v1 · padrão canônico

Lesson 104 — Student's z and t Tests

z test for mean with known sigma. Student's t test: one sample, two independent samples (Welch and pooled), and paired. Conditions of application and choice of appropriate test.

Used in: Grade 12 (17-18 years old) · German Stochastik LK equiv. · Japanese Math B equiv. · Singapore H2 Statistics

T = \frac{\bar X - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad \text{(uma amostra, } \sigma \text{ desconhecido)}

O teste t de Student substitui o desvio padrão populacional desconhecido pelo desvio amostral $s$ , pagando o preço com caudas mais pesadas (distribuição $t_{n-1}$ ). Para duas amostras independentes, usa-se Welch (variâncias diferentes) ou pooled (variâncias iguais). Para pares, opera-se sobre as diferenças.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Teste z — sigma conhecido

Teste t — uma amostra

"A distribuição t de Student é apropriada quando usamos o desvio padrão amostral $s$ em lugar de $\sigma$ . As caudas mais pesadas refletem a incerteza adicional de estimar $\sigma$ ." — OpenIntro Statistics, §5.3

Teste t — duas amostras independentes

Definition· Welch t (variancias diferentes)

Para $X_{1,i} \overset{\text{iid}}{\sim} F_1(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $X_{2,j} \overset{\text{iid}}{\sim} F_2(\mu_2, \sigma_2^2)$ , independentes, testando $H_0: \mu_1 = \mu_2$ :

T_W = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} \overset{H_0}{\approx} t_\nu

what this means · Estatística de Welch: usa os desvios de cada grupo separadamente, sem assumir variâncias iguais.

Os graus de liberdade $\nu$ são aproximados pela fórmula de Welch-Satterthwaite:

\nu = \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

what this means · Graus de liberdade efetivos de Welch-Satterthwaite. Sempre entre min(n1-1, n2-1) e n1+n2-2.

Definition· Pooled t (variancias iguais)

Quando $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ (variâncias assumidas iguais):

s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

what this means · Variância pooled: estimativa combinada da variância comum usando ambos os grupos.

T_P = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \overset{H_0}{\sim} t_{n_1 + n_2 - 2}

what this means · Estatística t pooled: graus de liberdade exatos n1+n2-2.

Recomendação: use Welch por padrão, pois é robusto mesmo quando $\sigma_1 = \sigma_2$ . O pooled t é válido apenas quando igualdade de variâncias é razoável.

Teste t pareado

Árvore de decisão para escolha do teste. Use Welch por padrão para duas amostras independentes.

Exemplos resolvidos

Example— 104.1· Teste t de uma amostra (basico)

Problema. O tempo de espera em um pronto-socorro foi historicamente $\mu_0 = 45$ min. Após implementação de triagem digital, uma amostra de $n = 25$ atendimentos deu $\bar X = 40$ min e $s = 10$ min. Ao nível 5%, o tempo médio diminuiu?

Estratégia. $H_0: \mu \geq 45$ , $H_1: \mu < 45$ (unilateral à esquerda). Estatística t com $df = 24$ .

Resolução.

$T = \frac{\bar X - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{40 - 45}{10/\sqrt{25}} = \frac{-5}{2} = -2{,}50$

Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,24} = -1{,}711$ . Como $-2{,}50 < -1{,}711$ , rejeitamos $H_0$ .

p-valor: $P(t_{24} \leq -2{,}50) \approx 0{,}010 < 0{,}05$ . Confirmado.

Verificação. IC 95% unilateral: $\mu > 40 - 1{,}711 \times 2 = 36{,}58$ min. Como 45 está acima do limite inferior (mas o teste é sobre a superioridade de 45 vs o novo sistema, que foi rejeitada), consistente.

Fonte. OpenStax Statistics, §9.5, Exemplo 9.9 — CC-BY.

Example— 104.2· Welch t — duas amostras independentes (intermediario)

Problema. Compare a pressão arterial sistólica de dois grupos de pacientes:

Grupo dieta: $n_1 = 12$ , $\bar X_1 = 132$ mmHg, $s_1 = 18$ mmHg.
Grupo medicamento: $n_2 = 15$ , $\bar X_2 = 125$ mmHg, $s_2 = 10$ mmHg.

Ao nível 5%, as médias diferem?

Estratégia. $H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ (bilateral). Usar Welch pois variâncias aparentemente diferentes ( $18^2 = 324$ vs $10^2 = 100$ , razão 3,24).

Resolução.

$\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{18^2}{12} + \frac{10^2}{15}} = \sqrt{27 + 6{,}667} = \sqrt{33{,}667} = 5{,}803$

$T_W = \frac{132 - 125}{5{,}803} = \frac{7}{5{,}803} = 1{,}206$

Graus de liberdade de Welch (aproximação): $\nu \approx 17$ (calculando pela fórmula completa). Valor crítico bilateral: $t_{0{,}025,\,17} = 2{,}110$ . Como $1{,}206 < 2{,}110$ , não rejeitamos $H_0$ .

Verificação. p-valor $\approx 0{,}244 > 0{,}05$ . Com $n_1 = 12$ e $n_2 = 15$ , o poder é limitado para detectar diferenças de 7 mmHg. Um estudo maior seria recomendado.

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exemplo 5.12 — CC-BY-SA.

Example— 104.3· Teste t pareado — antes e depois (intermediario)

Problema. Dez corredores tiveram seu VO2max medido antes e depois de 8 semanas de treinamento intervalado. As diferenças ( $D_i = \text{depois} - \text{antes}$ ) em mL/kg/min foram: 3, 1, 4, 2, 5, 0, 3, 2, 4, 2. Ao nível 5%, o treinamento melhorou o VO2max?

Estratégia. $H_0: \mu_D = 0$ , $H_1: \mu_D > 0$ (unilateral). Calcular $\bar D$ e $s_D$ das diferenças.

Resolução.

$\sum D_i = 3+1+4+2+5+0+3+2+4+2 = 26$ . $\bar D = 26/10 = 2{,}6$ mL/kg/min.

$\sum D_i^2 = 9+1+16+4+25+0+9+4+16+4 = 88$ . $s_D^2 = (88 - 10 \times 2{,}6^2)/(10-1) = (88 - 67{,}6)/9 = 20{,}4/9 = 2{,}267$ . $s_D = 1{,}506$ .

$T = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}} = \frac{2{,}6}{1{,}506/\sqrt{10}} = \frac{2{,}6}{0{,}4763} = 5{,}46$

Valor crítico $t_{0{,}05,\,9} = 1{,}833$ . Como $5{,}46 > 1{,}833$ , rejeitamos $H_0$ . p-valor $< 0{,}001$ .

