v1 · padrão canônico

Lesson 78 — Correlation and simple linear regression

Pearson's coefficient r, covariance, least-squares line, coefficient of determination r². Correlation is not causation — Anscombe's theorem, the quartet every scientist must know.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Stochastik LK alemão §12 · H2 Math singapurense §19 · AP Statistics USA §3

r = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2}}

O coeficiente de Pearson $r$ mede a força e a direção da associação linear entre duas variáveis. Varia de $-1$ (negativa perfeita) a $+1$ (positiva perfeita), com $r = 0$ indicando ausência de relação linear. Correlação nunca implica causalidade.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e propriedades rigorosas

Covariância

"The covariance is a measure of the joint variability of two random variables. If the greater values of one variable mainly correspond with the greater values of the other variable, and the same holds for the lesser values, the covariance is positive." — OpenStax Statistics, §12.1

Coeficiente de correlação de Pearson

Quatro diagramas de dispersão com diferentes valores de r. A nuvem de pontos concentra-se mais em torno de uma reta quando |r| é próximo de 1.

Reta de mínimos quadrados (OLS)

Coeficiente de determinação

r^2 = 1 - \frac{\text{SQR}}{\text{SQT}}, \quad \text{SQT} = \sum(y_i - \bar y)^2

what this means · r² mede a fração da variância de Y explicada pelo modelo linear em X.

Hipóteses LINE

Exemplos resolvidos

Example— 1· Cálculo manual de r com 5 pontos

Problema. Dados: $x = (2, 4, 5, 7, 8)$ e $y = (3, 6, 5, 9, 11)$ . Calcule o coeficiente de Pearson $r$ .

Estratégia. Calcular médias, desvios e aplicar a fórmula diretamente.

Resolução.

$\bar x = (2+4+5+7+8)/5 = 26/5 = 5{,}2$ ; $\bar y = (3+6+5+9+11)/5 = 34/5 = 6{,}8$ .

$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar x$	$y_i - \bar y$	prod	$(x_i-\bar x)^2$	$(y_i-\bar y)^2$
2	3	-3,2	-3,8	12,16	10,24	14,44
4	6	-1,2	-0,8	0,96	1,44	0,64
5	5	-0,2	-1,8	0,36	0,04	3,24
7	9	1,8	2,2	3,96	3,24	4,84
8	11	2,8	4,2	11,76	7,84	17,64
Σ				29,20	22,80	40,80

$r = 29{,}20 / \sqrt{22{,}80 \times 40{,}80} = 29{,}20 / \sqrt{930{,}24} = 29{,}20 / 30{,}50 \approx 0{,}957$ .

Verificação. $r$ próximo de 1 é compatível com a nuvem crescente dos dados.

Fonte. OpenStax Statistics, §12.1, Example 12.2 — CC-BY

Example— 2· Reta de mínimos quadrados e previsão

Problema. Usando os dados do Exemplo 1, determine a reta de regressão de $Y$ em $X$ e preveja $Y$ para $x = 6$ .

Estratégia. Calcular $\hat\beta_1$ e $\hat\beta_0$ com as fórmulas de OLS.

Resolução.

$s_{xy} = 29{,}20/(5-1) = 7{,}30$ ; $s_x^2 = 22{,}80/(5-1) = 5{,}70$ .

$\hat\beta_1 = s_{xy}/s_x^2 = 7{,}30/5{,}70 \approx 1{,}281$ .

$\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1 \bar x = 6{,}8 - 1{,}281 \times 5{,}2 \approx 6{,}8 - 6{,}66 = 0{,}14$ .

Reta: $\hat y = 0{,}14 + 1{,}28x$ .

Para $x = 6$ : $\hat y = 0{,}14 + 1{,}28 \times 6 = 7{,}82$ .

Verificação. $r = 0{,}957$ ; $\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x = 0{,}957 \times \sqrt{40{,}80/4}/\sqrt{22{,}80/4} = 0{,}957 \times 3{,}19/2{,}39 \approx 1{,}28$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Statistics, §12.3, Example 12.4 — CC-BY

Example— 3· Coeficiente de determinação e interpretacao

Problema. Em um estudo com 20 estudantes, a correlação entre horas de estudo ( $X$ ) e nota no vestibular ( $Y$ ) foi $r = 0{,}72$ . Interprete $r^2$ e estime a equação da reta sabendo que $\bar x = 8$ h/semana, $\bar y = 620$ pontos, $s_x = 3$ h, $s_y = 80$ pontos.

Estratégia. Calcular $r^2$ e usar as fórmulas de $\hat\beta_1$ e $\hat\beta_0$ .

Resolução.

$r^2 = 0{,}72^2 = 0{,}518$ — horas de estudo explicam 51,8% da variância na nota. Os outros 48,2% são outros fatores (qualidade do ensino, motivação, sono, etc.).

$\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x = 0{,}72 \times 80/3 = 19{,}2$ pontos/hora.

$\hat\beta_0 = 620 - 19{,}2 \times 8 = 620 - 153{,}6 = 466{,}4$ .

Reta: $\hat y = 466{,}4 + 19{,}2x$ . Cada hora extra de estudo por semana associa-se a +19 pontos no vestibular, em média.

Verificação. Extrapolação para $x = 0$ : $\hat y = 466$ pontos — plausível como nota basal sem estudo.

