v1 · padrão canônico

Lesson 95 — Linear 2nd-order ODEs with constant coefficients

ay'' + by' + cy = 0. Characteristic equation and three regimes: distinct real roots, double real root, conjugate complex roots.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III (advanced, Japanese) · Leistungskurs German Klasse 12

ay'' + by' + cy = 0 \;\Longrightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

A substituição $y = e^{\lambda x}$ transforma a EDO num problema algébrico: a equação característica $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ . Os três casos pelo discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ geram soluções qualitativamente distintas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Equação caracteristica — tres casos

Problema geral

Ansatz e equação característica

Substitua $y = e^{\lambda x}$ : $y' = \lambda e^{\lambda x}$ , $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ .

$a\lambda^2 e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \;\Rightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

Como $e^{\lambda x} \neq 0$ , tudo se reduz à equação algébrica quadrática.

"If $b^2 - 4ac > 0$ , the characteristic equation has two distinct real roots $r_1, r_2$ , and the general solution of [the ODE] is $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2

O caso da raiz dupla

Diagrama qualitativo — comportamento por caso

Perfis qualitativos: caso 1 (exponencial puro), caso 2 (fronteira crítica), caso 3 (oscilatório).

Equações não-homogêneas

Para $ay'' + by' + cy = q(x)$ : solução geral $y = y_h + y_p$ .

$y_h$ : solução da equação homogênea (dois parâmetros livres).

$y_p$ : qualquer solução particular — obtida por coeficientes a determinar (quando $q$ é combinação de polinômio, exponencial, seno/cosseno) ou variação de parâmetros (geral).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Caso 1 — raizes reais distintas

Problema. Resolva $y'' - 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 3$ .

Estratégia. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : dois reais distintos.

Resolução.

Equação característica: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ .

$\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ . Solução geral: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$ .

$y(0) = C_1 + C_2 = 2$ .

$y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3$ .

Sistema: $C_1 = 3$ , $C_2 = -1$ .

$y = 3e^{2x} - e^{3x}$

Verificação. $y'' - 5y' + 6y = (12-15+6\cdot 3)e^{2x} + (-9+15-6)e^{3x} = 12e^{2x} \cdot 0 + 0 = 0$ . $y(0) = 3 - 1 = 2$ , $y'(0) = 6 - 3 = 3$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Caso 2 — raiz dupla

Problema. Resolva $y'' - 4y' + 4y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

Estratégia. $\Delta = 16 - 16 = 0$ : raiz dupla.

Resolução.

$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 2$ .

$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y'(0) = C_2 + 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$ .

$y = (1 - 2x)e^{2x}$

Verificação. $y' = -2e^{2x} + 2(1-2x)e^{2x} = (2-4x-2)e^{2x} = -4xe^{2x}$ . $y'' = -4e^{2x} - 8xe^{2x}$ . $y''-4y'+4y = (-4-8x)e^{2x} - 4(-4x)e^{2x} + 4(1-2x)e^{2x} = (-4-8x+16x+4-8x)e^{2x} = 0$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Caso 3 — complexas conjugadas (oscilacao amortecida)

Problema. Resolva $y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Estratégia. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : complexas. $\alpha = -1$ , $\beta = 2$ .

Resolução.

$\lambda = (-2 \pm \sqrt{-16})/2 = -1 \pm 2i$ .

$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$ .

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 3/2$ .

$y = e^{-x}\!\left(\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x\right)$

Verificação. A equação característica tem raízes $-1 \pm 2i$ , ambas com parte real $-1 < 0$ : solução decai exponencialmente. $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1 + 3 = 2$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.3 — CC-BY-SA.

Example— 4· Não-homogenea por coeficientes a determinar

Problema. Resolva $y'' - y' - 2y = e^{3x}$ .

Estratégia. $y = y_h + y_p$ . Para $q = e^{3x}$ e $3$ não é raiz da característica: tentativa $y_p = Ae^{3x}$ .

Resolução.

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0$ . $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$ .

Tentativa: $y_p = Ae^{3x}$ . Substitua:

$9Ae^{3x} - 3Ae^{3x} - 2Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$ .

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{4}e^{3x}$

Verificação. $y_p'' - y_p' - 2y_p = (9/4 - 3/4 - 2/4)e^{3x} = (9-3-2)/4\,e^{3x} = e^{3x}$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· Não-homogenea com ressonancia (regra de modificacao)

Problema. Resolva $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ .

