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Lesson 107 — One-way ANOVA

Analysis of variance (one-way ANOVA): SST = SSB + SSW decomposition, F-statistic, ANOVA table, assumption checking, Tukey post-hoc, eta² effect size.

Used in: 3.º ano EM — Estatística Inferencial · Stochastik LK alemão · H2 Math singapurense (estatística) · Math B japonês

F = \frac{MS_{\text{entre}}}{MS_{\text{dentro}}} = \frac{SSB/(k-1)}{SSW/(N-k)}

A ANOVA one-way compara $k$ médias de grupos com um único teste. A estatística F é a razão entre a variância entre grupos e a variância dentro dos grupos. Sob $H_0$ (todas as médias iguais), $F \approx 1$ . Quando alguma média difere, $F$ cresce — e rejeitamos $H_0$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

O problema: comparar k médias com um único teste

Suponha que você tem $k \geq 2$ grupos independentes e quer saber se as médias populacionais $\mu_1, \ldots, \mu_k$ são iguais. Fazer $\binom{k}{2}$ testes $t$ separados inflaciona o erro do tipo I. A ANOVA resolve isso com um único teste global.

Definition· Modelo ANOVA one-way (efeitos fixos)

Cada observação $Y_{ij}$ (sujeito $j$ no grupo $i$ ) segue:

$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}, \quad i = 1, \ldots, k;\; j = 1, \ldots, n_i$

onde:

$\mu$ é a média geral (grande média)
$\alpha_i$ é o efeito do grupo $i$ , com restrição $\sum_{i=1}^k n_i \alpha_i = 0$
$\varepsilon_{ij} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ i.i.d. — erros normais com variância comum

As hipóteses são:

$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$ $H_1: \text{existe pelo menos um } i \text{ tal que } \alpha_i \neq 0$

"In a one-way analysis of variance problem, we are interested in comparing the means of $k$ populations. If the means are all equal, we say the treatments, or factor levels, are not different from one another. If at least one mean differs, we say the treatments are different." — OpenStax Statistics §13.1

Decomposição da variância total

Definition· Soma de quadrados: SST = SSB + SSW

Seja $\bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i,j} Y_{ij}$ a grande média e $\bar{Y}_i = \frac{1}{n_i}\sum_j Y_{ij}$ a média do grupo $i$ . Define-se:

$SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y})^2 \quad \text{(soma de quadrados total)}$

$SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{Y}_i - \bar{Y})^2 \quad \text{(entre grupos — Between)}$

$SSW = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2 \quad \text{(dentro dos grupos — Within)}$

Teorema (decomposição): $SST = SSB + SSW$ . A prova resulta da identidade algébrica

$Y_{ij} - \bar{Y} = \underbrace{(\bar{Y}_i - \bar{Y})}_{\text{efeito do grupo}} + \underbrace{(Y_{ij} - \bar{Y}_i)}_{\text{erro intra-grupo}}$

ao elevar ao quadrado e somar — os termos cruzados cancelam porque $\sum_j (Y_{ij} - \bar{Y}_i) = 0$ .

Três grupos com médias distintas. Linha sólida tracejada colorida = média do grupo ( $\bar Y_i$ ). Linha cinza pontilhada = grande média ( $\bar Y$ ). SSB mede quanto as médias coloridas se afastam da cinza; SSW mede a dispersão dos pontos em torno de suas próprias médias.

Estatística F e tabela ANOVA

Definition· Médias quadráticas e estatística F

Dividindo cada SS pelo respectivo grau de liberdade obtemos as médias quadráticas (mean squares):

$MS_B = \frac{SSB}{k-1}, \qquad MS_W = \frac{SSW}{N-k}$

onde $N = \sum_{i=1}^k n_i$ e $k - 1$ e $N - k$ são os graus de liberdade entre e dentro.

A estatística do teste é:

$F = \frac{MS_B}{MS_W}$

Sob $H_0$ , $F \sim F_{k-1,\, N-k}$ (distribuição F de Snedecor). Rejeitamos $H_0$ se $F > F_{\alpha;\, k-1,\, N-k}$ .