Fonte. OpenIntro Statistics, §7.1, Exercise 7.3, p. 343 — CC-BY-SA

Example— 4· Correlacao não é causalidade — variável confundidora

Problema. Um pesquisador encontrou $r = 0{,}78$ entre número de igrejas e número de crimes num conjunto de 50 cidades dos EUA. Interprete corretamente.

Estratégia. Identificar o confundidor e explicar por que correlação não implica causalidade.

Resolução.

O confundidor óbvio é o tamanho da cidade (população). Cidades maiores têm mais igrejas E mais crimes. Controlando por tamanho da cidade, a correlação entre igrejas e crimes pode cair a zero ou até se inverter.

Formalmente: seja $P$ = população. $P \to C$ (igrejas) e $P \to K$ (crimes). Sem controlar $P$ , a correlação marginal $r(C, K) > 0$ mesmo sem relação direta entre $C$ e $K$ .

Verificação. Se fossemos estratificar por tamanho (cidades pequenas, médias, grandes), esperaríamos $r$ próximo de zero dentro de cada estrato — isso é o paradoxo de Simpson aplicado.

Fonte. OpenIntro Statistics, §7.2, p. 356–358 — CC-BY-SA

Example— 5· Teste de hipotese para correlacao — Fisher z

Problema. Em amostra de $n = 28$ pares, obteve-se $r = 0{,}45$ . Teste $H_0: \rho = 0$ vs. $H_1: \rho \neq 0$ ao nível $\alpha = 0{,}05$ .

Estratégia. Usar estatística $t$ com $n-2$ graus de liberdade.

Resolução.

$t = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)} = 0{,}45 \times \sqrt{26/(1-0{,}2025)} = 0{,}45 \times \sqrt{26/0{,}7975} = 0{,}45 \times \sqrt{32{,}6} \approx 0{,}45 \times 5{,}71 \approx 2{,}57$ .

Valor crítico $t_{26;\, 0{,}025} \approx 2{,}056$ . Como $|t| = 2{,}57 > 2{,}056$ , rejeitamos $H_0$ — evidência significativa de correlação positiva na população.

Verificação. Com $n = 28$ e $r = 0{,}45$ , o $p$ -valor $\approx 0{,}016 < 0{,}05$ . Consistente com rejeição.

Fonte. OpenStax Statistics, §12.4, Example 12.7 — CC-BY

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 9Modeling 2Challenge 4Proof 2