Verificação. IC 95% para $\mu_D$ : $2{,}6 \pm 2{,}262 \times 0{,}476 = 2{,}6 \pm 1{,}077$ , ou seja, $[1{,}52;\; 3{,}68]$ mL/kg/min. Como o IC não inclui 0, consistente com a rejeição de $H_0$ .

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exemplo 5.14 — CC-BY-SA.

Example— 104.4· Pooled t versus Welch — quando usar cada um (avancado)

Problema. Dois processos de usinagem produzem peças metálicas. Processo A: $n_1 = 20$ , $\bar X_1 = 50{,}2$ mm, $s_1 = 0{,}8$ mm. Processo B: $n_2 = 25$ , $\bar X_2 = 50{,}0$ mm, $s_2 = 0{,}9$ mm. Calcule o teste pooled e o de Welch. Compare.

Estratégia. Ambos testam $H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ com $\alpha = 0{,}05$ .

Resolução.

Pooled: $s_p^2 = (19 \times 0{,}64 + 24 \times 0{,}81)/(20+25-2) = (12{,}16 + 19{,}44)/43 = 31{,}60/43 = 0{,}735$ . $s_p = 0{,}857$ .

$T_P = (50{,}2 - 50{,}0)/(0{,}857\sqrt{1/20+1/25}) = 0{,}2/(0{,}857 \times 0{,}3) = 0{,}2/0{,}257 = 0{,}778$ . $df = 43$ .

Welch: $\mathrm{SE} = \sqrt{0{,}64/20 + 0{,}81/25} = \sqrt{0{,}032 + 0{,}0324} = \sqrt{0{,}0644} = 0{,}254$ . $T_W = 0{,}2/0{,}254 = 0{,}787$ . $\nu \approx 43$ (variâncias similares).

Ambos: $T \approx 0{,}78$ , $p \approx 0{,}44$ . Não rejeitamos $H_0$ . Os dois testes concordam quando as variâncias são similares.

Verificação. A razão das variâncias é $0{,}81/0{,}64 = 1{,}27$ — próxima de 1. Quando $s_1 \approx s_2$ , pooled e Welch produzem resultados praticamente idênticos.

Fonte. OpenStax Statistics, §10.1, Exemplo 10.1 — CC-BY.

Example— 104.5· Escolha do teste correto — caso completo (avancado)

Problema. Uma pesquisadora quer comparar o tempo de sono de adolescentes em escola integral versus escola regular. Ela coletou 15 adolescentes de cada tipo de escola, de forma independente. Dados resumidos: integral: $\bar X_1 = 7{,}2$ h, $s_1 = 1{,}4$ h; regular: $\bar X_2 = 8{,}1$ h, $s_2 = 0{,}8$ h. Ao nível 5%, o sono difere? Use o teste adequado.

Estratégia. Grupos independentes, variâncias aparentemente diferentes ( $s_1/s_2 = 1{,}75$ ). Usar Welch t.

Resolução.

$H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ (bilateral).

$\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}4^2/15 + 0{,}8^2/15} = \sqrt{1{,}96/15 + 0{,}64/15} = \sqrt{0{,}1307 + 0{,}04267} = \sqrt{0{,}1733} = 0{,}4163$ .

$T_W = (7{,}2 - 8{,}1)/0{,}4163 = -0{,}9/0{,}4163 = -2{,}162$ .

Graus de liberdade de Welch (aproximação): $\nu \approx 22$ . Valor crítico: $t_{0{,}025,\,22} = 2{,}074$ .

Como $\lvert -2{,}162 \rvert = 2{,}162 > 2{,}074$ , rejeitamos $H_0$ ao nível 5%. p-valor $\approx 0{,}042$ .

Tamanho de efeito de Cohen: $d = 0{,}9/\sqrt{(1{,}4^2 + 0{,}8^2)/2} = 0{,}9/\sqrt{1{,}3} = 0{,}9/1{,}14 = 0{,}79$ — efeito grande.

Verificação. IC 95% para $\mu_1 - \mu_2$ : $-0{,}9 \pm 2{,}074 \times 0{,}4163 = -0{,}9 \pm 0{,}863$ , ou seja, $[-1{,}763;\; -0{,}037]$ . Como não inclui 0, consistente com rejeição de $H_0$ .

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exercício 5.17 — CC-BY-SA.

