Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lesson 99 — Newton's Law of Cooling

dT/dt = -k(T - T_amb): Separable ODE with exponential solution. Forensic, industrial, and everyday applications.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Mathematik Klasse 12 (Alemanha) · H2 Mathematics (Singapura)

dTdt=−k(T−Tamb)  ⟹  T(t)=Tamb+(T0−Tamb) e−kt\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}) \;\Longrightarrow\; T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-kt}

A lei de Newton do resfriamento diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre o objeto e o ambiente. Solução: decaimento exponencial até TambT_{\text{amb}}. Constante de tempo τ=1/k\tau = 1/k: em t=τt = \tau a diferença cai a 37% do valor inicial.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivação rigorosa e solução

A lei e sua hipótese

A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional ao desvio em relação ao ambiente:

dTdt=−k(T−Tamb)\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})
what this means · k > 0 é a constante de transferência de calor [1/tempo]. O sinal negativo indica que o objeto esfria quando T > T_amb e aquece quando T < T_amb.

"The temperature of a body changes at a rate proportional to the difference between the temperature of the body and the temperature of the surrounding medium. This is Newton's law of cooling." — Trench, Elementary Differential Equations §4.2

Constante de tempo e meia-vida

Determinação de kk a partir de dados

Dados T(t1)=T1T(t_1) = T_1:

k=−1t1ln⁡ ⁣(T1−TambT0−Tamb)k = -\frac{1}{t_1}\ln\!\left(\frac{T_1 - T_{\text{amb}}}{T_0 - T_{\text{amb}}}\right)
what this means · Isola-se k diretamente de uma medição no tempo t_1.

Validade do modelo

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 3Modeling 14Challenge 3Proof 2
  1. Ex. 99.1ApplicationAnswer key

    Resolva a EDO separável dTdt=−k(T−Tamb)\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}) com T(0)=T0T(0) = T_0. A solução é:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159
    Show solution
    A EDO T′=−k(T−Tamb)T' = -k(T - T_{\text{amb}}) é separável. Seja u=T−Tambu = T - T_{\text{amb}}: u′=−kuu' = -ku, logo u=u0e−ktu = u_0 e^{-kt}. Voltando: T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. EDO: dTdt=−k(T−Tamb)\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}).
    2. Seja u=T−Tambu = T - T_{\text{amb}}: dudt=−ku\frac{du}{dt} = -ku.
    3. Separa: duu=−k dt\frac{du}{u} = -k\,dt. Integra: ln⁡∣u∣=−kt+C\ln|u| = -kt + C.
    4. Exponenteia: u=Ae−ktu = Ae^{-kt}. CI u(0)=T0−Tambu(0)=T_0-T_{\text{amb}}: A=T0−TambA=T_0-T_{\text{amb}}.
    5. Solução: T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}.
  2. Ex. 99.2Application

    Resolva a EDO separável x2y′=(x+1)yx^2 y' = (x+1)y:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 123
    Show solution
    Separa: dyy=x+1x2 dx=1x dx+1x2 dx\frac{dy}{y} = \frac{x+1}{x^2}\,dx = \frac{1}{x}\,dx + \frac{1}{x^2}\,dx. Integra: ln⁡∣y∣=ln⁡∣x∣−1x+C1\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + C_1. Logo y=Cxe−1/xy = Cxe^{-1/x}.
  3. Ex. 99.3ApplicationAnswer key

    Resolva dydt=ycos⁡(3t+2)\frac{dy}{dt} = y\cos(3t+2):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 126
    Show solution
    Separa: dyy=cos⁡(3t+2) dt\frac{dy}{y} = \cos(3t+2)\,dt. Integra: ln⁡∣y∣=sin⁡(3t+2)3+C1\ln|y| = \frac{\sin(3t+2)}{3} + C_1. Logo y=Cesin⁡(3t+2)/3y = Ce^{\sin(3t+2)/3}.
  4. Ex. 99.4Application

