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Lesson 105 — Simple linear regression

Modelo OLS model, least-squares estimators, R², residuals, inference about the slope. Foundation of supervised learning and econometrics.

Used in: Stochastik LK alemão (Klasse 12) · H2 Mathematics Singapura (§14) · Math B japonês

\hat{Y} = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X, \qquad \hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}

A reta de mínimos quadrados passa pelo centroide $(\bar X, \bar Y)$ e tem inclinação igual à covariância amostral dividida pela variância de $X$ . O intercepto $\hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X$ é determinado a partir daí.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Modelo de regressão linear simples

"The regression equation is written as $\hat{y} = a + bx$ , where $b$ is the slope and $a$ is the $y$ -intercept." — OpenStax Statistics, §12.3

Definition· Estimadores de mínimos quadrados (OLS)

Os estimadores de OLS minimizam $SSE = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat Y_i)^2$ . A solução de forma fechada é:

\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2}

what this means · Inclinação amostral: covariância de X e Y dividida pela variância de X.

\hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X

what this means · Intercepto: força a reta a passar pelo centroide dos dados.

O resíduo $e_i = Y_i - \hat Y_i$ é a distância vertical de cada ponto à reta ajustada.

Decomposição da variância e R²

"The coefficient of determination $r^2$ is the square of the correlation coefficient $r$ . It tells you the fraction of total variability in the response that is explained by the least-squares line." — OpenIntro Statistics, §7.2, p. 331

Inferência sobre a inclinação

Reta de mínimos quadrados (dourada) minimizando a soma dos quadrados dos resíduos (laranjas). Cada resíduo e é a distância vertical do ponto à reta.

Exemplos resolvidos

Example— 105.1· Calcular a reta de regressao com dados pequenos

Problema. Cinco municípios do interior de São Paulo registraram PIB per capita $X$ (em mil R$/ano) e IDH $Y$ :

$X$	18	24	30	36	42
$Y$	0,62	0,68	0,72	0,78	0,84

Encontre a reta de mínimos quadrados e interprete os coeficientes.

Estratégia. Calcular $\bar X$ , $\bar Y$ , $S_{xx}$ , $S_{xy}$ , depois aplicar as fórmulas dos estimadores.

Resolução.

$\bar X = (18+24+30+36+42)/5 = 30$ ; $\bar Y = (0{,}62+0{,}68+0{,}72+0{,}78+0{,}84)/5 = 0{,}728$ .

$S_{xx} = (18-30)^2+(24-30)^2+(30-30)^2+(36-30)^2+(42-30)^2 = 144+36+0+36+144 = 360$ .

$S_{xy} = (18-30)(0{,}62-0{,}728)+\ldots = (-12)(-0{,}108)+(-6)(-0{,}048)+0+(6)(0{,}052)+(12)(0{,}112)$ $= 1{,}296+0{,}288+0+0{,}312+1{,}344 = 3{,}24$ .

$hatbeta_1 = 3{,}24/360 = 0{,}009$ (ponto de IDH por mil R$ de PIB per capita).

$\hat\beta_0 = 0{,}728 - 0{,}009 \times 30 = 0{,}458$ .

Reta: $\hat Y = 0{,}458 + 0{,}009 X$ .

Verificação. Para $X=30$ : $\hat Y = 0{,}458+0{,}009\times30 = 0{,}728 = \bar Y$ . Correto — a reta passa pelo centroide.

Fonte. OpenStax Statistics, §12.3, Exemplo 12.5 — CC-BY

Example— 105.2· Calcular e interpretar R²

Problema. Com os dados do exemplo anterior, calcule $SST$ , $SSE$ , $SSR$ e $R^2$ .

Estratégia. Calcular $\hat Y_i$ para cada ponto, depois as três somas de quadrados.

Resolução.

$X$	$Y$	$\hat Y$	$e = Y-\hat Y$	$e^2$	$(Y-\bar Y)^2$
18	0,62	0,620	0	0	0,01166
24	0,68	0,674	0,006	0,000036	0,00230
30	0,72	0,728	-0,008	0,000064	0,000064
36	0,78	0,782	-0,002	0,000004	0,00274
42	0,84	0,836	0,004	0,000016	0,01254

$SSE = 0{,}000120$ ; $SST = 0{,}02930$ ; $SSR = 0{,}02918$ .

$R^2 = 0{,}02918/0{,}02930 \approx 0{,}996$ .

Verificação. $R^2$ muito próximo de 1 — faz sentido: os pontos estão quase perfeitamente alinhados.

Fonte. OpenIntro Statistics, §7.2, Exercício 7.9 — CC-BY-SA

Example— 105.3· Teste t para a inclinacao

Problema. Com $n=25$ pares de observações, obteve-se $\hat\beta_1 = 3{,}42$ e $SE(\hat\beta_1) = 1{,}14$ . Teste $H_0: \beta_1 = 0$ ao nível de 5% (bicaudal).

Estratégia. Calcular a estatística $T$ e comparar com o valor crítico $t_{23;\,0{,}025}$ .

Resolução.

$T = \hat\beta_1 / SE(\hat\beta_1) = 3{,}42/1{,}14 = 3{,}00$ .

Graus de liberdade: $n-2 = 23$ . Valor crítico $t_{23;\,0{,}025} \approx 2{,}069$ .

Como $|T| = 3{,}00 > 2{,}069$ , rejeitamos $H_0$ ao nível de 5%.

Verificação. p-valor: $P(|t_{23}| > 3{,}00) \approx 0{,}006 < 0{,}05$ . Consistente com a rejeição.

Fonte. OpenStax Statistics, §12.4, Exemplo 12.8 — CC-BY

Example— 105.4· Previsao pontual e intervalo de confianca

Problema. A reta ajustada é $\hat Y = 42{,}6 + 1{,}8 X$ com $n=20$ , $MSE = 9{,}61$ , $\bar X = 15$ , $S_{xx} = 280$ . Obtenha: (a) previsão pontual para $X^* = 20$ ; (b) IC 95% para o valor médio de $Y$ quando $X = 20$ .

Estratégia. Substituir $X^*$ na reta ajustada. Usar fórmula do IC para a média condicional.

Resolução.

(a) $\hat Y^* = 42{,}6 + 1{,}8 \times 20 = 42{,}6 + 36 = 78{,}6$ .