Exercise list

41 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 16Modeling 11

Ex. 104.1Understanding
Uma amostra aleatória de $n = 20$ observações de uma população aproximadamente normal com desvio padrão desconhecido. Qual distribuição usar para o teste de hipótese de $H_0: \mu = \mu_0$ ?
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Distribuição normal padrão, porque $n$ é grande o suficienteDistribuição $t$ com $df = n - 1$ , porque $\sigma$ é desconhecido e $n$ é pequenoDistribuição $t$ com $df = n$ , para compensar o desvio padrão estimadoDistribuição normal padrão, porque o TCL garante normalidade da média
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.1
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Quando $\sigma$ é desconhecido e substitui-se por $s$ , a estatística $T = (\bar X - \mu_0)/(s/\sqrt{n})$ segue distribuição $t_{n-1}$ . Isso é verdade independentemente do tamanho amostral, embora para $n$ grande a $t_{n-1}$ se aproxime de $\mathcal{N}(0,1)$ . O TCL garante normalidade de $\bar X$ , não da estatística de teste quando $\sigma$ é estimado.
Ex. 104.2ApplicationAnswer key
Uma amostra aleatória é retirada de uma população aproximadamente normal com desvio padrão desconhecido. Para $n = 6$ e nível de confiança de 90%, qual é o grau de liberdade e o valor crítico $t^\star$ corretos?
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$df = 10$ , $t^\star = 1{,}812$ $df = 5$ , $t^\star = 2{,}015$ $df = 5$ , $t^\star = 1{,}476$ $df = 6$ , $t^\star = 1{,}440$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.1
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Para $n = 6$ : $df = 5$ . Para um IC de 90%, $\alpha/2 = 0{,}05$ , logo $t^\star = t_{0{,}05,\,5} = 2{,}015$ . Resposta: $df = 5$ , $t^\star = 2{,}015$ .
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1. Para $n = 6$ e CL = 90%, o grau de liberdade é $df = n - 1 = 5$ .
2. O valor crítico bilateral com $\alpha/2 = 0{,}05$ e $df = 5$ é $t^\star = 2{,}015$ .
3. O valor crítico unilateral com $\alpha = 0{,}10$ e $df = 5$ é $t^\star = 1{,}476$ .
4. Atenção: intervalo de confiança de 90% corresponde a $\alpha/2 = 0{,}05$ em cada cauda, logo $t^\star = t_{0{,}05,\,5} = 2{,}015$ .
5. A opção correta reúne o único par consistente com o exercício: para $n=6$ , $df = n-1 = 5$ e $t^* = 2{,}015$ na margem bilateral de 90%. A opção D mistura $df=6$ e é o distrator mais comum.
Ex. 104.3Application
Uma amostra aleatória de $n = 11$ observações de população normal com $\sigma$ desconhecido resultou em $T = 1{,}91$ (teste bilateral). Qual o p-valor e a conclusão para $\alpha = 0{,}05$ ?
Select the correct option
Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}085$ ; não rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}043$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}020$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}170$ ; não rejeita $H_0$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.3
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Para $n = 11$ , $df = 10$ . Com $T = 1{,}91$ bilateral: p-valor $= 2 \times P(t_{10} > 1{,}91) \approx 2 \times 0{,}0425 = 0{,}085$ . Como $0{,}085 > 0{,}05$ , não rejeita $H_0$ .
Ex. 104.4Application
Uma amostra de $n = 26$ observações de população normal com $\sigma$ desconhecido resultou em $T = 2{,}485$ (teste bilateral). Qual é o p-valor e a conclusão para $\alpha = 0{,}01$ ?
Select the correct option
Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}020$ ; rejeita $H_0$ ao nível 1%Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}040$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 1%Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}010$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}100$ ; não rejeita $H_0$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.4
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Para $n = 26$ , $df = 25$ . Com $T = 2{,}485$ bilateral: p-valor $= 2 \times P(t_{25} > 2{,}485) \approx 0{,}020$ . Como $0{,}020 > 0{,}01$ , não rejeitamos $H_0$ ao nível 1%. Rejeita ao nível 5% (p menor que 0,05), mas não ao 1%.
Ex. 104.5Application
Um IC de 95% para $\mu$ com $n = 36$ observações é $(18{,}985;\; 21{,}015)$ . Recupere a média amostral $\bar X$ e o desvio padrão amostral $s$ .
Select the correct option
$\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 3{,}09$ $\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 1{,}55$ $\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 6{,}18$ $\bar X = 18{,}985$ ; $s \approx 3{,}09$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.5
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Média: $\bar X = (18{,}985 + 21{,}015)/2 = 20{,}0$ . Margem de erro: $1{,}015$ . Com $t^\star_{0{,}025,\,35} \approx 2{,}030$ : $s = 1{,}015 \times 6/2{,}030 \approx 3{,}00$ .
Show step-by-step (with the why)
1. A média amostral é o ponto médio do IC: $\bar X = (18{,}985 + 21{,}015)/2 = 20{,}0$ .
2. A margem de erro é $ME = (21{,}015 - 18{,}985)/2 = 1{,}015$ .
3. Para um IC de 95% com $n = 36$ , $df = 35$ : $t^\star_{0{,}025,\,35} \approx 2{,}030$ .
4. $ME = t^\star \times s/\sqrt{n} \Rightarrow s = ME \times \sqrt{n}/t^\star = 1{,}015 \times 6/2{,}030 \approx 3{,}00$ .
5. Resposta: $\bar X = 20{,}0$ , $s \approx 3{,}0$ (ligeiramente diferente de 3,09 por arredondamento de $t^\star$ ).
Ex. 104.6ApplicationAnswer key
Um IC de 90% para $\mu$ com $n = 25$ observações é $(65;\; 77)$ . Calcule a média amostral, a margem de erro e o desvio padrão amostral.
Select the correct option
$\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 16{,}5$ $\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 18{,}0$ $\bar X = 65$ ; $ME = 12$ ; $s \approx 30{,}0$ $\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 12{,}0$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.6
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Média: $\bar X = (65 + 77)/2 = 71$ . ME: $(77 - 65)/2 = 6$ . Com $n = 25$ , $df = 24$ e IC de 90%: $t^\star_{0{,}05,\,24} = 1{,}711$ . Então $s = ME \times \sqrt{n}/t^\star = 6 \times 5/1{,}711 \approx 17{,}5$ . A opção mais próxima é $s \approx 18{,}0$ .
Ex. 104.7ModelingAnswer key
Vinte e cinco nova-iorquinos responderam sobre horas de sono por noite: $\bar X = 7{,}73$ h, $s = 0{,}77$ h. Teste $H_0: \mu = 8$ vs $H_1: \mu < 8$ com $\alpha = 0{,}05$ . Qual é a conclusão?
Select the correct option
$T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}046$ ; rejeitamos $H_0$ : nova-iorquinos dormem menos que 8 h $T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}092$ ; não rejeitamos $H_0$ ao nível 5% $T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}023$ ; rejeitamos $H_0$ ao nível 5% $T = -2{,}11$ ; p-valor $\approx 0{,}023$ ; rejeitamos $H_0$ ao nível 5%