    Resolva (1+x)y′=(x+2)(y−1)(1+x)y' = (x+2)(y-1):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 129
    Show solution
    Separa: dyy−1=x+21+x dx=(1+11+x)dx\frac{dy}{y-1} = \frac{x+2}{1+x}\,dx = \left(1+\frac{1}{1+x}\right)dx. Integra: ln⁡∣y−1∣=x+ln⁡(1+x)+C1\ln|y-1| = x + \ln(1+x) + C_1. Logo y−1=C(1+x)exy-1 = C(1+x)e^x.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reescreve o lado direito: x+21+x=1+11+x\frac{x+2}{1+x} = 1 + \frac{1}{1+x}.
    2. Integra: x+ln⁡(1+x)x + \ln(1+x).
    3. Exponenteia: y−1=C(1+x)exy - 1 = C(1+x)e^x.
  5. Ex. 99.5Application

    Resolva dxdt=3t2(x2+4)\frac{dx}{dt} = 3t^2(x^2+4):

    Select the correct option
    Select an option first
    OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 130
    Show solution
    Separa: dxx2+4=3t2 dt\frac{dx}{x^2+4} = 3t^2\,dt. Integra: 12arctan⁡ ⁣(x2)=t3+C\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = t^3 + C, logo arctan⁡(x/2)=2t3+C′\arctan(x/2) = 2t^3 + C'.
  6. Ex. 99.6ApplicationAnswer key

    Resolva y′=ey−xy' = e^{y-x} com y(0)=0y(0)=0:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 133
    Show solution
    Separa: e−y dy=e−x dxe^{-y}\,dy = e^{-x}\,dx. Integra: −e−y=−e−x+C-e^{-y} = -e^{-x} + C. CI y(0)=0y(0)=0: −1=−1+C⇒C=0-1=-1+C \Rightarrow C=0. Logo e−y=e−xe^{-y}=e^{-x}, y=xy=x.
  7. Ex. 99.7Application

    Resolva y′=y2(x+1)y' = y^2(x+1) com y(0)=2y(0)=2:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 134
    Show solution
    Separa: dyy2=(x+1) dx\frac{dy}{y^2} = (x+1)\,dx. Integra: −1y=x22+x+C-\frac{1}{y} = \frac{x^2}{2}+x+C. CI y(0)=2y(0)=2: −1/2=C-1/2=C. Logo −1/y=x2/2+x−1/2-1/y=x^2/2+x-1/2.
  8. Ex. 99.8Application

    Resolva dydx=y3xex2\frac{dy}{dx} = y^3 x e^{x^2} com y(0)=1y(0)=1:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 135
    Show solution
    Separa: y−3 dy=xex2 dxy^{-3}\,dy = x e^{x^2}\,dx. Integra: −12y−2=12ex2+C-\frac{1}{2}y^{-2} = \frac{1}{2}e^{x^2}+C. CI y(0)=1y(0)=1: −1/2=1/2+C⇒C=−1-1/2=1/2+C \Rightarrow C=-1. Logo y−2=2−ex2y^{-2}=2-e^{x^2}.
  9. Ex. 99.9Application

    Resolva y′=x sech2yy' = x\,\text{sech}^2 y com y(0)=0y(0)=0:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 137
    Show solution
    Usa-se que ddytanh⁡y=sech2y\frac{d}{dy}\tanh y = \text{sech}^2 y. Separa: dysech2y=x dx\frac{dy}{\text{sech}^2 y} = x\,dx. Integra: tanh⁡y=x2/2+C\tanh y = x^2/2 + C. CI y(0)=0y(0)=0: C=0C=0. Logo y=tanh⁡(x2/2)y=\tanh(x^2/2).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reescreve: cosh⁡2y dy=x dx\cosh^2 y\,dy = x\,dx (equivalente).
    2. Lembra que ∫dysech2y=tanh⁡y\int \frac{dy}{\text{sech}^2 y} = \tanh y. Integra: tanh⁡y=x2/2+C\tanh y = x^2/2 + C.
    3. CI: tanh⁡(0)=0=C\tanh(0)=0=C. Solução: y=tanh⁡(x2/2)y = \tanh(x^2/2).
  10. Ex. 99.10Application

