v1 · padrão canônico

Lesson 80 — Consolidation Term 8 — Applied Statistics and Probability

Integrative workshop: central measures, variance, quartiles, discrete r.v., binomial, normal, CLT, correlation, and Bayes in real-world problems.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · Equiv. H2 Maths Statistics (Singapura)

\text{Dados} \xrightarrow{\text{descrever}} \hat\mu,\,\hat\sigma \xrightarrow{\text{modelar}} P(X) \xrightarrow{\text{inferir}} P(H \mid E)

O pipeline completo do trimestre: resumir dados com $\hat\mu$ e $\hat\sigma$ , escolher um modelo probabilístico (binomial, normal), e atualizar crenças via regra de Bayes $P(H\mid E)$ . Cada seta é uma aula; esta lição tece as flechas em cadeia.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese formal do trimestre

Estatística descritiva

"A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média. Para uma amostra, divide-se por $n-1$ (correção de Bessel) em vez de $n$ ." — OpenIntro Statistics §2.1

Variável aleatória discreta

"A esperança é uma média ponderada dos possíveis valores de $X$ , ponderada pelas probabilidades." — Grinstead & Snell §6.1

Distribuições paramétricas

Definition· Binomial, Normal e aproximação

Binomial $X \sim \text{Bin}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad E[X]=np, \quad \text{Var}(X)=np(1-p)$

Normal $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ : função de densidade $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

Padronização: $Z = (X - \mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)$

Regra 68-95-99,7: $P(\mu - k\sigma \leq X \leq \mu + k\sigma)$ vale $\approx 68\%$ , $\approx 95\%$ , $\approx 99{,}7\%$ para $k = 1, 2, 3$ .

Aproximação normal para binomial: se $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$ , então $X \approx \mathcal{N}(np,\; np(1-p))$ .

Teorema Central do Limite

"O TCL é indiscutivelmente o resultado mais importante de toda a teoria de probabilidade. Afirma que a distribuição da média amostral se aproxima da normal independentemente da distribuição original de $X$ ." — OpenIntro Statistics §4.4

Correlação e regressão

Regra de Bayes

Pipeline do Trim 8. Cada bloco corresponde a um grupo de aulas (72–73, 74–76, 77, 78–79).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Variância, IQR e detecção de outlier

Problema: Considere a amostra de tempos de atendimento (em minutos): 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 30. Calcule média, variância amostral, mediana, $Q_1$ , $Q_3$ , IQR e identifique outliers pela cerca de Tukey.

Estratégia: Aplicar definições em sequência: ordenar, localizar quartis, calcular IQR, aplicar critério $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ .

Resolução:

Amostra ordenada: 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 30. ( $n = 10$ )

Média: $\bar x = (5+7+8+8+9+10+10+11+12+30)/10 = 110/10 = 11$ .

Variância amostral:

$s^2 = \frac{1}{9}\sum(x_i - 11)^2 = \frac{(−6)^2+(−4)^2+(−3)^2+(−3)^2+(−2)^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+1^2+19^2}{9}$

$= \frac{36+16+9+9+4+1+1+0+1+361}{9} = \frac{438}{9} \approx 48{,}7 \implies s \approx 6{,}98$

Mediana (posição 5,5): $(9 + 10)/2 = 9{,}5$ .

$Q_1$ (mediana dos 5 primeiros): 8.

$Q_3$ (mediana dos 5 últimos): 11.

IQR: $11 - 8 = 3$ .

Cerca inferior: $8 - 1{,}5 \times 3 = 3{,}5$ . Cerca superior: $11 + 1{,}5 \times 3 = 15{,}5$ .

O valor 30 é outlier (acima de 15,5). O valor 5 está dentro da cerca (acima de 3,5).

Verificação: A média (11) ficou inflada pelo outlier 30; a mediana (9,5) representa melhor o centro. IQR (3) é mais robusto que $s$ (6,98) na presença de outlier.

Fonte. OpenIntro Statistics §2.1–2.2 — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA.

Example— 2· Esperança e variância de variável aleatória discreta

Problema: Um dado honesto de 4 faces tem $X \in \{1, 2, 3, 4\}$ com probabilidades iguais $1/4$ . Calcule $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ e $E[3X - 2]$ .

Estratégia: Aplicar a definição de esperança; usar $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ ; aplicar linearidade para $E[3X - 2]$ .

Resolução:

$E[X] = \frac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) = \frac{10}{4} = 2{,}5$

$E[X^2] = \frac{1}{4}(1 + 4 + 9 + 16) = \frac{30}{4} = 7{,}5$

$\text{Var}(X) = 7{,}5 - (2{,}5)^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25$

$E[3X - 2] = 3 E[X] - 2 = 3 \times 2{,}5 - 2 = 5{,}5$

Verificação: Por simetria, $E[X] = (1+4)/2 = 2{,}5$ . Para $\text{Var}$ : a fórmula para distribuição uniforme discreta em $\{1,\ldots,n\}$ é $(n^2-1)/12 = (16-1)/12 = 1{,}25$ . Confere.

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability §6.1, pág. 224 — GNU FDL.

Example— 3· Binomial e aproximação normal

Problema: Uma linha de produção tem taxa de defeito $p = 0{,}04$ . Em um lote de $n = 200$ peças, calcule $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ , e use aproximação normal para encontrar $P(X \geq 12)$ .

Estratégia: Verificar critério de aproximação ( $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$ ), padronizar com correção de continuidade.

Resolução:

$X \sim \text{Bin}(200, 0{,}04)$ .

$E[X] = 200 \times 0{,}04 = 8$ . $\text{Var}(X) = 200 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = 7{,}68$ . $\sigma = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}77$ .

Critério: $np = 8 < 10$ . A aproximação normal é limítrofe — o resultado é uma estimativa. Neste exercício, usamos mesmo assim para praticar a técnica.

Com correção de continuidade: $P(X \geq 12) \approx P\!\left(Z \geq \dfrac{11{,}5 - 8}{2{,}77}\right) = P(Z \geq 1{,}26)$ .

Tabela: $P(Z \geq 1{,}26) = 1 - \Phi(1{,}26) \approx 1 - 0{,}8962 = 0{,}1038 \approx 10{,}4\%$ .

Verificação: Valor exato via binomial: $P(X \geq 12) \approx 10{,}6\%$ . Aproximação razoável, com erro de 0,2 p.p.

Fonte. OpenStax Statistics §4.3 — Binomial Distribution, ex. 4.15 e §6.3 — licença CC-BY.

Example— 4· Teorema Central do Limite — média amostral

Problema: O peso de pacotes de café de uma marca tem $\mu = 500$ g e $\sigma = 8$ g (distribuição desconhecida). Uma fiscalização amostra 64 pacotes. Qual a probabilidade de que a média amostral seja menor que 498 g?

Estratégia: Aplicar o TCL: $\bar X \sim \mathcal{N}(500,\; 8^2/64)$ para $n = 64$ grande.

Resolução:

Erro padrão: $\sigma_{\bar X} = 8/\sqrt{64} = 8/8 = 1$ g.

$P(\bar X < 498) = P\!\left(Z < \frac{498 - 500}{1}\right) = P(Z < -2) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228$

Probabilidade $\approx 2{,}3\%$ .