(b) $SE(\hat Y^*) = \hat\sigma\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(X^*-\bar X)^2}{S_{xx}}} = \sqrt{9{,}61}\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{25}{280}} = 3{,}10 \times \sqrt{0{,}0500+0{,}0893} = 3{,}10 \times 0{,}373 = 1{,}156$ .

$t_{18;\,0{,}025} \approx 2{,}101$ .

IC 95%: $78{,}6 \pm 2{,}101 \times 1{,}156 = 78{,}6 \pm 2{,}43 = (76{,}2;\; 81{,}0)$ .

Verificação. Quanto mais longe $X^*$ está de $\bar X$ , maior o SE — IC se alarga nos extremos.

Fonte. OpenIntro Statistics, §7.3 — CC-BY-SA

Example— 105.5· Diagnostico de residuos e violacao de pressuposto

Problema. Uma regressão de consumo de energia $(Y)$ vs. temperatura $(X)$ produziu o gráfico de resíduos vs. $\hat Y$ com formato de "U" (resíduos negativos no centro, positivos nas extremidades). Que pressuposto foi violado e o que fazer?

Estratégia. Identificar o padrão no gráfico de resíduos e relacionar ao pressuposto de linearidade.

Resolução.

Padrão em "U" (curvatura sistemática) nos resíduos vs. $\hat Y$ indica violação do pressuposto de linearidade: a relação real entre $X$ e $Y$ não é linear.

Ação corretiva: incluir $X^2$ no modelo (regressão polinomial) ou aplicar transformação em $X$ (e.g., $\log X$ , $\sqrt{X}$ ).

Outros padrões comuns:

Funil (variância crescente com $\hat Y$ ) → homocedasticidade violada → transformar $Y$ (e.g., $\log Y$ ) ou usar erros robustos.
Bandas diagonais → dados discretos ou agrupados → efeito misto.

Verificação. Após incluir $X^2$ , o novo gráfico de resíduos deve ser aleatório em torno de zero.

Fonte. OpenIntro Statistics, §7.4, Figura 7.17 — CC-BY-SA

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 15Modeling 6Challenge 4Proof 1

