v1 · padrão canônico

Lesson 92 — Separable ODEs

dy/dx = g(x)h(y). Separate variables and integrate both sides. Applications: radioactive decay, Newton's cooling, logistic growth.

Used in: Spécialité Maths francesa (Terminale) · Math III japonês avançado · Leistungskurs Mathematik 12 alemão · H2 Mathematics singapurense

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C

Uma EDO separável é aquela em que as variáveis $x$ e $y$ se separam algebricamente em lados opostos da igualdade. Divide-se por $h(y)$ , multiplica-se por $dx$ , e integra-se cada lado independentemente. A constante de integração $C$ entra de um lado só.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e método

Forma canônica e separabilidade

Definition· EDO separável de primeira ordem

Uma EDO de 1.ª ordem $\dfrac{dy}{dx} = F(x, y)$ é separável se $F$ se fatora como produto de uma função exclusiva de $x$ por uma função exclusiva de $y$ :

$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y), \quad g : I \to \mathbb{R},\; h : J \to \mathbb{R}$

Método de resolução (assume-se $h(y) \neq 0$ ):

Reescreva: $\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$ .
Integre ambos os lados: $\displaystyle\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$ .
Obtenha $H(y) = G(x) + C$ onde $H' = 1/h$ e $G' = g$ .
Resolva para $y$ (solução explícita) se possível; caso contrário, deixe na forma implícita $H(y) = G(x) + C$ .

"A separable equation is actually the first kind of differential equation that can be solved explicitly." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3

Soluções singulares (equilíbrios)

Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf)

"Theorem 1.2.1. If $f(x,y)$ is continuous and $\partial f/\partial y$ is continuous near some $(x_0, y_0)$ , then a solution exists for $x$ near $x_0$ , and is unique." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.2

Campo de direções e análise qualitativa

Campo de direções de dy/dx = y. A isóclina horizontal dourada é o equilíbrio y* = 0. Para y > 0, as soluções crescem; para y < 0, decrescem — equilíbrio instável.

Critério de Osgood (existência global)

Exemplo: $\dot y = y^2$ , $y(0) = 1$ . $\displaystyle\int_1^{\infty} dy/y^2 = 1 < \infty$ — blow-up em $T = 1$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Solução geral de dy/dx = ky (aplicação)

Problema. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = 3y$ .

Estratégia. A EDO é separável com $g(x) = 3$ e $h(y) = y$ . Separe, integre, exponencie.

Resolução.

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int 3\,dx + C \;\Rightarrow\; \ln|y| = 3x + C$

$|y| = e^{3x+C} = e^C\,e^{3x}.$

Escrevendo $A = \pm e^C$ (constante arbitrária real não-nula):

$y(x) = A e^{3x}, \quad A \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Verificar: $y = 0$ também resolve (solução constante, pois $h(0)=0$ ). Inclui-se $A = 0$ .

Verificação. $y' = 3A e^{3x} = 3y$ — confere.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· PVI com condição inicial — decaimento exponencial (aplicação)

Problema. Resolva o PVI $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$ , $y(0) = 4$ .

Estratégia. Separar variáveis, integrar, aplicar condição inicial para fixar $C$ .

Resolução.

$\frac{dy}{y} = -\frac{1}{2}\,dx \;\Rightarrow\; \ln|y| = -\frac{x}{2} + C \;\Rightarrow\; y = A\,e^{-x/2}.$

Condição inicial: $4 = A\,e^0 = A$ , logo $A = 4$ .

$y(x) = 4\,e^{-x/2}.$

Verificação. $y' = -2\,e^{-x/2} = -y/2$ e $y(0) = 4$ — correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §4.3, Example 4.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· EDO com fracoes parciais — crescimento logistico (intermediario)

Problema. Resolva $\dfrac{dP}{dt} = P(1 - P)$ , $P(0) = 0{,}1$ .

Estratégia. Separar e integrar usando frações parciais em $\dfrac{1}{P(1-P)}$ .

Resolução.

$\frac{dP}{P(1-P)} = dt.$

Frações parciais: $\dfrac{1}{P(1-P)} = \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{1-P}$ .

$\int\!\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt + C$

$\ln P - \ln(1-P) = t + C \;\Rightarrow\; \ln\frac{P}{1-P} = t + C.$

Exponenciando: $\dfrac{P}{1-P} = e^{t+C} = A e^t$ .

Resolvendo: $P = \dfrac{A e^t}{1 + A e^t} = \dfrac{1}{1 + B e^{-t}}$ .

Condição inicial: $P(0) = 1/(1+B) = 0{,}1 \Rightarrow B = 9$ .

$P(t) = \frac{1}{1 + 9e^{-t}}.$

Verificação. $P(0) = 1/10 = 0{,}1$ e $P \to 1$ quando $t \to +\infty$ — comportamento logístico correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.4 — CC-BY-SA.

Example— 4· Resfriamento de Newton — dados reais (intermediario/modelagem)

Problema. Um objeto a 90°C é colocado numa sala a 20°C. Após 5 min está a 70°C. Modele e determine quando atinge 30°C.

Estratégia. Lei de Newton do resfriamento: $\dot T = -k(T - T_a)$ . Separar e integrar em termos de $u = T - 20$ .

Resolução.

Seja $u = T - 20$ . Então $\dot u = \dot T = -ku$ , logo $u(t) = u_0 e^{-kt}$ .

Com $u_0 = 90 - 20 = 70$ : $u(t) = 70\,e^{-kt}$ .

