v1 · padrão canônico

Lesson 97 — RLC Circuits

Differential equation of the series RLC circuit — the electrical analog of the mass-spring-damper. Free response, forced response, and resonance.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Physik Klasse 12 (Alemanha) · H3 Mathematics (Singapura)

L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)

O circuito RLC série é o análogo elétrico exato do massa-mola-amortecedor. Indutância $L \leftrightarrow$ massa, resistência $R \leftrightarrow$ amortecimento, $1/C \leftrightarrow$ rigidez. Frequência natural $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; fator de qualidade $Q_f = (1/R)\sqrt{L/C}$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivação rigorosa e classificação

Lei de Kirchhoff das tensões

Em um circuito $RLC$ série com fonte $V(t)$ , a soma das quedas de tensão iguala a fonte:

$V_L + V_R + V_C = V(t)$

Usando $V_L = L\,\dot I$ , $V_R = RI$ , $V_C = Q/C$ e $I = \dot Q$ :

L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = V(t)

what this means · Equação diferencial do circuito RLC série — EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

"The equation $LQ'' + RQ' + Q/C = V(t)$ is the standard form of the RLC circuit equation and has exactly the same mathematical form as the damped mass-spring system $mx'' + cx' + kx = F(t)$ , with $L$ playing the role of mass, $R$ the damping constant, and $1/C$ the spring constant." — Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6

Tabela de analogia eletromecânica

Analogia eletromecânica completa. Toda técnica de resolução do massa-mola transfere diretamente para o RLC.

Classificação pela equação característica

Equação homogênea ( $V = 0$ ): $L\lambda^2 + R\lambda + 1/C = 0$ .

$\Delta = R^2 - 4L/C$

Definition· Três regimes de resposta livre

Superamortecido ( $\zeta > 1$ , $\Delta > 0$ ): dois $\lambda$ reais negativos. Retorno exponencial lento ao equilíbrio. $Q_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
Criticamente amortecido ( $\zeta = 1$ , $\Delta = 0$ ): $\lambda$ duplo $\lambda = -R/(2L)$ . Retorno mais rápido sem oscilação. $Q_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{\lambda t}$
Subamortecido ( $\zeta < 1$ , $\Delta < 0$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ . Oscilação amortecida. $Q_h(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\bigl(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\bigr)$

Resposta em regime permanente (forçada)

Para $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ , solução particular:

$Q_p(t) = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

com $\tan\phi = \dfrac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ .

Exemplos resolvidos

Example— 97.1· Classificação do regime — dados de componentes

Problema. Circuito RLC série: $L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F. Classifique o regime e escreva a solução homogênea geral.

Estratégia. Calcule $\Delta = R^2 - 4L/C$ ; identifique o regime; escreva $Q_h$ .

Resolução.

$\Delta = 36 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$ — superamortecido.

Equação característica: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0 \Rightarrow \lambda = (-6 \pm 2)/2$ , logo $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ .

$Q_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}$

Verificação. $Q_h' = -2C_1 e^{-2t} - 4C_2 e^{-4t}$ , $Q_h'' = 4C_1 e^{-2t} + 16C_2 e^{-4t}$ . Substituindo em $Q'' + 6Q' + 8Q$ : coletando $e^{-2t}$ : $4C_1 - 12C_1 + 8C_1 = 0$ ✓. Coletando $e^{-4t}$ : $16C_2 - 24C_2 + 8C_2 = 0$ ✓.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA

Example— 97.2· Regime subamortecido com condições iniciais

Problema. $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Condições: $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 0$ A. Ache $Q(t)$ .

Estratégia. Calcule $\Delta$ , identifique regime subamortecido, aplique CI para determinar $C_1, C_2$ .

Resolução.

$\Delta = 4 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ — subamortecido.

$\lambda = -1 \pm i$ , logo $\alpha = 1$ , $\omega_d = 1$ .

$Q_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

CI: $Q(0) = C_1 = 1$ .

$\dot Q = e^{-t}[(-C_1 + C_2\omega_d)\cos t + (-C_2 - C_1\omega_d)\sin t]$ ... com $\omega_d = 1$ :

$\dot Q(0) = -C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$ .

$Q(t) = e^{-t}(\cos t + \sin t) = \sqrt{2}\,e^{-t}\cos\!\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$

Verificação. $Q(0) = 1$ ✓; $\dot Q(0) = -1 + 1 = 0$ ✓. Amplitude decai como $\sqrt{2}e^{-t}$ ✓.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Exercise 2.6.2 — CC-BY-SA

Example— 97.3· Resposta forçada — regime permanente

Problema. $L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F, $V(t) = 50\cos(100t)$ V. Ache a corrente em regime permanente $I_p(t) = \dot Q_p$ .

Estratégia. Calcule $Z(j\omega)$ e use $\hat I = \hat V/Z$ .

Resolução.

$\omega = 100$ rad/s. $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-3}} = 100$ rad/s — ressonância!

$Z(j100) = 10 + j(100 \times 0{,}1 - 1/(100 \times 10^{-3})) = 10 + j(10 - 10) = 10$ $\Omega$ .

$I_p(t) = \frac{50}{10}\cos(100t) = 5\cos(100t)$ A.

Na ressonância, a impedância é puramente resistiva e a corrente atinge o valor máximo.

Verificação. $|Z|_{\omega=100} = 10$ $\Omega$ ✓; $I_{\max} = V_0/R = 50/10 = 5$ A ✓.

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.5 Example 14.5 — CC-BY

Example— 97.4· Fator de qualidade e largura de banda

Problema. Receptor de rádio AM: $L = 0{,}5$ mH, $C = 25$ pF, $R = 5$ $\Omega$ . Calcule $f_0$ , $Q_f$ e $\Delta f$ (largura de banda).

Estratégia. Aplique as fórmulas de $f_0$ , $Q_f$ e $BW$ diretamente.

Resolução.