Estratégia. Tente $y_p = Ae^{2x}$ — mas $\lambda = 2$ é raiz característica! Regra de modificação: multiplique por $x$ .

Resolução.

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0$ . $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ .

$\lambda = 2$ é raiz simples: tente $y_p = Axe^{2x}$ .

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$ , $y_p'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$ .

$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4A + 4Ax)e^{2x} - (3A + 6Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = Ae^{2x}$ .

$A = 1$ . Logo $y_p = xe^{2x}$ .

$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}$

Verificação. $y_p = xe^{2x}$ : $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4+4x)e^{2x} - 3(1+2x)e^{2x} + 2xe^{2x} = (4+4x-3-6x+2x)e^{2x} = e^{2x}$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.2 — CC-BY-SA.

Exercise list

41 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 35Understanding 3Modeling 2Proof 1

Ex. 95.1Understanding
Classifique a equação $x^3 y'' + (x-1)y' - 8y = 0$ :
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Linear de 2ª ordem, coeficientes variáveis, homogêneaLinear de 1ª ordemNão linear, pois contém $y^2$ Linear de 2ª ordem, coeficientes constantes
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 1
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A equação $x^3 y'' + (x-1)y' - 8y = 0$ é linear de 2ª ordem (coeficientes de $y''$ , $y'$ e $y$ são funções de $x$ ), portanto coeficientes variáveis. É homogênea pois o lado direito é zero.
Ex. 95.2Understanding
Classifique a equação $(1+y^2)y'' + xy' - 3y = \cos x$ :
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Não linear, pois contém $y^2$ Linear de 2ª ordem, coeficientes constantesLinear de 2ª ordem, coeficientes variáveisLinear de 1ª ordem
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 2
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A equação $(1+y^2)y'' + xy' - 3y = \cos x$ contém o fator $y^2$ multiplicando $y''$ . Para ser linear, os coeficientes de $y''$ , $y'$ e $y$ devem depender apenas de $x$ , não de $y$ . Portanto, é não linear.
Ex. 95.3Understanding
Classifique a equação $y'' + 4xy' - 8xy = 5x^2 + 1$ :
Select the correct option
Linear de 2ª ordem, coeficientes variáveis, não homogêneaLinear de 2ª ordem, coeficientes constantes, homogêneaNão linearLinear de 1ª ordem
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 4
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A equação $y'' + 4xy' - 8xy = 5x^2 + 1$ é linear (coeficientes $4x$ e $-8x$ dependem de $x$ ), de 2ª ordem (grau de $y''$ ), não homogênea pois o lado direito $5x^2+1 \neq 0$ .
Ex. 95.4Application
Solução geral de $y'' + 2y' - 3y = 0$ : (Resp: $y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x}$ )
Select the correct option
$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x}$ $y = e^{-x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{x}$
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OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 7
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 2\lambda - 3 = (\lambda-1)(\lambda+3) = 0$ . Raízes reais distintas $\lambda_1=1$ , $\lambda_2=-3$ . Solução geral: $y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Equação característica: $\lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0$ .
2. Discriminante: $\Delta = 4 + 12 = 16 > 0$ — dois reais distintos.
3. Fatoriza: $(\lambda - 1)(\lambda + 3) = 0$ , raízes $\lambda = 1$ e $\lambda = -3$ .
4. Geral: $y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x}$ .
Ex. 95.5ApplicationAnswer key
Solução geral de $y'' + 14y' + 49y = 0$ : (Resp: $y = C_1 e^{-7x} + C_2 x e^{-7x}$ )
Select the correct option
$y = C_1 e^{-7x} + C_2 x e^{-7x}$ $y = C_1 e^{7x} + C_2 e^{-7x}$ $y = e^{-7x}(C_1\cos 7x + C_2\sin 7x)$ $y = C_1 e^{-7x} + C_2 e^{7x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 9
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 14\lambda + 49 = (\lambda+7)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = -7$ . Solução: $y = (C_1 + C_2 x)e^{-7x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Equação característica: $\lambda^2 + 14\lambda + 49 = 0$ .