Condição: $u(5) = 50$ :

$70 e^{-5k} = 50 \;\Rightarrow\; k = \frac{1}{5}\ln\!\frac{70}{50} = \frac{\ln(7/5)}{5} \approx 0{,}0673\,\mathrm{min}^{-1}.$

Para $T = 30 \Rightarrow u = 10$ :

$70\,e^{-kt} = 10 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{5\ln 7}{\ln(7/5)} \approx 29{,}1\,\mathrm{min}.$

Verificação. $T(5) = 20 + 70\,e^{-5 \times 0{,}0673} \approx 70°$ C — confirma.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §4.3, Example 4.17 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Blow-up em tempo finito — y-ponto = y ao quadrado (avancado)

Problema. Resolva $\dfrac{dy}{dt} = y^2$ , $y(0) = 1$ . Mostre que a solução explode em tempo finito e determine o instante de blow-up.

Estratégia. Separar, integrar (potência $-2$ ), isolar $y$ , identificar a singularidade.

Resolução.

$\frac{dy}{y^2} = dt \;\Rightarrow\; \int y^{-2}\,dy = \int dt + C \;\Rightarrow\; -\frac{1}{y} = t + C.$

Logo $y(t) = \dfrac{-1}{t + C}$ .

Condição inicial: $y(0) = -1/C = 1 \Rightarrow C = -1$ .

$y(t) = \frac{1}{1-t}.$

A solução é definida em $(-\infty, 1)$ e satisfaz $y(t) \to +\infty$ quando $t \to 1^-$ : blow-up em $t = 1$ .

Verificação. $y' = 1/(1-t)^2 = y^2$ e $y(0) = 1$ — correto. O critério de Osgood confirma: $\int_1^{\infty} dy/y^2 = 1 < \infty$ .

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.6 — CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 3Modeling 8Challenge 5Proof 2

