Lição 101 — Amostragem: tipos, vieses e distribuição amostral

Uma fábrica produz parafusos com peso médio $\mu$ e desvio padrão $\sigma = 50$ g. Uma amostra de $n = 100$ parafusos é coletada. Calcule o erro padrão da média amostral.

Uma pesquisa começa com $n = 25$. Quantas vezes você precisa aumentar $n$ para reduzir o erro padrão à metade? Explique usando a fórmula.

O tempo de espera em uma agência bancária tem distribuição normal com $\mu = 120$ s e $\sigma = 15$ s. Uma amostra de $n = 9$ clientes é coletada. Qual a probabilidade de $\bar X > 125$ s?

Um hospital quer estimar a satisfação dos pacientes com o atendimento. A diretora sabe que gênero e faixa etária influenciam muito a percepção. Qual tipo de amostragem é mais adequado? Justifique.

Uma loja online envia um e-mail pedindo avaliação após cada compra. Apenas 12% dos clientes respondem. Identifique o tipo de viés mais provável e explique seu efeito na estimativa.

Uma pesquisa quer estimar a proporção de domicílios com acesso à internet na zona rural, com margem de erro de 4% a 95% de confiança. Qual o tamanho mínimo de amostra?

Um consultor analisa o crescimento médio de 50 startups fundadas há 5 anos e que ainda estão ativas, concluindo que "startups crescem em média 120% ao ano". Qual viés está presente?

Mostre que a média amostral $\bar X$ é (a) não-viesada, (b) consistente e (c) eficiente para $\mu$, na classe dos estimadores lineares.

Um estudo sobre gastos com transporte público coleta $n = 400$ registros. O desvio padrão histórico é \sigma = R\,40$. Calcule o erro padrão e interprete seu significado.

O IBGE quer estimar a renda média das empresas brasileiras. Descreva como seriam uma AAS, uma estratificada por setor e uma por conglomerado. Qual seria mais eficiente? Por quê?

Para a média amostral $\bar X$ com $n$ fixo e população iid, qual afirmação é correta?

Por que, em muitas pesquisas práticas, a média amostral tem distribuição aproximadamente normal, mesmo sem saber a distribuição exata da população?

Afirmação: "Na amostragem aleatória simples, cada indivíduo tem a mesma probabilidade de ser escolhido. Isso é equivalente a dizer que cada conjunto de $n$ indivíduos tem a mesma probabilidade de ser a amostra." A afirmação é correta?

A nota média histórica de um exame é $\mu = 3{,}5$ com $\sigma = 1{,}5$. Para uma turma de $n = 36$, qual a probabilidade de a média da turma ser menor que 3,2?

O IBGE precisa estimar o acesso ao saneamento básico em municípios de todo o Brasil, com orçamento limitado. A lista de domicílios não está disponível, mas a lista de municípios e de ruas sim. Proponha um plano amostral.

Uma pesquisa com $n = 400$ eleitores encontrou $\hat p = 60\%$ de aprovação ao governo municipal. Calcule o erro padrão e a margem de erro a 95% de confiança.

Calcule os tamanhos mínimos de amostra para estimar uma proporção com margem de erro de (a) 5% e (b) 2,5%, ambos com 95% de confiança. Explique a relação entre os resultados.

Uma empresa tem 3000 clientes cadastrados em ordem de número de contrato. Quer selecionar 300 para uma pesquisa. Descreva o procedimento de amostragem sistemática e discuta quando ela pode introduzir viés.

O peso de pacotes de arroz tem $\mu = 70$ kg e $\sigma = 10$ kg. Para uma amostra de $n = 64$, calcule $P(68 \leq \bar X \leq 72)$.

Uma universidade faz pesquisa de satisfação com alunos atualmente matriculados. Qual é o viés mais relevante nesta abordagem?

Sem conhecimento prévio de $p$, qual é o tamanho mínimo de amostra para estimar uma proporção com margem de erro de 2% a 95%?

Um pesquisador entrevista moradores de uma cidade batendo em portas entre 9h e 17h de dias úteis. Ele quer estimar a renda média familiar. Identifique o viés e descreva sua direção (subestima ou superestima a renda média?).

O tempo de consulta médica tem $\sigma = 12$ min. Calcule o erro padrão da média para $n = 25$ e $n = 100$, e compare.

O consumo mensal de energia elétrica de uma cidade tem $\mu = 500$ kWh e $\sigma = 80$ kWh. Para $n = 100$ domicílios sorteados, calcule $P(\bar X > 510)$.

O IBGE usa cerca de 211 mil domicílios na PNAD Contínua. A taxa de desemprego nacional é de cerca de 12%. (a) Qual seria o $n$ mínimo teórico para estimar o desemprego com margem de $\pm 0{,}5\%$ a 95%? (b) Por que o IBGE usa um $n$ muito maior?

Um banco quer estimar a inadimplência média em sua carteira de crédito de 500 mil clientes. A variabilidade de inadimplência varia muito por faixa de renda. Proponha um plano amostral eficiente e justifique a alocação de entrevistas por estrato.

Um analista financeiro compara o retorno médio histórico de fundos de investimento ativos e conclui que gestores ativos superam o índice. Os dados incluem apenas fundos que ainda existem hoje. Identifique o viés e explique como ele afeta a conclusão.

Mostre algebricamente que $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar X)^2$ é não-viesado para $\sigma^2$. Por que o divisor é $n-1$ e não $n$?

Aplique a desigualdade de Hoeffding para $X_i \in [0, 1]$: $P(|\bar X - \mu| > t) \leq 2\exp(-2nt^2)$. Para $t = 0{,}05$, calcule o bound para $n = 100$ e $n = 1000$. Interprete o resultado.

Prove formalmente que a média amostral $\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$ é (a) não-viesada e (b) consistente para $\mu$, usando a desigualdade de Chebyshev para a parte (b).