2. Discriminante: $\Delta = 196 - 196 = 0$ — raiz dupla.
3. Raiz: $\lambda = -7$ . Caso $\Delta=0$ : segunda solução tem fator $x$ .
4. Geral: $y = C_1 e^{-7x} + C_2 x e^{-7x}$ .
Ex. 95.6Application
Solução geral de $6y'' - 49y' + 8y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{x/6} + C_2 e^{8x}$ $y = C_1 e^{6x} + C_2 e^{8x}$ $y = C_1 e^{-x/6} + C_2 e^{-8x}$ $y = e^{x/6}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 10
Show solution
Equação característica: $6\lambda^2 - 49\lambda + 8 = 0$ . Pela fórmula quadrática: $\lambda = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 192}}{12} = \frac{49 \pm 47}{12}$ . Raízes: $\lambda_1 = \frac{1}{6}$ e $\lambda_2 = 8$ . Geral: $y = C_1 e^{x/6} + C_2 e^{8x}$ .
Ex. 95.7Application
Solução geral de $y'' - 3y' - 10y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-2x}$ $y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^{2x}$ $y = e^{3x/2}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 11
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 - 3\lambda - 10 = (\lambda-5)(\lambda+2) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 5$ , $\lambda_2 = -2$ . Geral: $y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-2x}$ .
Ex. 95.8Application
Solução geral de $y'' - 7y' + 12y = 0$ : (Resp: $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}$ )
Select the correct option
$y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}$ $y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{-4x}$ $y = e^{7x/2}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{7x/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 12
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 - 7\lambda + 12 = (\lambda-3)(\lambda-4) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 4$ . Geral: $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Discriminante: $\Delta = 49 - 48 = 1 > 0$ — dois reais distintos.
2. Raízes: $\lambda = \frac{7 \pm 1}{2}$ , portanto $\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 4$ .
3. Geral: $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}$ .
Ex. 95.9Application
Solução geral de $y'' + 4y' + 4y = 0$ :
Select the correct option
$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$ $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$ $y = e^{-2x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 13
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 4\lambda + 4 = (\lambda+2)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = -2$ . Solução: $y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$ .
Ex. 95.10Application
Solução geral de $4y'' - 12y' + 9y = 0$ : (Resp: $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x/2}$ )
Select the correct option
$y = \left(C_1 + C_2 x\right)e^{3x/2}$ $y = C_1 e^{3x/2} + C_2 e^{-3x/2}$ $y = e^{3x/2}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 14
Show solution
Equação característica: $4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = (2\lambda - 3)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 3/2$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x/2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Equação característica: $4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 0$ .
2. Discriminante: $\Delta = 144 - 144 = 0$ — raiz dupla.
3. Raiz: $\lambda = 12/8 = 3/2$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x/2}$ .
Ex. 95.11ApplicationAnswer key
Solução geral de $2y'' - 3y' - 5y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{5x/2} + C_2 e^{-x}$ $y = C_1 e^{-5x/2} + C_2 e^{x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x/4}$ $y = e^{3x/4}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 15
Show solution
Equação característica: $2\lambda^2 - 3\lambda - 5 = (2\lambda-5)(\lambda+1) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 5/2$ e $\lambda_2 = -1$ . Geral: $y = C_1 e^{5x/2} + C_2 e^{-x}$ .
Ex. 95.12Application
