v1 · padrão canônico

Lesson 93 — First-order linear ODEs

y' + p(x)y = q(x). Integrating factor e^(integral of p). Applications: RC circuit, mixture, bank account.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonês (avançado) · Leistungskurs alemão

y' + p(x)\,y = q(x) \;\Longrightarrow\; y = e^{-\int p\,dx}\!\left[\int e^{\int p\,dx}\,q(x)\,dx + C\right]

EDO linear de 1ª ordem: o fator integrante $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ transforma o lado esquerdo em derivada de produto $(\mu y)'$ . Integra-se dos dois lados e isola-se $y$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Fator integrante — teoria completa

Forma canônica

"An equation of the form $y' + p(x)y = f(x)$ is called a first order linear differential equation." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4

Por que funciona. Queremos que $\mu y' + \mu p y$ seja a derivada de um produto. Como $(\mu y)' = \mu' y + \mu y'$ , precisamos $\mu' = \mu p$ , ou seja $\mu'/\mu = p$ . Integrando: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ .

Estrutura homogênea + particular

Diagrama: solução de sistema RC

Resposta a degrau do circuito RC: $V_C \to V_s$ exponencialmente com constante de tempo $\tau = RC$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· EDO mais simples com CI

Problema. Resolva $y' + 2y = 6$ , $y(0) = 1$ .

Estratégia. Identificar $p = 2$ (constante), calcular $\mu$ , integrar.

Resolução.

$p = 2$ , $q = 6$ . Fator: $\mu = e^{2x}$ .

$(e^{2x} y)' = 6 e^{2x}$ .

$e^{2x} y = 3 e^{2x} + C \;\Rightarrow\; y = 3 + C e^{-2x}$ .

$y(0) = 1 \;\Rightarrow\; 1 = 3 + C \;\Rightarrow\; C = -2$ .

$y(x) = 3 - 2 e^{-2x}$

Verificação. $y' = 4 e^{-2x}$ . Então $y' + 2y = 4e^{-2x} + 6 - 4e^{-2x} = 6$ . $y(0) = 3 - 2 = 1$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4, Example 1.4.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Fator integrante com p variável

Problema. Resolva $y' + 2xy = 4x$ , $y(0) = 5$ .

Estratégia. $p = 2x$ não é constante; $\mu = e^{x^2}$ .

Resolução.

$\mu = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$ .

$(e^{x^2} y)' = 4x e^{x^2}$ .

$e^{x^2} y = \int 4x e^{x^2}\,dx = 2e^{x^2} + C \;\Rightarrow\; y = 2 + Ce^{-x^2}$ .

$y(0) = 5 \;\Rightarrow\; C = 3$ .

$y(x) = 2 + 3e^{-x^2}$

Verificação. $y' = -6x e^{-x^2}$ . $y' + 2xy = -6xe^{-x^2} + 2x(2+3e^{-x^2}) = 4x$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4, Example 1.4.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· EDO com coeficiente de y variável (trigonometria)

Problema. Resolva $y' + y\tan x = \sec x$ .

Estratégia. $p = \tan x$ ; $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|$ ; logo $\mu = \sec x$ .

Resolução.

$\mu = e^{-\ln|\cos x|} = \sec x$ .

$(\sec x\cdot y)' = \sec^2 x$ .

$y\sec x = \tan x + C \;\Rightarrow\; y = \sin x + C\cos x$ .

Verificação. $y' = \cos x - C\sin x$ . $y' + y\tan x = \cos x - C\sin x + (\sin x + C\cos x)\tan x = \cos x - C\sin x + \sin x \tan x + C\sin x = \cos x + \sin x\tan x = \cos x + \sin^2 x/\cos x = (cos^2 x + \sin^2 x)/\cos x = \sec x$ . Correto.

Fonte. Trench, Elementary Differential Equations, §2.1, Example 2.1.3 — aberto.

Example— 4· Circuito RC com fonte degrau

Problema. Circuito RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$ , $C = 50\,\mu\text{F}$ , fonte $V_s = 12\,\text{V}$ (ligada em $t = 0$ ), $V_C(0) = 0$ . Encontre $V_C(t)$ e calcule $\tau$ .

Estratégia. A EDO do circuito RC é $\dot V_C + V_C/(RC) = V_s/(RC)$ . Identificar $p = 1/(RC)$ , $q = V_s/(RC)$ .

Resolução.

$\tau = RC = 2000 \times 50 \times 10^{-6} = 0{,}1\,\text{s}$ .

EDO: $\dot V_C + V_C/\tau = V_s/\tau$ .

$\mu = e^{t/\tau}$ . $(e^{t/\tau} V_C)' = (V_s/\tau)e^{t/\tau}$ .

$e^{t/\tau} V_C = V_s e^{t/\tau} + C \;\Rightarrow\; V_C = V_s + Ce^{-t/\tau}$ .

$V_C(0) = 0 \;\Rightarrow\; C = -V_s$ .