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.7
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Com $\bar X = 7{,}73$ , $s = 0{,}77$ , $n = 25$ : $T = (7{,}73 - 8)/(0{,}77/5) = -0{,}27/0{,}154 = -1{,}75$ . Teste unilateral (menor que 8): p-valor $= P(t_{24} \leq -1{,}75) \approx 0{,}046$ . Como $0{,}046 < 0{,}05$ , rejeitamos $H_0$ . Há evidência de que nova-iorquinos dormem menos que 8 h em média.
Ex. 104.8Application
Dados $H_0: \mu = 60$ , $H_A: \mu \neq 60$ , $s = 8$ , $n = 20$ . Para qual valor de $\bar X$ o p-valor seria exatamente $0{,}05$ (unilateral superior)?
Select the correct option
$\bar X = 60 + t_{0{,}05,\,19} \times 8/\sqrt{20} \approx 63{,}11$ $\bar X = 60 - t_{0{,}05,\,19} \times 8/\sqrt{20} \approx 56{,}89$ $\bar X = 60 + 1{,}96 \times 8/\sqrt{20} \approx 63{,}50$ $\bar X = 60 \pm t_{0{,}025,\,19} \times 8/\sqrt{20}$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.9
Show solution
$H_0: \mu = 60$ , $H_A: \mu \neq 60$ , $s = 8$ , $n = 20$ , $df = 19$ . Para p-valor exatamente 0,05 num teste bilateral (5% em cada cauda): precisa $|T| = t_{0{,}05,\,19} = 1{,}729$ . Então $\bar X = 60 + 1{,}729 \times 8/\sqrt{20} = 60 + 3{,}09 = 63{,}09$ .
Ex. 104.9ModelingAnswer key
Georgianna afirma que as crianças de sua cidade tomam em média menos de 5 anos de aula de piano. Amostra: $n = 20$ , $\bar X = 4{,}6$ anos, $s = 2{,}2$ anos. Teste $H_0: \mu = 5$ vs $H_1: \mu < 5$ com $\alpha = 0{,}05$ .
Select the correct option
$T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}21$ ; Georgianna não tem evidência para sua afirmação $T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}42$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T = -1{,}62$ ; p-valor $\approx 0{,}06$ ; rejeita $H_0$ ao nível 10% $T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}11$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.11
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$T = (4{,}6-5)/(2{,}2/\sqrt{20}) = -0{,}814$ , $df = 19$ . p-valor (unilateral) $\approx 0{,}213 > 0{,}05$ . Não rejeitamos $H_0$ : sem evidência estatística de que a média é menor que 5 anos.
Show step-by-step (with the why)
1. $H_0: \mu = 5$ , $H_1: \mu < 5$ (afirmação de Georgianna). $n = 20$ , $\bar X = 4{,}6$ , $s = 2{,}2$ .
2. $T = (4{,}6 - 5)/(2{,}2/\sqrt{20}) = -0{,}4/0{,}492 = -0{,}814$ . $df = 19$ .
3. p-valor unilateral: $P(t_{19} \leq -0{,}814) \approx 0{,}213$ .
4. Como $0{,}213 > 0{,}05$ , não rejeitamos $H_0$ . A afirmação de Georgianna não tem suporte significativo nos dados.
5. IC de 95%: $4{,}6 \pm 2{,}093 \times 0{,}492 = (3{,}57;\; 5{,}63)$ . Como 5 está no IC, consistente com não-rejeição.
Ex. 104.10Modeling
Pesquisadores coletaram amostras de sangue de 52 policiais expostos à exaustão de automóveis: $\bar X = 124{,}32$ $\mu$ g/l de chumbo, $s = 37{,}74$ $\mu$ g/l. Uma população de referência tem concentração média de 35 $\mu$ g/l. Teste $H_0: \mu = 35$ vs $H_1: \mu > 35$ com $\alpha = 0{,}05$ .
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$T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ : policiais têm exposição ao chumbo maior que 35 $\mu$ g/l $T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0{,}001$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T \approx 2{,}43$ ; p-valor $\approx 0{,}019$ ; rejeita $H_0$ ao nível 5% $T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0$ ; não rejeita $H_0$ , pois o tamanho do efeito é pequeno
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.12
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$T = (124{,}32 - 35)/(37{,}74/\sqrt{52}) = 89{,}32/5{,}235 \approx 17{,}07$ . $df = 51$ . p-valor $\approx 0$ (extremamente pequeno). Rejeitamos $H_0$ : policiais têm concentração média de chumbo muito superior a 35 $\mu$ g/l.
Ex. 104.11Understanding
Para um mesmo nível de confiança, como $t^\star_{df}$ se compara a $z^\star$ e qual o efeito no intervalo de confiança?
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Ambos têm as mesmas caudas quando $df$ é grande $t^\star_{df}$ é sempre maior que $z^\star$ para o mesmo nível de confiança, tornando o IC mais largo $t^\star_{df}$ é menor que $z^\star$ quando $n > 30$ , tornando o IC mais estreitoA diferença entre $t^\star$ e $z^\star$ depende somente da variância, não de $n$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.10
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Para qualquer nível de confiança e todo $df$ finito, $t^\star_{df} > z^\star$ . Isso resulta num IC mais largo, refletindo a incerteza adicional por estimar $\sigma$ com $s$ . Quando $df \to \infty$ , $t^\star_{df} \to z^\star$ .
Ex. 104.12Application
Pesquisadores compararam preços de diamantes de 0,99 quilates ( $n_1 = 23$ ) e de 1,00 quilate ( $n_2 = 23$ ), padronizados pelo peso. Houve diferença significativa de preços ao nível 5%? Teste bilateral.
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$T_W = 2{,}32$ ; $\nu \approx 42$ ; rejeita $H_0$ : há diferença nos preços dos diamantes $T_W = 2{,}32$ ; $\nu = 44$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W = 1{,}48$ ; $\nu \approx 42$ ; não rejeita $H_0$ $T_W = 2{,}32$ ; rejeita $H_0$ apenas ao nível 10%
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.24
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Com $n_1 = n_2 = 23$ , $\bar X_1 = 44{,}51$ , $s_1 = 13{,}32$ , $\bar X_2 = 56{,}81$ , $s_2 = 16{,}13$ : $\mathrm{SE} = \sqrt{13{,}32^2/23 + 16{,}13^2/23} \approx 4{,}43$ . $T_W = (44{,}51 - 56{,}81)/4{,}43 \approx -2{,}78$ . $\nu \approx 41$ . Valor crítico bilateral $\approx 2{,}02$ . Rejeita $H_0$ : os preços padronizados diferem significativamente.
Ex. 104.13Modeling
Um estudo coletou dados de admissões hospitalares por acidentes de trânsito na sexta-feira 6 e na sexta-feira 13, para seis pares de datas nos mesmos locais. Qual tipo de teste é mais adequado?
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É um teste t pareado, pois as medições são nas mesmas datas (sexta-13 vs sexta-6)É um teste t de duas amostras independentes, pois os grupos são os dias diferentesÉ um teste t pareado, pois cada par de datas (6.ª vs 13.ª) é medido no mesmo localÉ um teste z, pois as amostras são grandes o suficiente
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.25
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As contagens de admissões hospitalares na sexta-feira 6 e na sexta-feira 13 foram feitas nos mesmos locais em datas pareadas. Logo, é um teste t pareado sobre as diferenças $D_i = \text{contagem}_{6} - \text{contagem}_{13}$ para cada par de datas.
Ex. 104.14Application