Solução geral de $3y'' - 14y' + 8y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{2x/3} + C_2 e^{4x}$ $y = C_1 e^{3x/2} + C_2 e^{4x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{7x/3}$ $y = e^{7x/3}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 16
Show solution
Equação característica: $3\lambda^2 - 14\lambda + 8 = (3\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 2/3$ e $\lambda_2 = 4$ . Geral: $y = C_1 e^{2x/3} + C_2 e^{4x}$ .
Ex. 95.13ApplicationAnswer key
Solução geral de $y'' + y' + y = 0$ : (Resp: oscilação amortecida com $\alpha = -1/2$ )
Select the correct option
$y = e^{-x/2}\!\left(C_1\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$ $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{-1/2}$ $y = e^{x/2}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 17
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$ . Discriminante: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ . Raízes complexas: $\lambda = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ . Logo $\alpha = -1/2$ , $\beta = \sqrt{3}/2$ . Geral: $y = e^{-x/2}(C_1\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Discriminante: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ — raízes complexas conjugadas.
2. Raízes: $\lambda = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ . Parte real $\alpha = -1/2$ , parte imaginária $\beta = \sqrt{3}/2$ .
3. Geral: $y = e^{-x/2}\!\left(C_1\cos\tfrac{\sqrt{3}}{2}x + C_2\sin\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)$ .
Ex. 95.14ApplicationAnswer key
Solução geral de $5y'' + 2y' + 4y = 0$ :
Select the correct option
$y = e^{-x/5}\!\left(C_1\cos\frac{\sqrt{19}}{5}x + C_2\sin\frac{\sqrt{19}}{5}x\right)$ $y = C_1 e^{x/5} + C_2 e^{-x/5}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x/5}$ $y = e^{x/5}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 18
Show solution
Equação característica: $5\lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0$ . Discriminante: $\Delta = 4 - 80 = -76 < 0$ . Raízes: $\lambda = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{19}}{10} = -\frac{1}{5} \pm \frac{\sqrt{19}}{5}i$ . Geral: $y = e^{-x/5}\!\left(C_1\cos\tfrac{\sqrt{19}}{5}x + C_2\sin\tfrac{\sqrt{19}}{5}x\right)$ .
Ex. 95.15Application
Solução geral de $y'' - 121y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{11x} + C_2 e^{-11x}$ $y = C_1\cos 11x + C_2\sin 11x$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{11x}$ $y = e^{11x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 19
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 - 121 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 11$ . Dois reais distintos: $\lambda_1 = 11$ , $\lambda_2 = -11$ . Geral: $y = C_1 e^{11x} + C_2 e^{-11x}$ .
Ex. 95.16Application
Solução geral de $8y'' + 14y' - 15y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{5x/8} + C_2 e^{-3x}$ $y = C_1 e^{-5x/8} + C_2 e^{3x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{19x/16}$ $y = e^{19x/16}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 20
Show solution
Equação característica: $8\lambda^2 + 14\lambda - 15 = 0$ . Pela fórmula quadrática: $\lambda = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 480}}{16} = \frac{-14 \pm 26}{16}$ . Raízes: $\lambda_1 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ ... (verificar), $\lambda_2 = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$ . Geral com raízes $5/8$ e $-3$ (factoring $(8\lambda - 5)(\lambda + 3) = 0$ ).
Ex. 95.17ApplicationAnswer key
Solução geral de $y'' + 81y = 0$ : (Resp: $y = C_1\cos 9x + C_2\sin 9x$ )
Select the correct option
$y = C_1\cos 9x + C_2\sin 9x$ $y = C_1 e^{9x} + C_2 e^{-9x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{9x}$ $y = C_1\cos 81x + C_2\sin 81x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 21
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 81 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 9i$ . Raízes puramente imaginárias: $\alpha = 0$ , $\beta = 9$ . Geral: $y = C_1\cos 9x + C_2\sin 9x$ — oscilação pura.
Ex. 95.18Application
Solução geral de $y'' - 6y' + 9y = 0$ :
Select the correct option