Ex. 78.1ApplicationAnswer key
Associe cada valor de $r$ a uma descrição de diagrama de dispersão: (a) $R = -0{,}7$ — (b) $R = 0{,}45$ — (c) $R = 0{,}06$ — (d) $R = 0{,}92$ .
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Associar correlações positiva e negativa fortes a nuvens de pontos inclinadas; correlação nula a dispersão aleatóriaCorrelação mede a inclinação da reta — quanto maior a inclinação, maior $r$ Correlação positiva significa que todos os pontos estão acima da retaCorrelação nula significa que os dados são incorretos
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.7
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Para $R = -0{,}7$ : nuvem inclinada negativamente (moderada-forte). Para $R = 0{,}45$ : leve tendência positiva, dispersão considerável. Para $R = 0{,}06$ : sem padrão linear. Para $R = 0{,}92$ : pontos quase em linha reta positiva. A magnitude de $|r|$ indica a concentração em torno da reta; o sinal indica a direção.
Ex. 78.2Application
Associe cada valor a uma descrição: (a) $R = 0{,}49$ — (b) $R = -0{,}48$ — (c) $R = -0{,}03$ — (d) $R = 0{,}83$ . Qual desses valores corresponde a uma nuvem com tendência positiva moderada?
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Correlação moderada positiva (nuvem com leve tendência crescente e bastante dispersão)Correlação perfeita positiva — todos os pontos em linha retaCorrelação negativa — nuvem decrescenteCorrelação nula — sem qualquer padrão
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.8
Show solution
Para $R = 0{,}49$ : tendência positiva visível, mas dispersão moderada. Para $R = -0{,}48$ : tendência negativa simétrica. Para $R = -0{,}03$ : praticamente sem relação linear. Para $R = 0{,}83$ : relação positiva forte. A magnitude $|r|$ controla o "aperto" da nuvem em torno da reta.
Ex. 78.3ApplicationAnswer key
Eduardo e Rosie coletam dados sobre número de dias chuvosos por ano e precipitação total anual em cidades diferentes. Sem ver os dados, qual o sinal esperado de $r$ e por quê?
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A correlação entre número de dias chuvosos e total de chuva é positiva e provavelmente alta ( $r > 0{,}7$ )A correlação é negativa — mais dias chuvosos reduz o total médio por diaA correlação é zero — são variáveis independentesNão é possível prever o sinal sem os dados numéricos
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.10
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Mais dias chuvosos implicam naturalmente maior volume total de precipitação. Esperamos correlação positiva alta. Eduardo e Rosie discordam sobre a força, mas ambos acertam o sinal: $r > 0$ . A força depende de quão variável é a intensidade por dia.
Ex. 78.4Application
Um estudo da Universidade de Denver investigou se bebês que engatinham mais cedo também andam mais cedo. Sem ver os dados, qual o sinal esperado de $r$ entre a idade de engatinhar e a idade de dar os primeiros passos?
Select the correct option
Quanto mais cedo os bebês engatinham, mais cedo tendem a andar — correlação positiva esperada entre idade de engatinhar e de andarCorrelação negativa: bebês que engatinham cedo andam mais tardeCorrelação nula — as duas habilidades são independentesCorrelação negativa forte: $r \approx -0{,}9$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.12
Show solution
Bebês que desenvolvem a habilidade motora de engatinhar mais cedo (menor idade em meses) geralmente também andam mais cedo. Esperamos correlação positiva entre as duas idades. Fatores individuais adicionam ruído, então $r$ provavelmente fica entre $0{,}5$ e $0{,}8$ .
Ex. 78.5Understanding
Qual seria a correlação entre as idades de maridos e esposas se os homens sempre se casassem com mulheres exatamente 3 anos mais novas?
Select the correct option
$r = 1$ — se homens sempre se casam com mulheres 3 anos mais novas, a associação linear entre idades é perfeita positiva $r = 0$ — idades independentes se a diferença é fixa $r = -1$ — diferença fixa implica correlação negativa $r = 3$ — a diferença determina $r$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.15
Show solution
Se $\text{idade\_esposa} = \text{idade\_marido} - 3$ , todos os pares $(x_i, y_i)$ estão sobre uma reta de inclinação $+1$ . Por definição, $r = 1$ . A constante 3 não afeta o coeficiente de Pearson (invariante a translações).
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $y_i = x_i - 3$ para todo $i$ .
2. Desvio de $y$ : $y_i - \bar y = (x_i - 3) - (\bar x - 3) = x_i - \bar x$ .
3. Numerador de $r$ : $\sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y) = \sum(x_i - \bar x)^2$ .
4. Denominador: $\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2 \cdot \sum(x_i-\bar x)^2} = \sum(x_i-\bar x)^2$ .
5. Portanto $r = 1$ .
Ex. 78.6Understanding
Em uma empresa, toda mulher ganha exatamente metade do salário do homem que ocupa o cargo equivalente. Qual seria a correlação entre salários masculinos e femininos?
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$r = 1$ — se cada mulher ganha exatamente metade do salário do colega homem, a relação linear entre salários é perfeita positiva $r = 0{,}5$ — porque a mulher ganha metade $r = -1$ — porque os salários são inversamente proporcionaisNão é possível determinar $r$ sem os dados
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.16
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Se $\text{salário_mulher} = 0{,}5 \times \text{salário_homem}$ , todos os pares estão sobre uma reta positiva $y = 0{,}5x$ . Logo $r = 1$ . O fator de escala 0,5 não altera o coeficiente de Pearson (invariante a multiplicação por constante positiva).
Ex. 78.7ApplicationAnswer key
Numa base de dados com as colunas "Ano" e "Número de casos de gripe diagnosticados", por que o ano é a variável independente e o número de casos é a variável dependente?
