim \text{Bin}(n, p)$ se $X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n$ com $Y_i$ iid $\text{Bernoulli}(p)$ .

Quatro hipóteses (BInS):

Binário: cada ensaio tem apenas 2 resultados.
Independente: ensaios não se influenciam.
n fixo: número de ensaios definido antes.
Same: $p$ constante em todos os ensaios.

"If each trial in a binomial experiment has $p$ = 0.5, meaning the outcomes are equally likely, the distribution looks bell shaped. As $p$ moves away from 0.5, the graph skews right or left." — OpenStax Statistics §4.4

Exemplos resolvidos

Example— 75.2· Esperança e variância por decomposição

Problema. $X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$ . Calcule $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ e $P(X = 0)$ .

Estratégia. Usar fórmulas diretas para momentos; PMF para $P(X=0)$ .

Resolução.

$E[X] = np = 20 \times 0{,}1 = 2$

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 1{,}8$

$P(X = 0) = \binom{20}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^{20} = (0{,}9)^{20} \approx 0{,}1216$

Verificação. $\sigma = \sqrt{1{,}8} \approx 1{,}34$ . Intervalo $[E \pm 2\sigma] = [-0{,}68;\; 4{,}68]$ — valores de 0 a 4 cobrem cerca de 95% da distribuição. $P(X = 0) \approx 12\%$ : razoável, pois 20 ensaios com $p = 0{,}1$ deixa probabilidade não trivial de nenhum sucesso.

Fonte. OpenStax Statistics §4.4 — CC-BY.

Example— 75.3· Probabilidade acumulada e complemento

Problema. Linha de produção: 3% das peças são defeituosas. Lote de 50. Qual $P(\text{pelo menos 3 defeituosas})$ ?

Estratégia. $X \sim \text{Bin}(50, 0{,}03)$ . Usar complemento: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$ .

Resolução.

$P(X = 0) = (0{,}97)^{50} \approx 0{,}2181$

$P(X = 1) = \binom{50}{1}(0{,}03)^1(0{,}97)^{49} = 50 \times 0{,}03 \times (0{,}97)^{49} \approx 0{,}3372$

$P(X = 2) = \binom{50}{2}(0{,}03)^2(0{,}97)^{48} = 1225 \times 0{,}0009 \times (0{,}97)^{48} \approx 0{,}2555$

$P(X \geq 3) = 1 - (0{,}2181 + 0{,}3372 + 0{,}2555) = 1 - 0{,}8108 \approx 0{,}189$

Verificação. $E[X] = 1{,}5$ , $\sigma \approx 1{,}21$ . Com média de apenas 1,5 defeitos, ter $\geq 3$ é improvável — 18,9% é plausível (um pouco mais de um desvio acima da média).

Fonte. OpenIntro Statistics §3.4 — CC-BY-SA.

Example— 75.4· Aproximação normal (A/B test)

Problema. Eleição: candidato tem $p = 0{,}52$ nas intenções reais. Pesquisa com $n = 1000$ entrevistados. Qual $P(\hat p < 0{,}50)$ — chance de a pesquisa errar o líder?

Estratégia. $X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}52)$ . Como $np = 520 \geq 10$ e $n(1-p) = 480 \geq 10$ , aproximar por $\mathcal N(np, np(1-p))$ .

Resolução.

$X \approx \mathcal N(520, 1000 \times 0{,}52 \times 0{,}48) = \mathcal N(520, 249{,}6)$ .

Queremos $P(X < 500)$ (i.e., $\hat p < 0{,}50$ é equivalente a $X < 500$ ):

$z = \frac{500 - 520}{\sqrt{249{,}6}} = \frac{-20}{15{,}80} \approx -1{,}27$

$P(X < 500) \approx \Phi(-1{,}27) \approx 0{,}102$

Verificação. Cerca de 10% de chance de a pesquisa indicar empate ou vantagem ao adversário quando o candidato realmente lidera com 52%. Justifica a margem de erro típica de pesquisas eleitorais.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.4 — CC-BY-SA.

Example— 75.5· Genética mendeliana — distribuição binomial

Problema. Cruzamento de heterozigotos $Aa \times Aa$ : cada descendente tem prob. $1/4$ de ser homozigoto dominante $AA$ . Em 8 descendentes, calcule $P(X = 2)$ e $E[X]$ .

Estratégia. $X \sim \text{Bin}(8, 1/4)$ . Aplicar PMF e fórmula da esperança.

Resolução.

$P(X = 2) = \binom{8}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^6 = 28 \times \frac{1}{16} \times \frac{729}{4096} = \frac{28 \times 729}{65536} = \frac{20412}{65536} \approx 0{,}3115$

$E[X] = np = 8 \times \frac{1}{4} = 2, \quad \text{Var}(X) = 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$

Verificação. Em média 2 descendentes $AA$ por ninhada de 8 — coerente com a lei mendeliana de segregação (25%). $P(X = 2) \approx 31\%$ é o valor mais provável (modo da distribuição em $\lfloor (8+1)/4 \rfloor = 2$ ).

Fonte. OpenIntro Statistics §3.4 — CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 9Understanding 29Modeling 1Challenge 1

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.4 (Binomial: PMF, expectativa, variância) e §3.5 (Aproximação normal e De Moivre-Laplace).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §4.3 (Binomial computacional, expectativa np, variância np(1-p)) com bateria completa de exercícios AP-level em §4.P (Practice) e §4.H (Homework).
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §3.1 (combinações como base da Binomial) e §5.1 (relação Binomial ↔ Poisson, processos de contagem).