Verificação: A probabilidade é baixa, como esperado: 498 g está 2 desvios padrão abaixo da média amostral esperada. Observe que $n = 64$ é suficiente para o TCL mesmo sem conhecer a distribuição original.

Fonte. OpenIntro Statistics §4.4 — Central Limit Theorem, pág. 181 — CC-BY-SA.

Example— 5· Regra de Bayes — teste diagnóstico com baixa prevalência

Problema: Uma doença tem prevalência 1% na população. Um teste tem sensibilidade 90% e especificidade 95%. Uma pessoa testa positivo. Qual a probabilidade de que ela esteja doente (VPP)?

Estratégia: Aplicar Bayes com $H =$ "doente", $E =$ "teste positivo". Calcular $P(E)$ pela lei da probabilidade total.

Resolução:

Dados: $P(H) = 0{,}01$ , $P(H^c) = 0{,}99$ , $P(E \mid H) = 0{,}90$ , $P(E \mid H^c) = 0{,}05$ .

$P(E) = P(E \mid H)P(H) + P(E \mid H^c)P(H^c) = 0{,}90 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}009 + 0{,}0495 = 0{,}0585$

$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)} = \frac{0{,}009}{0{,}0585} \approx 0{,}1538 \approx 15{,}4\%$

Verificação: Intuitivo via árvore: em 10.000 pessoas, 100 doentes, 900 sadios. Dos doentes: $0{,}9 \times 100 = 90$ positivos. Dos sadios: $0{,}05 \times 9900 = 495$ positivos. Total de positivos: 585. VPP = $90/585 \approx 15{,}4\%$ . Confere.

Fonte. OpenIntro Statistics §2.2 — Conditional Probability, ex. 2.29, pág. 88 — CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 12Modeling 4Challenge 2Proof 1