Fonte	SS	gl	MS	F
Entre grupos	$SSB$	$k-1$	$MS_B = SSB/(k-1)$	$MS_B / MS_W$
Dentro dos grupos	$SSW$	$N-k$	$MS_W = SSW/(N-k)$	—
Total	$SST$	$N-1$	—	—

"The one-way ANOVA test statistic $F$ is the ratio of two independent chi-square variables divided by their respective degrees of freedom... Under the null hypothesis, $F$ follows an $F$ distribution with $k-1$ and $N-k$ degrees of freedom." — OpenStax Statistics §13.2

Suposições do modelo

Tamanho de efeito

Exemplos resolvidos

Example— 1· Graus de liberdade e tabela ANOVA (aplicação)

Problema: Um pesquisador compara 4 dietas. Cada grupo tem 15 participantes. Preencha os graus de liberdade na tabela ANOVA.

Estratégia: Os graus de liberdade seguem diretamente das fórmulas: $df_B = k - 1$ , $df_W = N - k$ , $df_T = N - 1$ .

Resolução:

$k = 4$ grupos, $n_i = 15$ cada, $N = 4 \times 15 = 60$ .

Fonte	SS	gl	MS	F
Entre	$SSB$	$4 - 1 = 3$	$SSB/3$	$MS_B/MS_W$
Dentro	$SSW$	$60 - 4 = 56$	$SSW/56$	—
Total	$SST$	$60 - 1 = 59$	—	—

Conferência: $3 + 56 = 59$ ✓

Verificação: $df_T = df_B + df_W$ . Sempre se verifica $3 + 56 = 59$ . Se não fechar, há erro de cálculo.

Fonte. OpenStax — Statistics §13.2 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Calcular F e decidir (aplicação)

Problema: Três grupos com $n_1 = n_2 = n_3 = 10$ . $SSB = 60$ e $SSW = 135$ . Calcule $F$ e decida a $\alpha = 0{,}05$ (crítico $F_{2,\, 27} \approx 3{,}35$ ).

Estratégia: Calcular $MS_B = SSB/df_B$ e $MS_W = SSW/df_W$ , depois $F = MS_B/MS_W$ .

Resolução:

$k = 3$ , $N = 30$ . $df_B = 2$ , $df_W = 27$ .
$MS_B = 60/2 = 30$ .
$MS_W = 135/27 = 5$ .
$F = 30/5 = 6{,}0$ .
$6{,}0 > 3{,}35$ — rejeita $H_0$ . Evidência de que pelo menos uma média difere.

Verificação: $SST = 60 + 135 = 195$ . $\eta^2 = 60/195 \approx 0{,}31$ — efeito grande. Faz sentido com $F$ alto.

Fonte. OpenStax — Statistics §13.3 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Calcular SSB a partir das medias dos grupos (intermediario)

Problema: Quatro grupos com $n = 20$ cada. Médias: $\bar{Y}_1 = 8$ , $\bar{Y}_2 = 10$ , $\bar{Y}_3 = 12$ , $\bar{Y}_4 = 10$ . Calcule $SSB$ .

Estratégia: Calcular a grande média $\bar{Y}$ e usar $SSB = \sum_i n_i(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2$ .

Resolução:

Grande média: $\bar{Y} = (8 + 10 + 12 + 10)/4 = 40/4 = 10$ (grupos balanceados: média das médias).
Desvios ao quadrado ponderados:
- Grupo 1: $20 \cdot (8 - 10)^2 = 20 \cdot 4 = 80$
- Grupo 2: $20 \cdot (10 - 10)^2 = 0$
- Grupo 3: $20 \cdot (12 - 10)^2 = 20 \cdot 4 = 80$
- Grupo 4: $20 \cdot (10 - 10)^2 = 0$
$SSB = 80 + 0 + 80 + 0 = 160$ .

Verificação: Os grupos 2 e 4 têm médias iguais à grande média, contribuindo zero para SSB. Grupos 1 e 3, simétricos, contribuem igualmente. Faz sentido estrutural.