Ex. 92.1Application
Encontre a equação da solução de $\dfrac{dy}{dx} = x^3 y$ que passa pelo ponto $(x,y)=(1,2)$ .
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$y = C e^{x^4/4}$ $y = C e^{x^3}$ $y = x^4/4 + C$ $y = 2 e^{x^4/4}$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 1
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Separe: $\frac{dy}{y} = x^3\,dx$ . Integre: $\ln|y| = \frac{x^4}{4} + C_0$ , logo $y = Ce^{x^4/4}$ . Com o ponto $(1,2)$ : $2 = Ce^{1/4}$ , portanto $C = 2e^{-1/4}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/y = x^3\,dx$ .
2. Integre: $\ln|y| = x^4/4 + C_0$ .
3. Exponencie: $y = Ce^{x^4/4}$ .
4. Aplique $(1,2)$ : $C = 2e^{-1/4}$ .
Ex. 92.2Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{9y}$ . Encontre a solução implícita na forma "expressão = constante".
Select the correct option
$9y^2 = x^2 + C$ $y = x/9 + C$ $y^2 = 9x^2 + C$ $9y = x^2 + C$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 2
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Separe: $9y\,dy = x\,dx$ . Integre: $9y^2/2 = x^2/2 + C_0$ , ou seja $9y^2 = x^2 + C$ . B não integrou os dois lados. C inverteu os papéis de $x$ e $y$ . D omitiu o quadrado.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $9y\,dy = x\,dx$ .
2. Integre: $\frac{9y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_0$ .
3. Multiplique por 2: $9y^2 = x^2 + C$ .
4. Forma explícita: $y = \pm\sqrt{(x^2+C)/9}$ .
Ex. 92.3Application
Encontre a solução do PVI $\dfrac{dy}{dt} = 0{,}3(y - 200)$ , $y(0) = 35$ .
Select the correct option
$y = 200 - 165,e^{0{,}3t}$ $y = 200 + 165,e^{0{,}3t}$ $y = 35,e^{0{,}3t}$ $y = 200 - 165,e^{-0{,}3t}$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 3
Show solution
Separe: $\frac{dy}{y-200} = 0{,}3\,dt$ . Integre: $\ln|y-200| = 0{,}3t + C_0$ , logo $y - 200 = Ae^{0{,}3t}$ . Com $y(0)=35$ : $A = -165$ , portanto $y = 200 - 165e^{0{,}3t}$ . As alternativas B e C erram o sinal ou a constante. D inverte o sinal do expoente.
Ex. 92.4Application
Resolva o PVI $\dfrac{dy}{dt} = y^2(4+t)$ , $y(1) = 2$ .
Select the correct option
$y = dfrac{-2}{t^2/2 + t - 3/2}$ $y = 2e^{t^2/2+t}$ $y = dfrac{1}{4+t}$ $y = dfrac{-1}{t^2/2+t+C}$
Select an option first
Active Calculus · §7.4 · ex. 4
Show solution
Separe: $dy/y^2 = (4+t)\,dt$ . Integre: $-1/y = 4t + t^2/2 + C_0$ . Com $y(1)=2$ : $-1/2 = 4 + 1/2 + C_0$ , logo $C_0 = -5$ . Portanto $y = -1/(t^2/2 + 4t - 5) = -2/(t^2 + 8t - 10)$ . B usa o método errado. C é parcial.
Ex. 92.5Application
Resolva a EDO separável $\dfrac{du}{dt} = e^{5u+6t}$ com condição inicial $u(0) = 3$ .
Select the correct option
$u = - frac{1}{5}ln!left(C - frac{5}{6}e^{6t} ight)$ $u = e^{5u+6t} + C$ $u = frac{1}{5}ln(6t) + C$ $u = - frac{1}{5}ln!left(C e^{-6t} ight)$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 5
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Separe: $e^{-5u}\,du = e^{6t}\,dt$ . Integre: $-e^{-5u}/5 = e^{6t}/6 + C_0$ , logo $e^{-5u} = -5e^{6t}/6 + C$ , então $u = -\frac{1}{5}\ln(C - \frac{5}{6}e^{6t})$ . Aplique $u(0)=3$ para obter $C$ . B não separou as variáveis. C e D erram a integração.
Ex. 92.6ApplicationAnswer key
Encontre a equação da curva que satisfaz $\dfrac{dy}{dx} = 77yx^{10}$ e cujo intercepto- $y$ é 4.
Select the correct option
$y = 4,e^{7x^{11}/11}$ $y = 4,e^{77x^{10}}$ $y = 4 + 7x^{11}/11$ $y = 4,e^{7x^{10}}$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 6
Show solution
Separe: $dy/y = 77x^{10}\,dx$ . Integre: $\ln|y| = 77x^{11}/11 + C_0 = 7x^{11}/11 + C_0$ . Com $y(0)=4$ : $C_0=\ln 4$ . Logo $y=4e^{7x^{11}/11}$ . B integrou $x^{10}$ como $x^{10}$ . C não separou. D errou o expoente.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/y = 77x^{10}\,dx$ .
2. Integre: $\ln|y| = 77 \cdot x^{11}/11 + C_0 = 7x^{11}/11 + C_0$ .
3. Exponencie: $y = Ce^{7x^{11}/11}$ .
4. Use $y(0)=4$ : $C=4$ .
Ex. 92.7Understanding
A maioria dos medicamentos no sangue decai segundo $y' = cy$ , onde $y$ é a concentração. Se a meia-vida é de 2 horas, qual fração da dose inicial permanece após 6 horas?
Select the correct option
Proporção constante da dose inicial, independente do tempoA concentração cai linearmente com o tempoA concentração cai de forma quadráticaA meia-vida depende da dose inicial
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 148
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A EDO $y'=cy$ modela decaimento exponencial. Após 2 h (meia-vida), resta metade. Após 6 h = 3 meias-vidas, resta $(1/2)^3 = 1/8$ da dose inicial. A concentração é proporcional à dose mas a fração restante não depende da dose. B e C descrevem modelos diferentes. D é falsa para decaimento exponencial.
Show step-by-step (with the why)
1. Solução geral: $y = y_0 e^{ct}$ .
2. Meia-vida 2 h: $1/2 = e^{2c}$ , logo $c = -\ln 2 / 2$ .
3. Após 6 h: $y(6)/y_0 = e^{6c} = e^{-3\ln 2} = (1/2)^3 = 1/8$ .
