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Lesson 91 — Introduction to Ordinary Differential Equations

ODE: equation relating a function to its derivatives. Classification, general vs. particular solution, modeling in science and engineering.

Used in: Ano 3 EM — arco cálculo aplicado · Equiv. Spécialité Maths francesa (Terminale) · Equiv. Math III japonês avançado · Equiv. Leistungskurs DE (Klasse 12)

y' = f(x,\, y)

Forma normal de uma EDO de 1ª ordem: a derivada de y é dada como função de x e do próprio y. Resolver a EDO é encontrar y(x) que, ao ser derivada, satisfaz essa relação em todo intervalo de validade. Uma condição inicial $y(x_0) = y_0$ determina a solução particular.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e classificação

Equação Diferencial Ordinária

"Uma equação diferencial é uma equação que contém uma ou mais funções de uma variável independente e as derivadas dessas funções." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.1

Classificação

Definition· Ordem, linearidade, homogeneidade

Ordem: a maior derivada que aparece. $y'' + y = 0$ é de 2ª ordem; $y' + y = x$ é de 1ª ordem.
Linear vs. não-linear: linear se $y, y', \ldots, y^{(n)}$ aparecem linearmente (sem produtos entre si nem funções não-lineares deles). $y' + xy = 1$ é linear; $y' + y^2 = 0$ não é.
Homogênea vs. não-homogênea (para EDOs lineares): homogênea se o termo sem derivadas é zero. $y'' + 3y' + 2y = 0$ é homogênea; $y'' + 3y' + 2y = \sin x$ não é.
Coeficientes constantes vs. variáveis: $y'' + 3y' + 2y = 0$ tem coeficientes constantes; $xy'' + y = 0$ tem coeficiente variável $x$ .

Solução geral e particular

"A solução geral de $y' = f(x)$ é $y = F(x) + C$ , onde $F$ é uma antiderivada de $f$ e $C$ é uma constante arbitrária. Para determinar um valor único para $C$ , uma condição inicial é necessária." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.1

Existência e unicidade (Picard-Lindelöf)

Consequência prática: verifica-se Picard-Lindelöf para toda EDO antes de afirmar unicidade. A EDO $y' = \sqrt{|y|}$ , $y(0) = 0$ viola a hipótese (derivada parcial descontinua em $y = 0$ ) e tem infinitas soluções.

A EDO fundamental: crescimento/decaimento exponencial

y' = ky \implies y(x) = y_0\, e^{kx}

what this means · A derivada de y é proporcional a y. Solução: exponencial. Aparece em juros contínuos, decaimento radioativo, resfriamento de Newton, farmacocinética, crescimento bacteriano.

Família de soluções de y' = ky. Crescimento (k maior que 0, curva azul) e decaimento (k menor que 0, curva laranja). Todas partem de y₀ em x = 0.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificação de solução e condição inicial (aplicação)

Problema: Verifique que $y(x) = 3e^{2x}$ é solução de $y' = 2y$ com $y(0) = 3$ . Em seguida, escreva a solução geral e a família de curvas.

Estratégia: Para verificar uma solução, deriva-se a função candidata e substitui-se na EDO. A CI determina a constante da solução geral.

Resolução:

Derivar $y = 3e^{2x}$ : $y' = 6e^{2x}$ .
Substituir na EDO: $y' = 6e^{2x}$ e $2y = 2 \cdot 3e^{2x} = 6e^{2x}$ . São iguais — confirmado.
Verificar CI: $y(0) = 3e^0 = 3$ . Confirmado.
Solução geral: $y = Ce^{2x}$ (família de exponenciais). Para cada valor de $C \in \mathbb{R}$ , obtemos uma curva diferente que satisfaz $y' = 2y$ .
CI seleciona $C = 3$ : de $y(0) = Ce^0 = C = 3$ .

Verificação: $y' = 2Ce^{2x} = 2y$ para qualquer $C$ — a EDO é satisfeita por toda a família.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 2 §4.1, Example 4.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Resolução por integração direta (intermediário)

Problema: Resolva o PVI $y'' = 6x$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Estratégia: EDO de 2ª ordem sem $y$ nem $y'$ explícitos — resolve-se por duas integrações sucessivas, cada uma introduzindo uma constante. As duas CIs determinam ambas as constantes.

Resolução:

Primeira integração: $y'' = 6x \implies y' = 3x^2 + C_1$ .
Aplicar CI $y'(0) = 2$ : $2 = 3(0) + C_1 \implies C_1 = 2$ . Portanto $y' = 3x^2 + 2$ .
Segunda integração: $y' = 3x^2 + 2 \implies y = x^3 + 2x + C_2$ .
Aplicar CI $y(0) = 1$ : $1 = 0 + 0 + C_2 \implies C_2 = 1$ .
Solução particular: $y(x) = x^3 + 2x + 1$ .

Verificação: $y' = 3x^2 + 2$ ; $y'' = 6x$ — satisfaz a EDO. $y(0) = 1$ e $y'(0) = 2$ — ambas as CIs satisfeitas.