$\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}5 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-12}} = 1/\sqrt{1{,}25 \times 10^{-14}} \approx 8{,}94 \times 10^6$ rad/s.

$f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}42$ MHz (faixa AM).

$Q_f = \omega_0 L/R = (8{,}94 \times 10^6 \times 0{,}5 \times 10^{-3})/5 = 4470/5 = 894$ .

$\Delta f = f_0/Q_f = 1{,}42 \times 10^6/894 \approx 1{,}59$ kHz.

Canal AM tem 10 kHz de largura — $Q_f = 894$ é seletivo demais para AM, mas adequado para FM estéreo.

Verificação. $\zeta = 1/(2Q_f) = 1/1788 \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \ll 1$ — fortemente subamortecido ✓.

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.6 — CC-BY

Example— 97.5· Circuito LC sem resistência — oscilação pura

Problema. $L = 4$ H, $C = 1/16$ F, $R = 0$ , $V = 0$ . $Q(0) = 0$ , $I(0) = 2$ A. Ache $Q(t)$ e a energia total.

Estratégia. Caso não amortecido: $\ddot Q + \omega_0^2 Q = 0$ , solução geral seno/cosseno.

Resolução.

$\omega_0 = 1/\sqrt{4 \times 1/16} = 1/\sqrt{1/4} = 2$ rad/s.

$Q(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ .

$Q(0) = A = 0 \Rightarrow Q(t) = B\sin(2t)$ .

$\dot Q(0) = 2B = 2 \Rightarrow B = 1$ .

$Q(t) = \sin(2t), \quad I(t) = 2\cos(2t)$

Energia: $E = \frac{1}{2}L I^2 + \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(4)(4\cos^2 2t) + \frac{\sin^2 2t}{2(1/16)} = 8\cos^2 2t + 8\sin^2 2t = 8$ J (constante ✓).

Fonte. Trench, Elementary Differential Equations §6.2, Exercise 6.2.3 — aberto

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 6Modeling 6Challenge 5Proof 2