Ex. 80.1ApplicationAnswer key
Uma placa de Petri comporta no máximo 1 milhão de células bacterianas. Você coloca algumas bactérias e registra a população ao longo do tempo. Qual das afirmativas melhor descreve o formato esperado do gráfico de número de células versus tempo?
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Crescimento exponencial que se estabiliza próximo de 1 milhão (curva em S)Crescimento linear: a população aumenta em quantidade constante por unidade de tempoCrescimento decrescente: a população diminui à medida que o espaço fica limitadoCrescimento uniforme: a população permanece constante ao longo do tempo
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.3
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A curva começa com crescimento exponencial rápido e depois desacelera à medida que o espaço e nutrientes se esgotam, estabilizando próximo ao limite de 1 milhão. É uma curva em formato de S (logística), típica de crescimento limitado por capacidade de suporte.
Ex. 80.2UnderstandingAnswer key
Produtividade no trabalho é baixa quando há pouco estresse e também baixa quando o estresse é muito alto. Qual nível de estresse corresponde à produtividade máxima, e qual é o formato típico do gráfico produtividade versus estresse?
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Estresse moderado — produtividade é máxima com estresse intermediário; muito pouco ou muito estresse a reduzEstresse zero — funcionários sem nenhuma pressão são maximamente produtivosEstresse alto — maior pressão sempre gera maior produtividadeRelação linear positiva — produtividade cresce proporcionalmente ao estresse
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.4
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O gráfico tem formato de U invertido (curva côncava): produtividade baixa com estresse muito baixo, máxima com estresse moderado, e baixa novamente com estresse muito alto. Isso é a Lei de Yerkes-Dodson — desempenho é maximizado por nível ótimo de ativação.
Ex. 80.3Application
Em 2007, domicílios americanos gastaram em média US $52 em itens de Halloween. Uma pesquisa em 2008 com 1.500 domicílios encontrou média de US$ 58. Identifique qual valor é o parâmetro e qual é a estatística amostral.
Select the correct option
Gasto médio de US $52: parâmetro populacional; gasto médio de US$ 58: estatística amostral de 2008Gasto médio de US $52: estatística amostral; gasto médio de US$ 58: parâmetro populacionalAmbos são parâmetros populacionais de anos diferentesAmbos são estatísticas amostrais; nenhum representa a população inteira
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OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.5
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O valor de US$ 52 em 2007 é o parâmetro — reportado como média da população antes da nova pesquisa. O valor de US$ 58 é a estatística — obtido de uma amostra de 1.500 domicílios em 2008. Analogamente, o GPA de 3,37 em 2001 é o parâmetro e o GPA de 3,59 é a estatística amostral de 203 estudantes.
Ex. 80.4ApplicationAnswer key
Um artigo afirma que estudantes universitários dormem em média 5,5 horas por noite. Uma estudante cética amostrou 25 colegas e encontrou média de 6,25 horas. Qual valor é o parâmetro e qual é a estatística amostral?
Select the correct option
Média da população (parâmetro): 5,5 h; média amostral (estatística): 6,25 hMédia da população: 6,25 h; média amostral: 5,5 hAmbas são médias populacionais de grupos diferentesA média de 5,5 h é mais confiável por ser baseada em dados maiores
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.6
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O artigo cita 5,5 h como a média de todos os estudantes universitários — isso é o parâmetro alegado. A estudante amostrou 25 colegas e obteve 6,25 h — isso é a estatística amostral. O objetivo da pesquisa era verificar se o parâmetro alegado era plausível.
Ex. 80.5Understanding
Trabalhadores de uma mina recebem em média 35 dias de férias remuneradas — abaixo da média nacional. O gerente quer aumentar a média reportada sem dar mais dias de férias. Se ele puder demitir 10 funcionários, quais deveria demitir para atingir esse objetivo?
Select the correct option
Demitir os que têm menos dias de férias: removê-los eleva a média dos que ficamDemitir os que têm mais dias de férias: removê-los reduz o custo totalDemitir os que têm exatamente a média de dias: não afetam a médiaA escolha não afeta a média, que depende apenas do total de funcionários
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.7
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Para aumentar a média, o gerente deve remover os valores mais baixos da distribuição. Demitir os funcionários com menos dias de férias remove os puxadores negativos da média, fazendo-a subir. Isso ilustra como a média aritmética pode ser manipulada removendo valores extremos inferiores.
Ex. 80.6Understanding
Compare as distribuições (1) = 3, 5, 6, 7, 9 e (2) = 3, 5, 6, 7, 20 quanto às medianas e IQRs. O que muda ao substituir o valor 9 por 20?
Select the correct option
Mesmo $Q_2$ ; IQR maior em (2): o valor 20 amplia $Q_3$ em relação a $Q_3$ de (1)Mesmos $Q_2$ e IQR: substituir 9 por 20 não altera quartis centrais $Q_2$ maior em (2): 20 puxa a mediana para cimaIQR menor em (2): valores extremos reduzem a dispersão central
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.8
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Distribuição (1): 3, 5, 6, 7, 9. $Q_2 = 6$ . $Q_1 = 4$ , $Q_3 = 8$ , $\text{IQR} = 4$ . Distribuição (2): 3, 5, 6, 7, 20. $Q_2 = 6$ (igual). $Q_1 = 4$ (igual). $Q_3 = 13{,}5$ (mediana de 7 e 20). $\text{IQR} = 9{,}5$ . Conclusão: mesmo $Q_2$ , mas IQR maior em (2).
Show step-by-step (with the why)
1. Distribuição (1): 3, 5, 6, 7, 9. Mediana = 6 = $Q_2$ . $Q_1$ = mediana de (3, 5) = 4. $Q_3$ = mediana de (7, 9) = 8. IQR = 4.
2. Distribuição (2): 3, 5, 6, 7, 20. Mediana = 6 = $Q_2$ (igual). $Q_1$ = 4 (igual). $Q_3$ = mediana de (7, 20) = $13{,}5$ . $\text{IQR} = 13{,}5 - 4 = 9{,}5$ .
3. Conclusão: mesmo $Q_2$ , mas IQR maior em (2) — o valor extremo 20 amplia $Q_3$ .
Ex. 80.7Understanding
Compare (1) = 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 13 e (2) = 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 20 quanto a médias e desvios padrão. O que muda ao substituir 13 por 20?
Select the correct option
Média maior em (2) por causa do 20; desvio padrão também maior em (2)Mesmas médias; desvio padrão maior em (2) porque o valor 20 aumenta a dispersãoMesmas médias e mesmo desvio padrão: o 20 compensa os demais valoresMédia igual; desvio padrão menor em (2) porque há menos variabilidade sem o 13
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.9
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Distribuição (1) = 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 13: soma = 72, média = 8. Distribuição (2) = 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 20: soma = 79, média $\approx 8{,}78$ . Média maior em (2). Desvio padrão também maior em (2) porque o valor 20 está mais distante da média do que o 13.
Ex. 80.8Understanding
Dados do Facebook indicam que 50% dos usuários têm 100 ou mais amigos e a média de amigos é 190. O que esses dados sugerem sobre a forma da distribuição do número de amigos?
Select the correct option