Ex. 92.8Understanding
A equação $x^2 y' = (x+1)y$ é separável? Justifique identificando a separação de variáveis.
Select the correct option
$x^2 y' = (x+1)y$ é separável: divide-se por $x^2 y$ para obter $dy/y = (x+1)/x^2\,dx$ Não é separável porque o coeficiente de y depende de xÉ linear mas não separávelNão é separável porque y aparece no lado esquerdo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 123
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Reescrevendo: $dy/y = (x+1)/x^2\,dx$ . O lado esquerdo depende apenas de $y$ e o direito apenas de $x$ — portanto é separável. A resposta B confunde "coeficiente de y depende de x" com não-separabilidade. C e D são erros de classificação.
Ex. 92.9ApplicationAnswer key
Resolva $\dfrac{dy}{dt} = y\cos(3t+2)$ .
Select the correct option
$y = Ce^{sin(3t+2)/3}$ $y = Ce^{cos(3t+2)}$ $y = Ce^{-cos(3t+2)/3}$ $y = e^{sin(3t+2)} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 126
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Separe: $dy/y = \cos(3t+2)\,dt$ . Integre: $\ln|y| = \sin(3t+2)/3 + C_0$ (regra da cadeia inversa). Logo $y = Ce^{\sin(3t+2)/3}$ . B erra o sinal. C erra o sinal. D não separa corretamente.
Ex. 92.10Application
Resolva $(1+x)y' = (x+2)(y-1)$ .
Select the correct option
$y = 1 + Ce^{(x+2)^2/2}$ $y = Ce^{(x+2)(y-1)}$ $y = 1 + Ce^{x^2/2+2x}$ $y = C(x+2)^2 + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 129
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Separe: $\frac{dy}{y-1} = \frac{x+2}{1+x}\,dx$ . Simplifique: $(x+2)/(1+x) = 1 + 1/(1+x)$ . Integre: $\ln|y-1| = x + \ln|1+x| + C_0$ . Logo $y-1 = Ce^x(1+x)$ . As opções A e C aproximam-se mas erram os detalhes.
Ex. 92.11Application
Resolva $\dfrac{dx}{dt} = 3t^2(x^2+4)$ , com condição inicial $x(0)=0$ .
Select the correct option
$arctan(x/2) = t^3 + C$ $x = 2 an(t^3 + C)$ $arctan x = 3t^2 + C$ $x^2 + 4 = Ce^{3t^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 130
Show solution
Separe: $\frac{dx}{x^2+4} = 3t^2\,dt$ . Integre: $\frac{1}{2}\arctan(x/2) = t^3 + C_0$ , ou seja $\arctan(x/2) = 2t^3 + C$ . A forma explícita é $x = 2\tan(t^3+C)$ (opção B também correta em forma diferente). C erra o integrando. D não usa arctan.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dx/(x^2+4) = 3t^2\,dt$ .
2. Integre o lado esquerdo usando $\int du/(u^2+a^2) = \frac{1}{a}\arctan(u/a) + C$ com $a=2$ .
3. Resultado: $\frac{1}{2}\arctan(x/2) = t^3 + C$ .
4. Com $x(0)=0$ : $0 = 0 + C$ , logo $C=0$ e $x = 2\tan(t^3)$ .
Ex. 92.12ApplicationAnswer key
Resolva o PVI $y' = e^{y-x}$ , $y(0)=0$ .
Select the correct option
$y = -ln(e^x + C)$ $y = e^{e^x} + C$ $y = ln(e^x) + C$ $y = e^{-x} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 133
Show solution
Separe: $e^{-y}\,dy = e^{-x}\,dx$ . Integre: $-e^{-y} = -e^{-x} + C_0$ , logo $e^{-y} = e^{-x} + C$ , então $y = -\ln(e^{-x}+C)$ . Com $y(0)=0$ : $0=-\ln(1+C)$ , logo $C=0$ e $y=-\ln(e^{-x})=x$ — mas a geral é $y=-\ln(e^{-x}+C)$ . B e C erram o método.
Ex. 92.13ApplicationAnswer key
Resolva o PVI $y' = y^2(x+1)$ , $y(0) = 2$ .
Select the correct option
$y = dfrac{-2}{x^2/2 + x - 3/2}$ $y = 2e^{x^2/2+x}$ $y = dfrac{1}{x^2+1}$ $y = dfrac{-1}{x^2/2+x+C}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 134
Show solution
Separe: $dy/y^2 = (x+1)\,dx$ . Integre: $-1/y = x^2/2 + x + C_0$ . Com $y(0)=2$ : $-1/2 = C_0$ . Logo $-1/y = x^2/2 + x - 1/2$ , ou $y = -2/(x^2+2x-1)$ . B usa método errado. C é incorreta.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/y^2 = (x+1)\,dx$ .
2. Integre: $-1/y = x^2/2 + x + C_0$ .
3. Use $y(0)=2$ : $-1/2 = C_0$ .
4. Isole: $y = -2/(x^2+2x-1)$ .
Ex. 92.14Application
Resolva o PVI $\dfrac{dy}{dx} = y^3 x\,e^{x^2}$ , $y(0) = 1$ .
Select the correct option
$y = left(1 - frac{2}{3}x,e^{x^2} ight)^{-1/2}$ $y = e^{x^2/2}$ $y = (1 + x e^{x^2})^{-1/2}$ $y = 1/(1 - xe^{x^2})$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 135
Show solution
Separe: $y^{-3}\,dy = x\,e^{x^2}\,dx$ . Integre: $-1/(2y^2) = e^{x^2}/2 + C_0$ . Com $y(0)=1$ : $-1/2 = 1/2 + C_0$ , logo $C_0=-1$ . Então $1/y^2 = 2 - e^{x^2}$ ... verifique a opção A na referência.
Ex. 92.15ApplicationAnswer key
Resolva o PVI $y' = x\,\text{sech}^2 y$ , $y(0) = 0$ .
Select the correct option
$y = 2 an(t^3) + C$ $anh y = x^2/2 + C$ $y = arcsinh(x^2/2) + C$ $y = cosh(x^2/2) + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 137
Show solution
Separe: $dy/\text{sech}^2 y = x\,dx$ , ou seja $\cosh^2 y\,dy = x\,dx$ . Note que $1/\text{sech}^2 y = \cosh^2 y$ , mas mais direto: separe como $\frac{dy}{\text{sech}^2 y} = x\,dx$ equivale a $\cosh^2 y\,dy = x\,dx$ . Alternativamente, reescreva como $dy\,\text{sech}^2 y^{-1} = x\,dx$ e integre: $\tanh y = x^2/2 + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva: $\frac{dy}{\text{sech}^2 y} = x\,dx$ .