Ex. 97.1ApplicationAnswer key
Uma massa de 4 lb estica uma mola 8 in. Encontre a equação de movimento se a mola é solta da posição de equilíbrio com velocidade descendente de 12 ft/s. Qual o período e a frequência da oscilação?
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Período $T = 2\pi/\omega_0 \approx 1{,}28$ s e frequência $f_0 \approx 0{,}78$ HzPeríodo $T \approx 2{,}56$ s e frequência $f_0 \approx 0{,}39$ HzPeríodo $T \approx 0{,}64$ s e frequência $f_0 \approx 1{,}56$ HzNão oscila — cai diretamente ao equilíbrio
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 86
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Massa 4 lb estica 8 in = 2/3 ft. Lei de Hooke: $k = W/x = 4/(2/3) = 6$ lb/ft. Massa em slugs: $m = 4/32 = 1/8$ slug. Velocidade inicial: 12 ft/s para baixo. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{6/(1/8)} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ rad/s. Período $T = 2\pi/(4\sqrt{3}) \approx 1{,}28$ s; frequência $f_0 \approx 0{,}78$ Hz.
Show step-by-step (with the why)
1. Constante da mola. $k = F/x = 4\,\text{lb}/(8/12\,\text{ft}) = 6$ lb/ft.
2. Massa em slugs. $m = W/g = 4/32 = 1/8$ slug.
3. Frequência natural. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ rad/s.
4. Período e frequência. $T = 2\pi/\omega_0 \approx 1{,}28$ s; $f_0 = 1/T \approx 0{,}78$ Hz.
Ex. 97.2Application
Uma massa de 2 lb estica uma mola 2 ft. Encontre a equação de movimento se a mola é solta 2 in abaixo da posição de equilíbrio com velocidade ascendente de 8 ft/s. Qual o período e a frequência?
Select the correct option
Período $T = \pi/\omega_0 \approx 2{,}22$ s e frequência $f_0 \approx 0{,}45$ HzPeríodo $T \approx 1{,}11$ s e frequência $f_0 \approx 0{,}90$ HzPeríodo $T \approx 4{,}44$ s e frequência $f_0 \approx 0{,}23$ HzO sistema não oscila — é superamortecido
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 87
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Massa 2 lb, estica 2 ft. $k = 2/2 = 1$ lb/ft. $m = 2/32 = 1/16$ slug. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{16} = 4$ rad/s. CI: posição 2 in = 1/6 ft abaixo; velocidade 8 ft/s para cima. Período $T = 2\pi/4 = \pi/2 \approx 1{,}57$ s; frequência $f_0 = 2/\pi \approx 0{,}64$ Hz.
Ex. 97.3Application
Uma massa de 100 g estica uma mola 0,1 m. Encontre a equação de movimento se a massa é solta do repouso 20 cm abaixo da posição de equilíbrio. Qual a frequência de oscilação?
Select the correct option
Frequência $\omega_0 = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ rad/sFrequência $\omega_0 = 10$ rad/sFrequência $\omega_0 = \sqrt{100/9} \approx 3{,}33$ rad/sO sistema não oscila — é superamortecido
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OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 88
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Massa 100 g = 0,1 kg estica 0,1 m. $k = mg/x = (0{,}1)(9{,}8)/0{,}1 = 9{,}8$ N/m. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{9{,}8/0{,}1} = \sqrt{98} \approx 9{,}9$ rad/s. CI: parte 20 cm abaixo do repouso; frequência $f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}57$ Hz.
Ex. 97.4Application
Uma massa de 400 g estica uma mola 5 cm. Encontre a equação de movimento se a massa é solta do repouso 15 cm abaixo da posição de equilíbrio. Qual a frequência de oscilação?
Select the correct option
Frequência $\omega_0 \approx 14$ rad/s e $f_0 \approx 2{,}23$ HzFrequência $\omega_0 \approx 7$ rad/s e $f_0 \approx 1{,}11$ HzFrequência $\omega_0 \approx 28$ rad/s e $f_0 \approx 4{,}46$ HzO sistema não oscila pois não há velocidade inicial
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 89
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Massa 400 g = 0,4 kg, estica 5 cm = 0,05 m. $k = mg/x = (0{,}4)(9{,}8)/0{,}05 = 78{,}4$ N/m. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{78{,}4/0{,}4} = \sqrt{196} = 14$ rad/s. CI: 15 cm abaixo, repouso. Frequência $f_0 = 14/(2\pi) \approx 2{,}23$ Hz.
Ex. 97.5ApplicationAnswer key
Um bloco de 9 kg está preso a uma mola vertical com $k = 0{,}25$ N/m. O bloco é esticado 0,75 m abaixo do equilíbrio e solto do repouso. Encontre a função posição.
Select the correct option
$x(t) = 0{,}75\cos\left(\tfrac{t}{6}\right)$ m $x(t) = 0{,}75\cos(6t)$ m $x(t) = 0{,}75e^{-t/6}$ m (decaimento exponencial) $x(t) = 0{,}75\sin\left(\tfrac{t}{6}\right)$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 90
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Massa 9 kg, $k=0{,}25$ N/m. $\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{0{,}25/9}=1/6$ rad/s. CI: $x(0)=0{,}75$ m, $x'(0)=0$ . Geral: $x=A\cos(t/6)+B\sin(t/6)$ . $A=0{,}75$ , $B=0$ . Logo $x(t)=0{,}75\cos(t/6)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Frequência natural. $\omega_0=\sqrt{0{,}25/9}=1/6$ rad/s.
2. Solução geral. $x=A\cos(t/6)+B\sin(t/6)$ .
3. CI $x(0)=0{,}75$ . $A=0{,}75$ .
4. CI $x'(0)=0$. $B\omega_0=0\Rightarrow B=0$ .
Ex. 97.6ApplicationAnswer key
Um bloco de 5 kg está preso a uma mola com $k = 20$ N/m. O bloco é solto da posição de equilíbrio com velocidade descendente de 10 m/s. Encontre a função posição.
Select the correct option