Ex. 105.1Application
A equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ é linear? Justifique.
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A equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ é linear pois tem um intercepto definidoA equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ não é linear pois contém o termo $x^2$ A equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ é linear pois os coeficientes 10 e 5 são constantesDepende do valor de $x$ : para $x$ pequeno é aproximadamente linear
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 6
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A equação $y = 10 + 5x - 3x^2$ não é linear pois contém o termo $x^2$ (grau 2). Uma equação linear em $x$ deve ter a forma $y = a + bx$ , com $x$ apenas na primeira potência. (Resp: não é linear)
Ex. 105.2ApplicationAnswer key
Quais das equações a seguir são lineares?
a. $y = 6x + 8$
b. $y + 7 = 3x$
c. $y - x = 8x^2$
d. $4y = 8$
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a. $y = 6x + 8$ e b. $y + 7 = 3x$ são lineares; c. e d. não sãoa. $y = 6x + 8$ , b. $y + 7 = 3x$ e d. $4y = 8$ são lineares; c. $y - x = 8x^2$ não éTodas as quatro equações são lineares pois têm coeficientes constantesApenas a. $y = 6x + 8$ é linear pois já está na forma $y = a + bx$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 7
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Uma equação é linear em $x$ se $x$ aparece apenas na primeira potência. (a) $y = 6x + 8$ : linear. (b) $y + 7 = 3x$ , equivale a $y = 3x - 7$ : linear. (c) $y - x = 8x^2$ contém $x^2$ : não linear. (d) $4y = 8$ , equivale a $y = 2$ : linear (inclinação zero). (Resp: a, b, d)
Ex. 105.3UnderstandingAnswer key
Em um estudo sobre gripe, os dados incluem as colunas "Ano" e "Número de casos de gripe diagnosticados". Por que o ano é a variável independente e o número de casos é a variável dependente (e não o contrário)?
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Ano é a variável dependente porque o tempo causa as doençasAno é a variável independente porque o tempo avança independentemente do número de casos; casos diagnosticados dependem do tempoAmbas as variáveis são igualmente dependentes uma da outraNúmero de casos é a variável independente porque o pesquisador escolhe quantos casos estudar
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 9
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O ano avança independentemente da quantidade de casos diagnosticados — nenhum pesquisador controla o tempo. O número de casos de gripe diagnosticados, por outro lado, pode variar em função do ano (novas cepas, campanhas de vacinação, melhoria no diagnóstico). Logo, ano é a variável independente ( $X$ ) e número de casos é a variável dependente ( $Y$ ).
Ex. 105.4Understanding
O que significa um valor de $r = 0$ no coeficiente de correlação de Pearson?
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$r = 0$ significa que não há absolutamente nenhuma relação entre $X$ e $Y$ $r = 0$ significa ausência de relação linear; pode existir relação não-linear forte $r = 0$ significa que $X$ e $Y$ são independentes no sentido probabilístico pleno $r = 0$ é impossível em conjuntos de dados reais com $n$ grande
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 23
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Um valor $r = 0$ indica ausência de associação linear entre $X$ e $Y$ . Isso não implica independência: variáveis com relação perfeitamente quadrática (ex.: $Y = X^2$ , dados simétricos em torno de zero) podem ter $r = 0$ . A correlação de Pearson mede apenas associação linear.
Ex. 105.5Understanding
Quando $n = 2$ e $r = 1$ , os dados são estatisticamente significativos? Explique o que acontece com os graus de liberdade do teste.
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Com $n=2$ e $r=1$ , há forte evidência de correlação significativaCom $n=2$ e $r=1$ , a correlação NÃO é significativa: os graus de liberdade são $n-2=0$ Com $n=2$ e $r=1$ , o p-valor é automaticamente zeroCom $n=2$ e $r=1$ , a reta de regressão não existe
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 24
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Com $n=2$ pontos, qualquer reta passa exatamente pelos dois pontos, então $r = \pm 1$ sempre. Os graus de liberdade para o teste de significância são $n - 2 = 0$ , tornando o teste impossível de aplicar. Uma correlação perfeita com dois pontos não tem valor inferencial.
Ex. 105.6Application
Com $n = 100$ observações e $r = -0{,}89$ , existe correlação significativa ao nível 5%? Calcule $T = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)}$ e conclua.
Select the correct option
$T \approx -19{,}32$ ; rejeita $H_0: \rho = 0$ ao nível 5% $T = -0{,}89$ ; não rejeita $H_0$ pois $|T|$ é pequeno $T \approx -19{,}32$ ; não rejeita $H_0$ pois $r < 0$ $T = r^2\sqrt{n-2} \approx 7{,}84$ ; rejeita $H_0$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 25
Show solution
$T = -19{,}32$ . Rejeitamos $H_0: \rho = 0$ : há correlação linear negativa significativa. (Resp: Rejeita $H_0$ )
Show step-by-step (with the why)
1. $r = -0{,}89$ , $n = 100$ , $df = n - 2 = 98$ .
2. Calcular $1 - r^2 = 1 - 0{,}7921 = 0{,}2079$ .
3. $T = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)} = -0{,}89 \times \sqrt{98/0{,}2079} = -0{,}89 \times 21{,}71 \approx -19{,}32$ .
4. Valor crítico bilateral: $t_{0{,}025,\,98} \approx 1{,}984$ . Como $|-19{,}32| \gg 1{,}984$ , rejeitamos $H_0$ .
Ex. 105.7UnderstandingAnswer key
Ao testar a significância do coeficiente de correlação de Pearson, qual é a hipótese nula?
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$H_0: \rho = 0$ (sem correlação linear na população) $H_0: \beta_1 = 1$ (inclinação unitária) $H_0: r > 0$ (correlação positiva) $H_0: R^2 = 1$ (ajuste perfeito)
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 26
Show solution
O teste de significância do coeficiente de correlação testa $H_0: \rho = 0$ , onde $\rho$ é a correlação populacional. A hipótese alternativa é $H_1: \rho \neq 0$ (bilateral) ou uma versão unilateral. Rejeitar $H_0$ indica associação linear significativa na população.
Ex. 105.8Understanding
Ao testar a significância do coeficiente de correlação, qual é a hipótese alternativa no caso bilateral?
Select the correct option
$H_1: \rho = 0$ (correlação zero) $H_1: \rho \neq 0$ (correlação diferente de zero) no teste bilateral $H_1: \rho = 1$ (correlação perfeita) $H_1: \rho > 0$ é sempre a única alternativa possível
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 27