Distribuição assimétrica à direita: média maior que mediana, pois poucos usuários têm muitos amigosDistribuição simétrica: mediana e média são iguais quando a mediana é 100Distribuição assimétrica à esquerda: poucos usuários com muitos amigos puxam a média para baixoDistribuição uniforme entre 0 e 380 amigos
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.14
Show solution
A mediana (100 amigos) é menor que a média (190 amigos). Quando média é maior que mediana, a distribuição é assimétrica à direita (cauda longa no lado superior). A maioria dos usuários tem relativamente poucos amigos, mas uma minoria com centenas de amigos puxa a média para cima.
Ex. 80.9Application
Para cada variável, indique se a distribuição esperada é simétrica, assimétrica à direita ou à esquerda, e qual medida (média ou mediana, DP ou IQR) melhor representa a variável. (a) Número de animais domésticos por domicílio. (b) Distância casa-trabalho em km. (c) Altura de homens adultos.
Select the correct option
Número de animais: assimétrica à direita, mediana e IQR mais representativos; alturas de homens: simétrica, média e DP adequadosNúmero de animais: simétrica; média e desvio padrão são mais representativosAlturas de homens: assimétrica à direita; mediana e IQR são mais representativosDistância casa-trabalho: simétrica; média e desvio padrão são os mais adequados
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.15
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Número de animais: a maioria tem 0–2, mas alguns têm muitos — assimétrica à direita — use mediana e IQR. Distância casa-trabalho: maioria pequena, alguns percursos longos — assimétrica à direita — mediana e IQR. Altura de homens: distribuição aproximadamente simétrica/normal — média e DP são adequados.
Ex. 80.10Understanding
Para cada situação, indique forma da distribuição e medida mais adequada. (a) Preços de imóveis em um país onde há muitas casas acima de R $6 milhões. (b) Preços de imóveis em distribuição regular (Q1 = R$ 300 mil, Q2 = R $600 mil, Q3 = R$ 900 mil). (c) Salários em uma Fortune 500 com poucos executivos de salário muito alto.
Select the correct option
Preços no cenário (a): assimétrica à direita; mediana e IQR são mais representativosSalários na Fortune 500: simétrica; média e DP mais representativos por incluir executivosBebidas alcoólicas por semana: assimétrica à esquerda; a maioria não bebePreços no cenário (b): assimétrica à direita; média adequada por dados equilibrados
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.16
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Cenário (a) — imóveis com poucos acima de R$ 6 milhões: assimétrica à direita — mediana e IQR. Cenário (b) — quartis equilibrados: aproximadamente simétrica — média e DP. Bebidas: maioria zero, alguns outliers — assimétrica à direita — mediana e IQR. Salários Fortune 500: poucos executivos de salário muito alto — assimétrica à direita — mediana e IQR.
Ex. 80.11Understanding
O ponto médio de uma distribuição é definido como a média entre o máximo e o mínimo: (max + min) / 2. Essa estatística é robusta a outliers e a assimetrias extremas? Justifique.
Select the correct option
Não é robusto: qualquer outlier no máximo ou mínimo distorce o ponto médio tanto quanto distorce a médiaÉ robusto a outliers porque usa apenas dois valores da distribuiçãoÉ equivalente à mediana em termos de robustezÉ mais robusto que a média porque ignora a maioria dos dados
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.18
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O ponto médio é definido como (max + min) / 2. É extremamente sensível a outliers: um único valor extremo no máximo ou mínimo distorce o ponto médio tanto quanto distorce a média, ou mais. A mediana, em contraste, é robusta a outliers por ser o valor central da lista ordenada.
Ex. 80.12Understanding
Uma cafeteria tem 40 clientes com renda anual entre US $60k e US$ 70k. Dois novos clientes entram: um ganha US $225k e outro US$ 250k. (a) Qual medida de posição central (média ou mediana) representa melhor a renda típica dos 42 clientes? (b) Qual medida de variabilidade (DP ou IQR) é mais robusta nesse contexto?
Select the correct option
A mediana é mais robusta: mesmo com dois outliers de US $225k e US$ 250k, ela muda pouco; a média e o DP sobem muitoA média é mais robusta: utiliza todos os dados e não é afetada por dois pontos extremosO DP é mais robusto que o IQR em presença de outliers de renda altaMediana e média são igualmente afetadas quando os outliers são positivos
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Solve online OpenIntro Statistics · §2.1 · ex. 2.17
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Com 40 clientes com renda em torno de US$ 60–70k, a média e o DP são medidas razoáveis. Ao adicionar dois outliers (US$ 225k e US$ 250k), a média sobe bastante e o DP aumenta enormemente. A mediana, por ser o valor central da lista ordenada, muda muito pouco. Isso demonstra a robustez da mediana e do IQR.
Ex. 80.13Application
Em uma universidade, 13% dos estudantes fumam. (a) Calcule o número esperado de fumantes em amostra aleatória de 100 estudantes. (b) Às 8h55 de um sábado, há 27 estudantes esperando a academia abrir. Você deve usar a mesma proporção para estimar o número esperado de fumantes nesse grupo? Explique.
Select the correct option
13 fumantes esperados em amostra aleatória de 100; não é válido usar essa proporção na academia às 8h5513 fumantes esperados; a academia às 8h55 também é amostra aleatória, então a proporção vale0,13 fumantes esperados; divide-se 13% por 10027 fumantes esperados; usa-se o total de estudantes na frente da academia
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.29
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(a) Em amostra aleatória de 100 estudantes: $E[X] = 100 \times 0{,}13 = 13$ fumantes esperados. (b) Os 27 estudantes na academia às 8h55 não são amostra aleatória — são estudantes que acordaram cedo para se exercitar, provavelmente com hábitos de saúde distintos. Usar 13% para esse grupo seria inadequado; há viés de seleção.
Show step-by-step (with the why)
1. Valor esperado em amostra aleatória: $E[X] = n \cdot p = 100 \times 0{,}13 = 13$ .
2. A academia às 8h55 não é amostra aleatória da universidade — é grupo de conveniência com viés de seleção (pessoas que se exercitam cedo podem ter perfil de saúde diferente).
Ex. 80.14Application
Em um jogo de cartas com baralho embaralhado: carta vermelha = ganho zero; espada = US $5; qualquer paus = US$ 10; Ás de paus = US $30 (US$ 10 + bônus de US$ 20). (a) Construa o modelo de probabilidade e calcule o ganho esperado por partida. (b) Qual o máximo que você pagaria para jogar?
Select the correct option
Ganho esperado: aproximadamente US$ 4,13 por partidaGanho esperado: US$ 5,00; o jogo tem retorno justoGanho esperado: US$ 7,50; considera somente as cartas vencedorasGanho esperado: US$ 0; jogo com valor esperado nulo
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.30
Show solution
Resultados: carta vermelha (26/52 = 1/2): ganho zero. Espada (13/52 = 1/4): ganho US$ 5. Paus exceto Ás (12/52): ganho US$ 10. Ás de paus (1/52): ganho US$ 30. Esperança: $E = 0 + 5 \cdot \frac{1}{4} + 10 \cdot \frac{12}{52} + 30 \cdot \frac{1}{52} = 1{,}25 + 2{,}31 + 0{,}58 \approx 4{,}14$ . Você pagaria no máximo US$ 4,14 para jogar.
Ex. 80.15Application