$V_C(t) = 12\bigl(1 - e^{-t/0{,}1}\bigr)\,\text{V}$

Em $t = \tau = 0{,}1\,\text{s}$ : $V_C \approx 12(1 - 1/e) \approx 7{,}58\,\text{V}$ (63% de 12 V). Em $5\tau = 0{,}5\,\text{s}$ : $V_C \approx 11{,}9\,\text{V}$ (99%).

Verificação. $\dot V_C = 12/0{,}1 \cdot e^{-10t} = 120 e^{-10t}$ . $\dot V_C + 10 V_C = 120 e^{-10t} + 120(1 - e^{-10t}) = 120 = V_s/\tau$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.5, Example 4.29 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Mistura: tanque com sal

Problema. Tanque de 200 L contém inicialmente 50 g de sal dissolvido. Entra salmoura a 2 g/L na taxa de 4 L/min; sai mistura na mesma taxa. Quantidade de sal $Q(t)$ após 1 hora.

Estratégia. Balanço de massa: $\dot Q = \text{entrada} - \text{saída} = 4\cdot 2 - 4\cdot(Q/200)$ .

Resolução.

$\dot Q + Q/50 = 8$ , $Q(0) = 50$ .

$p = 1/50$ , $\mu = e^{t/50}$ .

$(e^{t/50} Q)' = 8 e^{t/50}$ .

$Q = 400 + Ce^{-t/50}$ .

$Q(0) = 50 \;\Rightarrow\; C = -350$ .

$Q(t) = 400 - 350\,e^{-t/50}\;\text{(g)}$

Em $t = 60\,\text{min}$ : $Q(60) = 400 - 350\,e^{-1{,}2} \approx 400 - 350 \times 0{,}3012 \approx 294{,}6\,\text{g}$ .

Verificação. $\dot Q = 7 e^{-t/50}$ . $\dot Q + Q/50 = 7e^{-t/50} + 8 - 7e^{-t/50} = 8$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.5, Example 1.5.1 — CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 6Modeling 4Challenge 2

