v1 · padrão canônico

Lesson 98 — Euler Method (Numerical)

Explicit Euler method for ODEs: discretization, local error O(h²), global error O(h), implementation and comparison with Runge-Kutta.

Used in: Numerical Calculus (UFRGS, USP, UNICAMP) · Spécialité Maths Terminale (France) · Mathematics 4 (IIT-JEE Advanced, India)

y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,\, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h

O método de Euler explícito aproxima a solução de $y' = f(x,y)$ pela reta tangente no ponto atual. Cada passo de tamanho $h$ acumula erro local $O(h^2)$ ; o erro global em $[x_0, X]$ é $O(h)$ — método de primeira ordem.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivação e análise de erro

Problema de valor inicial

Dado o PVI:

$y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$

Desejamos aproximar $y(x)$ em $x \in [x_0, X]$ sem expressão fechada.

Discretização

Divida o intervalo em $N$ subintervalos iguais:

$h = \frac{X - x_0}{N}, \qquad x_n = x_0 + n\,h, \quad n = 0, 1, \ldots, N$

"The simplest numerical method for solving $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ , is Euler's method. We replace $y'$ with the difference quotient $(y_{n+1} - y_n)/h$ and evaluate $f$ at $x_n$ : this gives $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7

Análise de erro por série de Taylor

Comparação de métodos

Comparação de métodos de passo único para EDOs. RK4 é o padrão industrial para precisão; Euler implícito para equações rígidas (stiff).

Exemplos resolvidos

Example— 98.1· Euler em 4 passos — EDO exponencial

Problema. Use o método de Euler com $h = 0{,}1$ para aproximar $y(0{,}4)$ dado $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Compare com o valor exato.

Estratégia. Aplique a recorrência $y_{n+1} = y_n + h(-y_n) = y_n(1-h)$ quatro vezes.

Resolução.

$n$	$x_n$	$y_n$	$f = -y_n$	$y_{n+1}$
0	0	1,0000	-1,0000	0,9000
1	0,1	0,9000	-0,9000	0,8100
2	0,2	0,8100	-0,8100	0,7290
3	0,3	0,7290	-0,7290	0,6561

$y_4 = 0{,}6561$ . Exato: $e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703$ . Erro relativo: $\approx 2{,}12\%$ .

Verificação. A cada passo, multiplicamos por $(1-h) = 0{,}9$ , portanto $y_4 = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$ ✓. O erro cresce com $h$ — para $h = 0{,}05$ , o erro cairia para $\approx 1{,}06\%$ .

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA

Example— 98.2· Euler em equação não linear

Problema. Estime $y(1)$ para $y' = y^2$ , $y(0) = 0{,}5$ , usando Euler com $h = 0{,}25$ .

Estratégia. A solução exata é $y = 1/(2-x)$ (blow-up em $x = 2$ ). Com 4 passos até $x = 1$ .

Resolução.

$n=0$ : $f(0, 0{,}5) = 0{,}25$ . $y_1 = 0{,}5 + 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}5625$ .

$n=1$ : $f(0{,}25, 0{,}5625) = 0{,}31641$ . $y_2 = 0{,}5625 + 0{,}25 \times 0{,}31641 = 0{,}6416$ .

$n=2$ : $f(0{,}5, 0{,}6416) = 0{,}4117$ . $y_3 = 0{,}6416 + 0{,}25 \times 0{,}4117 = 0{,}7445$ .

$n=3$ : $f(0{,}75, 0{,}7445) = 0{,}5543$ . $y_4 = 0{,}7445 + 0{,}25 \times 0{,}5543 = 0{,}8831$ .

Exato: $y(1) = 1/(2-1) = 1$ . Erro: $11{,}7\%$ .

Verificação. O erro é grande porque $f = y^2$ cresce e as tangentes sub-estimam a curva. Reduzir para $h = 0{,}1$ (10 passos) reduziria para $\approx 5{,}8\%$ , confirmando a ordem 1.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.2, Example 4.2 — CC-BY-NC-SA

Example— 98.3· Comparacao Euler versus RK4

Problema. Para $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ , aproxime $y(0{,}2)$ com $h = 0{,}1$ usando (a) Euler e (b) RK4. Solução exata: $y = 2e^x - x - 1$ .

Estratégia. Aplique as fórmulas de cada método e compare erros.

Resolução.

Exato: $y(0{,}2) = 2e^{0{,}2} - 0{,}2 - 1 \approx 2 \times 1{,}2214 - 1{,}2 = 1{,}2428$ .

(a) Euler:

$n=0$ : $f(0,1) = 1$ . $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 1 = 1{,}1$ .