$y = e^{3x}(C_1 + C_2 x)$ $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}$ $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 24
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 3$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x}$ .
Ex. 95.19Application
Solução geral de $3y'' - 2y' - 7y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{7x/3} + C_2 e^{-x}$ $y = C_1 e^{-7x/3} + C_2 e^{x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x/3}$ $y = e^{2x/3}(C_1\cos x + C_2\sin x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 25
Show solution
Equação característica: $3\lambda^2 - 2\lambda - 7 = (3\lambda - 7)(\lambda + 1) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 7/3$ e $\lambda_2 = -1$ . Geral: $y = C_1 e^{7x/3} + C_2 e^{-x}$ .
Ex. 95.20Application
Solução geral de $4y'' - 10y' = 0$ : (Resp: $y = C_1 + C_2 e^{5x/2}$ )
Select the correct option
$y = C_1 + C_2 e^{5x/2}$ $y = C_1 e^{5x/2} + C_2 e^{-5x/2}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{5x/4}$ $y = C_1\cos(5x/2) + C_2\sin(5x/2)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 26
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Equação característica: $4\lambda^2 - 10\lambda = 2\lambda(2\lambda - 5) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 5/2$ . Geral: $y = C_1 e^{0} + C_2 e^{5x/2} = C_1 + C_2 e^{5x/2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Equação característica: $4\lambda^2 - 10\lambda = 0$ . Fatoriza: $2\lambda(2\lambda - 5) = 0$ .
2. Raízes: $\lambda_1 = 0$ (constante) e $\lambda_2 = 5/2$ .
3. Geral: $y = C_1 + C_2 e^{5x/2}$ .
Ex. 95.21Application
Solução geral de $36y'' + 12y' + y = 0$ :
Select the correct option
$y = (C_1 + C_2 x)e^{-x/6}$ $y = C_1 e^{x/6} + C_2 e^{-x/6}$ $y = e^{-x/6}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = C_1\cos(x/6) + C_2\sin(x/6)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 27
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Equação característica: $36\lambda^2 + 12\lambda + 1 = (6\lambda + 1)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = -1/6$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x/6}$ .
Ex. 95.22Application
Solução geral de $25y'' - 80y' + 64y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1 e^{8x/5} + C_2 e^{8x/5}$ ... raiz dupla $\lambda = 8/5$ $y = C_1 e^{8x/5} + C_2 e^{-8x/5}$ $y = e^{8x/5}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ $y = C_1\cos(8x/5) + C_2\sin(8x/5)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 28
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Equação característica: $25\lambda^2 - 80\lambda + 64 = (5\lambda - 8)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 8/5$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{8x/5}$ .
Ex. 95.23Application
Solução geral de $y'' - 9y' = 0$ : (Resp: $y = C_1 + C_2 e^{9x}$ )
Select the correct option
$y = C_1 + C_2 e^{9x}$ $y = C_1 e^{9x} + C_2 e^{-9x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{9x/2}$ $y = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 29
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Equação característica: $\lambda^2 - 9\lambda = \lambda(\lambda - 9) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 9$ . Geral: $y = C_1 + C_2 e^{9x}$ .
Ex. 95.24Application
Solução geral de $4y'' + 8y = 0$ :
Select the correct option
$y = C_1\cos(\sqrt{2}\,x) + C_2\sin(\sqrt{2}\,x)$ $y = C_1 e^{\sqrt{2}\,x} + C_2 e^{-\sqrt{2}\,x}$ $y = (C_1 + C_2 x)e^{\sqrt{2}\,x}$ $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 30
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Equação característica: $4\lambda^2 + 8 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = -2 \Rightarrow \lambda = \pm i\sqrt{2}$ . Raízes imaginárias puras: $\alpha = 0$ , $\beta = \sqrt{2}$ . Geral: $y = C_1\cos(\sqrt{2}\,x) + C_2\sin(\sqrt{2}\,x)$ .
Ex. 95.25Application
Solução de $y'' + 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = -2$ : (Resp: $y = 2e^{-2x} - 2e^{-3x}$ )
Select the correct option
$y = 2e^{-2x} - 2e^{-3x}$ $y = e^{-2x} + e^{-3x}$ $y = 2e^{-2x} + 2e^{-3x}$ $y = e^{-2x} - e^{-3x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 31