    Resolva y′=3x2(y2+4)y' = 3x^2(y^2+4) com y(0)=0y(0)=0. (Resp: y=2tan⁡(2x3)y=2\tan(2x^3))

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 140
    Show solution
    Separa: dyy2+4=3x2 dx\frac{dy}{y^2+4} = 3x^2\,dx. Integra: 12arctan⁡(y/2)=x3+C\frac{1}{2}\arctan(y/2) = x^3 + C. CI y(0)=0y(0)=0: C=0C=0. Logo arctan⁡(y/2)=2x3\arctan(y/2)=2x^3, y=2tan⁡(2x3)y=2\tan(2x^3).
  11. Ex. 99.11Application

    Resolva y′=−2xtan⁡yy' = -2x\tan y com y(0)=π/6y(0) = \pi/6:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 142
    Show solution
    Separa: cos⁡ysin⁡y dy=−2x dx\frac{\cos y}{\sin y}\,dy = -2x\,dx. Integra: ln⁡∣sin⁡y∣=−x2+C\ln|\sin y| = -x^2+C. CI y(0)=π/6y(0)=\pi/6: ln⁡(1/2)=C\ln(1/2)=C. Logo sin⁡y=12e−x2\sin y = \tfrac{1}{2}e^{-x^2}.
  12. Ex. 99.12Understanding

    Analise o equilíbrio e a solução de y′=1−2yy' = 1-2y:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 143
    Show solution
    Equilíbrio: 1−2y∗=0⇒y∗=1/21-2y^*=0 \Rightarrow y^*=1/2. Solução: y(t)=1/2+(y0−1/2)e−2ty(t)=1/2+(y_0-1/2)e^{-2t}. Como e−2t→0e^{-2t}\to 0, y→1/2y\to 1/2 — equilíbrio estável.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Separa: dy1−2y=dt\frac{dy}{1-2y} = dt. Integra: −12ln⁡∣1−2y∣=t+C-\frac{1}{2}\ln|1-2y| = t+C.
    2. Exponenteia: ∣1−2y∣=Ae−2t|1-2y| = Ae^{-2t}.
    3. CI y(0)=y0y(0)=y_0: y(t)=12+(y0−12)e−2ty(t)=\frac{1}{2}+(y_0-\frac{1}{2})e^{-2t}.
  13. Ex. 99.13ApplicationAnswer key

    Resolva y′=y2x3y' = y^2 x^3:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 144
    Show solution
    Separa: dyy2=x3 dx\frac{dy}{y^2} = x^3\,dx. Integra: −1/y=x4/4+C-1/y = x^4/4 + C. Logo y=−4/(x4+C′)y = -4/(x^4+C').
  14. Ex. 99.14ApplicationAnswer key

    Resolva y′=y3exy' = y^3 e^x:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 145
    Show solution
    Separa: y−3 dy=ex dxy^{-3}\,dy = e^x\,dx. Integra: −12y−2=ex+C-\frac{1}{2}y^{-2} = e^x + C. Isola: y=(C′−2ex)−1/2y = (C' - 2e^x)^{-1/2}.
  15. Ex. 99.15ApplicationAnswer key

    Resolva y′=yln⁡xy' = y \ln x:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 147
    Show solution
    Separa: dyy=ln⁡x dx\frac{dy}{y} = \ln x\,dx. Integra por partes: ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x\int \ln x\,dx = x\ln x - x. Logo ln⁡∣y∣=xln⁡x−x+C1\ln|y| = x\ln x - x + C_1, y=Cexln⁡x−x=Cxxe−xy = Ce^{x\ln x-x} = Cx^xe^{-x}.
  16. Ex. 99.16Modeling