Em um novo jogo de cartas, você compra 3 cartas sem reposição. Se as 3 forem copas, você ganha US $50. Se as 3 forem pretas, você ganha US$ 25. Qualquer outra combinação = ganho zero. (a) Calcule o ganho esperado. (b) Se o jogo custa US$ 5, qual é o lucro líquido esperado? Vale a pena jogar?
Select the correct option
Ganho esperado: aproximadamente US $3,59; com custo de US$ 5, lucro líquido esperado é negativoGanho esperado: US $5,00; o jogo tem retorno justo ao custo de US$ 5Ganho esperado: US$ 0; o jogo é desfavorável e deve ser evitadoGanho esperado: US $12,50; compensa pagar até US$ 12 para jogar
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.31
Show solution
Prob. de 3 copas sem reposição: $\frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{11}{50} \approx 0{,}0129$ . Prob. de 3 pretas: $\frac{26}{52} \cdot \frac{25}{51} \cdot \frac{24}{50} \approx 0{,}1176$ . Ganho esperado: $50 \times 0{,}0129 + 25 \times 0{,}1176 \approx 3{,}59$ . Com custo de US$ 5: lucro líquido esperado = US$ 3,59 - US$ 5 = -US$ 1,41. Não compensa.
Ex. 80.16ModelingAnswer key
Andy paga US $2 para jogar. Ele compra uma carta: carta de número (2–10) = ganho zero; figura (J, Q, K) = ganho US$ 3; qualquer Ás = ganho US $5; bônus de US$ 20 se for o Ás de paus. (a) Construa o modelo de probabilidade e calcule o lucro esperado por partida. (b) Você recomendaria este jogo a Andy?
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Lucro esperado por partida: aproximadamente -US$ 0,54 (jogo desfavorável a longo prazo)Lucro esperado por partida: +US$ 0,50 (vale a pena jogar)Lucro esperado por partida: US$ 0 (jogo justo)Lucro esperado por partida: -US$ 2,00 (custo supera qualquer ganho)
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.32
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Custo: US$ 2. Cartas de número (2–10): 36 cartas, ganho zero. Figuras (J, Q, K): 12 cartas, ganho US$ 3. Ás exceto paus: 3 cartas, ganho US$ 5. Ás de paus: 1 carta, ganho US$ 25. Ganho esperado: $E = 0 \cdot \frac{36}{52} + 3 \cdot \frac{12}{52} + 5 \cdot \frac{3}{52} + 25 \cdot \frac{1}{52} = \frac{76}{52} \approx 1{,}46$ . Lucro líquido: US$ 1,46 - US$ 2 = -US$ 0,54. Não recomendado.
Ex. 80.17Application
Uma carteira de investimentos aumenta 18% em boom econômico, 9% em tempos normais e cai 12% em recessão. Supondo que cada cenário é igualmente provável, qual o retorno esperado da carteira?
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Retorno esperado: 5%; a média de 18%, 9% e -12% com pesos iguais é 5%Retorno esperado: 9%; usa-se a mediana dos três cenáriosRetorno esperado: 15%; média dos dois cenários positivosRetorno esperado: 18%; considera-se apenas o melhor caso
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.33
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Com probabilidade 1/3 para cada cenário: $E[R] = \frac{1}{3}(18 + 9 - 12)\% = \frac{15}{3}\% = 5\%$ . O retorno esperado é 5% ao ano.
Ex. 80.18ModelingAnswer key
Uma companhia aérea cobra US $25 pela primeira mala e US$ 35 pela segunda. Dos passageiros: 54% não despacham bagagem, 34% despacham uma mala e 12% despacham duas. (a) Monte o modelo de probabilidade e calcule a receita média por passageiro. (b) Qual a receita esperada para um voo de 120 passageiros?
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Receita média por passageiro: US $15,70; para 120 passageiros, receita esperada$ \approx $US$ 1.884Receita média por passageiro: US $30,00; para 120 passageiros, receita esperada = US$ 3.600Receita média por passageiro: US $22,50; para 120 passageiros, receita esperada = US$ 2.700Receita média por passageiro: US $10,00; para 120 passageiros, receita esperada = US$ 1.200
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.34
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$P(X=0) = 0{,}54$ , $P(X=25) = 0{,}34$ , $P(X=60) = 0{,}12$ . Receita esperada: $E[X] = 0 \times 0{,}54 + 25 \times 0{,}34 + 60 \times 0{,}12 = 8{,}50 + 7{,}20 = 15{,}70$ dólares. Para 120 passageiros independentes: $120 \times 15{,}70 = 1884$ dólares.
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1. Monte o modelo: 54% sem bagagem — US$ 0; 34% com 1 mala — US$ 25; 12% com 2 malas — US$ 60 (US$ 25 + US$ 35).
2. Calcule: $E[X] = 0 \cdot 0{,}54 + 25 \cdot 0{,}34 + 60 \cdot 0{,}12 = 8{,}50 + 7{,}20 = 15{,}70$ .
3. Para 120 passageiros independentes: receita total esperada = $120 \times 15{,}70 = 1884$ dólares.
Ex. 80.19ApplicationAnswer key
A roleta americana tem 38 slots: 18 vermelhos, 18 pretos e 2 verdes. Apostando US$ 1 no vermelho: se a bola cai no vermelho, você dobra o dinheiro; caso contrário, perde a aposta. Calcule o valor esperado e o desvio padrão dos seus ganhos.
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Valor esperado: -US $0,053; DP aproximadamente US$ 1,00 (jogo desfavorável ao jogador)Valor esperado: US$ 0; a roleta americana é um jogo justoValor esperado: -US$ 0,50; a casa ganha metade das apostasValor esperado: +US$ 0,053; o jogador tem leve vantagem
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.35
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Roleta americana tem 38 slots. Apostando US$ 1 no vermelho: se vermelho (18/38), lucro +US$ 1; se não (20/38), perde US$ 1. $E = 1 \cdot \frac{18}{38} + (-1) \cdot \frac{20}{38} = -\frac{2}{38} \approx -0{,}053$ . A casa tem vantagem de aproximadamente 5,3% por aposta.
Ex. 80.20Challenge
Roleta europeia (37 slots: 18 vermelhos, 18 pretos, 1 verde). Compare as estratégias: (a) apostar US $3 em uma única rodada; (b) apostar US$ 1 em três rodadas distintas. Calcule valor esperado e DP de cada estratégia e compare o risco das duas opções.
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Mesmo valor esperado nas duas estratégias; apostar US $1 em três rodadas tem DP menor que apostar US$ 3 de uma vezApostar US$ 3 de uma vez é melhor porque o valor esperado é maiorApostar US$ 1 em três rodadas é melhor porque o valor esperado total é maiorAs duas estratégias têm idêntico valor esperado e idêntico DP
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.36
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Roleta europeia: 37 slots, 18 vermelhos. Por real apostado: $E = -1/37 \approx -0{,}027$ . (a) Apostar US$ 3 de uma vez: $E_a = -3/37 \approx -0{,}081$ ; $\sigma_a = 3\sigma_1$ . (b) Apostar US$ 1 em três rodadas independentes: $E_b = 3 \times (-1/37) = -3/37$ (mesmo); $\sigma_b = \sqrt{3}\sigma_1$ (menor). Múltiplas apostas menores reduzem o risco sem mudar o valor esperado negativo.
Ex. 80.21Application
Para a distribuição normal padrão $\mathcal{N}(\mu=0, \sigma=1)$ , calcule a proporção da distribuição em cada região: (a) $Z < -1{,}35$ ; (b) $Z > 1{,}48$ ; (c) $-0{,}4 < Z < 1{,}5$ ; (d) $|Z| > 2$ .
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$P(Z < -1{,}35) \approx 8{,}85\%$ ; $P(Z > 1{,}48) \approx 6{,}94\%$ ; $P(-0{,}4 < Z < 1{,}5) \approx 58{,}86\%$ ; $P(|Z| > 2) \approx 4{,}56\%$ $P(Z < -1{,}35) \approx 50\%$ ; a normal padrão é simétrica em torno de 0 $P(-0{,}4 < Z < 1{,}5) \approx 34\%$ ; usa-se apenas a regra 68-95-99,7 $P(|Z| > 2) \approx 2{,}5\%$ ; apenas a cauda superior
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.1
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(a) $P(Z < -1{,}35) = \Phi(-1{,}35) \approx 8{,}85\%$ . (b) $P(Z > 1{,}48) = 1 - \Phi(1{,}48) \approx 6{,}94\%$ . (c) $P(-0{,}4 < Z < 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}4) \approx 58{,}86\%$ . (d) $P(|Z| > 2) = 2(1-\Phi(2)) \approx 4{,}56\%$ .