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Ano é a variável independente porque o tempo avança de forma autônoma — o número de casos não controla o anoNúmero de casos é a variável independente porque determina o progresso da doençaAs duas variáveis são igualmente dependentes e independentesEm séries temporais não existe variável independente
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 9
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O ano avança independentemente do número de casos — o tempo não é causado pelos casos. Usamos o ano para prever o número de casos ao longo do tempo, então o ano é a variável independente (eixo $x$ ) e o número de casos é a variável dependente (eixo $y$ ).
Ex. 78.8ApplicationAnswer key
Numa locadora de equipamentos, a taxa cobrada depende do número de horas de uso. Qual é a variável independente e qual é a dependente?
Select the correct option
Variável independente: horas de aluguel; variável dependente: taxa total a pagarVariável independente: taxa total; variável dependente: horas de aluguelAs duas são variáveis dependentesHoras é a variável dependente porque o cliente escolhe quanto paga
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 10
Show solution
As horas de uso determinam a taxa, não o contrário. Usamos o número de horas para calcular o total a pagar: $\text{total} = \text{taxa\_base} + \text{taxa\_hora} \times h$ . Horas = variável independente $(x)$ ; total = variável dependente $(y)$ .
Ex. 78.9Application
A equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ é linear? Justifique.
Select the correct option
$y = 10 + 5x - 3x^2$ não é linear porque contém o termo $x^2$ (grau 2)É linear porque começa com $y = 10$ É linear porque tem coeficiente positivo em $x$ Depende do valor de $x$ — pode ser linear ou não
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 6
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Uma equação linear em $x$ tem a forma $y = a + bx$ . A presença de $-3x^2$ (grau 2) torna a equação quadrática, não linear. O gráfico é uma parábola, não uma reta.
Ex. 78.10ApplicationAnswer key
Quais das equações abaixo são lineares? (a) $y = 6x + 8$ — (b) $y + 7 = 3x$ — (c) $y - x = 8x^2$ — (d) $4y = 8$
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São lineares: (a) $y = 6x + 8$ e (b) $y + 7 = 3x$ , pois têm grau 1 em $x$ Todas as quatro equações são linearesNenhuma é linear porque nenhuma passa pela origemSó (d) $4y = 8$ é linear por ter um único termo
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 7
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(a) $y = 6x + 8$ : forma $y = a + bx$ , linear. (b) $y + 7 = 3x \Rightarrow y = 3x - 7$ , linear. (c) $y - x = 8x^2 \Rightarrow y = x + 8x^2$ , quadrática — não linear. (d) $4y = 8 \Rightarrow y = 2$ : linha horizontal, tecnicamente linear mas sem variável $x$ .
Ex. 78.11ApplicationAnswer key
Numa reta de regressão $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ , o que significam o intercepto e a inclinação em termos práticos?
Select the correct option
O intercepto é o valor de $y$ quando $x = 0$ ; a inclinação é a variação em $y$ para cada unidade a mais em $x$ O intercepto é a variação de $y$ ; a inclinação é o valor inicialInclinação e intercepto têm o mesmo significado em modelos linearesO intercepto é zero sempre que a reta passa pela origem
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 11
Show solution
Na reta $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ : $\hat\beta_0$ é o intercepto — valor previsto de $y$ quando $x = 0$ . $\hat\beta_1$ é a inclinação — para cada unidade adicional em $x$ , $y$ muda em $\hat\beta_1$ unidades (em média).
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a reta: $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ .
2. Intercepto: faça $x = 0 \Rightarrow \hat y = \hat\beta_0$ .
3. Inclinação: compare $\hat y$ para $x$ e para $x+1$ : diferença $= \hat\beta_1$ .
4. Unidades: inclinação em (unidades de $y$ ) / (unidades de $x$ ).
Ex. 78.12Application
A equação de regressão $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ modela a quantidade de areia (toneladas) numa orla em função do tempo (anos). Quantas toneladas de areia a orla perde por ano?
Select the correct option
A orla perde $\hat\beta_1$ toneladas de areia por ano — o coeficiente de $x$ (anos) na reta de regressãoA orla perde o valor do intercepto $\hat\beta_0$ toneladas por anoNão é possível determinar a perda anual sem a covariânciaA perda anual é o valor de $r$ em toneladas
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 13
Show solution
Na reta $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ onde $x$ = anos e $y$ = areia restante (toneladas), a inclinação $\hat\beta_1$ representa a variação anual. Se $\hat\beta_1 < 0$ , a orla perde $|\hat\beta_1|$ toneladas por ano.
Ex. 78.13Application
No modelo de erosão costeira $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ , o que representa o intercepto $\hat\beta_0$ ?
Select the correct option
O intercepto $\hat\beta_0$ é a quantidade inicial de areia (quando $x = 0$ anos)O intercepto é o total de areia perdida ao longo do tempoO intercepto é a taxa de variação anualO intercepto não tem interpretação prática em modelos de tempo
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 14
Show solution
O intercepto $\hat\beta_0$ é o valor de $\hat y$ quando $x = 0$ — ou seja, a quantidade inicial estimada de areia no início do período de monitoramento. Pode não ter sentido extrapolá-lo além do intervalo dos dados.
Ex. 78.14Understanding
Se você fosse dono de uma ação e sua equação de regressão modelasse o preço ao longo do tempo, preferiria uma inclinação positiva ou negativa? Por quê?
Select the correct option