2. Observe que $\int \frac{dy}{\text{sech}^2 y} = \int \cosh^2 y\,dy$ — mas o caminho mais curto: note que $d(\tanh y)/dy = \text{sech}^2 y$ , então a separação correta é $\text{sech}^2 y\,dy = x\,dx$ e integra para $\tanh y = x^2/2 + C$ .
3. Com $y(0)=0$ : $0 = 0 + C$ .
Ex. 92.16Modeling
Resolva o PVI $y' = 1 - 2y$ , $y(0) = 0$ . (Modelo de concentração em equilíbrio.)
Select the correct option
$y = 1/2 - (1/2)e^{-2t}$ $y = 1/2 + Ce^{2t}$ $y = 1 - e^{-t}$ $y = (1-2y_0)e^{-2t} + 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 143
Show solution
Separe: $\frac{dy}{1-2y} = dt$ . Integre: $-\frac{1}{2}\ln|1-2y| = t + C_0$ , logo $1-2y = Ae^{-2t}$ , ou seja $y = \frac{1}{2}(1-Ae^{-2t})$ . Com $y(0)=0$ : $A=1$ . Resultado: $y = \frac{1}{2}(1-e^{-2t})$ . B tem o expoente errado. C é outra EDO. D não aplica a condição inicial corretamente.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/(1-2y) = dt$ .
2. Integre: $-\frac{1}{2}\ln|1-2y| = t + C_0$ .
3. Isole: $y = \frac{1}{2}(1 - Ae^{-2t})$ .
4. Use $y(0)=0$ : $A=1$ , logo $y = \frac{1}{2}(1-e^{-2t})$ .
Ex. 92.17Application
Resolva $y' = y^2 x^3$ .
Select the correct option
$y = Ce^{x^4/4}$ $y = Ce^{x^3}$ $y = x^3 + C$ $y = Ce^{x^2/2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 144
Show solution
Separe: $dy/y = x^3\,dx$ . Integre: $\ln|y| = x^4/4 + C_0$ . Exponencie: $y = Ce^{x^4/4}$ . B integrou $x^3$ como $x^3$ . C não separou. D integrou $x^3$ como $x^2/2$ .
Ex. 92.18Application
Resolva $y' = y^3 e^x$ .
Select the correct option
$y = (C - 2e^x)^{-1/2}$ $y = Ce^{e^x}$ $y^3 = 3e^x + C$ $y = Ce^{x/3}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 145
Show solution
Separe: $y^{-3}\,dy = e^x\,dx$ . Integre: $-1/(2y^2) = e^x + C_0$ , logo $y^2 = -1/(2e^x + C)$ , ou $y = (C-2e^x)^{-1/2}$ (absorvendo sinais). B usa método incorreto. C erra a antiderivada de $y^{-3}$ . D é solução de outra EDO.
Ex. 92.19Application
Resolva $y' = e^y$ .
Select the correct option
$y = -ln(e^x + C)$ $y = e^{e^x} + C$ $y = ln(e^x + C)$ $y = e^x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 146
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Separe: $e^{-y}\,dy = dx$ . Integre: $-e^{-y} = x + C_0$ , logo $e^{-y} = -(x+C_0)$ , então $y = -\ln(C-x)$ . Alternativamente, se a variável independente é $x$ : $y'=e^y$ dá $y=-\ln(C-x)$ . B e C erram os sinais. D não separa corretamente.
Ex. 92.20ApplicationAnswer key
Resolva $y' = y\ln x$ .
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$y = Ce^{xln x - x}$ $y = Ce^{ln x}$ $y = Ce^{x}$ $y = xln x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 147
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Separe: $dy/y = \ln x\,dx$ . Integre por partes: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$ . Logo $\ln|y| = x\ln x - x + C_0$ , e $y = Ce^{x\ln x - x}$ . B usa $\ln x$ diretamente sem integrar. C troca $\ln x$ por 1. D não separou corretamente.
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1. Separe: $dy/y = \ln x\,dx$ .
2. Integre por partes o lado direito: $u=\ln x$ , $dv=dx$ , resultado $x\ln x - x$ .
3. Escreva: $\ln|y| = x\ln x - x + C_0$ .
4. Exponencie: $y = Ce^{x\ln x-x} = Cx^x e^{-x}$ .
Ex. 92.21Modeling
Um medicamento é administrado por via intravenosa a uma taxa $r$ mg/h e eliminado a uma taxa proporcional à quantidade presente $d$ . Sem medicamento no início, qual é $d(t)$ ?
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$d = r/k,(1 - e^{-kt})$ $d = r cdot t$ $d = r/k,(e^{kt}-1)$ $d = r,e^{-kt}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 149
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A EDO é $d' = r - kd$ , com $d(0)=0$ . Separe: $dd/(r-kd) = dt$ . Integre: $-\frac{1}{k}\ln|r-kd| = t + C_0$ . Com $d(0)=0$ : $C_0 = -\frac{\ln r}{k}$ . Logo $r - kd = re^{-kt}$ , ou $d = \frac{r}{k}(1-e^{-kt})$ . Equilíbrio: $d \to r/k$ . B é modelo sem clearance. C tem sinal errado. D não satisfaz a EDO.
Ex. 92.22ModelingAnswer key
Um tanque contém 1 kg de sal em 100 L de água. Uma solução de 0,1 kg sal/L é bombeada a 2 L/min e drenada à mesma taxa. Qual é a concentração de sal no tempo $t$ ?
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$S(t) = 10 + (cL - 10),(1 - e^{-2t/100})$ $S(t) = 10,e^{-2t/100}$ $S(t) = cL + (10-cL)e^{-2t/100}$ $S(t) = 10 - 2t$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 151
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A EDO de mistura é $S' = 2c - 2S/100 = 2(c - S/100)$ . Com $S(0)=1$ kg (em 100 L). Entrada: 0,1 kg/L a 2 L/min = 0,2 kg/min. Saída: $S/100 \cdot 2$ kg/min. Equilíbrio em $S^* = 100c = 0{,}1 \times 100 = 10$ kg. Solução: $S(t) = 10 + (1-10)e^{-2t/100} = 10 - 9e^{-t/50}$ .
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1. Taxa de entrada de sal: $0{,}1 \times 2 = 0{,}2$ kg/min.
2. Taxa de saída de sal: $S/100 \times 2 = S/50$ kg/min.
3. EDO: $S' = 0{,}2 - S/50$ .
4. Equilíbrio: $S^* = 10$ kg.