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A hipótese alternativa depende do contexto. No teste bilateral, $H_1: \rho \neq 0$ . Se há razão prévia para esperar correlação positiva, pode-se usar $H_1: \rho > 0$ ; para negativa, $H_1: \rho < 0$ . O mais comum em regressão simples é o teste bilateral.
Ex. 105.9ApplicationAnswer key
Se o nível de significância é $\alpha = 0{,}05$ e o p-valor do teste de correlação é 0,04, qual é a conclusão?
Select the correct option
Não rejeita $H_0$ ; p-valor $= 0{,}04 > \alpha = 0{,}05$ Rejeita $H_0$ ; p-valor $= 0{,}04 < \alpha = 0{,}05$ : correlação estatisticamente significativaRejeita $H_0$ ; p-valor $= 0{,}04 > \alpha/2 = 0{,}025$ , logo não há evidênciaInconclusivo; p-valor muito próximo de $\alpha$ para decidir
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 28
Show solution
p-valor $= 0{,}04 < \alpha = 0{,}05$ . Rejeitamos $H_0$ : correlação estatisticamente significativa ao nível 5%.
Show step-by-step (with the why)
1. Dados: $\alpha = 0{,}05$ , p-valor $= 0{,}04$ .
2. Regra: rejeitar $H_0$ se p-valor menor que $\alpha$ .
3. Como $0{,}04 < 0{,}05$ , rejeitamos $H_0: \rho = 0$ .
4. Conclusão: há evidência significativa de correlação linear ao nível 5%.
Ex. 105.10Application
A soma dos quadrados dos erros (SSE) de um conjunto com $n = 18$ observações é 49. Calcule o desvio padrão dos resíduos $s$ .
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$s^2 = 49/18 \approx 2{,}72$ ; $s \approx 1{,}65$ $s^2 = 49/16 = 3{,}0625$ ; $s \approx 1{,}75$ $s^2 = 49/17 \approx 2{,}88$ ; $s \approx 1{,}70$ $s^2 = 49^2/16 = 150$ ; $s \approx 12{,}25$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 53
Show solution
$s^2 = 49/16 = 3{,}0625$ ; $s \approx 1{,}750$ . O desvio padrão dos resíduos é aproximadamente 1,75 unidades. (Resp: $s \approx 1{,}75$ )
Show step-by-step (with the why)
1. $SSE = 49$ , $n = 18$ . Graus de liberdade: $n - 2 = 16$ .
2. Variância residual: $s^2 = SSE/(n-2) = 49/16 = 3{,}0625$ .
3. Desvio padrão residual: $s = \sqrt{3{,}0625} \approx 1{,}750$ .
Ex. 105.11Application
O desvio padrão dos resíduos de um modelo de regressão é $s = 9{,}8$ . Qual é o limite de distância vertical para identificar possíveis pontos atípicos pelo critério $|e_i| > 2s$ ?
Select the correct option
$2s = 9{,}8$ ; pontos com $|e_i|$ maior que 9,8 são suspeitos $2s = 19{,}6$ ; pontos com $|e_i|$ maior que 19,6 são suspeitos $2s = 4{,}9$ ; pontos com $|e_i|$ maior que 4,9 são suspeitos $2s = 96{,}04$ ; pois $s^2 = 9{,}8^2 = 96{,}04$ é a variância
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 54
Show solution
O desvio padrão dos resíduos é $s = 9{,}8$ . O critério padrão para ponto suspeito de ser atípico é $|e_i| > 2s = 2 \times 9{,}8 = 19{,}6$ . (Resp: distância vertical de corte = 19,6)
Ex. 105.12Understanding
Marcus afirma que todos os pontos atípicos são pontos influentes. Ele está correto? Explique a diferença entre ponto atípico e ponto influente.
Select the correct option
Marcus está correto: todo ponto atípico em $Y$ é automaticamente influente na reta ajustadaMarcus está errado: um ponto pode ter alto resíduo sem ser influente — influência depende também da alavancagem (posição em $X$ )Marcus está errado: somente pontos com leverage $h_{ii} = 1$ são influentesMarcus está correto: a distância de Cook é sempre proporcional ao resíduo
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 48
Show solution
Marcus está errado. Um ponto pode ser atípico em $Y$ (alto resíduo) sem ser influente se estiver na direção dos demais dados. Um ponto influente é aquele cuja remoção altera substancialmente a reta ajustada — o que depende de sua alavancagem (posição em $X$ ), não apenas do resíduo.
Ex. 105.13Understanding
Um ponto é removido de um conjunto de dados e a reta é recalculada. O novo coeficiente de correlação é 0,98. O ponto parecia ser um outlier? Por quê?
Select the correct option
Sim, remover o ponto aumentou $r$ de algum valor para 0,98, logo era um outlier influente que reduzia a correlaçãoNão, a nova correlação de 0,98 pode ter aparecido por acaso independentemente do ponto removidoNão é possível determinar se o ponto era outlier com apenas essa informaçãoSim, mas somente se o ponto tiver sido removido manualmente pelo pesquisador
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 50
Show solution
Se após remover o ponto a correlação subiu para $r = 0{,}98$ , o ponto estava distorcendo a reta e reduzindo a correlação — sinal de que era influente. Um outlier influente puxa a reta para si, piorando o ajuste para os demais pontos. O salto em $r$ confirma a influência.
Ex. 105.14Understanding
Qual efeito o outlier potencial teve sobre a reta de melhor ajuste antes de ser removido?
Select the correct option
O outlier não afetou a reta pois foi removido antes da análiseO outlier puxou a reta para perto de si, distorcendo a inclinação e o interceptoO outlier aumentou o $R^2$ pois adicionou variabilidade ao modeloO outlier apenas afetou o intercepto, não a inclinação
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 51
Show solution
Um outlier influente puxa a reta de regressão na sua direção. Isso distorce tanto a inclinação quanto o intercepto estimados, reduzindo a qualidade do ajuste para os demais pontos. Por isso a reta da nova análise (sem o ponto) provavelmente tem inclinação diferente e maior correlação com os dados restantes.
Ex. 105.15UnderstandingAnswer key
Após remover o outlier potencial, o novo coeficiente de correlação é $r = 0{,}98$ . Você está mais ou menos confiante na capacidade preditiva da nova reta de melhor ajuste?
Select the correct option
Mais confiante: $r = 0{,}98$ indica ajuste melhor sem o pontoMenos confiante: remover dados sempre reduz a confiabilidade do modeloIgualmente confiante: o $r$ não é relevante para avaliar previsões futurasNem mais nem menos: dependeria de $n$ se aumentou ou diminuiu
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 52
Show solution
Com $r = 0{,}98$ na nova análise (sem o ponto), o ajuste é muito forte. O pesquisador deve estar mais confiante nas previsões da reta recalculada, desde que o ponto tenha sido removido com justificativa substantiva (erro de medição, caso especial) e não simplesmente por conveniência.
Ex. 105.16Application
Considere uma regressão que prevê peso (kg) a partir da altura (cm) de homens adultos. Quais são as unidades do coeficiente de correlação, do intercepto e da inclinação?
Select the correct option
Coeficiente de correlação: sem unidade; intercepto: kg; inclinação: kg/cmCoeficiente de correlação: kg/cm; intercepto: cm; inclinação: kgTodos os três são adimensionais pois são coeficientes estatísticosCoeficiente de correlação: sem unidade; intercepto: cm; inclinação: kg/cm