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1. Use a tabela $\Phi(z)$ para a normal padrão.
2. (a) $\Phi(-1{,}35) \approx 0{,}0885$ . (b) $1 - \Phi(1{,}48) \approx 0{,}0694$ .
3. (c) $\Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}4) \approx 0{,}9332 - 0{,}3446 = 0{,}5886$ .
4. (d) Pela simetria: $2 \times P(Z > 2) = 2 \times 0{,}0228 = 0{,}0456$ .
Ex. 80.22Application
Para a distribuição normal padrão $\mathcal{N}(0,1)$ , calcule a proporção em cada região: (a) $Z > -1{,}13$ ; (b) $Z < 0{,}18$ ; (c) $Z > 8$ ; (d) $|Z| < 0{,}5$ .
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$P(Z > -1{,}13) \approx 87{,}08\%$ ; $P(Z < 0{,}18) \approx 57{,}14\%$ ; $P(Z > 8) \approx 0$ ; $P(|Z| < 0{,}5) \approx 38{,}29\%$ $P(Z > -1{,}13) \approx 12{,}92\%$ ; a área acima de -1,13 é a cauda inferior $P(Z > 8) \approx 50\%$ ; valores acima de 8 são comuns na normal padrão $P(|Z| < 0{,}5) \approx 19{,}15\%$ ; soma apenas uma cauda
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.2
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(a) $P(Z > -1{,}13) = 1 - \Phi(-1{,}13) = \Phi(1{,}13) \approx 87{,}08\%$ . (b) $P(Z < 0{,}18) = \Phi(0{,}18) \approx 57{,}14\%$ . (c) $P(Z > 8) \approx 0$ (extremamente raro). (d) $P(|Z| < 0{,}5) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 38{,}29\%$ .
Ex. 80.23Application
Sophia fez o GRE: 160 pontos em Raciocínio Verbal (média 151, DP 7) e 157 em Raciocínio Quantitativo (média 153, DP 7,67). Calcule os Z-scores de Sophia em cada seção e determine em qual ela se saiu melhor relativamente ao grupo.
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Verbal: $Z = 1{,}29$ ; Quantitativo: $Z = 0{,}52$ ; ela foi melhor relativa na seção VerbalVerbal: $Z = 0{,}52$ ; Quantitativo: $Z = 1{,}29$ ; ela foi melhor relativa na seção QuantitativaVerbal: $Z = 9$ ; não se pode comparar seções com escalas diferentesEla foi melhor na Quantitativa pois tirou 157 contra 160 na Verbal
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.3
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Verbal: $Z = (160-151)/7 = 9/7 \approx 1{,}29$ . Quantitativo: $Z = (157-153)/7{,}67 = 4/7{,}67 \approx 0{,}52$ . Z-score maior indica desempenho melhor relativo ao grupo. Sophia teve desempenho relativo melhor na seção Verbal (Z maior), mesmo com nota bruta maior também.
Ex. 80.24ApplicationAnswer key
Leo terminou o Triatlo de Hermosa Beach em 4.948 s (grupo Homens 30–34: média 4.313 s, DP 583 s). Mary terminou em 5.513 s (grupo Mulheres 25–29: média 5.261 s, DP 807 s). Calcule os Z-scores e determine quem teve melhor desempenho relativo ao seu grupo.
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Leo: $Z \approx 1{,}09$ (mais lento que a média); Mary: $Z \approx 0{,}31$ ; Mary ficou melhor em seu grupoLeo ficou melhor porque terminou mais rápido em tempo absolutoLeo: $Z \approx -1{,}09$ ; Mary: $Z \approx -0{,}31$ ; Leo ficou melhor em seu grupoNão é possível comparar grupos diferentes de triatlo
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.4
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Leo (Homens 30–34): tempo 4.948 s, média 4.313 s, DP 583 s. $Z_{\text{Leo}} = (4948-4313)/583 \approx 1{,}09$ . Mary (Mulheres 25–29): tempo 5.513 s, média 5.261 s, DP 807 s. $Z_{\text{Mary}} = (5513-5261)/807 \approx 0{,}31$ . Z positivo = mais lento que a média do grupo. Mary teve Z menor, portanto ficou relativamente melhor em seu grupo.
Ex. 80.25Application
O GRE Verbal segue $\mathcal{N}(151, 7^2)$ e o GRE Quantitativo segue $\mathcal{N}(153, 7{,}67^2)$ . (a) Qual é a pontuação de um estudante no 80° percentil da seção Quantitativa? (b) Qual é a pontuação de um estudante que foi pior que 70% dos candidatos na seção Verbal?
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80° percentil Quantitativo: $\approx 159{,}5$ pontos; 30° percentil Verbal: $\approx 147{,}3$ pontos80° percentil Quantitativo: 153 pontos (a média do grupo)80° percentil Quantitativo: 167 pontos; 30° percentil Verbal: 144 pontos80° percentil: basta somar 0,8 ao escore médio de cada seção
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.5
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(a) 80° percentil Quantitativo: $z_{0{,}80} \approx 0{,}842$ . Pontuação: $153 + 0{,}842 \times 7{,}67 \approx 159{,}5$ . (b) 30° percentil (pior que 70%) Verbal: $z_{0{,}30} \approx -0{,}524$ . Pontuação: $151 + (-0{,}524) \times 7 \approx 147{,}3$ .
Ex. 80.26ApplicationAnswer key
Tempos do grupo Homens 30–34: $\mathcal{N}(4313, 583^2)$ s. Mulheres 25–29: $\mathcal{N}(5261, 807^2)$ s. (a) Qual é o tempo de corte para os 5% mais rápidos entre os homens? (b) Qual é o tempo de corte para os 10% mais lentos entre as mulheres?
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Corte dos 5% mais rápidos (Homens 30–34): $\approx 3354$ s; corte dos 10% mais lentos (Mulheres 25–29): $\approx 6296$ sCorte dos 5% mais rápidos: $\approx 2730$ s; corte dos 10% mais lentos: $\approx 7100$ sCorte dos 5% mais rápidos: 4313 s (a média do grupo)Corte dos 10% mais lentos: 5261 s (a média do grupo feminino)
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.6
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(a) 5% mais rápidos: percentil 5 com $z_{0{,}05} \approx -1{,}645$ . Corte: $4313 + (-1{,}645) \times 583 \approx 3354$ s. (b) 10% mais lentos: percentil 90 com $z_{0{,}90} \approx 1{,}282$ . Corte: $5261 + 1{,}282 \times 807 \approx 6296$ s.
Ex. 80.27ApplicationAnswer key
A temperatura máxima diária em Los Angeles em junho segue $\mathcal{N}(77°\text{F}, 5^2)$ . (a) Qual é a probabilidade de um dia ter temperatura de 83°F ou mais? (b) Quais são os 10% dos dias mais frios de junho (com menor temperatura máxima)?
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$P(T \geq 83°\text{F}) \approx 11{,}5\%$ ; os 10% mais frios correspondem a temperaturas abaixo de $\approx 70{,}6°\text{F}$ $P(T \geq 83°\text{F}) \approx 50\%$ ; como 83 é próximo da média $P(T \geq 83°\text{F}) \approx 2{,}3\%$ ; usa-se a regra dos 2 DPsOs 10% mais frios correspondem a temperaturas abaixo de 77°F (a média)
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.7
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(a) $Z = (83-77)/5 = 1{,}2$ . $P(T \geq 83) = 1 - \Phi(1{,}2) \approx 11{,}5\%$ . (b) Percentil 10: $z_{0{,}10} \approx -1{,}282$ . Temperatura: $77 + (-1{,}282) \times 5 \approx 70{,}6°\text{F}$ .
Ex. 80.28Modeling
O modelo CAPM assume que retornos de uma carteira seguem $\mathcal{N}(14{,}7\%, 33^2\%^2)$ . (a) Em qual porcentagem dos anos a carteira perde dinheiro (retorno negativo)? (b) Qual é o corte de retorno para os 15% melhores anos?
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Prob. de perda $\approx 32{,}8\%$ ; corte para os 15% maiores retornos $\approx 48{,}9\%$ Prob. de perda $\approx 50\%$ ; a média é positiva mas o DP é muito altoProb. de perda $\approx 5\%$ ; a carteira tem retorno médio elevadoCorte para os 15% maiores retornos = 14,7% (a própria média)
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.8
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(a) Retorno zero padronizado: $Z = (0 - 14{,}7)/33 \approx -0{,}445$ . $P(R < 0) = \Phi(-0{,}445) \approx 32{,}8\%$ . (b) Percentil 85: $z_{0{,}85} \approx 1{,}036$ . Corte: $14{,}7 + 1{,}036 \times 33 \approx 48{,}9\%$ .
Ex. 80.29Understanding
A temperatura em Los Angeles em junho segue $\mathcal{N}(77°\text{F}, 5^2)$ . Usando a conversão $C = (F-32) \times 5/9$ : (a) Escreva o modelo de probabilidade para a temperatura em Celsius. (b) A probabilidade de observar 28°C ou mais é a mesma que a de observar 83°F ou mais? Explique.