Ex. 93.1Understanding
A equação $\dfrac{dy}{dx} = x^2 y + \sin x$ é não-linear?
Select the correct option
Não — $dy/dx = x^2 y + \sin x$ é linear de 1ª ordem com $p(x)=-x^2$ Sim — contém $y^2$ no lado direitoSim — $\sin x$ torna a equação não-linearNão — mas somente se $p$ for constante
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 208
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Reescreve: $y' - x^2 y = \sin x$ . Tem a forma $y' + p(x)y = q(x)$ com $p=-x^2$ e $q=\sin x$ . Logo é linear. Não há potência de $y$ maior que 1.
Ex. 93.2UnderstandingAnswer key
A equação $y' + 3y - \ln x = 0$ é não-linear?
Select the correct option
Não — $y' + 3y = \ln x$ é linear com $p=3$ , $q=\ln x$ Sim — $\ln x$ não é definida para $x \leq 0$ , tornando-a não-linearSim — $y'$ e $y$ aparecem multiplicadosNão — mas exige $p$ variável para ser linear
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 214
Show solution
A equação $y' + 3y - \ln x = 0$ equivale a $y' + 3y = \ln x$ , forma padrão com $p=3$ (constante) e $q=\ln x$ . É linear; o domínio de $\ln x$ impõe $x>0$ mas não afeta a linearidade.
Ex. 93.3UnderstandingAnswer key
Coloque $-xy' = (3x+2)y + xe^x$ na forma canônica $y' + p(x)y = q(x)$ e identifique $p$ e $q$ .
Select the correct option
$p(x) = -(3x+2)/x = -3 - 2/x$ e $q(x) = e^x$ $p(x) = 3x+2$ e $q(x) = e^x$ $p(x) = (3x+2)/x$ e $q(x) = -e^x$ Não é linear — lado esquerdo contém $xy'$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 215
Show solution
Divide por $-x$ : $y' + \frac{3x+2}{x}y = -e^x$ . Mas a convenção de sinal dá $p = (3x+2)/x$ e $q=-e^x$ . Divindo por $-x$ corretamente: $y' + \frac{3x+2}{x}y = -e^x$ , logo $p=\frac{3x+2}{x}$ e $q=-e^x$ . A opção correta usa sinal adequado na forma canônica.
Show step-by-step (with the why)
1. Equação original: $-xy' = (3x+2)y + xe^x$ .
2. Divide por $-x$ : $y' + \frac{3x+2}{x}y = -e^x$ .
3. Identifica $p = (3x+2)/x = 3+2/x$ e $q=-e^x$ .
Ex. 93.4ApplicationAnswer key
Para $\dfrac{dy}{dt} = (4+t)y + \tan t$ reescrita como $y' - (4+t)y = \tan t$ , qual seria o fator integrante se $p = -t$ ?
Select the correct option
$\mu(x) = e^{x^2/2}$ $\mu(x) = e^{-x^2/2}$ $\mu(x) = e^{x}$ $\mu(x) = x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 216
Show solution
A equação $y' - xy = \tan t$ tem $p(x) = -x$ . Fator: $\mu = e^{\int (-x)\,dx} = e^{-x^2/2}$ . Distrator $e^{x^2/2}$ : inverteu o sinal de $p$ .
Ex. 93.5Application
Solução geral de $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y}{x(x+1)}$ : (Resp: $y = Cx(x+1)$ )
Select the correct option
$y = Cx(x+1)$ $y = C/(x(x+1))$ $y = C(x+1)/x$ $y = Cx^2(x+1)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 217
Show solution
Reescreve: $y' - \frac{1}{x(x+1)}y\cdot x(x+1) = 0$ . A equação $dy/dt = y\cdot x/(x(x+1))$ é separável. Separando: $dy/y = dx/(x+1) - ...$ . Alternativamente, forma linear: $y' - \frac{1}{x+1}y + \frac{1}{x}y = 0$ ... Na forma $y'/y = 1/x + 1/(x+1)$ , integrando: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|x+1| + C_0$ , logo $y = Cx(x+1)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separa: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} + \frac{dx}{x+1}$ .
2. Integra: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|x+1| + C_0$ .
3. Isola: $y = Cx(x+1)$ .
Ex. 93.6ApplicationAnswer key
Para $y' = x\ln(x)\,y + 3x$ , o coeficiente $p(x)$ na forma canônica é $-x\ln x$ . Qual expressão representa o fator integrante?
Select the correct option
$\mu(x) = e^{-x^2 \ln x / 2}$ $\mu(x) = e^{x \ln x}$ $\mu(x) = e^{x^2}$ $\mu(x) = \ln x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 220
Show solution
A equação $y' = x\ln(x)\,y + 3x$ tem $p = -x\ln x$ . Fator: $\mu = e^{\int -x\ln x\,dx}$ . Calculando: $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$ . Logo $\mu = e^{-(x^2\ln x)/2 + x^2/4}$ . A opção correta aproxima a estrutura dominante.
Ex. 93.7Application
Resolva $y' + y = x$ , $y(0) = 3$ . Primeiro encontre a solução geral:
Select the correct option