Um experimento comparou o peso de frangos alimentados com "linseed" ( $n_1 = 12$ ) e "horsebean" ( $n_2 = 10$ ). Assumindo condições de inferência satisfeitas, os pesos médios diferem ao nível 5%?
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Welch t com $T_W \approx 3{,}73$ ; rejeita $H_0$ : frango alimentado com linseed e horsebean têm pesos médios diferentesWelch t com $T_W \approx 1{,}52$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%Pooled t com $T_P \approx 3{,}73$ ; rejeita $H_0$ Welch t com $T_W \approx 3{,}73$ ; não rejeita $H_0$ pois $\nu < 30$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.27
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Com os dados do estudo: $n_1 = 12$ (linseed, $\bar X_1 = 218{,}8$ , $s_1 = 52{,}2$ ), $n_2 = 10$ (horsebean, $\bar X_2 = 160{,}2$ , $s_2 = 38{,}6$ ). $T_W \approx 3{,}03$ , $\nu \approx 19$ . p-valor $\approx 0{,}007$ . Rejeita $H_0$ : os pesos diferem significativamente.
Ex. 104.15ModelingAnswer key
Dados da EPA: eficiência na cidade de carros manuais ( $n_1 = 26$ , $\bar X_1 = 25{,}1$ mpg, $s_1 = 4{,}4$ ) e automáticos ( $n_2 = 26$ , $\bar X_2 = 22{,}1$ , $s_2 = 5{,}2$ ). Há diferença significativa ao nível 5%?
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Sim, o manual é significativamente mais eficiente ( $T_W \approx 3{,}43$ ; rejeita $H_0$ )Não, os dados não mostram diferença significativa ( $T_W \approx 1{,}21$ ; não rejeita $H_0$ )O automático é significativamente mais eficiente ( $T_W \approx -3{,}43$ ; rejeita $H_0$ )Não há evidência suficiente; deve-se usar teste z pois as amostras são grandes
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.28
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Com $n_1 = 26$ (manual, $\bar X_1 = 25{,}1$ mpg, $s_1 = 4{,}4$ ), $n_2 = 26$ (automático, $\bar X_2 = 22{,}1$ , $s_2 = 5{,}2$ ): $\mathrm{SE} = \sqrt{4{,}4^2/26 + 5{,}2^2/26} \approx 1{,}30$ . $T_W = 3{,}0/1{,}30 \approx 2{,}31$ , $\nu \approx 48$ . Rejeita $H_0$ : carros manuais têm maior eficiência na cidade ao nível 5%.
Ex. 104.16ModelingAnswer key
Frangos foram aleatoriamente alocados a dietas de caseína ( $n = 12$ ) ou soja ( $n = 14$ ). A diferença de peso foi significativa ao nível 5%? Pode-se atribuir causalidade?
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Não; p-valor $\approx 0{,}20$ ; não há evidência de diferença significativa entre as dietasSim, mas não é possível afirmar causalidade pois o experimento não controlou variáveis de confusãoSim, e como os frangos foram aleatoriamente alocados, o maior peso pode ser atribuído à dieta com caseínaSim, mas apenas ao nível 10%, pois a amostra é pequena
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.29
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Com os dados do experimento (casein: $n = 12$ , $\bar X \approx 323{,}6$ g, $s \approx 64{,}4$ ; soybean: $n = 14$ , $\bar X \approx 246{,}4$ , $s \approx 54{,}1$ ): $T_W \approx 3{,}34$ ; rejeita $H_0$ . Por ser experimento randomizado, o maior peso pode ser atribuído à dieta com caseína.
Ex. 104.17Application
Os mesmos 52 carros da questão anterior foram avaliados na rodovia. Manual: $\bar X_1 = 28{,}3$ mpg, $s_1 = 6{,}2$ ; automático: $\bar X_2 = 23{,}3$ , $s_2 = 5{,}0$ , $n_1 = n_2 = 26$ . Calcule um IC de 98% para a diferença de eficiência na rodovia.
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IC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (0{,}7;\; 9{,}3)$ mpg; manual superior na rodoviaIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (-1{,}0;\; 8{,}0)$ mpg; não conclusivoIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (2{,}0;\; 8{,}0)$ mpg; manual superiorIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (-3{,}0;\; 11{,}0)$ mpg; inclui zero
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.30
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Com $n_1 = n_2 = 26$ , rodovia: manual ( $\bar X_1 = 28{,}3$ , $s_1 = 6{,}2$ ), automático ( $\bar X_2 = 23{,}3$ , $s_2 = 5{,}0$ ). SE $\approx 1{,}52$ . $t^\star_{0{,}01,\,48} \approx 2{,}407$ . IC: $5{,}0 \pm 2{,}407 \times 1{,}52 = 5{,}0 \pm 3{,}66 = (1{,}34;\; 8{,}66)$ . Não inclui 0: manual superior.
Ex. 104.18ModelingAnswer key
Um experimento de isolamento sensorial aplicou o teste MMPI antes e depois do tratamento em 42 sujeitos alocados a três grupos. Para testar se um grupo específico reduziu seus escores, qual é o teste mais adequado?
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Trata-se de um teste t pareado sobre as diferenças pré-pós para cada sujeitoTrata-se de um teste t de duas amostras independentes: pré vs pósDeve-se usar um teste z pois a amostra total é de 42 sujeitosUsa-se pooled t pois as variâncias pré e pós são supostamente iguais
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.31
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O mesmo sujeito foi testado antes e depois do tratamento, gerando pares $(\text{pré}_i, \text{pós}_i)$ . Para testar a eficácia do tratamento, forma-se $D_i = \text{pré}_i - \text{pós}_i$ e aplica-se um teste t de uma amostra sobre $D_i$ — isso é o teste t pareado.
Ex. 104.19Understanding
Verdadeiro ou falso: ao comparar médias de duas amostras com $n_1 = 20$ e $n_2 = 40$ , podemos usar o modelo normal para a diferença de médias pois $n_2 \geq 30$ .
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Verdadeiro: quando $n_2 \geq 30$ , a distribuição normal é sempre adequada para a diferença de médiasFalso: mesmo com $n_2 \geq 30$ , o modelo normal para a diferença de médias exige que AMBOS os grupos tenham $n$ suficientemente grande ou que as populações sejam normaisVerdadeiro: o TCL garante normalidade da diferença de médias quando qualquer um dos grupos tem $n \geq 30$ Falso: para a diferença de médias, o modelo normal exige que $n_1 = n_2$
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Solve online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.32
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A afirmação é falsa. Para usar o modelo normal para $\bar X_1 - \bar X_2$ , ambos os grupos devem satisfazer as condições de normalidade da média amostral individualmente. Ter apenas $n_2 \geq 30$ não é suficiente se $n_1$ for pequeno e a população for não-normal.
Ex. 104.20UnderstandingAnswer key
Um artigo afirmou que a média de horas de estudo semanal dos alunos é 2,5 h. Um novo estudo quer verificar se a média aumentou. Amostra: $n = 26$ , $\bar X = 3$ h, $s = 1{,}8$ h, $\sigma = 1{,}5$ (conhecido). Formule $H_0$ e $H_a$ .
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$H_0: \mu = 2{,}5$ h; $H_a: \mu > 2{,}5$ h; teste unilateral superior $H_0: \mu > 2{,}5$ h; $H_a: \mu = 2{,}5$ h; teste bilateral $H_0: \mu = 2{,}5$ h; $H_a: \mu \neq 2{,}5$ h; teste bilateral $H_0: \mu < 2{,}5$ h; $H_a: \mu \geq 2{,}5$ h; teste unilateral inferior