Select the correct option
Mesma probabilidade: a transformação linear $C = (F-32) \times 5/9$ preserva as probabilidades normaisProbabilidade diferente: em Celsius a escala muda e a tabela normal não se aplicaA probabilidade sobe para 50% em Celsius porque 28°C é próximo da média em CelsiusA transformação linear muda a distribuição para não-normal
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.9
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A transformação linear $C = (F-32) \times 5/9$ preserva a forma normal. $\mu_C = (77-32) \times 5/9 = 25°\text{C}$ , $\sigma_C = 5 \times 5/9 \approx 2{,}78°\text{C}$ . Para 28°C: $Z = (28-25)/2{,}78 \approx 1{,}08$ . Note que 28°C corresponde a 82,4°F (não exatamente 83°F), então os Z-scores diferem ligeiramente. As probabilidades são as mesmas quando se converte corretamente.
Ex. 80.30Application
Níveis de colesterol de mulheres de 20–34 anos seguem distribuição aproximadamente normal com média 185 mg/dL. Cerca de 18,5% das mulheres têm colesterol acima de 220 mg/dL. Qual é o desvio padrão dessa distribuição?
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Desvio padrão $\approx 39$ mg/dL (pois 18,5% acima de 220 corresponde a $Z \approx 0{,}897$ )Desvio padrão = 35 mg/dLDesvio padrão = 220 mg/dL (usa-se o valor de corte como DP)Desvio padrão = 5 mg/dL
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.10
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Se 18,5% das mulheres têm colesterol acima de 220 mg/dL: $P(Z > z^*) = 0{,}185$ , logo $z^* \approx 0{,}897$ . Padronizando: $z^* = (220 - 185)/\sigma$ , então $\sigma = 35/0{,}897 \approx 39$ mg/dL.
Ex. 80.31Understanding
Para cada situação, identifique se o parâmetro de interesse é uma média ou uma proporção: (a) 100 universitários: horas semanais de internet. (b) 100 universitários: porcentagem do tempo de internet dedicada a atividades acadêmicas. (c) 100 universitários: se citaram ou não a Wikipédia em trabalhos. (d) 100 universitários: porcentagem de gastos semanais em bebidas alcoólicas. (e) 100 recém-formados: 85% esperam emprego em 1 ano.
Select the correct option
(a) média; (b) média; (c) proporção; (d) média; (e) proporção(a) proporção; (b) média; (c) média; (d) média; (e) média(a) média; (b) média; (c) proporção; (d) proporção; (e) médiaTodos os parâmetros são proporções quando a pergunta envolve porcentagem
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.1
Show solution
(a) Horas na internet — numérico — parâmetro é uma média. (b) Porcentagem do tempo — numérico — média. (c) Sim/Não citou Wikipedia — categórico — proporção. (d) Porcentagem de gasto em bebidas — numérico — média. (e) Espera emprego em 1 ano: 85% dos respondentes — proporção. Respostas numéricas levam a médias; respostas binárias ou categóricas levam a proporções.
Ex. 80.32Understanding
Para cada situação, identifique se o parâmetro de interesse é uma média ou uma proporção: (a) 64% dos americanos se preocupam com o déficit federal. (b) TV local: crescimento de 17% na receita. (c) Estudantes: usam ou não serviços de geolocalização no celular. (d) Usuários de celular: usam ou não taxi por app. (e) Usuários de celular: número de vezes que usou taxi por app no último ano.
Select the correct option
(a) proporção; (b) média; (c) proporção; (d) proporção; (e) média(a) média; (b) proporção; (c) média; (d) média; (e) proporçãoTodos os itens são proporções, pois todos envolvem percentuais(a) média; (b) média; (c) proporção; (d) proporção; (e) proporção
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.2
Show solution
(a) 64% se preocupam — proporção. (b) Aumento de 17% na receita — numérico, média. (c) Usam ou não geolocalização — categórico, proporção. (d) Usam ou não taxi pelo app — categórico, proporção. (e) Número de vezes que usou o app — numérico, média.
Ex. 80.33ApplicationAnswer key
Uma engenheira amostrou 212 chips e encontrou 27 defeituosos. (a) Qual é a estimativa pontual da taxa de defeitos? (b) A taxa histórica é 10%. A engenheira deveria se surpreender com o resultado observado? (c) Se a taxa real fosse 10%, o erro padrão mudaria muito ao recalcular com $p = 0{,}1$ em vez de $\hat{p}$ ?
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Estimativa pontual: $\hat{p} = 27/212 \approx 12{,}7\%$ ; com taxa histórica de 10%, o resultado não é surpreendente em nível usualEstimativa pontual: 27%; a taxa real é exatamente 10% porque é históricaEstimativa pontual: 10% (usa-se a taxa histórica como estimativa pontual)A engenheira não pode tirar conclusões sem pelo menos 1.000 amostras
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.3
Show solution
Estimativa pontual: $\hat{p} = 27/212 \approx 0{,}127 = 12{,}7\%$ . Erro padrão: $SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = \sqrt{0{,}127 \times 0{,}873/212} \approx 0{,}023$ . Com taxa histórica de 10%, o SE seria $\sqrt{0{,}1 \times 0{,}9/212} \approx 0{,}021$ . A taxa observada (12,7%) está cerca de 1,3 erros padrão acima do histórico — ligeiramente elevada, mas não surpreendente em nível de 5%.
Ex. 80.34Application
Em uma amostra de 765 adultos americanos, 322 disseram que não poderiam cobrir uma despesa inesperada de US$ 400 sem se endividar. (a) Qual é a estimativa pontual da proporção? (b) Um comentarista acredita que o valor real é 50%. Ele deveria se surpreender com os dados?
Select the correct option
Estimativa pontual: $\hat{p} = 322/765 \approx 42{,}1\%$ ; com hipótese de 50%, o resultado parece menor que o esperadoEstimativa pontual: 50%; usa-se a hipótese do comentarista como estimativaEstimativa pontual: 322/1000 = 32,2%; o denominador é o tamanho total da populaçãoNão é possível calcular estimativa pontual sem conhecer o tamanho da população americana
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.4
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Estimativa pontual: $\hat{p} = 322/765 \approx 0{,}421 = 42{,}1\%$ . O erro padrão: $SE = \sqrt{0{,}421 \times 0{,}579/765} \approx 0{,}0179$ . O comentarista sugeriu 50%. O valor observado (42,1%) está aproximadamente $(0{,}50-0{,}421)/0{,}0179 \approx 4{,}4$ erros padrão abaixo — ela deveria se surpreender.
Ex. 80.35Understanding
Uma ONG coleta 800 amostras domiciliares por vez e calcula a proporção com chumbo elevado na água. Ela repete isso 1.000 vezes e constrói a distribuição das proporções amostrais (proporção esperada: 8%). (a) Como se chama essa distribuição? (b) Qual é a forma esperada? (c) Calcule a variabilidade. (d) Qual o nome formal da estatística de (c)? (e) Se cada amostra tiver apenas 250 domicílios, como muda a variabilidade?
Select the correct option
Distribuição amostral de $\hat{p}$ ; forma simétrica (normal); SE $\approx 1\%$ com $n=800$ ; com $n=250$ o SE aumentaDistribuição de frequência; forma sempre assimétrica à direitaDistribuição normal; variabilidade = 8% (a própria proporção)Com 1.000 repetições, a variabilidade converge para zero
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.5
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(a) Distribuição amostral de $\hat{p}$ . (b) Com $n=800$ e $p \approx 0{,}08$ : $np = 64 \geq 10$ e $n(1-p) = 736 \geq 10$ — forma aproximadamente simétrica. (c) $SE = \sqrt{p(1-p)/n} = \sqrt{0{,}08 \times 0{,}92/800} \approx 0{,}0096 \approx 1\%$ . (d) Erro padrão. (e) Com $n=250$ : $SE \approx 1{,}7\%$ — variabilidade maior.