$x(t) = 5\sin(2t)$ m $x(t) = 5\cos(2t)$ m $x(t) = 10\sin(2t)$ m $x(t) = \sin(4t)$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 91
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Massa 5 kg, $k=20$ N/m. $\omega_0=\sqrt{20/5}=2$ rad/s. CI: $x(0)=0$ , velocidade descendente 10 m/s. Geral: $x=A\cos(2t)+B\sin(2t)$ . $A=0$ ; $x'(0)=2B=10\Rightarrow B=5$ . Logo $x(t)=5\sin(2t)$ .
Ex. 97.7ApplicationAnswer key
Uma massa de 1 kg está presa a uma mola com $k = 21$ N/m. A resistência é 10 vezes a velocidade. Classifique o regime de amortecimento e escreva a solução geral.
Select the correct option
Superamortecido: $x(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-7t}$ Subamortecido: $x(t) = e^{-5t}(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)$ Criticamente amortecido: $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-5t}$ Não amortecido: oscilação pura com $\omega_0 = \sqrt{21}$ rad/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 92
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Massa 1 kg, $k=21$ N/m, amortecimento $b=10$ . EDO: $x''+10x'+21x=0$ . Discriminante: $\Delta=100-84=16>0$ — superamortecido. Raízes: $\lambda=(-10\pm 4)/2$ , ou seja $\lambda_1=-3$ , $\lambda_2=-7$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO. $x''+10x'+21x=0$ .
2. Discriminante. $\Delta=100-4(1)(21)=16>0$ — superamortecido.
3. Raízes. $\lambda=(-10\pm 4)/2$ : $\lambda_1=-3$ , $\lambda_2=-7$ .
4. Solução. $x(t)=C_1e^{-3t}+C_2e^{-7t}$ .
Ex. 97.8Application
Um peso de 800 lb (25 slugs) está preso a uma mola com $k = 226$ lb/ft, imerso em meio que impõe força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade. Classifique o regime de amortecimento.
Select the correct option
Subamortecido: $x(t) = e^{-\alpha t}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t)$ Superamortecido: dois decaimentos exponenciais distintosCriticamente amortecido: $x(t) = (C_1+C_2t)e^{-5t}$ Não amortecido: oscilação pura
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 93
Show solution
800 lb = 25 slugs, $k=226$ lb/ft, resistência $b=10$ . EDO: $25x''+10x'+226x=0$ . Discriminante: $\Delta=100-4(25)(226)=100-22600<0$ — subamortecido. Oscilação amortecida: $\alpha=10/50=0{,}2$ , $\omega_d=\sqrt{226/25-0{,}04}\approx 3$ rad/s.
Ex. 97.9Application
Uma massa de 9 kg está presa a uma mola com $k = 16$ N/m; a resistência é 24 vezes a velocidade. Classifique e escreva a solução geral.
Select the correct option
Criticamente amortecido: $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-4t/3}$ Superamortecido: dois decaimentos exponenciais distintosSubamortecido: oscilação com envelope decrescenteNão amortecido: oscilação pura com $\omega_0 = 4/3$ rad/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 94
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Massa 9 kg, $k=16$ N/m, resistência $b=24$ . Discriminante: $\Delta=24^2-4(9)(16)=576-576=0$ — criticamente amortecido. $\lambda=-24/(2\times9)=-4/3$ . Solução: $x(t)=(C_1+C_2t)e^{-4t/3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO. $9x''+24x'+16x=0$ .
2. Discriminante. $\Delta=576-576=0$ — criticamente amortecido.
3. Raiz dupla. $\lambda=-24/18=-4/3$ .
4. Solução. $x(t)=(C_1+C_2t)e^{-4t/3}$ .
Ex. 97.10Application
Uma massa de 1 kg estica uma mola 61,25 cm. A resistência é 8 vezes a velocidade. Classifique e escreva a solução geral, dada a condição inicial de 10 cm abaixo do equilíbrio em repouso.
Select the correct option
Criticamente amortecido: $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-4t}$ Superamortecido: $x(t) = C_1e^{-2t}+C_2e^{-6t}$ Subamortecido: $x(t) = e^{-4t}(C_1\cos t + C_2\sin t)$ Não amortecido: $x(t) = C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 95
Show solution
Massa 1 kg, estica 61,25 cm = 0,6125 m. $k=mg/x=(1)(9{,}8)/0{,}6125\approx16$ N/m. Resistência $b=8$ . Discriminante: $\Delta=64-4(1)(16)=64-64=0$ — criticamente amortecido. $\lambda=-8/2=-4$ . Solução: $x(t)=(C_1+C_2t)e^{-4t}$ .
Ex. 97.11ApplicationAnswer key
Um peso de 32 lb (1 slug) estica uma mola 128 in. A resistência é 4 vezes a velocidade. Classifique o regime e escreva a solução geral.
Select the correct option
Superamortecido: $x(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t}$ ftSubamortecido: $x(t) = e^{-2t}(C_1\cos t + C_2\sin t)$ ftCriticamente amortecido: $x(t) = (C_1+C_2t)e^{-2t}$ ftNão amortecido: oscilação pura
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 96
Show solution
32 lb = 1 slug, estica 128 in. $k=32/(128/12)=3$ lb/ft. Resistência $b=4$ . EDO: $x''+4x'+3x=0$ . Discriminante: $\Delta=16-12=4>0$ — superamortecido. Raízes: $\lambda=(-4\pm 2)/2=-1$ e $-3$ .
Ex. 97.12Understanding
Um peso de 64 lb está preso a uma mola com $k = 4{,}625$ lb/ft; a resistência é igual à velocidade instantânea. Classifique o regime de amortecimento.
Select the correct option
Subamortecido: oscilação amortecida com frequência $\omega_d = \sqrt{k/m - (b/2m)^2}$ Superamortecido: retorna sem oscilarCriticamente amortecido: retorno mais rápido sem oscilaçãoNão amortecido: oscilação perpétua com $\omega_0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 97
Show solution
64 lb = 2 slugs, $k=4{,}625$ lb/ft, resistência $b=1$ . EDO: $2x''+x'+4{,}625x=0$ . Discriminante: $\Delta=1-4(2)(4{,}625)=1-37<0$ — subamortecido. Há oscilação amortecida.