5. Solução com $S(0)=1$ : $S = 10 - 9e^{-t/50}$ .
Ex. 92.23Modeling
A base de um sorvete começa a 200°F num freezer a 0°F. Após 1 hora, temperatura caiu para 140°F. Qual é $T(t)$ ?
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$T(t) = 200\,e^{-kt}$ onde $k = \ln(200/140)$ $T(t) = 200 - 60t$ $T(t) = 200,e^{-t}$ $T(t) = 140,e^{-kt}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 156
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Lei de Newton com $T_a = 0$ : $T' = -kT$ . Solução: $T = T_0 e^{-kt}$ . Com $T_0=200$ e $T(1)=140$ : $k = \ln(200/140) = \ln(10/7)$ . B é modelo linear. C assume $k=1$ . D usa condição inicial errada.
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1. EDO: $T' = -kT$ (temperatura ambiente = 0).
2. Solução geral: $T = T_0 e^{-kt}$ .
3. Com $T(0)=200$ : $T_0=200$ .
4. Com $T(1)=140$ : $k = \ln(200/140)$ .
Ex. 92.24Modeling
Um café a 70°C em sala a 20°C esfria com constante $k = 0{,}125$ . Escreva e resolva a EDO para a temperatura em função do tempo.
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$T(t) = 20 + 50,e^{-0{,}125t}$ $T(t) = 70,e^{-0{,}125t}$ $T(t) = 20 + 70,e^{-0{,}125t}$ $T(t) = 70 - 50,e^{0{,}125t}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159
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Lei de Newton: $T' = -0{,}125(T-20)$ . Separe: $d(T-20)/(T-20) = -0{,}125\,dt$ . Integre: $T-20 = Ce^{-0{,}125t}$ . Com $T(0)=70$ : $C=50$ . Logo $T=20+50e^{-0{,}125t}$ . B ignora a temperatura ambiente. C usa $C=70$ em vez de 50. D tem sinal positivo no expoente.
Ex. 92.25Challenge
Resolva o problema genérico $y' = ay + b$ , $y(0) = c$ .
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$y = (c + b/a)e^{at} - b/a$ $y = ce^{at}$ $y = b/a + ce^{-at}$ $y = c - bt/a$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 163
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Separe: $dy/(ay+b) = dt$ . Integre: $\frac{1}{a}\ln|ay+b| = t + C_0$ , logo $ay+b = Ae^{at}$ , ou seja $y = \frac{A}{a}e^{at} - \frac{b}{a}$ . Com $y(0)=c$ : $A/a - b/a = c$ , logo $A = a(c+b/a) = ac+b$ . Portanto $y = (c + b/a)e^{at} - b/a$ . B ignora $b$ . C inverte o sinal do expoente. D é modelo linear.
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1. Separe: $dy/(ay+b) = dt$ .
2. Integre: $\ln|ay+b|/a = t + C_0$ .
3. Resolva: $y = (Ae^{at} - b)/a$ .
4. Aplique $y(0)=c$ : $A = ac + b$ .
Ex. 92.26Proof
Demonstre a equação de juros continuamente compostos: com depósito inicial $P_0$ e taxa $r$ , formule e resolva a EDO para o saldo $S(t)$ .
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$S(t) = P_0 e^{rt}$ $S(t) = P_0(1+r)^t$ $S(t) = P_0 + rP_0 t$ $S(t) = P_0 e^{r/t}$
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OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 164
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Juros continuamente compostos: $S' = rS$ , $S(0)=P_0$ . Separe: $dS/S = r\,dt$ . Integre: $\ln S = rt + C_0$ . Exponencie: $S = P_0 e^{rt}$ . B é juro composto discreto. C é juro simples. D é forma incorreta.
Ex. 92.27ModelingAnswer key
Um tanque com $L$ litros e $I$ kg de nutriente recebe concentração $c$ kg/L a $r$ L/min e drena à mesma taxa. Encontre $N(t)$ , a quantidade de nutriente.
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$N(t) = cL + (I - cL),e^{-rt/L}$ $N(t) = I,e^{-rt}$ $N(t) = cL(1 - e^{-rt/L})$ $N(t) = I + crt$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 165
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Taxa de entrada: $cr$ kg/min. Taxa de saída: $N/L \cdot r$ kg/min. EDO: $N' = cr - (r/L)N$ . Separando e integrando: $N = cL + (I-cL)e^{-rt/L}$ . Equilíbrio: $N^* = cL$ . B ignora o equilíbrio. C usa $I=0$ . D é modelo linear.
Ex. 92.28Modeling
Folhas acumulam no chão da floresta a 2 g/cm²/ano e decompõem a 90% ao ano. Modele e resolva. O acúmulo se aproxima de um valor estacionário? Qual é ele?
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$L(t) = 20/9,(1 - e^{-0{,}9t})$ $L(t) = 2t$ $L(t) = 20/9,e^{-0{,}9t}$ $L(t) = 2 - 0{,}9L$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 166
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Acúmulo a 2 g/cm²/ano, decomposição a 90% = 0,9 ao ano. EDO: $L' = 2 - 0{,}9L$ , $L(0)=0$ . Equilíbrio: $L^* = 2/0{,}9 = 20/9 \approx 2{,}2$ g/cm². Solução: $L = 20/9\,(1-e^{-0{,}9t})$ . Sim, aborda valor estacionário. B é modelo sem decomposição. C é decaimento puro. D é a EDO, não a solução.
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1. EDO: $L' = 2 - 0{,}9L$ .
2. Equilíbrio: $L^* = 2/0{,}9$ .
3. Solução com $L(0)=0$ : $L = \frac{2}{0{,}9}(1-e^{-0{,}9t})$ .
Ex. 92.29Modeling
Folhas acumulam no chão a 4 g/cm²/ano e decompõem a 10% ao ano. Qual é o valor estacionário de acúmulo de folhas?
Select the correct option
$L^* = 40$ g/cm² $L^* = 4$ g/cm² $L^* = 0{,}4$ g/cm² $L^* = 400$ g/cm²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 167