Se a inclinação for negativa, o preço da ação cai — o investidor preferiria inclinação positiva para ver a ação valorizarO investidor prefere inclinação negativa para comprar baratoO sinal da inclinação não importa — só o intercepto determina o valorInclinação zero é sempre a melhor opção
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 16
Show solution
A inclinação da reta de regressão do preço ao longo do tempo indica a tendência. Inclinação positiva: preço sobe em média. Inclinação negativa: preço cai. Como investidor, a preferência é pela inclinação positiva — ação em valorização.
Ex. 78.15Application
O que significa um valor de $r = 0$ ?
Select the correct option
O que significa $r = 0$ é que não há associação linear entre as variáveis — pode haver relação de outro tipo $r = 0$ significa que $X$ e $Y$ são independentes $r = 0$ indica que os dados estão errados $r = 0$ significa correlação negativa fraca
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 23
Show solution
$r = 0$ indica ausência de associação linear. Pode existir relação curvilinear (ex.: $y = x^2$ com $x$ simétrico) com $r = 0$ . Pearson mede somente linearidade.
Ex. 78.16UnderstandingAnswer key
Quando $n = 2$ e $r = 1$ , os dados são estatisticamente significativos? Explique.
Select the correct option
Com $n = 2$ e $r = 1$ : qualquer dois pontos determinam uma reta — o resultado é trivial e não é estatisticamente significativoCom $n = 2$ e $r = 1$ : há correlação significativa e causalCom $n = 2$ : não é possível calcular $r$ Com $n = 2$ e $r = 1$ : o modelo linear é muito confiável
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 24
Show solution
Dois pontos definem exatamente uma reta, então $r = \pm 1$ trivialmente para $n = 2$ . Graus de liberdade $df = n - 2 = 0$ : o teste de hipótese não é aplicável. Precisamos de $n \geq 3$ para qualquer conclusão não trivial.
Ex. 78.17Application
Com $n = 100$ e $r = -0{,}89$ , há correlação significativa entre as variáveis?
Select the correct option
$n = 100$ , $r = -0{,}89$ : há correlação significativa — o sinal negativo não afeta a significância $n = 100$ , $r = -0{,}89$ : não há correlação porque $r$ é negativoCorrelação negativa nunca é significativa em amostras grandesCom $n = 100$ , $|r| > 0{,}9$ é necessário para significância
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 25
Show solution
$t = -0{,}89\sqrt{98/0{,}2079} \approx -19{,}3$ . Valor crítico $t_{98;0{,}025} \approx 1{,}984$ . Como $|t| = 19{,}3 \gg 1{,}984$ , há correlação negativa altamente significativa. O sinal indica direção, não significância.
Ex. 78.18Understanding
Ao testar a significância de um coeficiente de correlação, qual é a hipótese nula?
Select the correct option
$H_0: \rho = 0$ — sem correlação linear na população; $H_1: \rho \neq 0$ (bilateral) $H_0: r = 0{,}5$ ; $H_1: r > 0{,}5$ $H_0: \bar y = 0$ ; $H_1: \bar y \neq 0$ $H_0: \beta_1 = r$ ; $H_1: \beta_1 \neq r$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 26
Show solution
Ao testar a significância de $r$ , a hipótese nula é $H_0: \rho = 0$ (correlação populacional nula). A alternativa bilateral é $H_1: \rho \neq 0$ . Estatística: $t = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)}$ com $n-2$ graus de liberdade.
Show step-by-step (with the why)
1. Hipótese nula: $H_0: \rho = 0$ (sem associação linear na população).
2. Hipótese alternativa: $H_1: \rho \neq 0$ (bilateral).
3. Estatística de teste: $t = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)}$ .
4. Distribuição: $t_{n-2}$ sob $H_0$ .
5. Rejeita $H_0$ se $|t| > t_{n-2;\alpha/2}$ .
Ex. 78.19Understanding
Ao testar a significância de um coeficiente de correlação, qual é a hipótese alternativa?
Select the correct option
$H_1: \rho \neq 0$ (bilateral) ou $H_1: \rho > 0$ / $H_1: \rho < 0$ (unilateral) dependendo da suspeita prévia $H_1: \rho = 1$ sempre $H_1: \rho = r$ (a hipótese alternativa é o valor amostral) $H_1: \mu \neq 0$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 27
Show solution
A hipótese alternativa depende da questão de pesquisa. Bilateral: $H_1: \rho \neq 0$ . Unilateral direita: $H_1: \rho > 0$ . Unilateral esquerda: $H_1: \rho < 0$ . Teste unilateral é usado quando há hipótese teórica direcional prévia.
Ex. 78.20Application
Se o nível de significância é $\alpha = 0{,}05$ e o p-valor do teste de correlação é $0{,}04$ , qual conclusão se pode tirar?
Select the correct option
p-valor $= 0{,}04 < \alpha = 0{,}05$ : rejeita $H_0$ — há correlação linear significativaAceita $H_0$ porque $p$ -valor $> 0$ Rejeita $H_0$ apenas se $p$ -valor $< 0{,}01$ O $p$ -valor 0,04 é inconclusivo
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 28
Show solution
Nível de significância $\alpha = 0{,}05$ . p-valor $= 0{,}04 < 0{,}05$ : evidência suficiente para rejeitar $H_0: \rho = 0$ . Conclusão: há associação linear estatisticamente significativa entre as variáveis.
Ex. 78.21Application
A reta de regressão de vendas diárias de um produto em função do dia é $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48x$ . Quais são as vendas previstas para o dia 60?
Select the correct option
Usando a reta $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48x$ : para o dia 60, $\hat y \approx 250$ $\hat y \approx 150$ no dia 60 $\hat y \approx 300$ no dia 60Não é possível prever vendas futuras com regressão linear
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 29
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Com a reta de regressão $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48x$ para vendas diárias de um produto em função do dia: para $x = 60$ : $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48 \times 60 = 101{,}32 + 148{,}8 = 250{,}12 \approx 250$ .
Ex. 78.22Application
Usando a mesma reta $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48x$ , quais são as vendas previstas para o dia 90?