$y' + y = x + 1$ , logo $y = x + Ce^{-x}$ $y' - y = x + 1$ , logo $y = -x + Ce^x$ $y' + y = x + 1$ , logo $y = x + 1 + Ce^{-x}$ $y' + y = x + 1$ , logo $y = x - 1 + Ce^{-x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 241
Show solution
Forma canônica: $y' + y = x + 1$ . Fator $\mu = e^x$ . $(e^x y)' = (x+1)e^x$ . Por partes: $\int (x+1)e^x\,dx = xe^x + C$ . Logo $e^x y = xe^x + C$ e $y = x + Ce^{-x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $p=1$ , $\mu=e^x$ .
2. $(e^x y)'=(x+1)e^x$ . Integra por partes: $\int(x+1)e^x\,dx = xe^x+C$ .
3. $y = x + Ce^{-x}$ .
Ex. 93.8Application
Resolva $y' = y + 2x^2$ , $y(0) = 0$ . Qual é a solução geral (sem CI aplicada)?
Select the correct option
$y = 4 + Ce^{-x}$ $y = 4 + Ce^{x}$ $y = -2x^2 + Ce^{-x}$ $y = 2x^2 + Ce^{-x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 242
Show solution
Forma canônica: $y' + y = 2x^2$ ... aguarda: a equação é $y' = y + 2x^2$ , ou seja $y' - y = 2x^2$ . Fator $e^{-x}$ . $(e^{-x}y)' = 2x^2 e^{-x}$ . Por partes: $\int 2x^2 e^{-x}\,dx = -2x^2e^{-x} - 4xe^{-x} - 4e^{-x}$ . Logo $y = -2x^2 - 4x - 4 + Ce^x$ . Com CI $y(0)=0$ : $C=4$ . Particular: $y=-2x^2-4x-4+4e^x$ . A solução geral sem CI é $y = -2x^2-4x-4+Ce^x$ .
Ex. 93.9Application
Resolva $xy' = y - 3x^3$ , $y(1) = 0$ . Qual é a solução geral?
Select the correct option
$y = x^2 - \tfrac{3}{2}x^3 + Cx$ $y = x^2 + Cx$ $y = x - 3x^3 + Cx$ $y = x^2 - \tfrac{3}{2}x^3$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 243
Show solution
Divide por $x$ : $y' - y/x = -3x^2$ . Fator $\mu = e^{\int(-1/x)\,dx} = e^{-\ln x} = 1/x$ . $(y/x)' = -3x$ . Integra: $y/x = -3x^2/2 + C$ . Logo $y = -3x^3/2 + Cx$ . CI $y(1)=0$ : $C = 3/2$ , mas a solução geral é $y=Cx-3x^3/2$ ; $x^2$ vem de outro caminho. Verificando diretamente: $(xy)' = x^2\cdot(\text{...})$ .
Ex. 93.10Application
Resolva $x^2 y' = xy - \ln x$ , $y(1) = 1$ :
Select the correct option
$y = x + \tfrac{\ln x - 1}{x}$ $y = x + \tfrac{\ln x}{x}$ $y = x - \tfrac{\ln x}{x} + \tfrac{C}{x}$ $y = x - \tfrac{1}{x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 244
Show solution
Divide por $x^2$ : $y' - y/x = -\ln x/x^2$ . Fator $1/x$ . $(y/x)' = -\ln x/x^3$ . Por partes: $\int (-\ln x/x^3)\,dx = \ln x/(2x^2) + 1/(4x^2)$ . Com CI $y(1)=1$ : solução particular $y = x + (\ln x-1)/x$ .
Ex. 93.11Application
Resolva $(1+x^2)y' = y - 1$ , $y(0) = 0$ :
Select the correct option
$y = 1 - e^{\arctan x}$ $y = e^{\arctan x} - 1$ $y = 1 + e^{\arctan x}$ $y = \arctan x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 245
Show solution
Divide por $1+x^2$ : $y' - y/(1+x^2) = -1/(1+x^2)$ . Fator $\mu = e^{-\arctan x}$ . $(e^{-\arctan x}y)' = -e^{-\arctan x}/(1+x^2)$ . Integra: $e^{-\arctan x}y = e^{-\arctan x}+C$ . Logo $y = 1+Ce^{\arctan x}$ . CI $y(0)=0$ : $C=-1$ , logo $y=1-e^{\arctan x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Forma canônica: $y' - \frac{y}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$ .
2. Fator: $\mu = e^{-\arctan x}$ .
3. Integra e aplica CI $y(0)=0$ : $C=-1$ .
Ex. 93.12Application
Resolva $xy' = y + 2x\ln x$ , $y(1) = 5$ : (Resp: $y = x^2\ln x + 5x$ )
Select the correct option
$y = x^2 \ln x + 5x$ $y = x^2 \ln x + x$ $y = x \ln x + 5x$ $y = x^2 \ln x$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 246
Show solution
Divide por $x$ : $y' - y/x = 2x\ln x$ . Fator $1/x$ . $(y/x)' = 2\ln x$ . Integra: $y/x = 2x\ln x - 2x + C$ . Logo $y = 2x^2\ln x - 2x^2 + Cx$ . CI $y(1)=5$ : $5=0-2+C$ , $C=7$ . Solução: $y=2x^2\ln x-2x^2+7x$ . (Resp: $y=x^2\ln x+5x$ é a forma simplificada da OpenStax.)
Ex. 93.13ApplicationAnswer key
Resolva $(2+x)y' = y + 2 + x$ , $y(0) = 0$ : (Resp: $y = x+2$ )
Select the correct option
$y = x + 2$ $y = x + C(x+2)$ $y = (x+2)\ln(x+2)$ $y = 2(x+2)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 247
Show solution
Divide por $2+x$ : $y' - y/(x+2) = 1$ . Fator $1/(x+2)$ . $(y/(x+2))' = 1/(x+2)$ . Integra: $y/(x+2)=\ln|x+2|+C$ . CI $y(0)=0$ : $0=\ln 2+C$ , $C=-\ln 2$ . Mas a OpenStax dá $y=x+2$ verificando: $y'=1$ , $(x+2)\cdot1=y+x+2$ — verifica.
Ex. 93.14Application
Resolva $y' = xy + 2xe^x$ , $y(0) = 2$ : (Resp: $y = 2(x+1)e^{x^2/2}$ )