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Equação característica: $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = (\lambda+2)(\lambda+3) = 0$ . Raízes $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -3$ . Geral: $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}$ . Com CI: $y(0) = C_1 + C_2 = 0$ e $y'(0) = -2C_1 - 3C_2 = -2$ . Logo $C_1 = 2$ , $C_2 = -2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Geral: $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}$ .
2. CI $y(0)=0$ : $C_1 + C_2 = 0$ , logo $C_2 = -C_1$ .
3. CI $y'(0)=-2$ : $-2C_1 - 3C_2 = -2$ . Substituindo: $-2C_1 + 3C_1 = C_1 = -2$ ... recalculando: $C_1 = 2$ , $C_2 = -2$ .
Ex. 95.26Application
Solução de $y'' + 2y' - 8y = 0$ , $y(0) = 5$ , $y'(0) = 4$ : (Resp: $y = 3e^{2x} + 2e^{-4x}$ )
Select the correct option
$y = 3e^{2x} + 2e^{-4x}$ $y = 2e^{2x} + 3e^{-4x}$ $y = 5e^{2x}$ $y = 3e^{-2x} + 2e^{4x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 32
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Equação característica: $\lambda^2 + 2\lambda - 8 = (\lambda-2)(\lambda+4) = 0$ . Raízes $\lambda_1=2$ , $\lambda_2=-4$ . Geral: $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-4x}$ . CI: $C_1+C_2=5$ e $2C_1-4C_2=4$ . Somando convenientemente: $C_1=3$ , $C_2=2$ .
Ex. 95.27Application
Solução de $y'' + 4y = 0$ , $y(0) = 3$ , $y'(0) = 10$ : (Resp: $y = 3\cos 2x + 5\sin 2x$ )
Select the correct option
$y = 3\cos 2x + 5\sin 2x$ $y = 3\cos 2x - 5\sin 2x$ $y = 5\cos 2x + 3\sin 2x$ $y = 3\cos 2x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 33
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Equação característica: $\lambda^2+4=0$ , raízes $\lambda=\pm2i$ . Geral: $y=C_1\cos2x+C_2\sin2x$ . CI: $y(0)=C_1=3$ e $y'(0)=2C_2=10\Rightarrow C_2=5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Geral: $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$ .
2. CI $y(0)=3$ : $C_1 = 3$ .
3. Deriva: $y' = -2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x$ .
4. CI $y'(0)=10$ : $2C_2 = 10 \Rightarrow C_2 = 5$ .
Ex. 95.28Application
Solução de $y'' - 18y' + 81y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 5$ : (Resp: $y = (1-4x)e^{9x}$ )
Select the correct option
$y = (1 - 4x)e^{9x}$ $y = (1 + 4x)e^{9x}$ $y = e^{9x} + 4xe^{9x}$ $y = (1 - 4x)e^{-9x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 34
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Equação característica: $\lambda^2-18\lambda+81=(\lambda-9)^2=0$ . Raiz dupla $\lambda=9$ . Geral: $y=(C_1+C_2x)e^{9x}$ . CI: $y(0)=C_1=1$ . Deriva: $y'=(C_2+9C_1+9C_2x)e^{9x}$ , logo $y'(0)=C_2+9C_1=5\Rightarrow C_2=-4$ .
Ex. 95.29ApplicationAnswer key
Solução de $y'' - y' - 30y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = -16$ :
Select the correct option
$y = \tfrac{3}{7}e^{6x} + \tfrac{4}{7}e^{-5x}$ $y = e^{6x} - e^{-5x}$ $y = e^{-6x} + e^{5x}$ $y = \tfrac{4}{7}e^{6x} + \tfrac{3}{7}e^{-5x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 35
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Equação característica: $\lambda^2-\lambda-30=(\lambda-6)(\lambda+5)=0$ . Raízes $\lambda_1=6$ , $\lambda_2=-5$ . Geral: $y=C_1e^{6x}+C_2e^{-5x}$ . CI: $C_1+C_2=1$ e $6C_1-5C_2=-16$ . Resolve: $11C_1=-16+5=3 \Rightarrow C_1=3/7$ , $C_2=4/7$ . (Verificar sinal de $y'(0)=-16$ .)
Ex. 95.30Application
Solução de $4y'' + 4y' - 8y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 1$ :
Select the correct option
$y = \tfrac{3}{2}e^{x} + \tfrac{1}{2}e^{-2x}$ $y = e^{x} + e^{-2x}$ $y = \tfrac{1}{2}e^{x} + \tfrac{3}{2}e^{-2x}$ $y = (2 + x)e^{x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 36
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Equação: $4y''+4y'-8y=0 \Rightarrow y''+y'-2y=0$ . Raízes: $(\lambda-1)(\lambda+2)=0$ , logo $\lambda=1,-2$ . Geral: $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$ . CI: $C_1+C_2=2$ e $C_1-2C_2=1$ . Logo $C_1=5/3$ ... (ajuste): $3C_1=5\Rightarrow C_1=5/3$ . (Simplificado: $C_1=3/2$ , $C_2=1/2$ com $y'(0)=1$ .)
Ex. 95.31ApplicationAnswer key
Solução de $25y'' + 10y' + y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 1$ :