    Fármacos no sangue decaem segundo y′=cyy' = cy. Meia-vida de 2 horas. Fração da dose inicial restante após 6 horas:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 148
    Show solution
    EDO: y′=cyy' = cy com meia-vida t1/2=2t_{1/2}=2 h. Após n=6/2=3n = 6/2 = 3 meias-vidas: y(6)=y0(1/2)3=y0/8y(6) = y_0 (1/2)^3 = y_0/8. Fração restante: 1/8=12,5%1/8 = 12{,}5\%.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Solução: y(t)=y0ecty(t) = y_0 e^{ct}.
    2. Meia-vida: e2c=1/2⇒c=−ln⁡2/2e^{2c}=1/2 \Rightarrow c = -\ln 2/2.
    3. y(6)/y0=e6c=(e2c)3=(1/2)3=1/8y(6)/y_0 = e^{6c} = (e^{2c})^3 = (1/2)^3 = 1/8.
  17. Ex. 99.17Modeling

    Fármaco administrado intravenosamente à taxa rr mg/h; eliminado proporcionalmente à quantidade presente com taxa cc. EDO e solução para d(0)=0d(0)=0:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 149
    Show solution
    EDO: d′=r−c dd' = r - c\,d, d(0)=0d(0)=0. Fator integrante ecte^{ct}: (ectd)′=rect(e^{ct}d)'=re^{ct}. Integra: d(t)=rc(1−e−ct)d(t) = \frac{r}{c}(1-e^{-ct}). Estado estacionário: d∞=r/cd_{\infty} = r/c.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Taxa de entrada rr mg/h, saída proporcional: d′=r−cdd' = r - cd.
    2. Fator integrante ecte^{ct}: (ectd)′=rect(e^{ct}d)' = re^{ct}.
    3. Integra: ectd=rcect+Ce^{ct}d = \frac{r}{c}e^{ct}+C. CI d(0)=0d(0)=0: C=−r/cC=-r/c.
    4. Solução: d(t)=rc(1−e−ct)d(t) = \frac{r}{c}(1-e^{-ct}).
  18. Ex. 99.18Modeling

    Fármaco: dose 3 mg, taxa de eliminação c=0,1c=0{,}1 mg/h, mínimo de 1 mg no sangue. Intervalo entre doses: (Resp: ≈11\approx 11 h)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 150
    Show solution
    Após dose D=3D=3 mg, quantidade decai: y(t)=3e−0,1ty(t)=3e^{-0{,}1t}. Deve ter ao menos 1 mg: 3e−0,1t∗=1⇒t∗=ln⁡3/0,1≈113e^{-0{,}1t^*}=1 \Rightarrow t^*=\ln 3/0{,}1\approx11 h.
  19. Ex. 99.19Modeling

    Tanque com 1 kg de sal em 100 L. Entra solução 0,1 kg/L a 2 L/min; drena a 2 L/min. Quantidade de sal Q(t)Q(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 151
    Show solution
    Taxa entrada: 0,1×2=0,20{,}1 \times 2 = 0{,}2 kg/min. Taxa saída: Q/100×2=Q/50Q/100 \times 2 = Q/50 kg/min. EDO: Q′=0,2−Q/50Q' = 0{,}2 - Q/50. Geral: Q=10+Ce−t/50Q = 10 + Ce^{-t/50}. CI Q(0)=1Q(0)=1: C=−9C=-9.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Taxa de entrada de sal: 0,1×2=0,20{,}1 \times 2 = 0{,}2 kg/min.
    2. Taxa de saída: Q100×2=Q50\frac{Q}{100} \times 2 = \frac{Q}{50} kg/min.
    3. EDO: Q′+Q/50=0,2Q' + Q/50 = 0{,}2. Solução geral: Q=10+Ce−t/50Q = 10 + Ce^{-t/50}.
    4. CI Q(0)=1Q(0)=1: 1=10+C⇒C=−91 = 10+C \Rightarrow C=-9.
  20. Ex. 99.20Modeling