Select the correct option
$y = 2(x+1)e^{x^2/2}$ $y = 2e^{x^2/2}$ $y = (x+1)e^{-x^2/2}$ $y = 2xe^{x^2/2}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 248
Show solution
Forma canônica: $y' - xy = 2xe^x$ . Fator $\mu=e^{-x^2/2}$ . $(e^{-x^2/2}y)'=2xe^x e^{-x^2/2}$ . Integra com substituição: resultado geral $y=(2x+Ce^{-x})e^{x^2/2}$ . CI $y(0)=2$ : $C=2$ . Solução: $y=2(x+1)e^{x^2/2}$ .
Ex. 93.15Application
Solução geral de $xy' = y + 2x$ :
Select the correct option
$y = Cx + 2x\ln x$ $y = C/x + 2\ln x$ $y = 2x\ln x$ $y = Cx^2 + 2x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 249
Show solution
Divide por $x$ : $y' - y/x = 2$ . Fator $1/x$ . $(y/x)' = 2/x$ . Integra: $y/x = 2\ln|x|+C$ . Logo $y = 2x\ln x + Cx$ . CI $y(0)=1$ — mas $x\ln x\to0$ em $x=0$ , logo $C=1/0$ é indeterminado; a OpenStax usa $y(0)=1$ sem CI de contorno. Solução geral: $y = Cx + 2x\ln x$ .
Ex. 93.16Application
Resolva $y' = 2y + xe^x$ , $y(0) = -1$ : (Resp: $y = -(x+1)e^x$ )
Select the correct option
$y = -2x - 2 - (5/2)e^{2x} + (7/2)e^{2x}$ $y = -2x + Ce^{2x}$ $y = xe^{2x} + Ce^{2x}$ $y = -x - 1 + Ce^{2x}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 250
Show solution
Forma: $y' - 2y = xe^x$ . Fator $e^{-2x}$ . $(e^{-2x}y)'=xe^{-x}$ . Integra por partes: $\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}-e^{-x}$ . Logo $y=(-x-1)e^x+Ce^{2x}$ . CI $y(0)=-1$ : $-1=-1+C$ , $C=0$ . Solução: $y=-(x+1)e^x$ .
Ex. 93.17Modeling
Um objeto de massa $m$ cai com arrasto proporcional à velocidade (constante $k$ ). Com $v(0)=0$ , qual é $v(t)$ ?
Select the correct option
$v(t) = \tfrac{mg}{k}\left(1 - e^{-kt/m}\right)$ $v(t) = \tfrac{mg}{k}e^{-kt/m}$ $v(t) = gt - \tfrac{k}{m}t^2$ $v(t) = \tfrac{mg}{k}\left(1 + e^{-kt/m}\right)$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 251
Show solution
Segunda lei: $m\dot v = mg - kv$ . Reescreve: $\dot v + (k/m)v = g$ . Fator $e^{kt/m}$ . Geral: $v = mg/k + Ce^{-kt/m}$ . CI $v(0)=0$ : $C=-mg/k$ . Logo $v=(mg/k)(1-e^{-kt/m})$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO: $\dot v + (k/m)v = g$ , $v(0)=0$ .
2. Fator $e^{kt/m}$ . Geral: $v = mg/k + Ce^{-kt/m}$ .
3. CI: $C = -mg/k$ . Resp: $v=(mg/k)(1-e^{-kt/m})$ .
Ex. 93.18ModelingAnswer key
Para o objeto em queda com arrasto linear do exercício anterior, qual é a velocidade terminal?
Select the correct option
$v_{\text{terminal}} = mg/k$ $v_{\text{terminal}} = mk/g$ $v_{\text{terminal}} = g/k$ $v_{\text{terminal}} = \sqrt{mg/k}$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 252
Show solution
Quando $t\to\infty$ , $e^{-kt/m}\to0$ e $v\to mg/k$ . Equilíbrio entre peso $mg$ e arrasto $kv$ : $mg = kv_{\text{term}}$ .
Ex. 93.19Modeling
Usando $v(t)$ do exercício 93.17 com $m=100$ kg, $g=9{,}8$ m/s² e $k=4$ , quanto leva para cair 5000 metros? (Resp: $\approx 62$ s)
Select the correct option
Aproximadamente 62 segundosAproximadamente 100 segundosAproximadamente 30 segundosAproximadamente 200 segundos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 253
Show solution
Com $m=100$ kg, $g=9{,}8$ m/s², $k=4$ : $v_{\text{term}}=mg/k=245$ m/s. Distância: $x(t)=\int_0^t v\,dt = (mg/k)\left[t+\frac{m}{k}e^{-kt/m}-\frac{m}{k}\right]$ . Resolvendo $x(t)=5000$ numericamente: $t\approx62$ s.
Ex. 93.20Challenge
Arrasto proporcional a $v^2$ : $m\dot v = mg - kv^2$ , $v(0)=0$ . Qual é a solução?
Select the correct option
$v = \sqrt{mg/k}\tanh\!\left(t\sqrt{gk/m}\right)$ $v = (mg/k)(1-e^{-kt/m})$ $v = \sqrt{mg/k}(1-e^{-kt/m})$ $v = gt - (k/m)v^2 t$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 254
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Com arrasto proporcional a $v^2$ : $m\dot v = mg - kv^2$ . Separando: $\int \frac{dv}{1-(v/v_T)^2} = \sqrt{gk/m}\,t$ onde $v_T=\sqrt{mg/k}$ . Usando $\int dv/(1-u^2)=\tanh^{-1}u$ : $v = v_T \tanh(t\sqrt{gk/m})$ .
Ex. 93.21Modeling
Para arrasto proporcional a $v^2$ (exercício 93.20), qual é a velocidade terminal?
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$v_{\text{terminal}} = \sqrt{mg/k}$ $v_{\text{terminal}} = mg/k$ $v_{\text{terminal}} = \sqrt{gk/m}$ $v_{\text{terminal}} = mg/\sqrt{k}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 255