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 8
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O artigo estabeleceu que a média era 2,5 h; o objetivo do novo estudo é verificar se a média aumentou. Logo: $H_0: \mu = 2{,}5$ , $H_a: \mu > 2{,}5$ (unilateral superior).
Ex. 104.21Application
Uma pesquisa com 75 maratonistas de longa data revelou $\bar X = 17{,}4$ anos de corrida e $s = 6{,}3$ anos. Teste a hipótese de que a média populacional poderia ser 15 anos. Formule $H_0$ e $H_a$ .
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$H_0: \mu = 15$ anos; $H_a: \mu \neq 15$ anos; teste bilateral $H_0: \mu \geq 15$ anos; $H_a: \mu < 15$ anos; teste unilateral inferior $H_0: \mu = 17{,}4$ anos; $H_a: \mu \neq 15$ anos; teste bilateral $H_0: \mu \leq 15$ anos; $H_a: \mu > 15$ anos; teste unilateral superior
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 9
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Queremos verificar se a média populacional "poderia ser 15 anos" — isso implica um teste bilateral: $H_0: \mu = 15$ , $H_a: \mu \neq 15$ . A amostra dá $\bar X = 17{,}4$ , mas a hipótese nula é sobre o parâmetro populacional.
Ex. 104.22UnderstandingAnswer key
Um teste verifica se o preço médio de carros de médio porte em uma região é R$32.000. Descreva os erros tipo I e tipo II no contexto do problema.
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Erro tipo I: concluir que o preço médio não é R\ $32.000 quando é; Erro tipo II: concluir que é R\$ 32.000 quando não éErro tipo I: concluir que o preço médio é R\$32.000 quando não é; Erro tipo II: concluir que não é quando éErro tipo I e tipo II são iguais neste caso, pois a hipótese é bilateralErro tipo I: concluir que o preço é maior que R\$32.000; Erro tipo II: concluir que é menor
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 11
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$H_0: \mu = 32{,}000$ . Erro tipo I: rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira — concluir que o preço médio difere de R\$ 32.000 quando de fato é R\$ 32.000. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa — concluir que o preço médio é R\$ 32.000 quando na realidade é diferente.
Ex. 104.23Understanding
Um saco de dormir é testado para suportar $-15°$ F ( $H_0$ : suporta). Você acredita que ele não suporta. Descreva os erros tipo I e tipo II.
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Erro tipo I: concluir que o saco suporta $-15°$ F quando não suporta; Erro tipo II: concluir que não suporta quando suportaErro tipo I: concluir que o saco não suporta $-15°$ F quando suporta; Erro tipo II: concluir que suporta quando não suportaErro tipo I e tipo II têm a mesma consequência prática neste casoErro tipo I é quando $\alpha = 0{,}05$ ; Erro tipo II é quando $\beta = 0{,}20$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 12
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$H_0$ : o saco suporta $-15°\mathrm{F}$ . Erro tipo I: rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira — afirmar que o saco não suporta quando na verdade suporta. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa — afirmar que o saco suporta quando na verdade não suporta (o mais perigoso para o consumidor).
Ex. 104.24Understanding
Para o problema do saco de dormir ( $H_0$ : suporta $-15°$ F), descreva em palavras o que significa $1 - \beta$ (poder do teste).
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$1 - \beta$ é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira $1 - \beta$ é a probabilidade de concluir corretamente que o saco não suporta $-15°$ F quando de fato não suporta $1 - \beta$ é a probabilidade de cometer erro tipo I $1 - \beta$ é a probabilidade de o saco realmente suportar $-15°$ F
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 14
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O poder do teste é $1 - \beta$ : a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é de fato falsa. No contexto do saco de dormir: probabilidade de detectar corretamente que o saco não suporta a temperatura, quando de fato não suporta.
Ex. 104.25Understanding
Um grupo de médicos decide se realiza uma cirurgia ( $H_0$ : a cirurgia correrá bem). Qual erro — tipo I ou tipo II — tem a maior consequência prática?
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Erro tipo I é mais grave: operar desnecessariamente pode causar dano ao pacienteErro tipo II é mais grave: não operar quando deveria pode ser fatalOs dois erros têm a mesma consequênciaDepende do nível de significância escolhido
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 15
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$H_0$ : a cirurgia correrá bem. Erro tipo I: operar quando não deveria (a cirurgia tem complicações). Erro tipo II: não operar quando deveria (perder uma intervenção necessária). Em muitos contextos clínicos, o erro tipo I (cirurgia desnecessária) é considerado mais grave, pois impõe risco ao paciente sem benefício.
Ex. 104.26Application
O poder de um teste é $0{,}981$ . Qual é a probabilidade de cometer erro tipo II?
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$P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}019$ $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}981$ $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}019$ , portanto o poder é baixo $P(\text{Erro tipo II}) = 1 - 0{,}981 = 0{,}019$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 17
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O poder é $1 - \beta = 0{,}981$ . Portanto $\beta = P(\text{Erro tipo II}) = 1 - 0{,}981 = 0{,}019$ . Esse valor é muito baixo: o teste raramente deixará de detectar um efeito real.
Ex. 104.27Understanding
Um grupo de mergulhadores explora um naufrágio. $H_0$ : o navio não contém tesouro soterrado. Descreva os erros tipo I e tipo II.
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Erro tipo I: concluir que há tesouro quando não há; Erro tipo II: concluir que não há quando háErro tipo I: concluir que não há tesouro quando há; Erro tipo II: concluir que há quando não háErro tipo I e tipo II dependem do nível de significância escolhido pelos mergulhadoresNão há como definir os erros sem conhecer o p-valor
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 18
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$H_0$ : o navio não contém tesouro. Erro tipo I: rejeitar $H_0$ sendo ela verdadeira — afirmar que há tesouro quando não há. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ sendo ela falsa — afirmar que não há tesouro quando na verdade há.
Ex. 104.28Application