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.17
Show solution
O coeficiente de correlação $r$ é adimensional (sempre entre -1 e 1). O intercepto $\hat\beta_0$ tem a unidade de $Y$ (kg). A inclinação $\hat\beta_1$ tem unidade de $Y/X$ = kg/cm: quantidade de kg por cm adicional de altura. (Resp: sem unidade; kg; kg/cm)
Ex. 105.17Understanding
Para uma reta de regressão, a incerteza associada à estimativa de $\hat\beta_1$ é maior quando: (I) há muita dispersão em torno da reta, ou (II) há pouca dispersão em torno da reta. Qual caso produz maior incerteza?
Select the correct option
A incerteza é maior quando há pouca dispersão em torno da reta (caso II)A incerteza é maior quando há muita dispersão em torno da reta (caso I)A incerteza é a mesma nos dois casos pois depende apenas de $n$ A incerteza é maior quando há muita dispersão porque $S_{xx}$ aumenta
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.18
Show solution
A incerteza associada à estimativa de $\hat\beta_1$ é $SE(\hat\beta_1) = \hat\sigma/\sqrt{S_{xx}}$ . Com mais dispersão em torno da reta, $\hat\sigma$ é maior, logo $SE(\hat\beta_1)$ é maior. Mais ruído nos dados torna a estimativa da inclinação menos precisa.
Ex. 105.18Application
Uma reta de regressão prevê a vida útil de uma maçã com base em seu peso. Para uma maçã específica, a previsão foi de 4,6 dias e o resíduo foi de $-0{,}6$ dias. Superestimamos ou subestimamos a vida útil?
Select the correct option
Superestimamos: o resíduo $-0{,}6$ significa que o valor real é menor que o previstoSubestimamos: o resíduo $-0{,}6$ significa que o valor real é maior que o previstoO resíduo negativo indica que o modelo errou a direção da associaçãoNão é possível determinar sobre-/subestimação apenas com o resíduo
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.19
Show solution
O resíduo é $e = Y - \hat Y$ . Com $\hat Y = 4{,}6$ dias e $e = -0{,}6$ , temos $Y = 4{,}6 + (-0{,}6) = 4{,}0$ dias. Como $\hat Y > Y$ , superestimamos a vida útil da maçã. Um resíduo negativo sempre indica superestimativa.
Ex. 105.19Application
Uma reta de regressão prevê a incidência de câncer de pele (por 1.000 pessoas) a partir do número de dias ensolarados por ano. Para um ano específico, a previsão foi 1,5 casos/1.000 e o resíduo foi $+0{,}5$ . Superestimamos ou subestimamos?
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Superestimamos: o resíduo $+0{,}5$ indica que o valor real é menor que o previstoSubestimamos: o resíduo $+0{,}5$ indica que o valor real é maior que o previstoO resíduo positivo indica que o modelo previu exatamente o valor corretoNão é possível determinar sem conhecer o valor do intercepto
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.20
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O resíduo $e = Y - \hat Y = 0{,}5 > 0$ implica que $Y = \hat Y + 0{,}5 = 1{,}5 + 0{,}5 = 2{,}0$ casos/1000. Como o valor real (2,0) é maior que o previsto (1,5), subestimamos a incidência. Resíduo positivo indica sempre subestimativa.
Ex. 105.20ModelingAnswer key
O trem Coast Starlight percorre a rota Seattle–Los Angeles. A distância média entre paradas consecutivas é 108 milhas ( $s_X = 99$ mi) e o tempo médio de viagem é 129 minutos ( $s_Y = 113$ min), com correlação $r = 0{,}636$ . Escreva a equação da reta de regressão para prever o tempo de viagem a partir da distância.
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Reta: $\hat{Y} = 25{,}31 + 0{,}777\,X$ (tempo em min, distância em milhas)Reta: $\hat{Y} = 0{,}777 + 25{,}31\,X$ (intercepto e inclinação trocados)Reta: $\hat{Y} = 108 + 0{,}636\,X$ (usa médias como coeficientes)Reta: $\hat{Y} = 129 - 0{,}636\,X$ (correlação negativa errada)
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.23
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Reta: $\hat Y = 25{,}31 + 0{,}777\,X$ . Cada milha adicional corresponde a aproximadamente 0,777 minutos a mais de viagem. (Resp: $\hat Y \approx 25{,}31 + 0{,}777X$ )
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1. Dados: $\bar X = 108$ mi, $s_X = 99$ mi; $\bar Y = 129$ min, $s_Y = 113$ min; $r = 0{,}636$ .
2. $\hat\beta_1 = r \cdot s_Y/s_X = 0{,}636 \times 113/99 \approx 0{,}777$ min/milha.
3. $\hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X = 129 - 0{,}777 \times 108 \approx 25{,}31$ min.
4. Reta: $\hat Y = 25{,}31 + 0{,}777\,X$ . Para $X = 103$ mi: $\hat Y \approx 25{,}31 + 80{,}1 = 105{,}4$ min.
Ex. 105.21Modeling
Para a regressão do exercício anterior (Coast Starlight, $r = 0{,}636$ ), calcule $R^2$ e interprete no contexto da viagem de trem.
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$R^2 = 0{,}636^2 \approx 0{,}404$ ; 40,4% da variabilidade no tempo é explicada pela distância $R^2 = 0{,}636$ ; 63,6% da variabilidade no tempo é explicada pela distância $R^2 = \sqrt{0{,}636} \approx 0{,}798$ ; 79,8% da variabilidade no tempo é explicada $R^2 = 0{,}777^2 \approx 0{,}604$ ; usa a inclinação ao quadrado
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.23
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Para regressão simples, $R^2 = r^2 = 0{,}636^2 \approx 0{,}404$ . Portanto, aproximadamente 40,4% da variabilidade no tempo de viagem entre paradas é explicada pela distância percorrida. Os 59,6% restantes refletem outros fatores (paradas não programadas, tráfego de outros trens, etc.).
Ex. 105.22Modeling
A distância entre Santa Bárbara e Los Angeles é 103 milhas. Use a reta do Exercício 105.20 ( $\hat Y = 25{,}31 + 0{,}777X$ ) para prever o tempo de viagem. O tempo real é 168 minutos — calcule o resíduo e interprete.
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Previsão: $\hat Y \approx 105{,}4$ min; resíduo: $e = 168 - 105{,}4 = +62{,}6$ minPrevisão: $\hat Y \approx 105{,}4$ min; resíduo: $e = 105{,}4 - 168 = -62{,}6$ minPrevisão: $\hat Y = 129$ min (média); resíduo: $e = 168 - 129 = +39$ minPrevisão: $\hat Y \approx 80{,}4$ min; resíduo: $e = 168 - 80{,}4 = +87{,}6$ min
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.23
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Para $X = 103$ mi: $\hat Y = 25{,}31 + 0{,}777 \times 103 \approx 105{,}4$ min. O tempo real é 168 min. Resíduo: $e = Y - \hat Y = 168 - 105{,}4 = +62{,}6$ min. O modelo subestimou: o percurso levou mais tempo do que o previsto (talvez por tráfego ou paradas extras).
Ex. 105.23Understanding
A Amtrak estuda adicionar uma parada 500 milhas além de Los Angeles. Seria apropriado usar a reta do Exercício 105.20 para prever o tempo de viagem? Justifique.