Show step-by-step (with the why)
1. Nome: distribuição amostral de $\hat{p}$ (sampling distribution).
2. Critério de normalidade: $np = 800 \times 0{,}08 = 64 \geq 10$ — forma simétrica.
3. Erro padrão com $n=800$ : $SE = \sqrt{0{,}08 \times 0{,}92/800} \approx 0{,}0096$ .
4. Com $n=250$ : $SE = \sqrt{0{,}08 \times 0{,}92/250} \approx 0{,}0172$ — variabilidade maior com amostra menor.
Ex. 80.36Application
De todos os calouros de uma faculdade, 16% foram para a lista de honra. Estudantes amostram 40 alunos por vez e calculam a proporção que foi para a lista. Repetem 1.000 vezes. (a) Como se chama essa distribuição? (b) Qual a forma esperada? (c) Calcule a variabilidade. (d) Qual o nome formal? (e) Se cada amostra tiver 90 alunos, como muda a variabilidade?
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Distribuição amostral de $\hat{p}$ ; SE $= \sqrt{0{,}16 \times 0{,}84/40} \approx 5{,}8\%$ ; com $n=90$ , SE $\approx 3{,}9\%$ (menor)SE = 16% para qualquer $n$ ; o erro padrão é igual à proporção verdadeiraSE aumenta com $n$ ; amostras maiores são menos precisasCom $n=90$ a forma deixa de ser normal pois a amostra é grande demais
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.6
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(a) Distribuição amostral de $\hat{p}$ . (b) Com $n=40$ : $np = 40 \times 0{,}16 = 6{,}4 < 10$ — critério não satisfeito, forma pode ser levemente assimétrica. (c) $SE = \sqrt{0{,}16 \times 0{,}84/40} \approx 0{,}058 = 5{,}8\%$ . (d) Erro padrão. (e) Com $n=90$ : $SE = \sqrt{0{,}16 \times 0{,}84/90} \approx 3{,}9\%$ — menor variabilidade.
Ex. 80.37Challenge
Sophia tirou 160 no GRE Verbal (média 151, DP 7) e 157 no GRE Quantitativo (média 153, DP 7,67). (a) Em qual seção ela teve melhor desempenho relativo ao grupo? (b) Por que comparar apenas as notas brutas pode levar a uma conclusão incorreta?
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Sophia foi melhor relativa no Verbal ( $Z \approx 1{,}29$ ) do que no Quantitativo ( $Z \approx 0{,}52$ ); comparar notas brutas de seções com distribuições diferentes é enganosoSophia foi melhor relativa no Quantitativo; 157 pontos é mais difícil de atingir que 160As duas seções têm Z-scores iguais porque ambas usam escala 130–170Não é possível comparar seções sem saber o número de candidatos
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Solve online OpenIntro Statistics · §4.1 · ex. 4.3
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Z-score Verbal: $(160-151)/7 \approx 1{,}29$ (aproximadamente top 10%). Z-score Quantitativo: $(157-153)/7{,}67 \approx 0{,}52$ (aproximadamente top 30%). Nota bruta maior em Verbal e desempenho relativo também melhor em Verbal. Comparar notas brutas de seções com distribuições diferentes leva a conclusões erradas — Z-scores são a comparação correta.
Ex. 80.38Modeling
Um engenheiro amostrou 212 chips e encontrou $\hat{p} = 12{,}7\%$ de defeitos. (a) Qual é a fórmula do erro padrão de $\hat{p}$ ? (b) Calcule o SE usando $\hat{p} = 0{,}127$ e $n = 212$ . (c) Se o tamanho da amostra dobrar para 424 chips, o SE vai dobrar, cair à metade ou cair por um fator de $\sqrt{2}$ ?
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SE $= \sqrt{p(1-p)/n}$ ; SE com $n=212$ é $\approx 2{,}3\%$ ; dobrando $n$ para 424, o SE cai por fator $\sqrt{2}$ SE $= p/n$ ; o SE cresce com o tamanho da amostraSE $= \sigma/\sqrt{n}$ onde $\sigma$ é o DP da populaçãoO erro padrão de uma proporção é sempre 0,5 independentemente de $n$ e $p$
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Solve online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.3
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Para proporção amostral $\hat{p}$ , o erro padrão é $SE = \sqrt{p(1-p)/n}$ . Com $\hat{p} = 0{,}127$ e $n = 212$ : $SE = \sqrt{0{,}127 \times 0{,}873/212} \approx 0{,}023$ . Com $n=424$ : $SE = \sqrt{0{,}127 \times 0{,}873/424} \approx 0{,}016$ — cai por fator de $\sqrt{2}$ .
Ex. 80.39Application
A carteira do exercício 80.17 tem retornos +18% (boom), +9% (normal) e -12% (recessão) com probabilidade 1/3 cada. Calcule também o desvio padrão do retorno. O que o DP representa para um investidor?
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Retorno esperado 5% e desvio padrão $\approx 12{,}6\%$ ; DP mede a incerteza (risco) do retornoRetorno esperado 9% (mediana dos cenários) e DP = 0% (cenários deterministicos)Retorno esperado 15% e DP = 18% (usa-se apenas o melhor cenário)Retorno esperado 5% e DP = 30% (DP igual ao maior retorno individual)
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.33
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Retorno esperado: $E[R] = (18 + 9 - 12)/3 = 5\%$ . Variância: $\text{Var}(R) = [(18-5)^2 + (9-5)^2 + (-12-5)^2]/3 = (169 + 16 + 289)/3 = 158$ . Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{158} \approx 12{,}6\%$ . O DP representa o risco do investimento: quanto maior, mais incerto o retorno.
Ex. 80.40Proof
Demonstre que apostar US $1 na roleta americana em três rodadas independentes tem o mesmo valor esperado mas menor desvio padrão do que apostar US$ 3 em uma única rodada. O que isso diz sobre o risco das duas estratégias?
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Mesmo valor esperado negativo nas duas estratégias; apostar US $1 três vezes tem DP menor por um fator de$ 1/\sqrt{3} $em relação a apostar US$ 3 de uma vezApostar US$ 3 de uma vez tem menor risco porque concentra a decisão em um único eventoApostar US$ 1 três vezes tem maior valor esperado por diluir as perdasO DP é o mesmo nas duas estratégias quando se mantém a mesma aposta total
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OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.36
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Roleta americana: $E[X_1] = -1/19 \approx -0{,}053$ por dólar. (a) Apostar US$ 3 de uma vez: $E_a = -3/19 \approx -0{,}158$ ; $\sigma_a = 3\sigma_1$ . (b) Apostar US$ 1 em três rodadas independentes: $E_b = 3 \times (-1/19) = -3/19$ (mesmo); $\sigma_b = \sqrt{3}\sigma_1$ (menor). Razão de risco: $\sigma_b/\sigma_a = \sqrt{3}/3 = 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577$ .
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1. Na roleta americana, $P(\text{vermelho}) = 18/38 = 9/19$ . Por dólar: $E[X_1] = 1 \cdot (9/19) + (-1) \cdot (10/19) = -1/19$ .
2. Estratégia (a): US$ 3 de uma vez. $E_a = 3 \cdot (-1/19) = -3/19$ . DP: $\sigma_a = 3\sigma_1$ (escala linear).
3. Estratégia (b): US$ 1 em 3 rodadas independentes. $E_b = 3 \cdot (-1/19) = -3/19$ (mesmo). $\text{Var}_b = 3\text{Var}_1$ , então $\sigma_b = \sqrt{3}\sigma_1$ .
4. Razão de risco: $\sigma_b/\sigma_a = \sqrt{3}/3 \approx 0{,}577$ . Múltiplas apostas menores reduzem o risco sem mudar o valor esperado negativo.

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — cap. 3 inteiro (probabilidade, variáveis aleatórias, distribuições) consolidado nos exercícios de revisão.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §4.1–6.4 — variável aleatória discreta e contínua, expectativa, distribuições binomial e normal; consolidação com aplicações reais nos exercícios de §6.1–6.3 (padronização) e §7.1 (Teorema Central do Limite).
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §3.4 e §5.1–5.2 — Bayes, distribuições contínuas, regra das partições; exercícios demonstrativos para o trimestre.