Ex. 97.13ModelingAnswer key
Uma massa de 8 lb (1/4 slug) estica uma mola 6 in ( $k = 16$ lb/ft). O sistema é forçado por $8\sin(8t)$ lb. Descreva qualitativamente o comportamento da posição $x(t)$ .
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A solução geral tem parte homogênea amortecida mais parte particular senoidal em $8t$ A solução cresce sem limite — há ressonância puraA solução decai exponencialmente sem oscilaçãoA solução particular é $x_p = A\cos(8t)$ apenas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 98
Show solution
Massa 8 lb = 1/4 slug, estica 6 in = 1/2 ft. $k=8/(1/2)=16$ lb/ft. $\omega_0=\sqrt{16/(1/4)}=8$ rad/s. Forçamento $8\sin(8t)$ : frequência igual a $\omega_0$ — ressonância! A solução particular contém fator $t$ (crescimento linear da amplitude).
Ex. 97.14Modeling
Uma massa de 6 lb estica uma mola 3 in. O sistema é forçado por $8\sin(4t)$ lb. A massa é puxada 1 in abaixo e solta. Descreva qualitativamente $x(t)$ .
Select the correct option
$x(t)$ tem transitório amortecido mais resposta estacionária senoidal em $4t$ $x(t)$ cresce sem limite — há ressonância pura pois $\omega = \omega_0$ $x(t)$ decai exponencialmente sem oscilação $x(t)$ é periódica permanente sem envelope decrescente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 99
Show solution
Massa 6 lb = 3/16 slug, estica 3 in = 1/4 ft. $k=6/(1/4)=24$ lb/ft. $\omega_0=\sqrt{24/(3/16)}=\sqrt{128}\approx11{,}3$ rad/s. Forçamento em $\omega=4$ rad/s — não é ressonância ( $4\neq11{,}3$ ). Solução: transitório + particular senoidal.
Ex. 97.15Modeling
Encontre a carga no capacitor de um circuito RLC série com $L = 40$ H, $R = 30\ \Omega$ , $C = 1/200$ F e $E(t) = 200$ V. Carga e corrente iniciais são zero.
Select the correct option
$Q(t) = e^{-3t/8}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t) + 1$ C (subamortecido + constante) $Q(t) = C_1e^{-t}+C_2e^{-4t}+1$ C (superamortecido) $Q(t) = (C_1+C_2t)e^{-t}+1$ C (criticamente amortecido) $Q(t) = 1$ C (somente permanente)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 100
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Circuito RLC: $L=40$ H, $R=30$ $\Omega$ , $C=1/200$ F, $E=200$ V constante. EDO: $40Q''+30Q'+200Q=200$ . Particular: $Q_p=1$ C. Discriminante: $900-4(40)(200)=900-32000<0$ — subamortecido.
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1. EDO. $40Q''+30Q'+200Q=200$ .
2. Particular. $Q_p=200/200=1$ C.
3. Discriminante. $\Delta=900-32000<0$ : subamortecido.
4. Geral. $Q=e^{-3t/8}(C_1\cos\omega_d t+C_2\sin\omega_d t)+1$ ; CI determinam $C_1,C_2$ .
Ex. 97.16Modeling
Encontre a carga no capacitor de um circuito RLC série com $L = 2$ H, $R = 24\ \Omega$ , $C = 0{,}005$ F e $E(t) = 12\sin(10t)$ V. Carga e corrente iniciais são zero.
Select the correct option
$Q(t) = e^{-6t}(C_1\cos 8t + C_2\sin 8t) + Q_p(t)$ com $Q_p$ senoidal em $10t$ $Q(t) = C_1e^{-4t}+C_2e^{-12t}+Q_p(t)$ (superamortecido) $Q(t) = (C_1+C_2t)e^{-6t}+Q_p(t)$ (criticamente amortecido) $Q(t) = Q_p(t)$ apenas, sem transitório
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 101
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Circuito RLC: $L=2$ H, $R=24$ $\Omega$ , $C=0{,}005$ F, $E=12\sin(10t)$ V. EDO: $2Q''+24Q'+200Q=12\sin(10t)$ . Discriminante: $576-1600<0$ — subamortecido. $\alpha=6$ , $\omega_d=8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO. $2Q''+24Q'+200Q=12\sin(10t)$ .
2. Discriminante. $\Delta=576-1600<0$ ; raízes $-6\pm 8i$ .
3. Particular. $Q_p=A\cos(10t)+B\sin(10t)$ — resolver por coeficientes indeterminados.
4. Geral. $Q=e^{-6t}(C_1\cos 8t+C_2\sin 8t)+Q_p$ .
Ex. 97.17Modeling
Um circuito RLC série tem $L = 1$ H, $R = 20\ \Omega$ , $C = 0{,}002$ F e $E(t) = 12$ V constante. Carga e corrente iniciais são zero. Encontre $Q(t)$ .
Select the correct option
$Q(t) = e^{-10t}(C_1\cos 20t + C_2\sin 20t) + 0{,}024$ C $Q(t) = C_1e^{-5t}+C_2e^{-15t}+0{,}024$ C $Q(t) = (C_1+C_2t)e^{-10t}+0{,}024$ C $Q(t) = 0{,}024$ C (somente permanente)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 102
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Circuito RLC: $L=1$ H, $R=20$ $\Omega$ , $C=0{,}002$ F, $E=12$ V. EDO: $Q''+20Q'+500Q=12$ . Particular: $Q_p=12/500=0{,}024$ C. Discriminante: $400-2000<0$ : subamortecido. $\alpha=10$ , $\omega_d=20$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO. $Q''+20Q'+500Q=12$ .
2. Particular. $Q_p=12/500=0{,}024$ C.
3. Discriminante. $400-2000<0$ ; $\alpha=10$ , $\omega_d=20$ .
4. CI $Q(0)=0$. $C_1=-0{,}024$ .
Ex. 97.18Modeling
Um circuito RLC série tem $L = 1/2$ H, $R = 10\ \Omega$ , $C = 1/50$ F e $E(t) = 250$ V. Carga e corrente iniciais são zero. Encontre $Q(t)$ .
Select the correct option
$Q(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-10t} + 5$ C (criticamente amortecido + constante) $Q(t) = e^{-10t}(C_1\cos 10t + C_2\sin 10t) + 5$ C $Q(t) = C_1e^{-5t}+C_2e^{-20t}+5$ C $Q(t) = 5$ C (somente permanente)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 103
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Circuito RLC: $L=1/2$ H, $R=10$ $\Omega$ , $C=1/50$ F, $E=250$ V. EDO: $(1/2)Q''+10Q'+50Q=250$ , ou seja $Q''+20Q'+100Q=500$ . Particular: $Q_p=5$ C. Discriminante: $400-400=0$ — criticamente amortecido.