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Para o dia 90: $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48 \times 90 = 324{,}52 \approx 325$ $\hat y \approx 250$ no dia 90 — igual ao dia 60 $\hat y \approx 400$ no dia 90 $\hat y < 0$ no dia 90 porque extrapola o modelo
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 30
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Para $x = 90$ : $\hat y = 101{,}32 + 2{,}48 \times 90 = 101{,}32 + 223{,}2 = 324{,}52 \approx 325$ . Cada 30 dias adicionais acrescenta $2{,}48 \times 30 = 74{,}4$ vendas.
Ex. 78.23Application
A reta de regressão de acres de gramado restantes em função de horas trabalhadas é $\hat y = 200 - 25x$ . Quantos acres restam após 20 horas de trabalho?
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Após 20 horas: $\hat y = 200 - 25 \times 20 = -300$ — matematicamente negativo, fisicamente impossível (extrapolação)Após 20 horas restariam 100 acresApós 20 horas restariam 175 acresApós 20 horas restam exatamente 0 acres — o trabalho acaba em 20 horas
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 31
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Com $\hat y = 200 - 25x$ onde $x$ = horas e $y$ = acres restantes: para $x = 20$ : $\hat y = 200 - 500 = -300$ . Resultado negativo é fisicamente impossível — demonstra o perigo da extrapolação além do domínio observado.
Ex. 78.24Application
Usando $\hat y = 200 - 25x$ (acres restantes vs. horas), em quantas horas o trabalho está concluído (quando $\hat y = 0$ )?
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$\hat y = 0$ quando $x = 8$ horas — o trabalho termina em 8 horas de acordo com o modeloO trabalho termina em 20 horasO trabalho termina em 200 horasO modelo não permite determinar quando o trabalho termina
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 33
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Faça $\hat y = 0$ : $0 = 200 - 25x \Rightarrow x = 200/25 = 8$ horas. O modelo prevê que o trabalho termina em 8 horas. Note que o resultado de 20h do exercício anterior foi extrapolação (além de 8h, o modelo não é válido).
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1. Equação: $\hat y = 200 - 25x$ .
2. Faça $\hat y = 0$ : $0 = 200 - 25x$ .
3. Resolva: $25x = 200 \Rightarrow x = 8$ .
4. Interpretação: modelo prevê término em 8 horas.
Ex. 78.25Application
Em uma regressão de casos de gripe diagnosticados em função do ano (dados de 1981 em diante), o que a correlação indica sobre a relação entre tempo e número de casos?
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O slope da reta de mínimos quadrados representa a variação anual média nos casos de gripe — tendência temporalO slope representa o número total de casos ao longo do períodoO slope representa o coeficiente de correlação entre anos e casosO slope não tem interpretação porque o tempo não é uma variável aleatória
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 38
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Na regressão de casos de gripe em função do ano (a partir de 1981), o slope $\hat\beta_1$ indica quantos casos a mais (ou a menos) por ano. Se positivo: tendência crescente. Valores de $x$ anteriores a 1981 são excluídos por representar período pré-AIDS, biologicamente diferente.
Ex. 78.26Application
Qual é o significado prático da inclinação (slope) de uma reta de melhor ajuste? E do intercepto?
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A inclinação é $\hat\beta_1$ — variação em $y$ por unidade de $x$ ; o intercepto é $\hat\beta_0$ — valor de $\hat y$ quando $x = 0$ A inclinação é o coeficiente de correlação $r$ O intercepto é sempre negativo em dados reaisA inclinação e o intercepto são definidos pelo $r^2$ , não pelos dados
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 21
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Na reta de mínimos quadrados $\hat y = a + bx$ : a inclinação $b = \hat\beta_1$ indica a variação prevista em $y$ para cada unidade adicional em $x$ . O intercepto $a = \hat\beta_0$ é o valor previsto quando $x = 0$ . Ambos têm unidades físicas, ao contrário de $r$ .
Ex. 78.27Understanding
Marcus afirma que todos os outliers são pontos influentes. Ele está correto?
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Marcus está errado — outlier é ponto com grande resíduo; ponto influente é aquele cuja remoção muda significativamente a retaMarcus está certo — todo outlier afasta a retaPonto influente e outlier são sinônimos em regressãoSomente pontos no extremo do eixo $x$ são influentes
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 48
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Outlier: ponto com resíduo $|e_i|$ grande. Ponto influente: sua remoção muda substancialmente $\hat\beta_0$ , $\hat\beta_1$ ou $r$ . Um outlier perto de $\bar x$ tem baixa alavancagem e pouca influência. Um ponto na extremidade do eixo $x$ pode ter alta influência mesmo sem resíduo grande.
Ex. 78.28Application
Um ponto é removido e a nova correlação é $r = 0{,}98$ . O ponto parecia ser um outlier influente?
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Após remover o ponto, $r = 0{,}98$ — o ponto era influente e reduzia a correlação (pull effect)O ponto não era influente porque $r = 0{,}98$ não é 1,00A correlação deveria cair após remover um ponto $r = 0{,}98$ confirma que o modelo linear é inadequado
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 50
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Antes da remoção: $r < 0{,}98$ . Após remoção: $r = 0{,}98$ . A mudança substancial confirma que o ponto era influente — estava fora da tendência geral e "puxava" a reta para longe, reduzindo a correlação do restante dos dados.
Ex. 78.29Understanding
Qual efeito o potencial outlier teve na reta de melhor ajuste (antes de ser removido)?