    Tanque de 1000 L, 10 kg sal. Entra solução A (0,2 kg/L, 20 L/min) e B (0,05 kg/L, 5 L/min); drena 25 L/min. EDO para Q(t)Q(t) e equilíbrio:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 152
    Show solution
    Taxa entrada: 0,2×20+0,05×5=4+0,25=4,250{,}2\times20+0{,}05\times5=4+0{,}25=4{,}25 kg/min. Saída: 25×Q/1000=Q/4025 \times Q/1000 = Q/40 kg/min. EDO: Q′=4,25−Q/40Q'=4{,}25-Q/40. Equilíbrio: Q∞=4,25×40=170Q_{\infty}=4{,}25\times40=170 kg.
  21. Ex. 99.21Modeling

    Lei de Torricelli: tanque cilíndrico de raio 24224\sqrt{2} ft, furo de raio 2 ft, h(0)=100h(0)=100 ft. Solução h(t)h(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 154
    Show solution
    Lei de Torricelli: Adhdt=−AT2ghA\frac{dh}{dt} = -A_T\sqrt{2gh}. Com A=1152πA=1152\pi e AT=4πA_T=4\pi: separa e integra. Solução: h=10−t/(482)\sqrt{h}=10-t/(48\sqrt{2}), logo h=(10−t/(482))2h=\left(10-t/(48\sqrt{2})\right)^2.
  22. Ex. 99.22Modeling

    Usando o resultado do exercício anterior (Torricelli), quanto tempo leva para o tanque esvaziar? (Resp: ≈679\approx 679 min)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 155
    Show solution
    De h(t)=(10−t/(482))2=0h(t)=\left(10-t/(48\sqrt{2})\right)^2=0: t=4802≈679t=480\sqrt{2}\approx679 min.
  23. Ex. 99.23Application

    Base de sorvete a 200°F é colocada em freezer a 0°F. Após 1 hora: 140°F. Determine kk e T(t)T(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 156
    Show solution
    Lei de Newton, Tamb=0T_{\text{amb}}=0: T′=−kTT' = -kT. Solução: T(t)=200e−ktT(t) = 200e^{-kt}. Em t=1t=1: 140=200e−k⇒k=ln⁡(10/7)≈0,357140=200e^{-k}\Rightarrow k=\ln(10/7)\approx0{,}357 h−1^{-1}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. EDO: T′=−kTT'=-kT, T(0)=200T(0)=200°F.
    2. Solução: T=200e−ktT=200e^{-kt}.
    3. Em t=1t=1: e−k=140/200=7/10e^{-k}=140/200=7/10, logo k=ln⁡(10/7)k=\ln(10/7).
  24. Ex. 99.24Modeling

    Base de sorvete a 210°F em freezer a 20°F. Após 2 h: 170°F. Temperatura ideal: 30°F. Monte o modelo e determine quando estará pronto:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 157
    Show solution
    Lei de Newton, Tamb=20T_{\text{amb}}=20: T(t)=20+190e−ktT(t)=20+190e^{-kt}. Em t=2t=2: 170=20+190e−2k⇒e−2k=150/190=15/19170=20+190e^{-2k}\Rightarrow e^{-2k}=150/190=15/19. Pronto quando T=30T=30: 10=190e−kt∗⇒t∗=ln⁡(19)/k10=190e^{-kt^*}\Rightarrow t^*=\ln(19)/k.
  25. Ex. 99.25Modeling

