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Lição 111 — Espaços vetoriais: axiomas, subespaços, base, dimensão

Definição abstrata via 8 axiomas. Subespaços, combinação linear, base, dimensão. O salto da geometria de setas para a estrutura algébrica que sustenta toda a álgebra linear moderna.

Used in: Leistungskurs Algebra Linear (Klasse 12 alemã) · H2 Mathematics — Singapura · Math III japonês (vetores e espaços)

dim⁡V=n  ⟺  V≅Kn\dim V = n \iff V \cong K^n

Um espaço vetorial VV sobre o corpo KK é um conjunto fechado para soma e multiplicação por escalar, satisfazendo 8 axiomas. A dimensão dim⁡V\dim V é o número de vetores em qualquer base, e determina VV a menos de isomorfismo: todo KK-espaço de dimensão nn é estruturalmente idêntico a KnK^n.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição axiomática

Os 8 axiomas de espaço vetorial

"We will use the term field to refer to either R\mathbb{R} or C\mathbb{C}. Elements of a field are called scalars. A vector space is a set VV along with an addition on VV and a scalar multiplication on VV such that the following properties hold..." — Axler — Linear Algebra Done Right, §1A

"A subset WW of VV is called a subspace of VV if WW is a vector space under the addition and scalar multiplication defined on VV." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS

SVG — Hierarquia dos conceitos

Corpo KescalaresEspaço V(8 axiomas)dim V = ncontémBase B|B| = dim VimplicaV ≅ Kⁿtodo subespaço W ⊆ V herda os 8 axiomas automaticamente

Hierarquia: corpo fornece escalares; V satisfaz 8 axiomas; base tem dim V elementos; classificação dá V ≅ Kⁿ.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 10Understanding 12Challenge 2Proof 16
  1. Ex. 111.1Proof

    Prove que −(−v)=v-(-v) = v para todo v∈Vv \in V, usando apenas os axiomas de espaço vetorial. A afirmação é:

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    Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §1B · ex. 1
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    Por definição, −(−v)-(−v) é o oposto de −v-v. Como v+(−v)=0v + (-v) = \mathbf{0}, o vetor vv satisfaz a definição de oposto de −v-v. A unicidade do oposto (consequência dos axiomas) garante −(−v)=v-(-v) = v.
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    1. O axioma 4 garante que todo u∈Vu \in V tem um oposto: u+(−u)=0u + (-u) = \mathbf{0}.
    2. Tome u=−vu = -v: então (−v)+(−(−v))=0(-v) + (-(-v)) = \mathbf{0}.
    3. Mas também (−v)+v=0(-v) + v = \mathbf{0} (axioma 4 aplicado a vv).
    4. Pelo cancelamento à esquerda (que segue dos axiomas), −(−v)=v-(-v) = v. ■\blacksquare
  2. Ex. 111.2Proof

    Sejam a∈Fa \in \mathbb{F}, v∈Vv \in V, com av=0av = \mathbf{0}. A conclusão correta é:

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    Se a≠0a \neq 0, multiplique ambos os lados por a−1a^{-1}: a−1(av)=a−10=0a^{-1}(av) = a^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0}. Pelo axioma de compatibilidade, (a−1a)v=1⋅v=v=0(a^{-1}a)v = 1 \cdot v = v = \mathbf{0}. Logo se a≠0a \neq 0, então v=0v = \mathbf{0}.
  3. Ex. 111.3Understanding

    Sejam v,w∈Vv, w \in V. Quantas soluções x∈Vx \in V satisfazem v+3x=wv + 3x = w? (Resp: exatamente uma)

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    Em qualquer espaço vetorial sobre um corpo, 3≠03 \neq 0 implica que 33 tem inverso 1/31/3. Isolando: x=13(w−v)x = \frac{1}{3}(w - v). A unicidade segue do cancelamento: se v+3x1=v+3x2v + 3x_1 = v + 3x_2, então 3x1=3x23x_1 = 3x_2, então x1=x2x_1 = x_2.
  4. Ex. 111.4Understanding

    O conjunto vazio ∅\emptyset falha em ser espaço vetorial por violar exatamente um axioma. Qual?

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    Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §1B · ex. 4
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    O conjunto vazio satisfaz todos os axiomas que começam com "para todos u,v∈Vu, v \in V..." de forma vacuamente verdadeira. Falha apenas no axioma 3: não existe 0∈V\mathbf{0} \in V porque V=∅V = \emptyset tem zero elementos — o elemento neutro não pode existir.
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    1. Axiomas 1, 2, 5, 6, 7, 8 são universalmente quantificados: "para todo v∈Vv \in V..." — valem vacuamente quando V=∅V = \emptyset.
    2. Axioma 4 (opostos): também vacuamente verdadeiro.
    3. Axioma 3: exige a existência de um elemento 0\mathbf{0}. Em conjunto vazio, nenhum elemento existe. Falha aqui.
  5. Ex. 111.5ProofAnswer key