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Não seria apropriado: 500 milhas está muito além do intervalo dos dados (extrapolação perigosa)Sim, seria apropriado: o modelo linear pode ser sempre extrapoladoDepende: apenas se $r > 0{,}9$ a extrapolação é válidaSim, pois a reta foi ajustada com correlação positiva, logo continua válida para qualquer $X$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.23
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A distância máxima entre paradas nos dados do Coast Starlight é bem menor que 500 milhas. Usar o modelo para prever a 500 milhas de Los Angeles é extrapolação: estamos além do domínio dos dados. A relação linear pode não se manter nesse alcance (outros fatores entram em jogo), e a incerteza da previsão é muito maior.
Ex. 105.24Modeling
Medidas corporais: a largura escapular média é 107,20 cm ( $s_X = 10{,}37$ cm) e a altura média é 171,14 cm ( $s_Y = 9{,}41$ cm), com $r = 0{,}67$ . Escreva a reta de regressão para prever altura a partir da largura escapular e estime a altura de uma pessoa com largura escapular de 100 cm.
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Reta: $\hat Y = 106{,}55 + 0{,}608\,X$ ; para $X=100$ cm: $\hat Y \approx 167{,}35$ cmReta: $\hat Y = 0{,}608 + 106{,}55\,X$ ; intercepto e inclinação trocadosReta: $\hat Y = 171{,}14 + 0{,}67\,X$ ; usa a média de $Y$ como interceptoReta: $\hat Y = 171{,}14 - 0{,}608\,X$ ; correlação negativa incorreta
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.24
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Reta: $\hat Y \approx 105{,}97 + 0{,}608\,X$ . Para cintura escapular de 100 cm: $\hat Y \approx 166{,}77$ cm. (Resp: $\hat Y \approx 106 + 0{,}608X$ )
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1. $\bar X = 107{,}20$ cm, $s_X = 10{,}37$ cm; $\bar Y = 171{,}14$ cm, $s_Y = 9{,}41$ cm; $r = 0{,}67$ .
2. $\hat\beta_1 = r \cdot s_Y/s_X = 0{,}67 \times 9{,}41/10{,}37 \approx 0{,}608$ cm/cm.
3. $\hat\beta_0 = 171{,}14 - 0{,}608 \times 107{,}20 \approx 171{,}14 - 65{,}17 = 105{,}97$ cm.
4. Para $X = 100$ : $\hat Y \approx 105{,}97 + 60{,}8 = 166{,}77$ cm.
Ex. 105.25ModelingAnswer key
Para a regressão do Exercício 105.24 (largura escapular vs. altura, $r = 0{,}67$ ), calcule $R^2$ e interprete no contexto.
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$R^2 = 0{,}67^2 \approx 0{,}449$ ; largura escapular explica 44,9% da variação na altura $R^2 = 0{,}67$ ; largura escapular explica 67% da variação na altura $R^2 = 0{,}608^2 \approx 0{,}370$ ; usa a inclinação ao quadrado $R^2 = \sqrt{0{,}67} \approx 0{,}819$ ; a raiz quadrada de $r$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.24
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$R^2 = r^2 = 0{,}67^2 \approx 0{,}449$ . Aproximadamente 44,9% da variabilidade na altura é explicada pela largura escapular. Os outros 55,1% refletem outros fatores (comprimento das pernas, proporções individuais, etc.).
Ex. 105.26Modeling
Um aluno de sua turma tem largura escapular de 100 cm e mede 160 cm de altura. Usando a reta do Exercício 105.24 ( $\hat Y \approx 105{,}97 + 0{,}608X$ ), calcule o resíduo e explique seu significado.
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O resíduo é $e = 160 - 166{,}77 = -6{,}77$ cm; o aluno é mais baixo do que o previstoO resíduo é $e = 166{,}77 - 160 = +6{,}77$ cm; o aluno é mais alto do que o previstoO resíduo é zero pois usamos os dados do próprio aluno para calibrar a retaO resíduo é $e = 100 - 107{,}20 = -7{,}20$ cm; usa as médias das variáveis
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.24
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Para $X = 100$ cm (largura escapular), a reta prevê $\hat Y \approx 166{,}77$ cm. O aluno mede 160 cm. Resíduo: $e = Y - \hat Y = 160 - 166{,}77 = -6{,}77$ cm. O modelo superestimou a altura desse aluno específico.
Ex. 105.27Understanding
Uma criança de 1 ano tem largura escapular de 56 cm. Seria apropriado usar a reta do Exercício 105.24 para prever a altura dessa criança? Justifique.
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Sim, seria apropriado: o modelo é linear e pode ser extrapolado para qualquer corpoNão: uma criança de 1 ano com largura escapular de 56 cm está fora do domínio dos dados adultos — extrapolação inválidaSim, desde que $r > 0{,}5$ , a extrapolação é confiávelDepende: se o IC da previsão não incluir zero, a extrapolação é válida
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.24
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Os dados da regressão foram coletados de adultos (larguras escapulares em torno de 107 cm). Uma criança de 1 ano com 56 cm de largura escapular está muito além do domínio observado. Extrapolação para crianças pequenas usando um modelo calibrado com adultos produziria previsões sem validade biológica — as proporções corporais são completamente diferentes.
Ex. 105.28Challenge
A saída de regressão para prever homicídios anuais por milhão de habitantes a partir do percentual em pobreza (20 áreas metropolitanas) fornece: intercepto = -29,901; inclinação = 2,560; $s = 5{,}512$ ; $R^2 = 70{,}52\%$ . Escreva o modelo linear, interprete o intercepto e a inclinação, e calcule o coeficiente de correlação.
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Modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}560\,X$ ; $R^2 \approx 70{,}52\%$ ; $r \approx 0{,}840$ Modelo: $\hat Y = 2{,}560 - 29{,}901\,X$ ; intercepto e inclinação trocadosModelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}560\,X$ ; $R^2 = \sqrt{70{,}52\%} \approx 83{,}98\%$ Modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}560\,X$ ; $r = -0{,}840$ pois a inclinação pode ser negativa
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.25
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Modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}560\,X$ . $R^2 = 70{,}52\%$ ; $r \approx +0{,}840$ . (Resp: $r \approx 0{,}84$ )
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1. A saída fornece: $\hat\beta_0 = -29{,}901$ , $\hat\beta_1 = 2{,}560$ . Modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}560\,X$ .
2. Intercepto: quando % em pobreza = 0, o modelo prediz -29,9 mortes/mi (sem sentido prático — extrapolação). Inclinação: cada ponto percentual a mais em pobreza está associado a 2,56 mortes/mi a mais.
3. $R^2 = 70{,}52\%$ : a pobreza explica 70,52% da variação nas taxas de homicídio metropolitanas.
4. $r = \sqrt{R^2} = \sqrt{0{,}7052} \approx 0{,}840$ (positivo, pois a inclinação é positiva).
Ex. 105.29Challenge
