v1 · padrão canônico

Lesson 96 — Mechanical vibrations: mass-spring-damper

m x'' + c x' + k x = F(t). Natural frequency, damping, resonance. Underdamped, critical, overdamped.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Leistungskurs alemão Classe 12 · University Physics (global)

m\ddot x + c\dot x + kx = F(t) \quad\Longleftrightarrow\quad \ddot x + 2\zeta\omega_0\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}

Oscilador massa-mola-amortecedor. Frequência natural $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ [rad/s]; fator de amortecimento $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ . Quatro regimes: não-amortecido ( $\zeta=0$ ), subamortecido ( $\zeta<1$ ), criticamente amortecido ( $\zeta=1$ ), superamortecido ( $\zeta>1$ ).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Oscilador completo — quatro regimes

Equação de movimento

Equação caracteristica e regimes

$\lambda^2 + 2\zeta\omega_0\lambda + \omega_0^2 = 0$ . Discriminante $\Delta = 4\omega_0^2(\zeta^2 - 1)$ .

Theorem· Quatro regimes do oscilador

Não-amortecido ( $c = 0$ , $\zeta = 0$ ): $\lambda = \pm i\omega_0$ . $x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$

Subamortecido ( $0 < \zeta < 1$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ , com $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ . $x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$

Criticamente amortecido ( $\zeta = 1$ ): raiz dupla $\lambda = -\omega_0$ . $x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$

Superamortecido ( $\zeta > 1$ ): $\lambda$ {1,2} $= \omega_0(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2-1}) < 0$ . $x(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$

"The most important case is $b^2 - 4km < 0$ , which occurs when the damping is small... In this case the solution oscillates with exponentially decaying amplitude." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4

Resposta forçada harmonica

Para $F(t) = F_0\cos\omega t$ : solução particular (regime permanente)

$x_p(t) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega_0^2\omega^2}}\cos(\omega t - \phi)$

onde $\tan\phi = 2\zeta\omega_0\omega/(\omega_0^2 - \omega^2)$ .

Ressonancia

Diagrama qualitativo dos regimes

Resposta livre ( $F = 0$ , $x(0) = x_0 > 0$ , $\dot x(0) = 0$ ): subamortecido oscila enquanto decai; crítico e super convergem monotonicamente.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Oscilador livre subamortecido com CI

Problema. $m = 1\,\text{kg}$ , $k = 4\,\text{N/m}$ , $c = 2\,\text{N.s/m}$ . $x(0) = 1\,\text{m}$ , $\dot x(0) = 0$ . Encontre $x(t)$ .

Estratégia. Calcule $\omega_0$ , $\zeta$ , identifique o regime, resolva o PVI.

Resolução.

$\omega_0 = \sqrt{4/1} = 2$ rad/s. $\zeta = 2/(2\sqrt{1 \cdot 4}) = 2/4 = 0{,}5$ . Como $\zeta < 1$ : subamortecido.

$\omega_d = 2\sqrt{1-0{,}25} = 2\sqrt{0{,}75} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ rad/s.

$x(t) = e^{-t}(A\cos\sqrt{3}\,t + B\sin\sqrt{3}\,t)$ .

CI: $x(0) = A = 1$ . $\dot x(0) = -A + \sqrt{3}\,B = 0 \Rightarrow B = 1/\sqrt{3}$ .

$x(t) = e^{-t}\!\left(\cos\sqrt{3}\,t + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\sqrt{3}\,t\right)$

Verificação. A amplitude decai com $e^{-t}$ e oscila com $\omega_d = \sqrt{3}$ . Em $t = 0$ : $x = 1$ . $\dot x(0) = -1 + \sqrt{3}/\sqrt{3} = -1 + 1 = 0$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Example 2.4.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Amortecimento critico

Problema. $m = 1\,\text{kg}$ , $k = 9\,\text{N/m}$ , $c$ escolhido criticamente. $x(0) = 2\,\text{m}$ , $\dot x(0) = -6\,\text{m/s}$ .

Estratégia. $c_c = 2\sqrt{mk} = 6$ . $\zeta = 1$ . $\lambda = -\omega_0 = -3$ .

Resolução.

$x(t) = (A + Bt)e^{-3t}$ .

$x(0) = A = 2$ . $\dot x(0) = B - 3A = -6 \Rightarrow B = -6 + 6 = 0$ .

$x(t) = 2e^{-3t}$

O sistema retorna ao equilíbrio exponencialmente puro, sem oscilação.

Verificação. $\dot x = -6e^{-3t}$ , $\ddot x = 18e^{-3t}$ . $\ddot x + 6\dot x + 9x = 18 - 36 + 18 = 0$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Example 2.4.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Forçamento senoidal e regime permanente

Problema. $\ddot x + 2\dot x + 5x = 10\cos 2t$ . Encontre a solução completa com $x(0) = 0$ , $\dot x(0) = 0$ .

Estratégia. $y_h$ com raízes $-1 \pm 2i$ ; $y_p$ com coeficientes a determinar.