Show step-by-step (with the why)
1. EDO normalizada. $Q''+20Q'+100Q=500$ .
2. Particular. $Q_p=500/100=5$ C.
3. Discriminante. $\Delta=400-400=0$ : raiz dupla $\lambda=-10$ .
4. Geral. $Q=(C_1+C_2t)e^{-10t}+5$ .
Ex. 97.19Application
Encontre uma solução particular de $2y'' - 5y' - 12y = 6$ .
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$y_p = -1/2$ $y_p = 1/2$ $y_p = -1$ $y_p = 6$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 54
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EDO: $2y''-5y'-12y=6$ . Tentativa: $y_p=A$ (constante). Substitui: $-12A=6\Rightarrow A=-1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tentativa. Forçamento constante: $y_p=A$ .
2. Derivadas. $y_p'=y_p''=0$ .
3. Substitui. $-12A=6\Rightarrow A=-1/2$ .
Ex. 97.20Application
Encontre uma solução particular de $3y'' + y' - 4y = 8$ .
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$y_p = -2$ $y_p = 2$ $y_p = 8$ $y_p = -8/4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 55
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EDO: $3y''+y'-4y=8$ . Tentativa: $y_p=A$ . Substitui: $0+0-4A=8\Rightarrow A=-2$ .
Ex. 97.21Application
Encontre uma solução particular de $y'' - 6y' + 5y = e^{-x}$ .
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$y_p = \tfrac{1}{12}e^{-x}$ $y_p = e^{-x}$ $y_p = -e^{-x}$ $y_p = \tfrac{1}{5}e^{-x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 56
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EDO: $y''-6y'+5y=e^{-x}$ . Tentativa: $y_p=Ae^{-x}$ . $y_p''=Ae^{-x}$ , $y_p'=-Ae^{-x}$ . Substitui: $Ae^{-x}+6Ae^{-x}+5Ae^{-x}=12Ae^{-x}=e^{-x}\Rightarrow A=1/12$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tentativa. $y_p=Ae^{-x}$ .
2. Derivadas. $y_p'=-Ae^{-x}$ , $y_p''=Ae^{-x}$ .
3. Substitui. $A+6A+5A=12A=1\Rightarrow A=1/12$ .
4. Resultado. $y_p=e^{-x}/12$ .
Ex. 97.22Application
Encontre uma solução particular de $y'' - 4y' + 4y = 8x^2 + 4x$ .
Select the correct option
$y_p = 2x^2 + 5x + 4{,}5$ $y_p = 2x^2 - 3x$ $y_p = x^2 + x$ $y_p = 4x + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 59
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EDO: $y''-4y'+4y=8x^2+4x$ . Tentativa: $y_p=Ax^2+Bx+C$ . Substitui e iguala: coeficiente de $x^2$ : $4A=8\Rightarrow A=2$ ; coeficiente de $x$ : $-8A+4B=4\Rightarrow B=5$ ; constante: $2A-4B+4C=0\Rightarrow C=4{,}5$ .
Ex. 97.23Application
Encontre uma solução particular de $y'' - 2y' - 3y = \sin 2x$ .
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$y_p = -\tfrac{3}{13}\sin 2x + \tfrac{2}{13}\cos 2x$ $y_p = -\tfrac{1}{5}\sin 2x$ $y_p = \tfrac{1}{3}\cos 2x$ $y_p = \tfrac{2}{13}\sin 2x - \tfrac{3}{13}\cos 2x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 60
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EDO: $y''-2y'-3y=\sin 2x$ . Tentativa: $y_p=A\sin 2x+B\cos 2x$ . Sistema linear em A, B: $-7A-4B=1$ e $4A-7B=0$ . Resolução: $A=-3/13$ , $B=2/13$ ... aguardar verificação.
Ex. 97.24UnderstandingAnswer key
Para a EDO $y'' + 9y = e^x\cos x$ , qual o método mais adequado para encontrar a solução particular?
Select the correct option
Usa variação de parâmetros pois $\sec x$ não admite tentativa por coeficientes indeterminadosUsa coeficientes indeterminados com tentativa $y_p = A\sec x$ O forçamento $\sec x$ é solução homogênea, então multiplica por $x$ Não tem solução particular — $\sec x$ diverge
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 62
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EDO: $y''+9y=e^x\cos x$ . Homogênea: raízes $\pm 3i$ . O forçamento $e^x\cos x$ não é solução homogênea. Aplica coeficientes indeterminados: $y_p=e^x(A\cos x+B\sin x)$ .
Ex. 97.25Understanding
Para $y'' + y = 3\sin 2x + x\cos 2x$ , qual é a forma correta da tentativa $y_p$ pelo método dos coeficientes indeterminados?
Select the correct option
A tentativa é $y_p = (Ax + B)\sin 2x + (Cx + D)\cos 2x$ A tentativa é $y_p = A\sin 2x + B\cos 2x$ A tentativa é $y_p = Ax^2\sin 2x + Bx^2\cos 2x$ A tentativa é $y_p = Ae^{2x}\sin x + Be^{2x}\cos x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 63
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EDO: $y''+y=3\sin 2x+x\cos 2x$ . O forçamento tem forma $P_1\sin 2x+P_2(x)\cos 2x$ com grau máximo 1. A tentativa usa polinômios de grau 1 em ambos os termos.
Ex. 97.26ApplicationAnswer key
Encontre uma solução particular de $y'' + 3y' - 28y = 10e^{4x}$ .
Select the correct option
$y_p = \tfrac{10}{11}xe^{4x}$ (caso de ressonância: $\lambda=4$ é raiz da homogênea) $y_p = \tfrac{10}{9}e^{4x}$ (sem ressonância) $y_p = e^{4x}$ $y_p = \tfrac{1}{9}e^{4x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 64
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EDO: $y''+3y'-28y=10e^{4x}$ . Raízes: $(\lambda-4)(\lambda+7)=0$ : $\lambda=4$ é raiz — ressonância. Tentativa: $y_p=Axe^{4x}$ . Substitui: $A(8+16x+3+12x-28x)e^{4x}=11Ae^{4x}=10e^{4x}\Rightarrow A=10/11$ .
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1. Raízes. $\lambda^2+3\lambda-28=(\lambda-4)(\lambda+7)=0$ : $\lambda=4$ é raiz.
2. Tentativa modificada. $y_p=Axe^{4x}$ .
3. Derivadas. $y_p'=A(1+4x)e^{4x}$ , $y_p''=A(8+16x)e^{4x}$ .