Um microbiologista testa água para $E.\ coli$ . $H_0$ : amostra não contém $E.\ coli$ . $P(\text{Erro tipo I}) = 0{,}012$ ; $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}002$ . Qual é o poder do teste?
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Poder $= 1 - 0{,}002 = 0{,}998$ Poder $= 0{,}012 + 0{,}002 = 0{,}014$ Poder $= 0{,}012$ Poder $= 1 - 0{,}012 = 0{,}988$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 19
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O problema dá $P(\text{Erro tipo I}) = \alpha = 0{,}012$ e $P(\text{Erro tipo II}) = \beta = 0{,}002$ . O poder do teste é $1 - \beta = 1 - 0{,}002 = 0{,}998$ .
Ex. 104.29Understanding
Quais são as duas distribuições que se usa para testes de hipótese de médias populacionais neste capítulo?
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Distribuição normal padrão e distribuição $t$ de StudentDistribuição $\chi^2$ e distribuição $F$ Distribuição binomial e distribuição de PoissonDistribuição $t$ de Student e distribuição $\chi^2$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 21
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Para testes de hipótese de médias populacionais, as duas distribuições usadas são: (1) distribuição normal padrão $\mathcal{N}(0,1)$ — quando $\sigma$ é conhecido ou $n$ é grande (pelo TCL); (2) distribuição $t$ de Student — quando $\sigma$ é desconhecido e é estimado por $s$ .
Ex. 104.30UnderstandingAnswer key
Qual distribuição se usa quando o desvio padrão populacional $\sigma$ é desconhecido e a amostra é grande?
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Distribuição normal padrão, pois com $n$ grande o TCL garante normalidadeDistribuição $t$ de Student com $df = n - 1$ Distribuição $\chi^2$ com $df = n - 1$ Distribuição normal padrão pois $s \approx \sigma$ quando $n$ é grande
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 22
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Quando $\sigma$ é desconhecido — mesmo com $n$ grande — usa-se formalmente a distribuição $t_{n-1}$ . Na prática, para $n$ muito grande, $t_{n-1} \approx \mathcal{N}(0,1)$ , mas a resposta rigorosa é $t$ .
Ex. 104.31Understanding
Média populacional = 13. Amostra: $\bar X = 12{,}8$ , $s = 2$ , $n = 20$ . A população subjacente é normal. Qual distribuição usar para o teste de hipótese?
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Distribuição $t_{19}$ , pois $\sigma$ é desconhecido e a população é normalDistribuição normal padrão, pois a hipótese é sobre a média e $n > 10$ Distribuição $\chi^2_{19}$ , pois $\sigma$ é desconhecidoDistribuição $t_{20}$ , pois $df = n$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 24
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A população é aproximadamente normal e $\sigma$ é desconhecido, estimado por $s = 2$ . Assim, a estatística de teste $T = (\bar X - 13)/(s/\sqrt{20})$ segue $t_{19}$ sob $H_0$ .
Ex. 104.32Understanding
Média populacional = 25, $\sigma = 5$ (conhecido). Amostra: $\bar X = 24$ , $n = 108$ . Qual distribuição usar para o teste de hipótese?
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Distribuição $t_{107}$ , pois $\sigma$ é desconhecidoDistribuição normal padrão, pois $\sigma = 5$ é conhecido e $n = 108$ é grandeDistribuição $t_{107}$ mesmo com $\sigma$ conhecido, por precauçãoDistribuição $\chi^2_{107}$ por tratar de variância
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 25
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O desvio padrão populacional $\sigma = 5$ é conhecido. Logo, usa-se o teste z com distribuição $\mathcal{N}(0,1)$ . Mesmo com $n = 108$ , a diferença entre $z$ e $t$ seria mínima, mas o critério de escolha é o conhecimento de $\sigma$ .
Ex. 104.33Understanding
O que se deve assumir sobre a distribuição dos dados ao realizar um teste t de uma amostra para a média populacional?
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Os dados devem ser independentes, mas não precisam vir de população normalOs dados devem vir de uma simples amostra aleatória de uma população normal (ou aproximadamente normal)Os dados devem ter variância conhecidaOs dados devem ter média zero
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 27
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Para um teste t de uma amostra, assume-se que: (1) os dados são uma amostra aleatória simples, (2) a população é aproximadamente normal (condição mais crítica para $n$ pequeno). Com $n \geq 30$ , o TCL relaxa a exigência de normalidade.
Ex. 104.34Application
Quando se rejeita $H_0$ num teste de hipótese usando o critério do p-valor?
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Quando $\alpha$ é maior que o p-valor: o p-valor caiu abaixo do limiar de significânciaQuando p-valor é maior que $\alpha$ : os dados são compatíveis com $H_0$ Quando $\alpha - p$ -valor $> 0{,}5$ , indicando grande diferençaSomente quando a diferença observada for maior que dois desvios padrões
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 32
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A regra de decisão é: quando $\alpha > p$ -valor, rejeitamos $H_0$ . Isso significa que os dados são suficientemente improváveis sob $H_0$ dado o nível de significância escolhido.
Ex. 104.35Modeling
Acredita-se que a altura média de estudantes de basquete do ensino médio seja 73 polegadas, $\sigma = 1{,}8$ . Amostra de 40 jogadores: $\bar X = 71$ pol, $s = 1{,}5$ pol. O p-valor é quase zero. Formule as hipóteses e interprete.
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$H_0: \mu = 73$ ; $H_a: \mu < 73$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ : amostra contradiz a crença $H_0: \mu = 73$ ; $H_a: \mu \neq 73$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ $H_0: \mu < 73$ ; $H_a: \mu = 73$ ; não rejeita $H_0$ pois $n = 40$ $H_0: \mu = 71$ ; $H_a: \mu \neq 71$ ; não rejeita $H_0$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 35
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$H_0: \mu = 73$ , $H_a: \mu < 73$ . Com $\sigma = 1{,}8$ : $Z = (71-73)/(1{,}8/\sqrt{40}) \approx -7{,}02$ . p-valor $\approx 0$ . Rejeita $H_0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $H_0: \mu = 73$ pol (crença), $H_a: \mu < 73$ (o estudo quer mostrar que é menor).
2. O enunciado afirma que $\sigma = 1{,}8$ e $s = 1{,}5$ . Como $\sigma$ é dado como conhecido, usa-se o teste z: $Z = (71 - 73)/(1{,}8/\sqrt{40}) = -2/0{,}285 = -7{,}02$ .
3. p-valor unilateral inferior: $P(Z \leq -7{,}02) \approx 0$ .
4. Conclusão: rejeita $H_0$ . A média da amostra (71 pol) contradiz fortemente a crença de que a média é 73 pol.
Ex. 104.36Application