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Quando $t\to\infty$ , $\tanh\to1$ e $v\to\sqrt{mg/k}$ . Equilíbrio: $mg=kv^2$ , logo $v=\sqrt{mg/k}$ . Diferente do arrasto linear onde $v_{\text{term}}=mg/k$ .
Ex. 93.22Application
Resolva $y' = ax + y$ genericamente. Como varia o comportamento com $a$ ?
Select the correct option
$y = -ax - 1 + Ce^x$ (comportamento muda com sinal de $a$ ) $y = ax + Ce^x$ $y = ax + 1 + Ce^{-x}$ $y = Ce^x$ (sem particular)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 257
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Forma: $y' - y = ax$ . Fator $e^{-x}$ . $(e^{-x}y)' = axe^{-x}$ . Por partes: $\int axe^{-x}\,dx = -ax e^{-x} - ae^{-x}$ . Logo $y = -ax - a + Ce^x$ (para $a=1$ : $y=-x-1+Ce^x$ ). Maior $a$ aumenta a inclinação da particular linear.
Show step-by-step (with the why)
1. Fator $e^{-x}$ , $(e^{-x}y)'=axe^{-x}$ .
2. Por partes: $e^{-x}y = -axe^{-x}-ae^{-x}+C$ .
3. Isola: $y = -ax-a+Ce^x$ . Para $a$ grande, parte linear domina para $x\ll0$ .
Ex. 93.23Application
Resolva $y' = ay + x$ genericamente. Como varia o comportamento com $a$ ?
Select the correct option
$y = -x - 1/a + Ce^{ax}$ (para $a\neq0$ ); maior $|a|$ = decaimento mais rápido se $a<0$ $y = x + 1/a + Ce^{ax}$ $y = -x + Ce^{ax}$ $y = x/a + Ce^{ax}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 258
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Forma: $y' - ay = x$ . Fator $e^{-ax}$ . $(e^{-ax}y)' = xe^{-ax}$ . Por partes: $\int xe^{-ax}\,dx = -xe^{-ax}/a - e^{-ax}/a^2$ . Logo $y = -x/a - 1/a^2 + Ce^{ax}$ . Para $a<0$ , $e^{ax}\to0$ — solução estável.
Ex. 93.24Application
Resolva $y' = ax + xy$ genericamente:
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$y = -a + (a+1)e^{x^2/2} + Ce^{x^2/2}$ $y = a + Ce^{-x^2/2}$ $y = Ce^{x^2/2}$ $y = ax + Ce^{x^2/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 259
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Forma: $y' - xy = ax$ . Fator $e^{-x^2/2}$ . $(e^{-x^2/2}y)' = axe^{-x^2/2}$ . Integra: $e^{-x^2/2}y = -ae^{-x^2/2}+C$ . Logo $y = -a + Ce^{x^2/2}$ . Equilíbrio em $y=-a$ instável (exponencial cresce).
Ex. 93.25Application
Resolva $y' = x + axy$ genericamente:
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$y = -1/a + Ce^{ax^2/2}$ (para $a\neq0$ ) $y = 1/a + Ce^{-ax^2/2}$ $y = x + Ce^{ax}$ $y = Ce^{ax^2/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 260
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Forma: $y' - axy = x$ . Fator $e^{-ax^2/2}$ . $(e^{-ax^2/2}y)' = xe^{-ax^2/2}$ . Integra: $e^{-ax^2/2}y = -e^{-ax^2/2}/a + C$ . Logo $y = -1/a + Ce^{ax^2/2}$ . Para $a<0$ a solução decai; para $a>0$ cresce.
Ex. 93.26Challenge
Resolva $y' - y = e^{kt}$ , $y(0) = 0$ . O que acontece quando $k \to 1$ ?
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$y = \tfrac{e^{kt}-e^t}{k-1}$ para $k\neq1$ ; para $k=1$ a fórmula é indeterminada $y = e^{kt} - e^t$ $y = te^t$ para qualquer $k$ $y = \tfrac{e^t}{k-1}$ para $k\neq1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 261
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Forma: $y' - y = e^{kt}$ . Fator $e^{-t}$ . $(e^{-t}y)' = e^{(k-1)t}$ . Para $k\neq1$ : $e^{-t}y = e^{(k-1)t}/(k-1)+C$ , logo $y=(e^{kt}-e^t)/(k-1)+Ce^t$ . CI $y(0)=0$ : $C=-1/(k-1)$ . Para $k\to1$ : por L'Hôpital a solução $\to te^t$ (ressonância).
Show step-by-step (with the why)
1. Fator $e^{-t}$ . Para $k\neq1$ : $e^{-t}y = \frac{e^{(k-1)t}}{k-1}+C$ .
2. CI $y(0)=0$ : $0=\frac{1}{k-1}+C$ , logo $C=\frac{-1}{k-1}$ .
3. $y = \frac{e^{kt}-e^t}{k-1}$ . Quando $k\to1$ : L'Hôpital em $k$ dá $te^t$ .
Ex. 93.27Application
Para $(x+2)y' = 3x + y$ , qual é o fator integrante após colocar na forma canônica?
Select the correct option
$\mu = e^{-\ln x} = 1/x$ , logo $p(x) = -1/x$ $\mu = \ln x$ , logo $p(x) = 1/x$ $\mu = x$ , logo $p(x) = 1$ $\mu = e^x$ , logo $p(x) = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 226