4. Substitui. $11Ae^{4x}=10e^{4x}\Rightarrow A=10/11$ .
Ex. 97.27Application
Encontre uma solução particular de $y'' + 10y' + 25y = xe^{-5x} + 4$ .
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$y_p = x^2e^{-5x}/2 + 4/25$ $y_p = xe^{-5x}$ $y_p = e^{-5x}$ $y_p = x^2e^{-5x}$ (sem a constante)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 65
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EDO: $y''+10y'+25y=xe^{-5x}+4$ . Raiz $\lambda=-5$ dupla. Para $xe^{-5x}$ : tentativa $y_{p1}=e^{-5x}(Ax^2+Bx^3)$ reduzida — ver livro. Para a constante: $y_{p2}=4/25$ .
Ex. 97.28Application
Encontre uma solução particular de $y'' + 3y' - 4y = 2e^x$ .
Select the correct option
$y_p = \tfrac{2}{5}xe^x$ (ressonância: $\lambda=1$ é raiz simples) $y_p = 2e^x$ $y_p = \tfrac{1}{5}e^x$ $y_p = \tfrac{2}{5}x^2e^x$ (raiz dupla)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 72
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EDO: $y''+3y'-4y=2e^x$ . Raízes: $(\lambda-1)(\lambda+4)=0$ : $\lambda=1$ é raiz simples. Tentativa: $y_p=Axe^x$ . $y_p''=A(2+x)e^x$ . Substitui: $5Ae^x=2e^x\Rightarrow A=2/5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Raízes. $\lambda=1$ — ressonância simples.
2. Tentativa. $y_p=Axe^x$ .
3. Substitui. $5Ae^x=2e^x\Rightarrow A=2/5$ .
Ex. 97.29Application
Encontre uma solução particular de $y'' + 6y' + 9y = e^{-x}$ .
Select the correct option
$y_p = \tfrac{1}{4}e^{-x}$ (sem ressonância: $-1 \neq -3$ ) $y_p = xe^{-x}$ (ressonância) $y_p = \tfrac{1}{16}x^2e^{-3x}$ $y_p = e^{-x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 74
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EDO: $y''+6y'+9y=e^{-x}$ . Raiz dupla $\lambda=-3$ . Como $-1\neq-3$ : sem ressonância. Tentativa: $y_p=Ae^{-x}$ . Substitui: $A-6A+9A=4A=1\Rightarrow A=1/4$ .
Ex. 97.30Application
Encontre uma solução particular de $y'' + 2y' - 8y = 6e^{2x}$ .
Select the correct option
$y_p = xe^{2x}$ (ressonância: $\lambda=2$ é raiz) $y_p = 6e^{2x}$ $y_p = \tfrac{1}{6}e^{2x}$ $y_p = \tfrac{1}{6}xe^{2x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 75
Show solution
EDO: $y''+2y'-8y=6e^{2x}$ . Raízes: $(\lambda-2)(\lambda+4)=0$ : $\lambda=2$ é raiz. Tentativa: $y_p=Axe^{2x}$ . Substitui: $6Ae^{2x}=6e^{2x}\Rightarrow A=1$ . Logo $y_p=xe^{2x}$ .
Ex. 97.31Challenge
Resolva por variação de parâmetros: $y'' + y = \sec x$ , com $0 < x < \pi/2$ .
Select the correct option
$y_p = \ln(\cos x)\cos x + x\sin x$ via variação de parâmetros $y_p = A\sec x$ (coeficientes indeterminados) $y_p = A\cos x + B\sin x$ Não existe solução particular para $\sec x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 78
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EDO: $y''+y=\sec x$ . Variação de parâmetros: $y_1=\cos x$ , $y_2=\sin x$ , $W=1$ . $u_1'=-\tan x$ , $u_2'=1$ . $u_1=\ln(\cos x)$ , $u_2=x$ . $y_p=\ln(\cos x)\cos x+x\sin x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Homogênea. $y_1=\cos x$ , $y_2=\sin x$ ; $W=1$ .
2. Variação. $u_1'=-\sin x\sec x=-\tan x$ ; $u_2'=1$ .
3. Integra. $u_1=\ln(\cos x)$ ; $u_2=x$ .
4. Particular. $y_p=\ln(\cos x)\cos x+x\sin x$ .
Ex. 97.32Challenge
Resolva o PVI: $y'' - 2y' + y = 12e^x$ com solução particular $y_p = 6x^2e^x$ , condições $y(0) = 6$ , $y'(0) = 0$ .
Select the correct option
$y(x) = (6x^2 - 6x + 6)e^x$ $y(x) = 6x^2e^x$ $y(x) = (6x^2-1)e^x+7e^{-x}$ $y(x) = 6x^2e^x+e^{-x}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 80
Show solution
EDO: $y''-2y'+y=12e^x$ , $y_p=6x^2e^x$ dado. Homogênea: raiz dupla $\lambda=1$ . Geral: $y=(C_1+C_2x+6x^2)e^x$ . $y(0)=C_1=6$ . $y'=(C_1+C_2+C_2x+12x+6x^2)e^x+(C_1+C_2x+6x^2)e^x$ ; $y'(0)=C_1+C_2+C_1=6$ : $2(6)+C_2=0\Rightarrow C_2=-6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Geral. $y=(C_1+C_2x+6x^2)e^x$ .
2. CI $y(0)=6$. $C_1=6$ .
3. Derivada em 0. $y'(0)=C_1+C_2=0\Rightarrow C_2=-6$ .
4. Solução. $y=(6-6x+6x^2)e^x$ .
Ex. 97.33Challenge
Resolva o PVI: $y'' - 7y' = 4te^{7t}$ com solução particular dada, condições $y(0) = -1$ , $y'(0) = 0$ .
Select the correct option
$y(t) = -e^{7t} - \tfrac{4}{49}e^{7t} + \tfrac{2}{7}t^2e^{7t}$ $y(t) = e^{7t}$ $y(t) = te^{7t}$ $y(t) = \tfrac{2}{7}t^2e^{7t}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 81
Show solution
EDO: $y''-7y'=4te^{7t}$ , $y_p=\tfrac{2}{7}t^2e^{7t}-\tfrac{4}{49}te^{7t}$ dado. Homogênea: $\lambda(\lambda-7)=0$ ; raízes 0 e 7. Geral: $y=C_1+C_2e^{7t}+y_p$ . CI: $y(0)=-1$ , $y'(0)=0$ .
Ex. 97.34Understanding
Para a EDO $y'' + y = \cos x - 4\sin x$ , o forçamento é solução homogênea (raízes $\pm i$ ). Como isso afeta a forma da tentativa $y_p$ ?
Select the correct option
A solução particular é de forma $y_p = e^x x^2(A\cos x + B\sin x)$ se $1\pm i$ são raízes duplasA solução particular é $y_p = xe^x(A\cos x + B\sin x)$ A solução particular é $y_p = e^x(A\cos x + B\sin x)$ Não existe solução particular por coeficientes indeterminados
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 82
Show solution
EDO: $y''+y=\cos x-4\sin x$ , $y_p=2x\cos x+\tfrac{x}{2}\sin x$ dado. Raízes da homogênea: $\pm i$ . Forçamento $\cos x$ e $\sin x$ são soluções homogêneas — ressonância. Multiplica por $x$ . CI: $y(0)=8$ , $y'(0)=-4$ .