Fonte. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §0.2 — licença CC-BY-SA.

Example— 3· Modelagem: resfriamento de Newton (intermediário)

Problema: Uma xícara de chá a 85 °C é colocada numa sala a 20 °C. A constante de resfriamento é $k = 0{,}04$ min $^{-1}$ . (a) Escreva e resolva a EDO. (b) Em quantos minutos a temperatura atinge 50 °C?

Estratégia: Lei de Newton do resfriamento: taxa de resfriamento proporcional à diferença entre temperatura do objeto e ambiente. Substitui-se $u = T - T_a$ para reduzir a $u' = -ku$ .

Resolução:

Montar a EDO: $T' = -k(T - 20) = -0{,}04(T - 20)$ , $T(0) = 85$ .
Substituição $u = T - 20$ : $u' = T'= -0{,}04\,u$ , $u(0) = 65$ .
Solução: $u(t) = 65\,e^{-0{,}04\,t}$ , portanto $T(t) = 20 + 65\,e^{-0{,}04\,t}$ .
Encontrar $t$ tal que $T = 50$ :

$50 = 20 + 65\,e^{-0{,}04\,t} \implies e^{-0{,}04\,t} = \frac{30}{65} \implies t = \frac{-\ln(30/65)}{0{,}04} \approx \frac{0{,}771}{0{,}04} \approx 19{,}3 \text{ min}$

Verificação: $T(19{,}3) = 20 + 65\,e^{-0{,}04 \times 19{,}3} = 20 + 65 \times 0{,}462 \approx 50$ °C. Consistente.

Fonte. OpenStax — Calculus Volume 2 §4.4, Example 4.14 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Classificação e linearidade (intermediário)

Problema: Classifique cada EDO abaixo quanto a ordem, linearidade e (se linear) homogeneidade: (a) $y''' - 2y' + y = e^x$ (b) $y'' + (y')^2 = x$ (c) $xy' - y = 0$

Estratégia: Para cada equação: (i) identificar a maior derivada para a ordem; (ii) verificar se $y$ e derivadas aparecem apenas linearmente (sem produtos entre si, sem funções não-lineares delas); (iii) para EDOs lineares, verificar se o lado direito é zero.

Resolução:

(a) $y''' - 2y' + y = e^x$ :

Ordem: 3 (derivada de maior ordem é $y'''$ ).
Linear: sim — $y$ , $y'$ , $y'''$ aparecem com grau 1, sem produtos.
Homogênea: não — lado direito $e^x \neq 0$ .

(b) $y'' + (y')^2 = x$ :

Ordem: 2.
Linear: não — o termo $(y')^2$ é quadrático em $y'$ .

Ordem: 1.
Linear: sim — $y'$ e $y$ aparecem com grau 1. O coeficiente de $y'$ é $x$ (variável), mas isso não afeta linearidade em $y$ .
Homogênea: sim — lado direito é zero.

Verificação: Comparar com a forma padrão $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = g(x)$ . Linear se todos os coeficientes dependem só de $x$ .

Fonte. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §0.2 — licença CC-BY-SA.

Example— 5· Modelagem: crescimento com decaimento radioativo (modelagem)

Problema: O carbono-14 tem meia-vida de 5730 anos. Um fragmento fóssil contém 30% do carbono-14 de um organismo vivo atual. Estime a idade do fóssil.

Estratégia: Decaimento radioativo segue $N' = -\lambda N$ . A meia-vida dá $\lambda$ . Com $N(t)/N_0 = 0{,}30$ , resolve-se para $t$ .

Resolução:

Constante de decaimento: $\lambda = \ln 2 / \tau_{1/2} = \ln 2 / 5730 \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ ano $^{-1}$ .
Solução da EDO: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ .
Aplicar condição $N(t)/N_0 = 0{,}30$ :

$0{,}30 = e^{-\lambda t} \implies -\lambda t = \ln(0{,}30) \implies t = \frac{-\ln(0{,}30)}{\lambda} = \frac{\ln(10/3)}{1{,}21 \times 10^{-4}}$

$t = \frac{1{,}204}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 9\,950 \text{ anos}$

Resposta: o fóssil tem aproximadamente 9.950 anos.

Verificação: Com $t = 5730$ anos, $N/N_0 = e^{-(\ln 2 / 5730) \times 5730} = e^{-\ln 2} = 0{,}5$ (50%) — consistente com a definição de meia-vida.

Fonte. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §1.1 — licença CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 6Modeling 6Challenge 6Proof 1

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024 · v6.6 · EN · CC-BY-SA. §0.2–1.3: definição de EDO, classificação, modelagem, exemplos de decaimento radioativo e resfriamento. Fonte primária desta lição.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA. §4.1–4.3: verificação de soluções, condições iniciais, modelos de crescimento e decaimento, equações separáveis.
Active Calculus — Matt Boelkins et al. · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA. §7.1–7.2: introdução visual a EDOs, campos de direção, modelagem qualitativa.