v1 · padrão canônico

Lesson 76 — Normal distribution

Bell curve: density, Z-standardization, 68-95-99.7 rule, confidence intervals, and Z-tests. The central distribution of statistics and applied sciences.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

A distribuição normal $\mathcal N(\mu, \sigma^2)$ é a mais importante em estatística. Sua densidade é simétrica em torno de $\mu$ , com largura controlada por $\sigma$ . A padronização $Z = (X-\mu)/\sigma$ converte qualquer normal em normal padrão, permitindo usar uma única tabela para todos os cálculos de probabilidade.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Densidade e parâmetros

Definition· Distribuição normal N(mu, sigma^2)

$X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ se $X$ tem densidade:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in \mathbb{R}$

$\mu \in \mathbb{R}$ : parâmetro de localização (média = mediana = moda).
$\sigma > 0$ : parâmetro de escala (desvio padrão).
$\sigma^2$ : variância.

A normalização $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ segue do clássico resultado gaussiano: $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ (prova por coordenadas polares).

"If $X$ is a random variable and $X$ has a normal distribution with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$ , we write $X \sim N(\mu, \sigma)$ . The mean $\mu$ is the center of the symmetric curve, and the standard deviation $\sigma$ gives the spread." — OpenStax Statistics §6.1

"Normal distributions are symmetric around their mean... The área under a normal distribution curve within one standard deviation of the mean is approximately 68%, within two standard deviations is approximately 95%, and within three standard deviations is approximately 99.7%." — OpenIntro Statistics §3.5

Curva normal: 68% dos dados entre μ ± σ (região central escura), 27,2% entre μ ± 2σ (regiões laterais), 0,3% nas caudas além de μ ± 3σ.

Exemplos resolvidos

Example— 76.2· Regra 68-95-99,7 aplicada

Problema. QI segue $\mathcal N(100, 15^2)$ . Qual % da população tem QI entre 85 e 115? E acima de 130?

Estratégia. Identificar posições em $\sigma$ e aplicar regra.

Resolução.

85 = $\mu - \sigma$ e 115 = $\mu + \sigma$ (intervalo $\pm 1\sigma$ ): $P(85 \leq X \leq 115) \approx 68\%$ .
130 = $\mu + 2\sigma$ : $P(X > 130) = (1 - 0{,}9545)/2 \approx 2{,}28\%$ .

Verificação. Os 68% entre $\pm 1\sigma$ e 2,28% acima de $+2\sigma$ são resultados tabelados da normal padrão. Escala de QI foi calibrada deliberadamente para ter $\sigma = 15$ e esses percentis fazerem sentido.

Fonte. OpenStax Statistics §6.1 — CC-BY.

Example— 76.3· Tolerancias de engenharia

Problema. Peças com diâmetro $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Especificação $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Qual fração é rejeitada?

Estratégia. Calcular $P(|X - 10| > 0{,}05)$ via padronização.

Resolução.

$z = \frac{0{,}05}{0{,}02} = 2{,}5$

$P(|X - 10| > 0{,}05) = P(|Z| > 2{,}5) = 2\Phi(-2{,}5) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$

Cerca de $1{,}24\%$ das peças são rejeitadas — aproximadamente 12 por 1000.

Verificação. $z = 2{,}5$ está entre $2\sigma$ (2,28% fora) e $3\sigma$ (0,27% fora). O resultado 1,24% é coerente com esse intervalo. Para Six Sigma (3,4 ppm), seria necessário $z \approx 4{,}5$ .

Fonte. OpenStax Statistics §6.3 — CC-BY.

Example— 76.4· Intervalo de confianca para media

Problema. Amostra de $n = 25$ peças, $\bar X = 105$ mm, $\sigma = 10$ mm (conhecido). Construa IC 95% para $\mu$ .

Estratégia. Usar $\bar X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$ e $z_{0{,}975} = 1{,}96$ .

Resolução.

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$

$IC_{95\%} = \left[\bar X - 1{,}96 \cdot SE;\; \bar X + 1{,}96 \cdot SE\right] = [105 - 3{,}92;\; 105 + 3{,}92] = [101{,}08;\; 108{,}92]$

Verificação. A largura total do IC é $2 \times 3{,}92 = 7{,}84$ mm. Como $\sigma = 10$ e $n = 25$ , o erro padrão é 2 — metade do desvio populacional, reduzido por $\sqrt{25}$ . O intervalo cobre a média verdadeira em 95% das amostras.

Fonte. OpenIntro Statistics §4.2 — CC-BY-SA.

Example— 76.5· Derivacao: integral gaussiana

Problema. Demonstre que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ pelo truque de coordenadas polares.

Estratégia. Calcular $I^2$ onde $I = \int e^{-x^2/2}\,dx$ e converter para polares.

Resolução. Seja $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx$ .

$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx\right)\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2/2}\,dy\right) = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy$

Polares: $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , Jacobiano $r$ :

$I^2 = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{+\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_0^{+\infty} r\,e^{-r^2/2}\,dr$

Substituição $u = r^2/2$ : $\int_0^{\infty} r e^{-r^2/2}\,dr = [-e^{-r^2/2}]_0^{\infty} = 1$ .

Logo $I^2 = 2\pi$ , portanto $I = \sqrt{2\pi}$ .

Verificação. A densidade $f(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ integra 1 sobre $\mathbb R$ — consistente com a normalidade de $Z$ .

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.2 — GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 31Understanding 2Modeling 6Challenge 1

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.5 (padronização, regra 68-95-99,7, Q-Q plot, aplicações).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §6.1–6.4 — densidade, CDF, IC, TCL, exercícios AP-level.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.2 — integral gaussiana, MGF, máxima entropia, limite De Moivre-Laplace; exercícios demonstrativos.