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O ponto influente deslocou a reta para perto de si, distorcendo a previsão para os demaisO ponto influente tornou a reta mais precisa para todos os outros pontosO efeito do ponto influente é apenas no intercepto, nunca na inclinaçãoPontos influentes não afetam a qualidade preditiva da reta
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 51
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Um ponto influente "atrai" a reta na sua direção, piorando a previsão para os outros pontos. Após sua remoção ( $r$ passou para 0,98), a reta representa muito melhor o restante dos dados. A confiança preditiva aumenta.
Ex. 78.30UnderstandingAnswer key
Você está mais ou menos confiante na capacidade preditiva da nova reta de melhor ajuste (após remover o outlier)?
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Mais confiante na nova reta — sem o ponto influente, a reta representa melhor a tendência real dos dadosMenos confiante — remover dados sempre reduz a precisãoA confiança não muda — $r = 0{,}98$ e $r = 1$ têm a mesma interpretaçãoNão é possível opinar sem refazer a análise completa
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 52
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Após remover o ponto influente, $r = 0{,}98$ . A nova reta ajusta melhor os dados restantes. A confiança preditiva aumenta — a maioria dos pontos está muito próxima da reta. Devemos investigar por que aquele ponto era tão diferente (erro de medição? valor extremo real?).
Ex. 78.31Application
A soma dos quadrados dos erros (SSE) para um conjunto de $n = 18$ pares é 49. Qual é o desvio padrão dos resíduos $s$ ?
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$s = \sqrt{\text{SSE}/(n-2)} = \sqrt{49/16} \approx 1{,}75$ $s = \sqrt{49} = 7$ $s = 49/18$ $s = 49/2 = 24{,}5$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 53
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SSE = 49, $n = 18$ . Graus de liberdade: $df = n - 2 = 16$ . Desvio padrão dos resíduos: $s = \sqrt{\text{SSE}/df} = \sqrt{49/16} = \sqrt{3{,}0625} \approx 1{,}75$ .
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1. Graus de liberdade: $df = n - 2 = 18 - 2 = 16$ .
2. MSE: $\text{MSE} = 49/16 = 3{,}0625$ .
3. Desvio padrão dos resíduos: $s = \sqrt{3{,}0625} \approx 1{,}75$ .
Dica: Sempre divida por $n-2$ (não por $n$ ) em regressão simples — perde-se 2 graus de liberdade ao estimar $\hat\beta_0$ e $\hat\beta_1$ .
Ex. 78.32Application
O desvio padrão dos resíduos é $s = 9{,}8$ . Qual o limiar para classificar um ponto como outlier em regressão?
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Ponto com $|e| > 2{,}5 \times 9{,}8 = 24{,}5$ — critério usual de 2,5 desvios padrão dos resíduosPonto com $|e| > 9{,}8$ — um único desvio padrãoOutliers são pontos com resíduo padronizado exatamente igual a 3Não é possível usar $s$ para identificar outliers em regressão
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 54
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Critério usual: ponto com $|e| > 2{,}5s$ (ou $> 3s$ para critério mais conservador) é suspeito de outlier. Para $s = 9{,}8$ : threshold $\approx 24{,}5$ unidades (ou 29,4 com 3s). Pontos acima merecem investigação.
Ex. 78.33Modeling
Pesquisadores de antropometria mediram a circunferência do quadril (cm) e o peso (kg) de 507 adultos. Sem ver os dados, qual o sinal e a magnitude esperados de $r$ entre essas variáveis?
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$r = 0{,}85$ — altura explica bem o peso, mas não perfeitamente: outros fatores (dieta, etc.) contribuem $r = 1{,}0$ — altura determina peso com perfeição $r \approx 0$ — não há relação linear entre altura e peso $r = -0{,}85$ — mais alto significa mais leve
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.14
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Pesquisadores de antropometria encontram tipicamente $r \approx 0{,}7$ – $0{,}9$ entre cintura/quadril e peso. A correlação é positiva e moderada-forte: variáveis corporais crescem juntas. A relação não é perfeita porque fatores genéticos e metabólicos individuais adicionam variabilidade.
Ex. 78.34ModelingAnswer key
Num estudo com 1.302 maratonistas, pesquisadores correlacionaram horas semanais de treino e tempo final de prova. Qual o sinal esperado de $r$ ?
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Horas semanais de treino e tempo final: correlação negativa ( $r < 0$ ) — mais treino, melhor desempenho (menor tempo)Correlação positiva — mais treino, mais lento por fadiga acumuladaCorrelação zero — treino não influencia o tempo de provaCorrelação exatamente $-1$ — relação perfeita
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.9
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Mais horas semanais de treino estão associadas a menor tempo de prova (melhora no desempenho). Correlação negativa esperada. Não é perfeita ( $r \neq -1$ ) porque outros fatores (alimentação, sono, genética, estratégia de prova) também influenciam o tempo.
Ex. 78.35Challenge
Prove que $r(X+5,\; 2Y+1) = r(X,Y)$ .
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$r(X,Y) = r(X+5,\, 2Y+1)$ — Pearson é invariante a transformações lineares afins positivas $r(X+5, 2Y+1) = 2 \cdot r(X,Y)$ $r(X+5, 2Y+1) = r(X,Y) + 5$ $r(X+5, 2Y+1) = r(X,Y)^2$
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OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.16
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Se $U = X + 5$ : desvios $u_i - \bar u = x_i - \bar x$ . Se $V = 2Y + 1$ : desvios $v_i - \bar v = 2(y_i - \bar y)$ . Numerador de $r(U,V)$ : $\sum(x_i-\bar x) \cdot 2(y_i-\bar y) = 2\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ . Denominador: $\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2 \cdot 4\sum(y_i-\bar y)^2} = 2\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2 \sum(y_i-\bar y)^2}$ . O fator 2 cancela: $r(U,V) = r(X,Y)$ .