    Temperatura ambiente: 80°F. Sorvete a 10°F. Após 10 min, subiu 10°F. Quanto tempo antes de derreter a 40°F? (Resp: ≈16\approx 16 min)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 158
    Show solution
    Lei de Newton, Tamb=80T_{\text{amb}}=80°F, T0=10T_0=10°F. Em t=10t=10: T=20T=20°F. e−10k=6/7e^{-10k}=6/7. Derrete quando T=40T=40: t∗=10ln⁡(7/4)/ln⁡(7/6)≈16t^* = 10\ln(7/4)/\ln(7/6)\approx16 min.
    Show step-by-step (with the why)
    1. T(t)=80−70e−ktT(t)=80-70e^{-kt}. Em t=10t=10: 20=80−70e−10k20=80-70e^{-10k}, e−10k=6/7e^{-10k}=6/7.
    2. Derrete: 40=80−70e−kt∗40=80-70e^{-kt^*}, e−kt∗=4/7e^{-kt^*}=4/7.
    3. t∗=10ln⁡(7/4)/ln⁡(7/6)≈16t^*=10\ln(7/4)/\ln(7/6)\approx16 min.
  26. Ex. 99.26Application

    Café a 70°C em sala de 20°C, k=0,125k=0{,}125 min−1^{-1}. Temperatura T(t)T(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159
    Show solution
    Lei de Newton: T′=−0,125(T−20)T' = -0{,}125(T-20), T(0)=70T(0)=70°C. Seja u=T−20u=T-20: u′=−0,125uu'=-0{,}125u, u=50e−0,125tu=50e^{-0{,}125t}. Solução: T=20+50e−0,125tT=20+50e^{-0{,}125t}°C.
  27. Ex. 99.27Application

    Café a 70°C posto ao ar livre a 0°C, k=0,125k=0{,}125 min−1^{-1}. Temperatura após 5 min: (Resp: ≈37,5\approx 37{,}5°C)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 160
    Show solution
    Com Tamb=0T_{\text{amb}}=0: T(t)=70e−0,125tT(t)=70e^{-0{,}125t}. T(5)=70e−0,625≈70×0,535≈37,5T(5)=70e^{-0{,}625}\approx70\times0{,}535\approx37{,}5°C.
  28. Ex. 99.28Modeling

    Café a 70°C; adiciona-se imediatamente 1 parte de leite a 1°C para 5 partes de café. Temperatura inicial da mistura e equação posterior:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 161
    Show solution
    Mistura imediata: T0=5×70+1×16=3516≈58,5T_0 = \frac{5\times70+1\times1}{6} = \frac{351}{6}\approx58{,}5°C. Depois aplica Newton com esta CI e Tamb=20T_{\text{amb}}=20°C.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1 parte leite (1°C) + 5 partes café (70°C): T0=(5⋅70+1⋅1)/6=351/6T_0 = (5\cdot70+1\cdot1)/6 = 351/6°C.
    2. EDO: T′=−k(T−20)T'=-k(T-20) com T(0)≈58,5T(0)\approx58{,}5°C.
    3. Solução: T(t)=20+38,5e−ktT(t)=20+38{,}5e^{-kt}.
  29. Ex. 99.29Modeling

    Café a 70°C resfriado 10 min antes de adicionar leite (1:5, 1°C) versus adicionar imediatamente. Comparação após 10 min adicionais:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 162
    Show solution
    Após 10 min sem leite, o café esfriou de 70°C para T(10)=20+50e−10kT(10)=20+50e^{-10k}. Misturando leite frio, a CI fica ainda menor. Após mais 10 min, temperatura final é menor que adicionar leite imediatamente.
  30. Ex. 99.30Application