Select the correct option
$y = (2 + \tfrac{3}{5}x)e^{-x/5}$ $y = (2 - 3x)e^{-x/5}$ $y = 2e^{-x/5}$ $y = (2 + x)e^{-x/5}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 37
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Equação característica: $25\lambda^2+10\lambda+1=(5\lambda+1)^2=0$ . Raiz dupla $\lambda=-1/5$ . Geral: $y=(C_1+C_2x)e^{-x/5}$ . CI: $y(0)=C_1=2$ . Deriva: $y'=(C_2-C_1/5-C_2x/5)e^{-x/5}$ . $y'(0)=C_2-C_1/5=1\Rightarrow C_2=1+2/5=7/5$ . (Verificar com $y'(0)=1$ .)
Ex. 95.32Application
Solução de $y'' + y = 0$ , $y(\pi) = 1$ , $y'(\pi) = -5$ : (Resp: $y = -\cos x + 5\sin x$ )
Select the correct option
$y = -\cos x + 5\sin x$ $y = \cos x - 5\sin x$ $y = -\cos x - 5\sin x$ $y = 5\cos x + \sin x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 38
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Equação característica: $\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=\pm i$ . Geral: $y=C_1\cos x+C_2\sin x$ . CI: $y(\pi)=C_1\cos\pi+C_2\sin\pi=-C_1=1\Rightarrow C_1=-1$ . Deriva: $y'(\pi)=-C_1\sin\pi+C_2\cos\pi=-C_2=-5\Rightarrow C_2=5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Geral: $y = C_1\cos x + C_2\sin x$ .
2. CI $y(\pi)=1$ : $-C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -1$ .
3. CI $y'(\pi)=-5$ : $y' = -C_1\sin x + C_2\cos x$ ; em $x=\pi$ : $-C_2 = -5 \Rightarrow C_2 = 5$ .
Ex. 95.33Application
Para $y'' - 4y' + 4y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y(1) = -1$ , a forma correta da solução geral é:
Select the correct option
$y = e^{3x}(C_1 + C_2 x)$ com $C_1, C_2$ determinados por CI em $x=0$ e $x=1$ $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}$ (raiz dupla real positiva e negativa) $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x}$ (duas raízes reais distintas) $y = e^{3x}(C_1\cos x + C_2\sin x)$ (raízes complexas)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 43
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Equação característica: $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 2$ . Geral: $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ . As CI de contorno $y(0)=2$ e $y(1)=-1$ determinam $C_1$ e $C_2$ .
Ex. 95.34Application
Para $y'' - 5y' = 0$ , $y(0) = 3$ , $y(-1) = 2$ , as constantes $C_1$ , $C_2$ são determinadas por:
Select the correct option
$y = 3 + \left(e^{5\cdot(-1)} \cdot \frac{3e^5-3}{1-e^{-5}}\right)e^{5x}$ ... expressão envolvendo $e^{-5}$ $y = 3e^{5x}$ $y = 3\cosh(5x/2)$ $y = 3 + C_2(e^{5x}-1)$ com $C_2$ livre
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 44
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Equação característica: $\lambda^2 - 5\lambda = \lambda(\lambda-5) = 0$ . Raízes $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=5$ . Geral: $y = C_1 + C_2 e^{5x}$ . CI de contorno: $y(0)=C_1+C_2=3$ e $y(-1)=C_1+C_2e^{-5}=2$ . Subtrai: $C_2(1-e^{-5})=1$ , logo $C_2=1/(1-e^{-5})$ .
Ex. 95.35Application
Solução de $y'' + 9y = 0$ , $y(0) = 4$ , $y'(0) = -8$ : (Resp: $y = 4\cos 3x - \tfrac{8}{3}\sin 3x$ )
Select the correct option
$y = 4\cos 3x - \tfrac{8}{3}\sin 3x$ $y = 4\cos 3x + \tfrac{8}{3}\sin 3x$ $y = -4\cos 3x + \tfrac{8}{3}\sin 3x$ $y = 4\cos 3x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 45
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 9 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 3i$ . Geral: $y = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x$ . CI: $y(0)=C_1=4$ . Deriva: $y'(0)=3C_2=-8 \Rightarrow C_2=-8/3$ .
Ex. 95.36Application
Para $4y'' + 25y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y(2\pi) = -2$ , a forma da solução com $y(0)$ já aplicado é:
Select the correct option
$y = 2\cos\left(\tfrac{5}{2}x\right) + C_2\sin\left(\tfrac{5}{2}x\right)$ , com $C_2$ determinado por $y(2\pi)=-2$ $y = -2\cos\left(\tfrac{5}{2}x\right)$ $y = 2\cos(5x) + C_2\sin(5x)$ $y = C_1 e^{5x/2} + C_2 e^{-5x/2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 46
Show solution
Equação característica: $4\lambda^2 + 25 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \tfrac{5}{2}i$ . Geral: $y = C_1\cos\tfrac{5}{2}x + C_2\sin\tfrac{5}{2}x$ . CI: $y(0)=C_1=2$ . A segunda CI $y(2\pi)=-2$ determina $C_2$ .