A saída de regressão para prever peso cardíaco (g) de gatos domésticos a partir do peso corporal (kg) — baseada em 144 gatos — fornece: intercepto = -0,357; inclinação = 4,034; $s = 1{,}452$ ; $R^2 = 64{,}66\%$ . Escreva o modelo, interprete os coeficientes e calcule o coeficiente de correlação.
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Modelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ (gatos); $R^2 = 64{,}66\%$ ; $r \approx 0{,}804$ Modelo: $\hat Y = 4{,}034 - 0{,}357\,X$ ; intercepto e inclinação trocadosModelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ ; $r = -0{,}804$ pois o intercepto é negativoModelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ ; $r = R^2 = 64{,}66\%$
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.26
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Modelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ . $R^2 = 64{,}66\%$ ; $r \approx 0{,}804$ . (Resp: $r \approx 0{,}80$ )
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1. A saída fornece: intercepto $= -0{,}357$ , inclinação $= 4{,}034$ . Modelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ (peso cardíaco em g, peso corporal em kg).
2. Intercepto: peso cardíaco estimado para gato de 0 kg (sem interpretação real). Inclinação: cada kg adicional de peso corporal está associado a 4,034 g a mais no coração.
3. $R^2 = 64{,}66\%$ : peso corporal explica 64,66% da variação no peso cardíaco dos gatos.
4. $r = \sqrt{0{,}6466} \approx 0{,}804$ (positivo, pois a inclinação é positiva).
Ex. 105.30ChallengeAnswer key
Uma regressão prevê peso (kg) a partir de altura (cm). Se a altura for reexpressada em metros (dividindo por 100), como muda $\hat\beta_1$ ? A correlação $r$ muda?
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$\hat\beta_1^* = 100\hat\beta_1$ ; a correlação $r$ não muda (adimensional) $\hat\beta_1^* = \hat\beta_1/100$ ; dividimos pela escala de $X$ $\hat\beta_1^* = \hat\beta_1$ pois mudança de unidade não altera coeficientes $\hat\beta_1^* = \hat\beta_1/100$ e $r^* = r/100$ ; ambos escalam com as unidades
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Solve online OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.17
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A inclinação se multiplica por 100 (pois a unidade de $X$ muda por fator 100). A correlação $r$ não muda — é adimensional. (Resp: $\hat\beta_1^* = 100\hat\beta_1$ ; $r$ inalterado)
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1. Correlação entre altura (cm) e peso (kg): $\hat\beta_1$ tem unidade kg/cm.
2. Convertendo altura para metros: o novo $\hat\beta_1^*$ tem unidade kg/m = 100 kg/cm. Portanto $\hat\beta_1^* = 100\hat\beta_1$ .
3. A correlação $r$ e $R^2$ são adimensionais e invariantes a mudanças de escala e localização em $X$ ou $Y$ .
Ex. 105.31ApplicationAnswer key
Uma empresa de varejo ajustou a reta $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1X$ para prever vendas diárias (unidades) em função do dia ( $X$ , contando desde a abertura da loja). Qual seria a previsão para o dia 60?
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O modelo prevê vendas de $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1 \times 60 = 67{,}1$ unidades no dia 60O modelo prevê vendas de $\hat Y = 1{,}1 \times 60 = 66$ unidades (ignora o intercepto)O modelo prevê vendas de $\hat Y = 1{,}1 + 60 = 61{,}1$ unidades (confunde inclinação com multiplicação)Não é possível prever pois o dia 60 pode ser extrapolação
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 29
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Usando a reta de melhor ajuste (regressão linear de vendas diárias ao longo do tempo), com $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1X$ : para o dia 60, $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1 \times 60 = 1{,}1 + 66 = 67{,}1$ unidades. (Resp: 67,1)
Ex. 105.32Application
Usando a mesma reta $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1X$ do exercício anterior, qual seria a previsão de vendas para o dia 90?
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Previsão para o dia 90: $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1 \times 90 = 100{,}1$ unidadesPrevisão para o dia 90: $\hat Y = 1{,}1 \times 90 = 99$ unidades (ignora intercepto)Previsão para o dia 90: $\hat Y = 1{,}1 + 90 = 91{,}1$ unidadesNão se deve prever pois o dia 90 é extrapolação por definição
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 30
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Para $X = 90$ : $\hat Y = 1{,}1 + 1{,}1 \times 90 = 1{,}1 + 99 = 100{,}1$ unidades. Note que se os dados originais vão até o dia 60, o dia 90 é extrapolação — use com cautela. (Resp: 100,1 unidades)
Ex. 105.33Application
Um serviço de jardinagem usa a reta $\hat Y = 200 - 2X$ para modelar os acres restantes de grama ( $Y$ ) em função das horas de trabalho ( $X$ ). Quantos acres restam após 20 horas de trabalho?
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Após 20 horas de trabalho restam $\hat Y = 200 - 2 \times 20 = 160$ acresApós 20 horas de trabalho restam $\hat Y = 2 \times 20 = 40$ acres (esqueceu o intercepto)Após 20 horas de trabalho restam $\hat Y = 200 + 2 \times 20 = 240$ acres (sinal errado)Após 20 horas de trabalho restam $\hat Y = 200 - 20 = 180$ acres (ignora a inclinação)
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 31
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Reta: $\hat Y = 200 - 2X$ , onde $Y$ = acres restantes e $X$ = horas trabalhadas. Para $X = 20$ : $\hat Y = 200 - 2 \times 20 = 160$ acres restantes. (Resp: 160 acres)
Ex. 105.34Application
Usando a mesma reta $\hat Y = 200 - 2X$ , quantos acres restam após 100 horas de trabalho?
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Após 100 horas de trabalho restam $\hat Y = 200 - 2 \times 100 = 0$ acres — a grama foi toda cortadaApós 100 horas restam $\hat Y = 200 - 100 = 100$ acres (ignora a inclinação)Após 100 horas restam $\hat Y = -200$ acres (negativo, impossível fisicamente)Não é possível calcular pois 100 horas é extrapolação da reta
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 32
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Para $X = 100$ : $\hat Y = 200 - 2 \times 100 = 0$ acres. Isso indica que com 100 horas de trabalho toda a grama seria cortada. (Resp: 0 acres)
Ex. 105.35ApplicationAnswer key
Usando a reta $\hat Y = 200 - 2X$ , em quantas horas toda a grama é cortada (quando $\hat Y = 0$ )?