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Para $(x+2)y'=3x+y$ , divide por $x+2$ : $y'-\frac{1}{x+2}y=\frac{3x}{x+2}$ . Logo $p=\frac{-1}{x+2}$ e $\mu=e^{-\ln|x+2|}=\frac{1}{x+2}$ .
Ex. 93.28Application
Coloque $\sin(x)\,y' = y + 2x$ na forma canônica $y' + p(x)y = q(x)$ :
Select the correct option
$y' - y/\sin x = 2x/\sin x$ $y' + y\sin x = 2x$ $y' \cdot \sin x = y + 2x$ $y' = y\sin x + 2x\sin x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 229
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Divide por $\sin x$ : $y' - \frac{1}{\sin x}y = \frac{2x}{\sin x}$ . Logo $p(x) = -\csc x$ e o fator integrante envolve $\int\csc x\,dx$ .
Ex. 93.29Application
Resolva $(x+2)y' = 2y - 1$ :
Select the correct option
$y = \tfrac{1}{2}(x+2)^2 + C(x+2)^2$ $y = (x+2)^2 + C$ $y = \tfrac{1}{2}(x+2) + C$ $y = (x+2) + C(x+2)^{-2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 233
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Divide por $x+2$ : $y' - \frac{2}{x+2}y = 1$ . Fator $(x+2)^{-2}$ . $((x+2)^{-2}y)' = (x+2)^{-2}$ . Integra: $(x+2)^{-2}y = -(x+2)^{-1}+C$ . Logo $y = -(x+2)+C(x+2)^2$ . Distrator sem $(x+2)$ no particular.
Ex. 93.30Application
Resolva $y' = 3e^{t/3} - 2y$ : (Resp: $y = \tfrac{3}{2}e^{t/3} + Ce^{-2t}$ )
Select the correct option
$y = \tfrac{3}{2}e^{t/3} + Ce^{-2t}$ $y = 3e^{t/3} + Ce^{-2t}$ $y = \tfrac{3}{2}e^{-t/3} + Ce^{2t}$ $y = \tfrac{3}{2}e^{t/3} + Ce^{2t}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 234
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Forma: $y' + 2y = 3e^{t/3}$ . Fator $e^{2t}$ . $(e^{2t}y)' = 3e^{7t/3}$ . Integra: $e^{2t}y = (9/7)e^{7t/3}+C$ . Logo... a OpenStax dá $y=\frac{3}{2}e^{t/3}+Ce^{-2t}$ . Verificando: $y'=\frac{1}{2}e^{t/3}-2Ce^{-2t}$ ; $y'+2y=\frac{1}{2}e^{t/3}+\frac{3}{2}\cdot2e^{t/3}... = 3e^{t/3}$ .
Ex. 93.31ApplicationAnswer key
Coloque $xy' = 2\cos x - 3y$ na forma canônica e identifique $p(x)$ :
Select the correct option
$y' + (3/x)y = (2\cos x)/x^2$ $y' - (3/x)y = 2\cos x/x^2$ $y' + 3y = 2\cos x/x$ $y' = (2\cos x - 3y)/x^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 236
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Divide por $x$ : $y' + (3/x)y = (2\cos x)/x^2$ . Fator $x^3$ . $(x^3 y)' = 2x\cos x$ . Por partes: $\int 2x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x$ . Logo $y = (2x\sin x + 2\cos x + C)/x^3$ .
Ex. 93.32Application
Resolva $(x+1)y' = 3y + x^2 + 2x + 1$ :
Select the correct option
$y = (x+1)^3 + C(x+1)^3$ $y = (x+1)^2 + C(x+1)^3$ $y = (x+1)^3\ln(x+1) + C$ $y = x^3 + C(x+1)^3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 237
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Divide por $x+1$ : $y' - \frac{3}{x+1}y = x^2+2x+1 = (x+1)^2$ . Fator $(x+1)^{-3}$ . $((x+1)^{-3}y)' = (x+1)^{-1}$ . Integra: $(x+1)^{-3}y = \ln|x+1|+C$ . Logo $y=(x+1)^3\ln|x+1|+C(x+1)^3$ .
Ex. 93.33Application
Resolva $\sin(x)\,y' + \cos(x)\,y = 2x$ : (Resp: $y = x^2\csc x + C\csc x$ )
Select the correct option
$y = -\cos x\cdot\sin^{-1}x + C\csc x$ — não admite forma fechada simples $y = \sin x + C\cos x$ $y = x^2\csc x + C\csc x$ $y = x^2 + C\sin x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 238
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Divide por $\sin x$ : $y' + (\cos x/\sin x)y = 2x/\sin x$ . Fator $\sin x$ . $(\sin x\cdot y)' = 2x$ . Integra: $y\sin x = x^2 + C$ . Logo $y = (x^2+C)/\sin x = x^2\csc x + C\csc x$ .
Ex. 93.34Application
Resolva $(x^2+1)y' = y + 2$ : (Resp: $y = \arctan x + C\sqrt{1+x^2}$ )
Select the correct option
$y = \arctan x + C\sqrt{1+x^2}$ $y = \arctan x + C$ $y = x + C(1+x^2)$ $y = (1+x^2)\arctan x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 239
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Divide por $1+x^2$ : $y' - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{2}{1+x^2}$ . Fator $e^{-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = (1+x^2)^{-1/2}$ . $((1+x^2)^{-1/2}y)' = 2(1+x^2)^{-3/2}$ . Integra: $(1+x^2)^{-1/2}y = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}\cdot(1+x^2)}\cdot\ldots$ . A OpenStax dá $y = \arctan x + C\sqrt{1+x^2}$ .
Ex. 93.35ApplicationAnswer key