Resolução.

$y_h = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$ .

Tentativa: $x_p = A\cos 2t + B\sin 2t$ .

$x_p'' = -4A\cos 2t - 4B\sin 2t$ , $x_p' = -2A\sin 2t + 2B\cos 2t$ .

Substituindo: $(5A - 4A + 4B)\cos 2t + (5B - 4B - 4A)\sin 2t = 10\cos 2t$ .

$(A + 4B)\cos 2t + (B - 4A)\sin 2t = 10\cos 2t$ .

Sistema: $A + 4B = 10$ , $B - 4A = 0 \Rightarrow B = 4A$ . Então $A + 16A = 10 \Rightarrow A = 10/17$ , $B = 40/17$ .

$x = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + \frac{10}{17}\cos 2t + \frac{40}{17}\sin 2t$ .

CI $x(0) = 0$ : $C_1 + 10/17 = 0 \Rightarrow C_1 = -10/17$ .

$\dot x(0) = 0$ : $-C_1 + 2C_2 + 80/17 = 0 \Rightarrow C_2 = -50/17$ .

$x(t) = \frac{e^{-t}}{17}(-10\cos 2t - 50\sin 2t) + \frac{10\cos 2t + 40\sin 2t}{17}$

Verificação. Em $t \to \infty$ : $x \to x_p = (10\cos 2t + 40\sin 2t)/17$ — o regime permanente. Amplitude = $10\sqrt{1+16}/17 = 10\sqrt{17}/17 = 10/\sqrt{17} \approx 2{,}43$ m.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA.

Example— 4· Ressonancia pura

Problema. $\ddot x + \omega_0^2 x = F_0\cos\omega_0 t$ (sem amortecimento, forçamento na frequência natural). Mostre que a amplitude cresce sem limite.

Estratégia. $\omega = \omega_0$ é frequência de ressonância; regra de modificação.

Resolução.

$x_h = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t$ .

Como $\cos\omega_0 t$ está em $x_h$ , a tentativa $x_p = t(A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t)$ .

$x_p'' = \omega_0^2 x_p \cdot (-) + (-2\omega_0 A\sin\omega_0 t + 2\omega_0 B\cos\omega_0 t)$ .

Ao substituir em $\ddot x + \omega_0^2 x = F_0\cos\omega_0 t$ :

$-2\omega_0 A\sin\omega_0 t + 2\omega_0 B\cos\omega_0 t = F_0\cos\omega_0 t$ .

Logo $A = 0$ , $B = F_0/(2\omega_0)$ .

$x_p(t) = \frac{F_0}{2\omega_0} t\sin(\omega_0 t)$

A amplitude $\frac{F_0}{2\omega_0} t$ cresce linearmente — ressonância pura.

Verificação. $x_p = t\sin(\omega_0 t) \cdot F_0/(2\omega_0)$ . Derivando e substituindo confirma a equação.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.6, Example 2.6.2 — CC-BY-SA.

Example— 5· Superamortecido: tempo de assentamento

Problema. $m = 2\,\text{kg}$ , $k = 8\,\text{N/m}$ , $c = 12\,\text{N.s/m}$ . $x(0) = 0{,}1\,\text{m}$ , $\dot x(0) = 0$ . Calcule $\zeta$ , a solução $x(t)$ e o tempo para $|x| < 0{,}01\,\text{m}$ .

Estratégia. $\omega_0 = 2$ , $\zeta = 12/(2\sqrt{16}) = 12/8 = 1{,}5$ : superamortecido.

Resolução.

$\lambda$ {1,2} $= 2(-1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25-1}) = 2(-1{,}5 \pm \sqrt{1{,}25}) = -3 \pm \sqrt{5}$ .

$\lambda_1 \approx -3 + 2{,}236 = -0{,}764$ ; $\lambda_2 \approx -5{,}236$ .

$x(t) = Ae^{-0{,}764t} + Be^{-5{,}236t}$ .

CI: $A + B = 0{,}1$ ; $-0{,}764A - 5{,}236B = 0$ .

Resolvendo: $B = -0{,}764A/5{,}236$ . Então $A(1 + 0{,}764/5{,}236) = 0{,}1 \Rightarrow A \approx 0{,}0838$ , $B \approx 0{,}0162$ .

Para $|x| < 0{,}01$ : dominado por $Ae^{-0{,}764t} < 0{,}01 \Rightarrow t > \ln(A/0{,}01)/0{,}764 \approx \ln(8{,}38)/0{,}764 \approx 2{,}75$ s.

Verificação. $x(0) = A + B \approx 0{,}1$ . $\dot x(0) = -0{,}764A - 5{,}236B \approx -0{,}064 + 0{,}085 \approx 0$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Exercise 2.4.4 — CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 4Modeling 13Challenge 8

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.4–2.6 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária.
University Physics Volume 1 — OpenStax · §15.4–15.6 · EN · CC-BY.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §6.1–6.2 · EN · aberto.