Ex. 97.35ChallengeAnswer key
Encontre a solução particular de $y'' - 5y' = e^{5t} + 8e^{-5t}$ .
Select the correct option
$y_p = \tfrac{1}{5}te^{5t} + \tfrac{4}{25}e^{-5t}$ $y_p = e^{5t}$ $y_p = te^{5t}$ $y_p = \tfrac{1}{5}e^{5t}+e^{-5t}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 83
Show solution
EDO: $y''-5y'=e^{5t}+8e^{-5t}$ . Raízes: $\lambda(\lambda-5)=0$ : 0 e 5. Para $e^{5t}$ : ressonância, tentativa $Ate^{5t}$ . Para $8e^{-5t}$ : sem ressonância, tentativa $Be^{-5t}$ . Resolução: $A=1/5$ , $B=4/25$ .
Ex. 97.36Proof
Use variação de parâmetros para encontrar a solução particular de $x^2y'' + 2xy' - 2y = 3x$ , dado que $y_1 = x$ e $y_2 = x^{-2}$ .
Select the correct option
$y_p = x$ (verificar: $x^2(1)'' + 2x(1)' - 2(x) = 0+2-2x = 2-2x \neq 3x$ ) $y_p = x^2$ $y_p = x + x^{-2}$ $y_p = \tfrac{3}{2}x$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 84
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Equação de Euler: $x^2y''+2xy'-2y=3x$ , com $y_1=x$ , $y_2=x^{-2}$ dados. Wronskiano: $W=x\cdot(-2x^{-3})-x^{-2}\cdot1=-3x^{-2}$ . Variação de parâmetros: $u_1'=-y_2g/W$ , $u_2'=y_1g/W$ com $g=3x/x^2=3/x$ .
Ex. 97.37Proof
Use variação de parâmetros para encontrar a solução particular de $x^2y'' - 2y = 10x^2 - 1$ , dado $y_1 = x^2$ e $y_2 = x^{-1}$ .
Select the correct option
$y_p = -5 + \tfrac{1}{2}x^{-1}$ $y_p = x^2$ $y_p = 5x^2-\tfrac{1}{2}x^{-1}$ $y_p = 10x^2-1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.2 · ex. 85
Show solution
Equação de Euler: $x^2y''-2y=10x^2-1$ , com $y_1=x^2$ , $y_2=x^{-1}$ . Wronskiano: $W=x^2(-x^{-2})-x^{-1}(2x)=-3$ . Variação: $g=(10x^2-1)/x^2=10-x^{-2}$ . Integra $u_1'$ e $u_2'$ (ver referência) para obter $y_p=-5+\tfrac{1}{2}x^{-1}$ .
Ex. 97.38UnderstandingAnswer key
Em um circuito RLC com $R > 0$ e forçamento $E(t) = E_0\cos(\omega t)$ , o que representa o "estado estacionário" da carga $Q(t)$ ?
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A solução homogênea decai a zero ( $R > 0$ ) e o estado estacionário é somente a particular $Q_p$ A solução homogênea persiste indefinidamenteO estado estacionário inclui a homogênea e a particularPara $E = 0$ , o estado estacionário é $Q =$ constante nonzero
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 100
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Com $R>0$ no circuito RLC, as raízes da equação característica têm parte real negativa — a solução homogênea decai exponencialmente. Após o transitório morrer, resta apenas a resposta particular: o estado estacionário.
Ex. 97.39Understanding
O que ocorre na frequência de ressonância $\omega = \omega_0$ em um circuito RLC série com forçamento $E(t) = E_0\cos(\omega t)$ ?
Select the correct option
Na ressonância $\omega = \omega_0$ , a impedância é $|Z| = R$ (mínima) e a corrente é máxima $I = E_0/R$ Na ressonância, a impedância é infinita e a corrente tende a zeroA ressonância ocorre para $\omega = \omega_0/2$ Na ressonância, somente o indutor dissipa energia
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 101
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Na frequência de ressonância $\omega=\omega_0=1/\sqrt{LC}$ , as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam: $X_L=X_C$ . A impedância torna-se puramente resistiva: $|Z|=R$ . A corrente de pico é máxima: $I_0=E_0/R$ .
Ex. 97.40Challenge
Explique a analogia matemática completa entre o circuito RLC série e o oscilador massa-mola-amortecedor, justificando por que toda técnica de solução é transferível.
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As EDOs $L\ddot Q + R\dot Q + Q/C = E$ e $m\ddot x + b\dot x + kx = F$ são estruturalmente idênticas: $L\leftrightarrow m$ , $R\leftrightarrow b$ , $1/C\leftrightarrow k$ As EDOs são parecidas mas não idênticas — termos diferentesA analogia só vale no regime subamortecidoA analogia falha pois grandezas elétricas e mecânicas têm unidades incompatíveis
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Solve online OpenStax Calculus Volume 3 · §7.3 · ex. 102
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Ambas as EDOs têm a forma $ay''+by'+cy=g(t)$ . Os coeficientes se mapeiam diretamente: $m\leftrightarrow L$ , $b\leftrightarrow R$ , $k\leftrightarrow 1/C$ , $F\leftrightarrow E$ . Toda análise matemática — classificação, soluções, estabilidade — é comum às duas.
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1. Mecânico. $m\ddot x+b\dot x+kx=F(t)$ .
2. Elétrico. $L\ddot Q+R\dot Q+Q/C=E(t)$ .
3. Mapeamento. $m\leftrightarrow L$ , $b\leftrightarrow R$ , $k\leftrightarrow 1/C$ , $x\leftrightarrow Q$ , $F\leftrightarrow E$ .
4. Consequência. Toda solução, técnica e critério de estabilidade transfere diretamente.

Fontes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — Referência principal; §2.6 cobre RLC como aplicação de EDOs de 2ª ordem.
Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Brooks-Cole (aberto). digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — Cap. 6 trata circuitos RL, RC e RLC com abordagem clássica.
OpenStax. University Physics Volume 2. CC-BY. openstax.org/details/books/university-physics-volume-2 — §14.5–14.6: ressonância, fator de qualidade, largura de banda, perspectiva física.