    Resolva o problema genérico y′=ay+by' = ay + b com y(0)=cy(0) = c:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 163
    Show solution
    Equilíbrio: y∗=−b/ay^*=-b/a. Seja u=y+b/au=y+b/a: u′=auu'=au. CI y(0)=cy(0)=c: u0=c+b/au_0=c+b/a. Logo y=(c+b/a)eat−b/ay=(c+b/a)e^{at}-b/a.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fator integrante e−ate^{-at}: (e−aty)′=be−at(e^{-at}y)' = be^{-at}.
    2. Integra: e−aty=−bae−at+Ce^{-at}y = -\frac{b}{a}e^{-at}+C.
    3. CI y(0)=cy(0)=c: C=c+b/aC=c+b/a. Solução: y=(c+b/a)eat−b/ay = (c+b/a)e^{at}-b/a.
  31. Ex. 99.31Proof

    Prove a fórmula de juros continuamente compostos: depósito inicial P0P_0, taxa rr. Monte e resolva a EDO para P(t)P(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 164
    Show solution
    EDO: P′=rPP' = rP. Separando: dPP=r dt\frac{dP}{P} = r\,dt. Integra: ln⁡P=rt+C\ln P = rt + C. CI P(0)=P0P(0)=P_0: P=P0ertP = P_0 e^{rt}. É o análogo dos juros compostos tomado no limite contínuo.
  32. Ex. 99.32ModelingAnswer key

    Tanque com LL litros e II kg de nutriente inicial. Entra concentração cc kg/L a rr L/min; drena a rr L/min. Equação e solução para N(t)N(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 165
    Show solution
    Entrada: c rc\,r kg/min; saída: r⋅N/Lr\cdot N/L. EDO: N′=cr−rN/LN' = cr - rN/L. Geral: N=cL+Ce−rt/LN = cL + Ce^{-rt/L}. CI N(0)=IN(0)=I: C=I−cLC=I-cL.
  33. Ex. 99.33ModelingAnswer key

    Folhas acumulam no chão florestal a 2 g/cm²/ano e decompõem a 90%/ano. EDO e equilíbrio de L(t)L(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 166
    Show solution
    Acumulação: 2 g/cm²/ano. Decomposição: 90%/ano — taxa 0,9L0{,}9L. EDO: L′=2−0,9LL' = 2 - 0{,}9L. Equilíbrio: L∗=2/0,9=20/9≈2,22L^* = 2/0{,}9 = 20/9\approx2{,}22 g/cm².
    Show step-by-step (with the why)
    1. Taxa de acumulação: 2. Taxa de decomposição: 0,9L0{,}9L. EDO: L′=2−0,9LL' = 2 - 0{,}9L, L(0)=0L(0)=0.
    2. Equilíbrio: L∗=2/0,9L^* = 2/0{,}9. Solução geral: L=20/9+Ce−0,9tL = 20/9 + Ce^{-0{,}9t}.
    3. CI L(0)=0L(0)=0: C=−20/9C=-20/9. L(t)=209(1−e−0,9t)L(t) = \frac{20}{9}(1-e^{-0{,}9t}).
  34. Ex. 99.34Modeling

    Folhas acumulam a 4 g/cm²/ano e decompõem a 10%/ano. EDO e equilíbrio para L(t)L(t):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 167
    Show solution
    EDO: L′=4−0,1LL' = 4 - 0{,}1L. Equilíbrio: L∗=4/0,1=40L^* = 4/0{,}1 = 40 g/cm². A liteira acumula muito mais que no caso de 90% de decomposição.
  35. Ex. 99.35Understanding

    A EDO u′=−kuu' = -ku descreve tanto o resfriamento newtoniano quanto o decaimento radioativo. A analogia entre os dois modelos é:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 148 (analogia)
    Show solution
    Ambos seguem u′=−kuu' = -ku: no resfriamento u=T−Tambu = T - T_{\text{amb}}; no decaimento radioativo u=Nu = N (núcleos). Solução em ambos: u=u0e−ktu = u_0 e^{-kt}. Só muda a interpretação física de uu e kk.
  36. Ex. 99.36UnderstandingAnswer key

