Lição 110 — Consolidação Trim 11: Inferência Estatística

$n = 64$, $\bar x = 50$, $\sigma = 8$ (conhecido). Construa o IC 95% para $\mu$.

Com os dados do exercício anterior ($\bar x = 50$, $s = 8$, $n = 64$), teste $H_0: \mu = 48$ vs $H_1: \mu \neq 48$ ao nível 5%. Calcule $T$ e decida.

Duas amostras independentes: $\bar x_1 = 100$, $s_1 = 10$, $n_1 = 50$; $\bar x_2 = 95$, $s_2 = 12$, $n_2 = 60$. Execute o teste Welch $t$ bilateral ao nível 5%.

Três grupos com $n_i = 20$ plantas cada, médias $\bar X_1 = 10$, $\bar X_2 = 12$, $\bar X_3 = 14$. Supondo $\sigma^2 = 4$ (variância intra-grupos), calcule $F$ da ANOVA e decida ao nível 5%.

Modelo ajustado: $\hat Y = 5 + 2X$. Qual é a predição pontual para $X = 10$?

$R^2 = 0{,}8$, $n = 50$, $p = 4$ preditores. Calcule $R^2_{\text{adj}}$.

Uma tabela de contingência $2 \times 3$ produziu $\chi^2 = 8$. Quantos graus de liberdade? Há associação ao nível 5%?

Prior $\theta \sim \text{Beta}(2, 2)$. Observa-se $X = 8$ sucessos em $n = 10$ ensaios. Qual é a distribuição posterior de $\theta$?

Com a posterior $\text{Beta}(10, 4)$ do exercício anterior, calcule a média posterior e o MAP (moda da distribuição posterior).

Localize na tabela da distribuição normal padrão: qual é $z_{0,025}$? (Resp: $1{,}960$.)

Localize na tabela $t$: $t_{0,025;\,19}$. (Resp: $2{,}093$.)

Localize $F_{0,05;\,2,\,27}$ na tabela F. (Resp: ${\approx}\,3{,}35$.)

Localize $\chi^2_{0,05;\,4}$. (Resp: $9{,}488$.)

Qual teste é apropriado para comparar o salário médio de homens e mulheres em uma empresa, com amostras independentes e variâncias desconhecidas?

Pesquisa com 100 pessoas registra gênero (M/F) e partido preferido (A/B/C). Qual teste verifica associação entre as variáveis?

Um estudo testa 4 dosagens de um medicamento (dose baixa, média, alta, placebo) na perda de peso (kg) em 20 pacientes por grupo. Qual o método de análise?

Mede-se o peso de 20 pessoas antes e depois de uma dieta de 3 meses. Os dados são pareados. Qual é o teste correto?

Uma estatística $Z = 2{,}1$ foi obtida em um teste bilateral. Calcule o p-valor e decida ao nível $\alpha = 5\%$.

Para um IC 95% com margem de erro $E = 2$ e $\sigma = 10$, qual é o tamanho mínimo de amostra?

Cohen's $d = 0{,}5$. Qual é o tamanho do efeito segundo a convenção de Cohen?

Uma tabela de contingência produziu Cramér's $V = 0{,}25$. Classifique o tamanho do efeito.

Uma ANOVA produziu $\eta^2 = 0{,}10$. Qual é o tamanho do efeito?

$BF_{10} = 5$. Que força de evidência a favor de $H_1$ isso representa, pela escala de Jeffreys?

Em uma frase cada: qual é a diferença de interpretação entre um IC frequentista (95%) e um IC credível bayesiano (95%)?

Distinga em uma frase: erro tipo I vs erro tipo II em um teste de hipótese.

Distinga: significância estatística vs significância prática. Por que um resultado pode ser estatisticamente significativo mas praticamente irrelevante?

Distinga: associação estatística vs causalidade. Por que regressão linear mede associação, não causa?

Distinga: dados pareados vs amostras independentes. Dê um exemplo de cada.

Distinga: $R^2$ vs $R^2_{\text{adj}}$ em regressão múltipla. Por que o segundo é mais confiável para comparar modelos com número diferente de preditores?

Distinga: distribuição prior vs distribuição posterior na inferência bayesiana.

A/B testing: versão A obteve 80 conversões em 1000 visitantes; versão B obteve 110/1000. Aplique o teste z para proporções (frequentista) e estime $P(\theta_B > \theta_A)$ bayesianamente com prior $\text{Beta}(1,1)$.

Ensaio clínico: droga reduz pressão. Para $n = 64$ pacientes, a diferença pareada (antes$-$depois) tem $\bar D = 7$ mmHg e $s_D = 5$ mmHg. Faça o teste $t$ pareado (unilateral: $H_1: \mu_D > 0$) e construa o IC 95% para a redução média.

Regressão de preço de imóvel: modelo com apenas $m^2$ tem $R^2 = 0{,}70$ ($n = 200$). Ao adicionar número de quartos, $R^2 = 0{,}78$. Calcule $R^2_{\text{adj}}$ para cada modelo e decida se o preditor extra é justificado.

Cinco dietas, 30 pessoas por grupo. Esboce o protocolo de análise completo: verificação de suposições, ANOVA, post-hoc e o que reportar.

Pesquisa eleitoral: 4 regiões (Norte, Nordeste, Sudeste, Sul) $\times$ 3 candidatos. Tabela de contingência com $N = 400$. Calcule os graus de liberdade, execute o $\chi^2$, Cramér's $V$, e identifique as células com maior resíduo padronizado.

Justifique por que $p = 0{,}06$ não constitui evidência de que $H_0$ é verdadeira.

Demonstre que a regressão linear simples com uma variável dummy binária (0/1 indicando grupo) produz exatamente o mesmo resultado que o teste $t$ de duas amostras independentes (variâncias iguais).

Demonstre que, quando a ANOVA tem apenas $k = 2$ grupos, a estatística $F$ é igual ao quadrado da estatística $T$ do teste $t$ bilateral. Explicite os graus de liberdade.

Mostre que o estimador MAP com prior uniforme é identicamente igual ao estimador de máxima verossimilhança (MLE). Parta da definição de MAP.

Descreva, em pseudocódigo ou lista estruturada, um pipeline completo de análise A/B testing para uma taxa de conversão de e-commerce: desde a power analysis (efeito mínimo detectável de 2 p.p., $\alpha = 5\%$, potência 80%) até o relatório final com todos os elementos que um revisor estatístico exigiria.

Compare em texto detalhado (ao menos 200 palavras) quando preferir abordagem frequentista vs bayesiana em A/B testing online. Considere: interpretabilidade, tomada de decisão sequencial, incorporação de priors, e garantias de erro.

Demonstre por integração (ou por identificação do núcleo) que se $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ e $X \mid \theta \sim \text{Bin}(n, \theta)$, então $\theta \mid X \sim \text{Beta}(\alpha + X,\; \beta + n - X)$.