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A grama é toda cortada quando $X = 100$ horas (pois $\hat Y = 0$ para $X = 100$ )A grama é toda cortada quando $X = 200$ horas (usa o intercepto como resposta)A grama é toda cortada quando $X = 50$ horas (divide intercepto por inclinação errado)A reta nunca chega a zero pois é assintótica
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 33
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Resolver $\hat Y = 0$ : $200 - 2X = 0 \Rightarrow X = 100$ horas. Com 100 horas de trabalho, toda a grama é cortada. Matematicamente: zerar a reta ajustada. (Resp: 100 horas)
Ex. 105.36Understanding
O que a correlação positiva entre o ano e o número de casos de gripe diagnosticados nos Estados Unidos implica sobre a relação entre tempo e gripe?
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O modelo indica que casos de gripe crescem com o tempo, evidência de relação linear positivaO modelo indica relação negativa: gripe diminui ao longo dos anosA correlação não implica nenhuma tendência temporal para a gripeUma correlação positiva entre ano e casos de gripe prova que o tempo causa doenças
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 38
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Uma correlação positiva entre ano e número de casos diagnosticados indica que ao longo do tempo o número de diagnósticos aumentou — seja por prevalência real da doença, melhoria nos diagnósticos, maior acesso a cuidados de saúde, ou combinação desses fatores. A correlação não implica causalidade (o tempo em si não "causa" gripe).
Ex. 105.37Understanding
Explique o significado de $R^2 = 0{,}72$ em um modelo de regressão linear simples.
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$R^2 = 0{,}72$ significa que 72% da variabilidade de $Y$ é explicada pelo modelo linear $R^2 = 0{,}72$ significa que a correlação entre $X$ e $Y$ é $0{,}72$ $R^2 = 0{,}72$ significa que 72% dos pontos estão sobre a reta $R^2 = 0{,}72$ significa que o erro médio é de 28%
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 35
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$R^2$ (coeficiente de determinação) mede a proporção da variância total de $Y$ explicada pelo modelo. $R^2 = 0{,}72$ significa que 72% da variação em $Y$ é explicada pela relação linear com $X$ . Note que $R^2 = r^2$ , portanto $r = \sqrt{0{,}72} \approx 0{,}849$ .
Ex. 105.38Understanding
O coeficiente de determinação $R^2$ pode ser negativo? Em que situação isso ocorre?
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Não, $R^2$ pode ser negativo em modelos sem intercepto ou mal especificadosSim, pois $R^2 = r^2$ e o quadrado nunca é negativoSim, pois $R^2$ é uma proporção e proporções variam de 0 a 1Depende apenas se a regressão é simples ou múltipla
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §12.P · ex. 35
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Em regressão simples com intercepto, $R^2 = r^2 \geq 0$ sempre. Porém, em modelos sem intercepto ou em regressão múltipla mal especificada, o $R^2$ calculado por $1 - SSE/SST$ pode ser negativo se o modelo for pior que a linha horizontal em $\bar Y$ .
Ex. 105.39Proof
Prove a identidade $\hat\beta_1 = r \cdot (s_y/s_x)$ , onde $r$ é o coeficiente de correlação de Pearson e $s_x, s_y$ são os desvios padrão amostrais. Deduza que o sinal de $\hat\beta_1$ é sempre igual ao sinal de $r$ .
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$\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x$ porque $S_{xy} = r \cdot s_x \cdot s_y$ e $S_{xx} = (n-1)s_x^2$ , logo ambos os $(n-1)$ e $s_x$ se cancelam $\hat\beta_1 = r \cdot s_x/s_y$ (razão invertida) $\hat\beta_1 = r^2 \cdot s_y/s_x$ pois $R^2 = r^2$ $\hat\beta_1 = r$ quando $s_x = s_y$ somente; não há identidade geral
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OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.17
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$\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x$ . Isso segue de $S_{xy} = r\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$ e $s_y/s_x = \sqrt{S_{yy}/S_{xx}}$ . O sinal de $\hat\beta_1$ é sempre igual ao sinal de $r$ .
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1. Escreva $\hat\beta_1 = S_{xy}/S_{xx}$ e $r = S_{xy}/(s_x \cdot s_y)$ com $s_x^2 = S_{xx}/(n-1)$ e $s_y^2 = S_{yy}/(n-1)$ .
2. Substitua: $S_{xy} = r \cdot s_x \cdot s_y \cdot (n-1)/(n-1) \cdot \sqrt{(n-1)/(n-1)}$ . Mais direto: $S_{xy} = r \sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ .
3. Logo: $\hat\beta_1 = r \sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}} / S_{xx} = r \sqrt{S_{yy}/S_{xx}} = r \cdot s_y/s_x$ .
4. Como $r, s_x, s_y$ são reais com $s_x, s_y > 0$ , o sinal de $\hat\beta_1$ = sinal de $r$ .
Ex. 105.40Challenge
Prove que o estimador OLS $\hat\beta_1$ é não-viesado, ou seja, $E[\hat\beta_1] = \beta_1$ , usando que $\hat\beta_1 = \sum c_i Y_i$ com $c_i = (X_i - \bar X)/S_{xx}$ .
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OLS é não-viesado porque $E[\hat\beta_1] = \beta_1$ independentemente de normalidade, sob linearidade e exogeneidadeOLS é não-viesado somente se os erros forem normalmente distribuídosOLS é viesado para amostras pequenas ( $n < 30$ ); não-viés só vale assintoticamenteOLS é viesado quando $R^2 < 0{,}5$ ; o viés aumenta conforme o ajuste piora
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OpenIntro Statistics · §8.2 · ex. 8.18
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Não-viés segue de $E[\hat\beta_1] = \beta_0 \sum c_i + \beta_1 \sum c_i X_i = \beta_1$ , usando $\sum c_i = 0$ e $\sum c_i X_i = 1$ . Não requer normalidade.
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1. Escreva $\hat\beta_1 = \sum c_i Y_i$ com $c_i = (X_i - \bar X)/S_{xx}$ .
2. Sob o modelo $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ com $E[\varepsilon_i] = 0$ : $E[\hat\beta_1] = \sum c_i (\beta_0 + \beta_1 X_i) = \beta_0 \sum c_i + \beta_1 \sum c_i X_i$ .
3. Note que $\sum c_i = 0$ (pois $\sum (X_i - \bar X) = 0$ ) e $\sum c_i X_i = 1$ (pois $\sum (X_i-\bar X)X_i = S_{xx}$ ).
4. Portanto $E[\hat\beta_1] = \beta_0 \cdot 0 + \beta_1 \cdot 1 = \beta_1$ . Não-viés demonstrado.

Fontes

Statistics — OpenStax — Illowsky, Dean · CC-BY · Capítulos 12 (Linear Regression and Correlation). Fonte primária para exemplos, equações e exercícios desta lição.
OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA · Capítulo 7 (Introduction to linear regression). Fonte primária para diagnóstico de resíduos, inferência e exercícios com dados reais.
Probabilidade e Estatística — Wikilivros — colaborativo · CC-BY-SA · Seção de regressão linear. Referência em PT-BR com notação compatível com o currículo nacional.