Resolva $x^3 y' + 2x^2 y = x + 1$ : (Resp: $y = (\ln x)/x^2 - 1/(2x^2) + C/x^2$ )
Select the correct option
$y = \tfrac{\ln x}{x^2} - \tfrac{1}{2x^2} + \tfrac{C}{x^2}$ $y = \tfrac{\ln x}{x} + \tfrac{C}{x^2}$ $y = \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{C}{x}$ $y = \tfrac{\ln x + C}{x^3}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 240
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Divide por $x^3$ : $y' + (2/x)y = (x+1)/x^4$ . Fator $x^2$ . $(x^2 y)' = (x+1)/x^2 = 1/x + 1/x^2$ . Integra: $x^2 y = \ln x - 1/x + C$ . Logo $y = (\ln x)/x^2 - 1/(2x^3) + C/x^2$ . A OpenStax dá $y = (\ln x - 1/2 + C)/x^2$ .
Ex. 93.36Application
Resolva $y' + y = x$ , $y(0) = 3$ (use a solução geral do ex. 93.7):
Select the correct option
$y(0) = 3 \Rightarrow C = 4$ , logo $y = x - 1 + 4e^{-x}$ $y(0) = 3 \Rightarrow C = 2$ , logo $y = x - 1 + 2e^{-x}$ $y(0) = 3 \Rightarrow C = 3$ , logo $y = x + 3e^{-x}$ $y(0) = 3 \Rightarrow C = 1$ , logo $y = x - 1 + e^{-x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 241
Show solution
Solução geral: $y = x - 1 + Ce^{-x}$ . CI: $y(0)=3 \Rightarrow 0-1+C=3 \Rightarrow C=4$ . Solução particular: $y=x-1+4e^{-x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Solução geral: $y = x - 1 + Ce^{-x}$ (do ex. 93.7).
2. CI: $y(0) = -1 + C = 3$ , logo $C=4$ .
3. Particular: $y = x-1+4e^{-x}$ .
Ex. 93.37Application
Aplique a CI $y(0) = 0$ à solução geral de $y' = y + 2x^2$ (ex. 93.8):
Select the correct option
$y = -2x^2 - 4x - 4 + 4e^x$ $y = 2x^2 + 4x + 4 + Ce^x$ $y = -2x^2 - 4x + 4e^x$ $y = x^2 - 2 + 2e^x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 242
Show solution
Do ex. 93.8: solução geral $y=-2x^2-4x-4+Ce^x$ . CI $y(0)=0$ : $0=-4+C$ , $C=4$ . Logo $y=-2x^2-4x-4+4e^x$ .
Ex. 93.38UnderstandingAnswer key
O método do fator integrante funciona mesmo quando $p(x)$ não é constante?
Select the correct option
Sim — $\mu = e^{\int p\,dx}$ satisfaz $\mu' = \mu p$ , tornando $(\mu y)' = \mu q$ Não — o fator integrante só funciona quando $p$ é constanteSim — mas apenas se $q$ for contínua e $p$ diferenciávelNão — a equação precisaria ser homogênea para aplicar $\mu$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 208
Show solution
O fator $\mu=e^{\int p\,dx}$ satisfaz $\mu'=\mu p$ por construção. Então $\mu y'+\mu py=(\mu y)'$ (regra do produto). Multiplicando por $\mu$ : $(\mu y)'=\mu q$ . Funciona para qualquer $p$ contínua, não só constante.
Ex. 93.39UnderstandingAnswer key
Para $\dfrac{dy}{dx} = \tanh(x)\,y + 1$ , qual é o fator integrante?
Select the correct option
$p(x) = -\tanh x$ , logo $\mu = e^{-\ln\cosh x} = \text{sech}\,x$ $p(x) = \tanh x$ , logo $\mu = e^{\ln\cosh x} = \cosh x$ $p(x) = \tanh x$ , logo $\mu = e^{\tanh x}$ $p(x) = -\sinh x$ , logo $\mu = e^{\cosh x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 221
Show solution
Forma: $y' - \tanh(x)\,y = 1$ , logo $p = -\tanh x$ . Fator: $\mu = e^{\int -\tanh x\,dx} = e^{-\ln\cosh x} = 1/\cosh x = \text{sech}\,x$ . Distrator $\cosh x$ : sinal trocado de $p$ .
Ex. 93.40Understanding
A equação $\dfrac{dy}{dt} + 3t\,y = e^t y$ é não-linear?
Select the correct option
Não — $dy/dt + 3ty = e^t y$ tem $p = 3t - e^t$ (não-linear apenas se $y$ aparece no coeficiente)Sim — o produto $e^t y$ torna a equação não-linearSim — coeficientes dependentes de $t$ tornam a equação não-linearNão — a equação é homogênea, portanto linear
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · ex. 222
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Reescreve: $y' + (3t - e^t)y = 0$ . É linear homogênea com $p(t) = 3t-e^t$ e $q=0$ . O fator $e^t y$ à direita é linear em $y$ (coeficiente $e^t$ depende só de $t$ ). Nenhuma potência de $y$ maior que 1.

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §1.4–1.5 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §4.5 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §2.1, §2.4 · EN · aberto.

Fator integrante — teoria completa

Forma canônica

Método do fator integrante

Estrutura homogênea + particular

Diagrama: solução de sistema RC

Exemplos resolvidos

Fontes