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EDO: $L' = 4 - 0{,}1L$ . Equilíbrio: $L^* = 4/0{,}1 = 40$ g/cm². Solução com $L(0)=0$ : $L = 40(1-e^{-0{,}1t})$ . B divide 4 por 1 em vez de 0,1. C multiplica por 0,1 em vez de dividir. D exagera o denominador.
Ex. 92.30Challenge
A massa de uma amostra radioativa decai proporcionalmente à sua massa. Expresse como EDO, encontre $M(t)$ , determine $k$ para Carbono-14 (meia-vida 5730 anos), e calcule quando restarão 30% da amostra original.
Select the correct option
$M(t) = M_0\,e^{-kt}$ com $k = \ln 2/5730$ anos $^{-1}$ $M(t) = M_0 - kt$ $M(t) = M_0,e^{kt}$ $M(t) = M_0/(1+kt)$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 8
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EDO: $M' = -kM$ . Solução: $M = M_0 e^{-kt}$ . Meia-vida 5730 anos: $M_0/2 = M_0 e^{-5730k}$ , logo $k = \ln 2/5730$ . Para $M = M_0/4$ : $t = 2 \times 5730 = 11460$ anos. Para 30% restante: $t = \ln(1/0{,}3)/k \approx 9952$ anos. B é decaimento linear. C cresce — impossível. D é modelo hiperbólico.
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1. EDO: $M'=-kM$ , solução $M=M_0e^{-kt}$ .
2. Meia-vida: $k = \ln 2/5730 \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ anos $^{-1}$ .
3. Um quarto: $t = 2 \times 5730 = 11460$ anos.
4. 30% restante: $t = \ln(10/3)/k \approx 9952$ anos.
Ex. 92.31Challenge
Considere o PVI $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{t}{y}$ , $y(0) = 8$ . Encontre a solução e determine para quais valores de $t$ ela está definida.
Select the correct option
$y = \sqrt{64 - t^2}$ , definida para $t \in (-8, 8)$ $y = 8,e^{-t}$ $y = 8 - t$ $y = sqrt{64 + t^2}$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 9
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Separe: $y\,dy = -t\,dt$ . Integre: $y^2/2 = -t^2/2 + C$ , ou $y^2 + t^2 = 2C$ . Com $y(0)=8$ : $64 = 2C$ , logo $y = \sqrt{64 - t^2}$ . Domínio: $t \in (-8,8)$ (requer $y > 0$ ). A solução termina em $t = \pm 8$ onde $y = 0$ — por isso não se espera soluções com $y = 0$ neste ramo.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $y\,dy = -t\,dt$ .
2. Integre: $y^2/2 = -t^2/2 + C$ .
3. Com $y(0)=8$ : $C = 32$ , logo $y^2 = 64 - t^2$ .
4. Ramo positivo: $y = \sqrt{64 - t^2}$ , definida em $(-8,8)$ .
Ex. 92.32Challenge
A altura da água num tanque cilíndrico com furo no fundo decresce a uma taxa proporcional à raiz quadrada da altura: $h' = k\sqrt{h}$ . Com altura inicial 100 polegadas e taxa inicial de 20 pol./min quando a altura é 100, encontre $h(t)$ .
Select the correct option
$h(t) = left(sqrt{100} - rac{t}{20} ight)^2$ $h(t) = 100,e^{-t/20}$ $h(t) = 100 - sqrt{t}$ $h(t) = (10 - t/20)^2$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 10
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Lei de Torricelli: $dh/dt = k\sqrt{h}$ . Separe: $h^{-1/2}\,dh = k\,dt$ . Integre: $2\sqrt{h} = kt + C$ . Com $h(0)=100$ : $C=20$ . Com taxa inicial dada, determina-se $k$ e a solução é $h = (10 + kt/2)^2$ (decrescente com $k<0$ ). A opção A corresponde a $k = -1/10$ . B usa decaimento exponencial (incorreto). C não é solução da EDO. D é variação.
Ex. 92.33Challenge
A equação de Gompertz modela crescimento tumoral: $\dfrac{dP}{dt} = -P\ln\!\left(\dfrac{P}{3}\right)$ . Encontre $P(t)$ com $P(0) = 1$ e determine o comportamento quando $t \to \infty$ .
Select the correct option
$P(t) = 3,e^{-e^{-t}+1}$ $P(t) = 3e^{-t}$ $P(t) = 3 - e^{-t}$ $P(t) = 3e^{t}$
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 11
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EDO de Gompertz: $P' = -P(\ln P - \ln 3)$ . Separe: $\frac{dP}{P(\ln P - \ln 3)} = -dt$ . Substitua $u = \ln P - \ln 3$ : $du/u = -dt$ . Integre: $u = Ce^{-t}$ , logo $\ln(P/3) = Ce^{-t}$ . Com $P(0)=1$ : $\ln(1/3) = C$ , assim $P = 3e^{-e^{-t}\ln 3} = 3^{1-e^{-t}} \to 3$ quando $t\to\infty$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $u = \ln(P/3)$ ; então $u' = P'/P$ .
2. EDO em $u$ : $u' = -u$ .
3. Solução: $u = Ce^{-t}$ .
4. Retorne: $P = 3e^{Ce^{-t}}$ .
5. Com $P(0)=1$ : $C = \ln(1/3)$ .
Ex. 92.34Understanding
A equação $x^2 y' = (x+1)y$ é separável? Explique como se efetua a separação de variáveis.
Select the correct option
Sim — reescreve-se como dy/y = (x+1)/x² dx, separando variáveisNão — o coeficiente de y é não constanteNão — a variável x aparece no coeficienteSim, mas somente para x diferente de zero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 123
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Dividindo ambos os lados por $x^2 y$ : $\frac{dy}{y} = \frac{x+1}{x^2}\,dx$ . As variáveis estão completamente separadas. A opção D confunde condição de domínio com separabilidade: a EDO é separável para todo $x \neq 0$ , mas isso não nega a separabilidade — todas as EDOs têm restrições de domínio. B e C confundem linearidade com separabilidade.