Fonte. OpenIntro Statistics §7.5 — CC-BY-SA 3.0.

Example— 4· Verificar suposicoes e decidir sobre teste alternativo (intermediario)

Problema: Um pesquisador tem 3 grupos com $n = 8$ cada. Os desvios-padrão são $s_1 = 3$ , $s_2 = 3{,}2$ , $s_3 = 9{,}5$ . O Shapiro-Wilk em um dos grupos dá $p = 0{,}012$ . Que teste usar?

Estratégia: Verificar as duas suposições críticas: normalidade e homocedasticidade. Se ambas ou uma delas falha seriamente com $n$ pequeno, escolher alternativa.

Resolução:

Normalidade: Shapiro-Wilk $p = 0{,}012 < 0{,}05$ — evidência de não-normalidade. Com $n = 8$ , o TLC não ajuda.
Homocedasticidade: razão das variâncias $s_3^2/s_1^2 = 9{,}5^2/3^2 = 90{,}25/9 \approx 10$ — muito acima do limite tolerável de 4:1.
Decisão: Duas suposições violadas com $n$ pequeno. A ANOVA paramétrica não é adequada.
Alternativa: Kruskal-Wallis — teste não-paramétrico análogo à ANOVA one-way, baseado em ranks. Não assume normalidade nem homocedasticidade.

Verificação: Se apenas a homocedasticidade falhasse (normalidade ok), Welch's ANOVA seria suficiente. Com não-normalidade adicional e $n$ pequeno, o não-paramétrico é a escolha correta.

Fonte. OpenIntro Statistics §7.5 — CC-BY-SA 3.0.

Example— 5· Analise completa: tres marcas de pilhas (modelagem real)

Problema: Um engenheiro de qualidade testa a duração (em horas) de três marcas de pilha AA. Cada marca é testada em 12 aparelhos idênticos. Médias: marca P = 18,5 h, marca Q = 22,0 h, marca R = 19,8 h. $SSB = 183{,}6$ e $SSW = 396{,}0$ . Conduza a ANOVA completa a $\alpha = 0{,}05$ e interprete.

Estratégia: Calcular gl, MS, F; comparar com crítico; se rejeitar, identificar qual marca difere usando as médias.

Resolução:

$k = 3$ , $n_i = 12$ , $N = 36$ . $df_B = 2$ , $df_W = 33$ .
$MS_B = 183{,}6 / 2 = 91{,}8$ .
$MS_W = 396{,}0 / 33 = 12{,}0$ .
$F = 91{,}8 / 12{,}0 = 7{,}65$ .
$F_{0{,}05;\, 2,\, 33} \approx 3{,}28$ (interpolação de tabela). $7{,}65 > 3{,}28$ — rejeita $H_0$ .
$\eta^2 = 183{,}6 / (183{,}6 + 396{,}0) = 183{,}6 / 579{,}6 \approx 0{,}317$ — efeito grande.
Post-hoc (inspeção das médias): A marca Q tem média 22,0 h, claramente acima das demais. Uma análise formal de Tukey HSD confirmaria qual(is) diferenças são significativas.

Verificação: Reporte formal: $F(2, 33) = 7{,}65$ , $p < 0{,}01$ , $\eta^2 = 0{,}32$ . A marca Q apresenta duração significativamente maior do que P; a diferença entre Q e R requer post-hoc formal.

Fonte. Navarro — Learning Statistics with R cap. 14 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 11Modeling 6Challenge 4

Fontes

OpenStax — Statistics — Illowsky, Dean · CC-BY 4.0 · §13.1–13.4. Fonte primária desta lição. Definição do modelo, estatística F, tabela ANOVA, exercícios aplicados.
OpenIntro Statistics (4.ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA 3.0 · §7.5. Suposições do modelo, homocedasticidade, post-hoc de Tukey e Bonferroni.
Learning Statistics with R — Navarro · CC-BY-SA 4.0 · cap. 14. Intuição geométrica para F, tamanho de efeito $\eta^2$ , Welch's ANOVA, ANOVA bayesiana.