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1. Translação: $U = X+5 \Rightarrow u_i - \bar u = x_i - \bar x$ .
2. Escala positiva + translação: $V = 2Y+1 \Rightarrow v_i - \bar v = 2(y_i - \bar y)$ .
3. Numerador: $\sum(u_i-\bar u)(v_i-\bar v) = 2\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ .
4. Denominador: $2\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2 \sum(y_i-\bar y)^2}$ .
5. Resultado: $r(U,V) = r(X,Y)$ . $\blacksquare$
Ex. 78.36Challenge
As inclinações das retas de regressão de $Y$ em $X$ e de $X$ em $Y$ são iguais? Qual é a relação entre elas?
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Produto das inclinações $= r^2$ ; as retas só coincidem quando $r = \pm 1$ As duas retas têm sempre a mesma inclinaçãoA reta de $X$ em $Y$ tem inclinação $1/\hat\beta_1$ As inclinações são sempre recíprocas: se uma é 3, a outra é $1/3$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.16
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Reta de $Y$ em $X$ : inclinação $\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x$ . Reta de $X$ em $Y$ : inclinação $\hat\gamma_1 = r \cdot s_x/s_y$ . Produto: $\hat\beta_1 \cdot \hat\gamma_1 = r^2$ . Iguais somente quando $r^2 = 1$ , i.e., $r = \pm 1$ .
Ex. 78.37Challenge
Em uma análise de casos de gripe ao longo do tempo, os dados anteriores a 1981 não são incluídos na regressão. Por quê?
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Dados pré-1981 são excluídos porque o padrão epidemiológico mudou (AIDS): incluí-los distorceria a tendência recenteDados pré-1981 são excluídos por serem imprecisos numericamenteDados antigos sempre prejudicam a regressãoA exclusão é arbitrária e não afeta a reta de regressão
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 46
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O contexto biológico/epidemiológico mudou a partir de 1981 (emergência da AIDS e outros fatores). A relação temporal entre anos e casos de gripe diagnosticados é diferente antes e depois desse período. Incluir dados pré-1981 quebraria a linearidade e produziria uma reta de regressão menos representativa do padrão atual.
Ex. 78.38Proof
Prove que $-1 \leq r \leq 1$ usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
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Via Cauchy-Schwarz: $(\sum a_i b_i)^2 \leq (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$ , portanto $r^2 \leq 1$ , i.e. $-1 \leq r \leq 1$ Via desigualdade de Chebyshev $r$ é adimensional, logo automaticamente entre $-1$ e $1$ Via Teorema Central do Limite
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OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.15
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Tome $a_i = x_i - \bar x$ e $b_i = y_i - \bar y$ . Cauchy-Schwarz: $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$ . Dividindo: $r^2 = \frac{(\sum a_i b_i)^2}{(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)} \leq 1$ . Logo $-1 \leq r \leq 1$ . $\blacksquare$
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $a_i = x_i - \bar x$ , $b_i = y_i - \bar y$ .
2. Cauchy-Schwarz: $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$ .
3. O numerador de $r^2$ é $\left(\sum a_i b_i\right)^2$ ; o denominador é $\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$ .
4. Portanto $r^2 \leq 1$ , i.e., $|r| \leq 1$ . $\blacksquare$
Ex. 78.39ProofAnswer key
Derive a fórmula $\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x$ minimizando a soma dos quadrados dos resíduos.
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Minimize $\sum(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2$ ; condição de 1.ª ordem em $\beta_1$ dá $\hat\beta_1 = \text{Cov}(X,Y)/\text{Var}(X) = r s_y/s_x$ $\hat\beta_1 = s_y/s_x$ sem o fator $r$ $\hat\beta_1 = \bar y/\bar x$ $\hat\beta_1 = \text{Cov}(X,Y)/\text{Var}(Y)$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.1 · ex. 8.12
Show solution
Derive SQR em relação a $\beta_1$ e iguale a zero: $-2\sum x_i(y_i - \hat\beta_0 - \hat\beta_1 x_i) = 0$ . Com $\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1 \bar x$ : $\hat\beta_1 = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2} = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = r\frac{s_y}{s_x}$ . $\blacksquare$
Ex. 78.40Challenge
$n = 22$ , $r^2 = 0{,}64$ , SQT $= 500$ . Calcule SQR e RMSE.
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$r^2 = 0{,}64$ : SQR $= \text{SQT}(1-r^2) = 500 \times 0{,}36 = 180$ ; RMSE $= \sqrt{180/20} = 3$ SQR $= 320$ ; RMSE $= 4$ SQR $= 0$ porque $r^2 = 0{,}64$ RMSE $= \sqrt{500/20} = 5$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 47
Show solution
$\text{SQR} = \text{SQT}(1-r^2) = 500 \times (1-0{,}64) = 500 \times 0{,}36 = 180$ . MSE $= 180/(n-2) = 180/20 = 9$ . RMSE $= \sqrt{9} = 3$ unidades.
Show step-by-step (with the why)
1. $r^2 = 0{,}64$ : fração da variância explicada pela regressão.
2. $1 - r^2 = 0{,}36$ : fração não explicada.
3. SQR $= \text{SQT} \times (1-r^2) = 500 \times 0{,}36 = 180$ .
4. Graus de liberdade: $df = n - 2 = 22 - 2 = 20$ .
5. RMSE $= \sqrt{\text{SQR}/df} = \sqrt{180/20} = \sqrt{9} = 3$ .

Fontes

OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · 2022 · CC-BY. Fonte primária dos exercícios 78.1–2, 78.5–10, 78.14, 78.16, 78.19–20, 78.22–25, 78.29–31 e exemplos 1–3, 5.
OpenIntro Statistics (4.ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · CC-BY-SA. Fonte dos exercícios 78.3, 78.9, 78.11–12, 78.17–18, 78.21, 78.23, 78.26–28, 78.32 e exemplo 4.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · Dartmouth · GNU FDL. Fonte dos exercícios 78.4, 78.13, 78.15 e prova de |r| ≤ 1.