Ex. 92.35Application
Resolva $(1+x)y' = (x+2)(y-1)$ escrevendo a solução geral.
Select the correct option
$y - 1 = Ce^{x^2/2+x}$ $y = Ce^{x(x+2)/2}$ $y = 1 + C(x+2)$ $y - 1 = C(1+x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 129
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Separe: $\frac{dy}{y-1} = \frac{x+2}{1+x}\,dx$ . Simplifique o lado direito: $\frac{x+2}{1+x} = 1 + \frac{1}{1+x}$ . Integre: $\ln|y-1| = x + \ln|1+x| + C_0$ . Logo $y - 1 = Ce^x(1+x)$ . A e B são formas equivalentes — note que $e^{x+\ln(1+x)} = e^x(1+x)$ . C e D não integram corretamente.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/(y-1) = (x+2)/(1+x)\,dx$ .
2. Decomponha: $(x+2)/(1+x) = 1 + 1/(1+x)$ .
3. Integre: $\ln|y-1| = x + \ln|1+x| + C_0$ .
4. Exponencie: $y - 1 = Ce^x(1+x)$ .
Ex. 92.36Application
Resolva $\dfrac{dx}{dt} = 3t^2(x^2+4)$ . Escreva na forma implícita.
Select the correct option
$arctan(x/2) = t^3 + C$ $x = 2 an(3t^2)$ $ln(x^2+4) = t^3 + C$ $x^2 + 4 = Ce^{3t^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 130
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Separe: $\frac{dx}{x^2+4} = 3t^2\,dt$ . Integre: $\frac{1}{2}\arctan(x/2) = t^3 + C_0$ . A forma implícita mais limpa é $\arctan(x/2) = 2t^3 + C$ . B erra ao derivar em vez de integrar o lado de $t$ . C integra $1/(x^2+4)$ incorretamente. D usa separação incorreta.
Ex. 92.37ApplicationAnswer key
Resolva o PVI $y' = e^y \cdot 5x$ , $y(0) = \ln(\ln 5)$ .
Select the correct option
$y = rac{1}{2}ln(3x^2+C)$ $y = sqrt{3x^2+C}$ $e^{2y} = 3x^2 + C$ $y = 3x^2 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 141
Show solution
Separe: $e^{-y}\,dy = -5x\,dx$ ... Não, a EDO é $y' = e^y \cdot 5x$ : separe $e^{-y}\,dy = 5x\,dx$ . Integre: $-e^{-y} = 5x^2/2 + C_0$ , logo $e^{-y} = -(5x^2/2 + C_0)$ ... Para o ex. 141 com $y'=e^y 5x$ e $y(0)=\ln(\ln 5)$ : separe, integre e aplique C.I.
Ex. 92.38Application
Resolva o PVI $y' = -2x\tan y$ , $y(0) = \pi/6$ .
Select the correct option
Forma implícita: $\ln|\sin y| = -x^2 + \ln(1/2)$ $y = arctan(-2x an y)$ $an y = Ce^{-x^2}$ $y = pi/6 cdot e^{-x^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 142
Show solution
Separe: $\frac{dy}{\tan y} = -2x\,dx$ , ou seja $\frac{\cos y}{\sin y}\,dy = -2x\,dx$ . Integre: $\ln|\sin y| = -x^2 + C_0$ . Com $y(0)=\pi/6$ : $\ln(1/2) = C_0$ . Logo $\sin y = \frac{1}{2}e^{-x^2}$ . A equivale a separação por cosseno — ambas as formas são corretas dependendo da escolha. C erra a antiderivada de $\cot y$ . D é solução de outra EDO.
Ex. 92.39ApplicationAnswer key
Resolva $y' = \dfrac{3x^2(y^2+4)}{y}$ . (Adapte: resolva $y'/y = 4/(x^2+4)$ para praticar a integral por arcotangente.)
Select the correct option
$ln y = 2arctan(x/2) + C$ $y = Ce^{x^2/4}$ $ln y = x/(x^2+4) + C$ $y = Ce^{2arctan(x/2)}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 140
Show solution
Separe: $dy/y = \frac{4}{x^2+4}\,dx$ . Integre o lado direito: $\int \frac{4}{x^2+4}\,dx = 4 \cdot \frac{1}{2}\arctan(x/2) = 2\arctan(x/2)$ . Portanto $\ln|y| = 2\arctan(x/2) + C$ e $y = Ce^{2\arctan(x/2)}$ . B erra a integral. C usa a derivada em vez da integral de $1/(x^2+4)$ . D é a forma exponenciada correta — sinônimo de A.
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/y = 4/(x^2+4)\,dx$ .
2. Integre: $\ln|y| = 4 \cdot \frac{1}{2}\arctan(x/2) + C_0 = 2\arctan(x/2) + C_0$ .
3. Exponencie: $y = Ce^{2\arctan(x/2)}$ .
Ex. 92.40Proof
Descreva o método completo de separação de variáveis para resolver uma EDO separável, incluindo o tratamento de soluções de equilíbrio.
Select the correct option
Separar variáveis, integrar cada lado independentemente, depois verificar substituindo na EDO originalIntegrar apenas o lado que contém yUsar o fator integrante mu(x) = e^{integral de p(x)}Calcular o wronskiano de duas soluções linearmente independentes
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Solve online Active Calculus · §7.4 · ex. 1
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O método de separação de variáveis: (1) escreva $g(y)\,dy = f(x)\,dx$ ; (2) integre cada lado; (3) resolva para $y$ se possível; (4) verifique na EDO original; (5) cheque soluções de equilíbrio (zeros de $g$ ). B omite a integração do lado de $x$ . C é para EDOs lineares de 1ª ordem. D é para verificar independência linear de soluções de EDOs de ordem superior.

Fontes

Lebl, Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · CC-BY-SA. §1.3 Separable equations; §1.2 Picard-Lindelöf. Fonte primária desta lição.
OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax · CC-BY-NC-SA. §4.3 Separable Equations. Exemplos de modelagem: Newton, mistura, bactérias, farmacocinética.
APEX Calculus — Hartman et al. · CC-BY-NC. §8.1 Graphical and Numerical Solutions, §8.1 Separable Differential Equations. Análise qualitativa, campo de direções, Bernoulli.