$n=1$ : $f(0{,}1, 1{,}1) = 0{,}1 + 1{,}1 = 1{,}2$ . $y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}22$ .

Erro Euler: $|1{,}2428 - 1{,}22| = 0{,}0228$ .

(b) RK4 (passo $n=0 \to n=1$ , $h=0{,}1$ ):

$k_1 = 0 + 1 = 1$ ; $k_2 = (0{,}05) + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_3 = 0{,}05 + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_4 = 0{,}1 + (1 + 0{,}1) = 1{,}2$ .

$y_1 = 1 + (0{,}1/6)(1 + 2{,}2 + 2{,}2 + 1{,}2) = 1 + 0{,}1 \times 1{,}1\overline{0}\approx 1{,}1103$ .

Erro RK4 (dois passos): $< 10^{-6}$ — ordens de grandeza melhor que Euler.

Verificação. Razão dos erros para $h$ reduzido à metade: Euler 2:1 (1ª ordem); RK4 16:1 (4ª ordem) ✓.

Fonte. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.3 — CC-BY-SA

Example— 98.4· Euler implícito — estabilidade em equação rígida

Problema. $y' = -100y$ , $y(0) = 1$ . Compare Euler explícito com $h = 0{,}03$ (instável) e $h = 0{,}01$ (estável).

Estratégia. Analise $|1 + h\lambda|$ com $\lambda = -100$ .

Resolução.

Fator de amplificação Euler explícito: $r = 1 + h\lambda = 1 - 100h$ .

$h = 0{,}03$ : $r = 1 - 3 = -2$ . $|r| = 2 > 1$ — instável: $y_n = (-2)^n \to \pm\infty$ .
$h = 0{,}01$ : $r = 1 - 1 = 0$ . $|r| = 0 < 1$ — estável (na fronteira), $y_n = 0$ em 1 passo (sobre-amortecimento).
$h = 0{,}02$ : $r = 1 - 2 = -1$ . $|r| = 1$ — oscila sem amortecimento.

Região de estabilidade Euler: $h < 2/|\lambda| = 0{,}02$ para esta equação. A solução exata $e^{-100x}$ decai em $x \sim 0{,}01$ — passos muito menores que a escala de interesse.

Verificação. Euler implícito: $r_{imp} = 1/(1-h\lambda) = 1/(1+100h)$ . Para qualquer $h > 0$ : $|r_{imp}| < 1$ ✓ — sempre estável.

Fonte. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.4 — CC-BY-SA

Example— 98.5· Euler para sistema de EDOs — oscilador

Problema. Sistema $x' = v$ , $v' = -x$ (oscilador harmônico), CI: $x(0) = 1$ , $v(0) = 0$ , $h = 0{,}1$ , simule 3 passos.

Estratégia. Aplique Euler em cada componente simultaneamente.

Resolução.

Estado: $x_n$ , $v_n$ . Funções $f_1 = v$ e $f_2 = -x$ .

Passo 0: $x_0 = 1$ , $v_0 = 0$ . Inclinações: $\dot x = 0$ , $\dot v = -1$ .

$x_1 = 1 + 0.1 \times 0 = 1$ ; $v_1 = 0 + 0.1 \times (-1) = -0.1$ .

Passo 1: $x_1 = 1$ , $v_1 = -0.1$ . Inclinações: $\dot x = -0.1$ , $\dot v = -1$ .

$x_2 = 1 + 0.1 \times (-0.1) = 0.99$ ; $v_2 = -0.1 + 0.1 \times (-1) = -0.2$ .

Passo 2: $x_2 = 0.99$ , $v_2 = -0.2$ . Inclinações: $\dot x = -0.2$ , $\dot v = -0.99$ .

$x_3 = 0.99 + 0.1 \times (-0.2) = 0.97$ ; $v_3 = -0.2 + 0.1 \times (-0.99) = -0.299$ .

Exato em $t = 0.3$ : $x = \cos(0.3) \approx 0.9553$ , $v = -\sin(0.3) \approx -0.2955$ . Euler superestima $x$ — não conserva energia. O Euler simplético resolve: calcula $v_{n+1}$ primeiro, depois usa-o para $x_{n+1}$ .

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 8Modeling 4Challenge 1

Fontes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.7 cobre método de Euler com análise de erro por Taylor.
UFRGS Reamat. Cálculo Numérico (versão Python). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico — Cap. 8: Euler, Heun, RK4, estabilidade e análise de erro em PT-BR com código Python.
OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.2: campos de direção e método de Euler com interpretação gráfica.