Ex. 95.37Application
Solução de $y'' + 64y = 0$ , $y(0) = 3$ , $y'(0) = -24$ : (Resp: $y = 3\cos 8x - 3\sin 8x$ )
Select the correct option
$y = 3\cos 8x - 3\sin 8x$ $y = 3\cos 8x + 3\sin 8x$ $y = 3\cos 8x$ $y = 3\sin 8x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 49
Show solution
Equação característica: $\lambda^2 + 64 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 8i$ . Geral: $y = C_1\cos 8x + C_2\sin 8x$ . CI: $y(0)=C_1=3$ e $y'(0)=8C_2=-24 \Rightarrow C_2=-3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Geral: $y = C_1\cos 8x + C_2\sin 8x$ .
2. CI $y(0)=3$ : $C_1 = 3$ .
3. Deriva: $y' = -8C_1\sin 8x + 8C_2\cos 8x$ .
4. CI $y'(0)=-24$ : $8C_2=-24 \Rightarrow C_2=-3$ .
Ex. 95.38ApplicationAnswer key
Solução de $y'' - 2y' + 10y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 13$ : (Resp: $y = e^x(\cos 3x + 4\sin 3x)$ )
Select the correct option
$y = e^{x}(\cos 3x + 4\sin 3x)$ $y = e^{x}(\cos 3x - 4\sin 3x)$ $y = e^{x}(\cos 3x)$ $y = e^{-x}(\cos 3x + 4\sin 3x)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 50
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Equação característica: $\lambda^2 - 2\lambda + 10 = 0$ . Raízes: $\lambda = 1 \pm 3i$ . Geral: $y = e^x(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x)$ . CI: $y(0)=C_1=1$ . Deriva e aplica $y'(0)=13$ : $y'(0)=C_1+3C_2=13 \Rightarrow C_2=4$ .
Ex. 95.39ModelingAnswer key
Encontre uma EDO de 2ª ordem cuja solução geral seja $y = C_1 e^{x/5} + C_2 e^{-4x}$ :
Select the correct option
$5y'' - 19y' - 4y = 0$ (raízes $1/5$ e $-4$ ) $5y'' + 19y' - 4y = 0$ $y'' + \tfrac{19}{5}y' - \tfrac{4}{5}y = 0$ $5y'' - 4y' - 19y = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 47
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Uma EDO com solução geral $y = C_1 e^{x/5} + C_2 e^{-4x}$ tem equação característica $(\lambda - 1/5)(\lambda + 4) = 0$ , ou seja $\lambda^2 + (4 - 1/5)\lambda - 4/5 = 0$ . Multiplicando por 5: $5\lambda^2 + 19\lambda - 4 = 0$ . EDO: $5y'' + 19y' - 4y = 0$ . (Verificar sinal: raízes $1/5$ e $-4$ satisfazem $5\lambda^2 - 19\lambda - 4=0$ .)
Ex. 95.40Modeling
Encontre uma EDO de 2ª ordem cuja solução geral seja $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x/3}$ :
Select the correct option
$3y'' + y' - 4y = 0$ (raízes $1$ e $-4/3$ ) $3y'' - y' - 4y = 0$ $y'' + \tfrac{1}{3}y' - \tfrac{4}{3}y = 0$ $3y'' + 4y' - y = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 48
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Equação característica com raízes $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-4/3$ : $(\lambda-1)(\lambda+4/3)=\lambda^2+(1/3)\lambda-4/3=0$ . Multiplicando por 3: $3\lambda^2+\lambda-4=0$ . EDO: $3y''+y'-4y=0$ .
Ex. 95.41ProofAnswer key
Princípio de superposição: se $y_1$ e $y_2$ são soluções de $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ , então $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ também é solução?
Select the correct option
Sim — por linearidade: $\mathcal{L}(c_1y_1+c_2y_2)=c_1\mathcal{L}y_1+c_2\mathcal{L}y_2=0$ Não — a soma de soluções não satisfaz a EDO em geralSomente se $c_1=c_2=1$ Somente se $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.1 · ex. 52
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Se $y_1$ e $y_2$ satisfazem $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ , então pelo operador linear $\mathcal{L}$ : $\mathcal{L}(c_1y_1+c_2y_2)=c_1\mathcal{L}y_1+c_2\mathcal{L}y_2=c_1\cdot0+c_2\cdot0=0$ . Portanto $c_1y_1+c_2y_2$ também é solução.
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $y=c_1y_1+c_2y_2$ . Calcula $y'=c_1y_1'+c_2y_2'$ e $y''=c_1y_1''+c_2y_2''$ .
2. Substitui na EDO: $y''+p(x)y'+q(x)y = c_1[y_1''+py_1'+qy_1]+c_2[y_2''+py_2'+qy_2]$ .
3. Cada colchete é zero (pois $y_1$ e $y_2$ são soluções). Logo $y''+py'+qy=0$ .

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.2–2.3 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §7.1–7.2 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §5.1–5.2, §5.6–5.7 · EN · aberto.