    O sinal de T′=−k(T−Tamb)T' = -k(T-T_{\text{amb}}) indica:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159 (direção)
    Show solution
    A taxa T′=−k(T−Tamb)T' = -k(T-T_{\text{amb}}) tem sinal oposto ao de T−TambT-T_{\text{amb}}. Se T>TambT > T_{\text{amb}}: T′<0T' < 0 (resfria). Se T<TambT < T_{\text{amb}}: T′>0T' > 0 (aquece).
  37. Ex. 99.37ChallengeAnswer key

    A constante de tempo τ=1/k\tau = 1/k da Lei de Newton do Resfriamento:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159 (constante de tempo)
    Show solution
    Solução: T(t)−Tamb=(T0−Tamb)e−ktT(t)-T_{\text{amb}} = (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}. Em t=τ=1/kt=\tau=1/k: e−1≈0,368e^{-1}\approx0{,}368. Em t=5τt=5\tau: e−5≈0,0067e^{-5}\approx0{,}0067. Regra dos 5 constantes de tempo: objeto em equilíbrio térmico prático.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Constante de tempo: τ=1/k\tau = 1/k.
    2. Em t=τt=\tau: fração residual = e−1≈36,8%e^{-1} \approx 36{,}8\%.
    3. Em t=2τt=2\tau: e−2≈13,5%e^{-2}\approx13{,}5\%. Em t=5τt=5\tau: e−5≈0,67%e^{-5}\approx0{,}67\%.
  38. Ex. 99.38Challenge

    Aplicação forense da Lei de Newton: corpo com temperatura TobsT_{\text{obs}}, ambiente TambT_{\text{amb}}, temperatura normal T0=37T_0=37°C, kk conhecido. O tempo desde a morte t∗t_* é:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 156 (forense)
    Show solution
    Com T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt} e T(t∗)=TobsT(t_*)=T_{\text{obs}} conhecido: t∗=−1kln⁡ ⁣(Tobs−TambT0−Tamb)t_* = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T_{\text{obs}}-T_{\text{amb}}}{T_0-T_{\text{amb}}}\right). Com duas medições determina-se também kk.
  39. Ex. 99.39Challenge

    Resolva y′=yln⁡xy' = y\ln x exibindo todos os passos de integração:

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 147 (desafio)
    Show solution
    Separa: dyy=ln⁡x dx\frac{dy}{y} = \ln x\,dx. Integra por partes: ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C. Logo ln⁡∣y∣=xln⁡x−x+C1\ln|y| = x\ln x - x + C_1, y=Cex(ln⁡x−1)y = Ce^{x(\ln x - 1)}. Note que exln⁡x=xxe^{x\ln x} = x^x.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Separa: dy/y=ln⁡x dxdy/y = \ln x\,dx.
    2. Integra por partes: u=ln⁡xu=\ln x, dv=dxdv=dx: ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x\int\ln x\,dx = x\ln x - x.
    3. y=Cexln⁡x−x=Cxxe−xy = Ce^{x\ln x - x} = Cx^x e^{-x}.
  40. Ex. 99.40Proof

    Demonstre que o equilíbrio T=TambT = T_{\text{amb}} da Lei de Newton do Resfriamento é globalmente estável para k>0k > 0:

    Select the correct option
    Select an option first
    OpenStax Calculus Volume 2 · §4.3 · ex. 159 (estabilidade)
    Show solution
    Solução: T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}. Como k>0k > 0, tem-se e−kt→0e^{-kt}\to 0 para t→∞t\to\infty. Logo T(t)→TambT(t)\to T_{\text{amb}} para qualquer valor de T0T_0. O equilíbrio é globalmente estável.

Fontes

  • Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.6: lei de Newton do resfriamento como EDO autônoma de 1ª ordem.
  • OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.4: aplicações de EDOs separáveis ao resfriamento newtoniano e estimativas forenses.
  • Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. aberto. digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — §4.2: modelos de temperatura com contexto industrial, exercícios com dados numéricos.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.