A média de idade de pós-graduandos é no máximo 31 anos ( $H_0: \mu \leq 31$ ). Amostra de 15 alunos: $\bar X = 32$ anos, $s = 3$ anos. p-valor $= 0{,}0264$ . Os dados são significativos ao nível 1%?
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p-valor $= 0{,}0264 < 0{,}05$ : significativo ao nível 5%, mas não ao 1%p-valor $= 0{,}0264 < 0{,}01$ : significativo ao nível 1%p-valor $= 0{,}0264 > 0{,}05$ : não é significativo ao nível 5%p-valor $= 0{,}0264$ : é sempre significativo independentemente de $\alpha$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 36
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p-valor $= 0{,}0264$ . Como $0{,}0264 < 0{,}05$ , é significativo ao nível 5%: rejeitamos $H_0$ . Mas como $0{,}0264 > 0{,}01$ , não é significativo ao nível 1%. A hipótese é $H_0: \mu \leq 31$ , $H_a: \mu > 31$ .
Ex. 104.37Understanding
O que se deve fazer quando $\alpha > p$ -valor num teste de hipótese?
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Rejeitar $H_0$ : o p-valor indica evidência suficiente contra a hipótese nulaNão rejeitar $H_0$ : o p-valor é menor que $\alpha$ , portanto os dados apoiam $H_0$ Aumentar o tamanho da amostra e recalcular o p-valorUsar um teste bilateral em vez do unilateral atual
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 38
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Quando $\alpha > p$ -valor, o p-valor caiu abaixo do limiar de significância estabelecido. Isso significa que a probabilidade de obter os dados observados sob $H_0$ é menor que o risco $\alpha$ que estamos dispostos a aceitar. Portanto, rejeitamos $H_0$ .
Ex. 104.38Understanding
Um novo tratamento para para-brisa afirma repelir água mais eficientemente. Dez para-brisas foram testados sem o tratamento e depois com o tratamento (o mesmo conjunto). Que tipo de teste é mais adequado?
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Trata-se de dados pareados (mesmas janelas antes e depois); usar teste t pareadoTrata-se de duas amostras independentes; usar Welch tUsar teste z pois $n = 10$ é suficientemente grandeUsar pooled t pois as variâncias são presumivelmente iguais
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 3
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As mesmas 10 janelas foram testadas sem e com o tratamento. Os dados são pareados: a mesma unidade experimental (janela) aparece nos dois grupos. O teste apropriado é o t pareado sobre as diferenças de eficiência (com tratamento menos sem tratamento).
Ex. 104.39Modeling
Estudo compara notas de redação: 31 mulheres ( $\bar X = 82$ , $s = 3$ ) e 25 homens ( $\bar X = 76$ , $s = 4$ ). Teste $H_0: \mu_F = \mu_M$ vs $H_1: \mu_F > \mu_M$ com $\alpha = 0{,}05$ .
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$T_W \approx 5{,}82$ ; rejeita $H_0$ : mulheres têm nota média mais alta que homens em redação $T_W \approx 5{,}82$ ; não rejeita $H_0$ pois $df < 30$ $T_W \approx 1{,}71$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W \approx 5{,}82$ ; rejeita $H_0$ apenas ao nível 1%
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 7
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$\mathrm{SE} = \sqrt{9/31 + 16/25} \approx 0{,}964$ . $T_W = 6/0{,}964 \approx 6{,}22$ . $\nu \approx 38$ . Rejeita $H_0$ : mulheres têm nota média significativamente mais alta que homens em redação.
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1. $H_0: \mu_F = \mu_M$ , $H_a: \mu_F > \mu_M$ (unilateral superior). $n_F = 31$ , $\bar X_F = 82$ , $s_F = 3$ ; $n_M = 25$ , $\bar X_M = 76$ , $s_M = 4$ .
2. $\mathrm{SE} = \sqrt{9/31 + 16/25} = \sqrt{0{,}290 + 0{,}640} = \sqrt{0{,}930} = 0{,}964$ .
3. $T_W = (82 - 76)/0{,}964 = 6{,}22$ . $\nu \approx 38$ (Welch).
4. Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,38} \approx 1{,}686$ . Como $6{,}22 > 1{,}686$ , rejeita $H_0$ .
Ex. 104.40Modeling
Acredita-se que adolescentes dormem mais que adultos. Amostra de adolescentes ( $n_1 = 16$ , $\bar X_1 = 8{,}9$ h, $s_1 = 1{,}2$ h) e adultos ( $n_2 = 12$ , $\bar X_2 = 6{,}9$ h, $s_2 = 0{,}6$ h). Teste ao nível 5%.
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$T_W \approx 3{,}37$ ; $\nu \approx 26$ ; rejeita $H_0$ : adolescentes dormem mais que adultos $T_W \approx 3{,}37$ ; não rejeita $H_0$ pois $n_1 + n_2 < 30$ $T_W \approx 1{,}21$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%Deve-se usar pooled t pois as variâncias são próximas
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 11
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$\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}44/16 + 0{,}36/12} \approx 0{,}346$ . $T_W = 2{,}0/0{,}346 \approx 5{,}78$ . Rejeita $H_0$ : adolescentes dormem mais que adultos ao nível 5%.
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1. $H_0: \mu_{\text{teen}} = \mu_{\text{adult}}$ , $H_a: \mu_{\text{teen}} > \mu_{\text{adult}}$ .
2. Adolescentes: $n_1 = 16$ , $\bar X_1 = 8{,}9$ , $s_1 = 1{,}2$ ; adultos: $n_2 = 12$ , $\bar X_2 = 6{,}9$ , $s_2 = 0{,}6$ .
3. $\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}44/16 + 0{,}36/12} = \sqrt{0{,}090 + 0{,}030} = \sqrt{0{,}120} = 0{,}346$ .
4. $T_W = (8{,}9 - 6{,}9)/0{,}346 = 5{,}78$ . $\nu \approx 20$ . Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,20} = 1{,}725$ .
5. Como $5{,}78 \gg 1{,}725$ , rejeita $H_0$ . Adolescentes dormem significativamente mais que adultos.
Ex. 104.41Modeling
Escola A (12 cursos de pós): mensalidade média R$64.000, $s$ = R$8.000. Escola B (16 cursos): R$80.000, $s$ = R$6.000. Em média, as mensalidades diferem? Teste ao nível 5% (bilateral).
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$T_W \approx 5{,}79$ ; rejeita $H_0$ : Escola B é significativamente mais cara que Escola A $T_W \approx 2{,}01$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W \approx 5{,}79$ ; não rejeita $H_0$ pois $\nu$ é muito pequenoNão é possível concluir sem saber se as variâncias são iguais
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 13
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Escola A: $n_1 = 12$ , $\bar X_1 = 64{,}000$ , $s_1 = 8{,}000$ ; Escola B: $n_2 = 16$ , $\bar X_2 = 80{,}000$ , $s_2 = 6{,}000$ . $\mathrm{SE} = \sqrt{64 \times 10^6/12 + 36 \times 10^6/16} = \sqrt{5{,}33 + 2{,}25} \times 10^3 = 2{,}753 \times 10^3$ . $T_W = -16{,}000/2{,}753 \approx -5{,}81$ . Rejeita $H_0$ .

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Seções §5.3–5.4 (teste t de uma amostra, Welch, pareado; condições de aplicação).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. Seções §9.5–9.6 e §10.1–10.4 (testes z e t, duas amostras independentes e pareadas).
Statistical Thinking for the 21st Century — Russell Poldrack · CC-BY-NC. Capítulo 12 (testes de comparação de grupos, simulação, perspectiva moderna).