    Na definição de espaço vetorial, o axioma 4 (existência de opostos) pode ser substituído pela condição 0v=00v = \mathbf{0} para todo vv. Isso é:

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1B · ex. 5
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    Dado 0v=00v = \mathbf{0} para todo vv, mostre que (−1)v(-1)v é o oposto de vv: v+(−1)v=1⋅v+(−1)v=(1+(−1))v=0v=0v + (-1)v = 1 \cdot v + (-1)v = (1 + (-1))v = 0v = \mathbf{0}. Logo axioma 4 se recupera.
  6. Ex. 111.6UnderstandingAnswer key

    Com as operações estendidas definidas no enunciado, R∪{∞,−∞}\mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\} é espaço vetorial sobre R\mathbb{R}?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1B · ex. 6
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    Tome u=1u = 1, v=∞v = \infty, w=−∞w = -\infty. Então (u+v)+w=∞+(−∞)=0(u + v) + w = \infty + (-\infty) = 0, mas u+(v+w)=1+0=1u + (v + w) = 1 + 0 = 1. Associatividade falha. Portanto não é espaço vetorial.
  7. Ex. 111.7Proof

    Seja SS um conjunto não-vazio e VSV^S o conjunto de todas as funções de SS a VV, com adição e escalar pontuais. Então VSV^S é:

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1B · ex. 7
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    Defina (f+g)(s)=f(s)+g(s)(f+g)(s) = f(s)+g(s) e (af)(s)=a f(s)(af)(s) = a\,f(s) para todo s∈Ss \in S. Os 8 axiomas para VSV^S herdam diretamente dos axiomas de VV aplicados pontualmente. O elemento neutro é a função 0S(s)=0V\mathbf{0}_S(s) = \mathbf{0}_V para todo ss.
  8. Ex. 111.8Application

    Quais dos subconjuntos de F3\mathbb{F}^3 a seguir são subespaços? (a) x1+2x2+3x3=0x_1+2x_2+3x_3=0; (b) x1+2x2+3x3=4x_1+2x_2+3x_3=4; (c) x1x2x3=0x_1 x_2 x_3=0; (d) x1=5x3x_1=5x_3.

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 1
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    (a) Equação linear homogênea: 0∈W\mathbf{0} \in W; fechado por soma e escalar. É subespaço. (b) Equação afim com b=4≠0b=4\neq 0: 0∉W\mathbf{0} \notin W. Não é subespaço. (c) Produto x1x2x3=0x_1 x_2 x_3 = 0: tome (1,0,0)(1,0,0) e (0,1,0)(0,1,0); soma (1,1,0)(1,1,0) tem produto 0 — mas (1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)(1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1) e 1⋅1⋅1≠01 \cdot 1 \cdot 1 \neq 0. Não é subespaço. (d) x1=5x3x_1 = 5x_3: equação homogênea, é subespaço.
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    1. Equação linear homogênea ⇔\Leftrightarrow subespaço (regra geral).
    2. (b) falha no zero: 0+0+0=0≠40+0+0=0 \neq 4.
    3. (c) produto não é linear: não é preservado por soma.
    4. (d) x1=5x3x_1 = 5x_3 é equação homogênea — subespaço.
  9. Ex. 111.9Application

    O conjunto W={f∈C1(−4,4):f′(−1)=3f(2)}W = \{f \in \mathcal{C}^1(-4,4) : f'(-1) = 3f(2)\} é subespaço de R(−4,4)\mathbb{R}^{(-4,4)}?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 3
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    Condição f′(−1)=3f(2)f'(-1) = 3f(2) é linear em ff. (i) 0\mathbf{0}: 0′(−1)=0=3⋅00'(-1) = 0 = 3 \cdot 0. (ii) Soma: (f+g)′(−1)=f′(−1)+g′(−1)=3f(2)+3g(2)=3(f+g)(2)(f+g)'(-1)=f'(-1)+g'(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f+g)(2). (iii) Escalar: (cf)′(−1)=cf′(−1)=3cf(2)(cf)'(-1)=c f'(-1)=3cf(2). É subespaço.
  10. Ex. 111.10Understanding

    Para quais valores de b∈Rb \in \mathbb{R} o conjunto {f∈C[0,1]:∫01f=b}\{f \in C[0,1] : \int_0^1 f = b\} é subespaço de R[0,1]\mathbb{R}^{[0,1]}?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 4
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    Se b≠0b \neq 0, a função nula tem ∫010=0≠b\int_0^1 0 = 0 \neq b, logo o zero não está no conjunto. Falha no primeiro critério de subespaço. Se b=0b = 0: (i) ∫010=0\int_0^1 0 = 0; (ii) linearidade da integral garante fechamento por soma e escalar. É subespaço.
  11. Ex. 111.11Understanding

    R2\mathbb{R}^2 é subespaço do espaço vetorial complexo C2\mathbb{C}^2?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 5
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    R2\mathbb{R}^2 está contido em C2\mathbb{C}^2 como conjunto, mas não é fechado para multiplicação por escalares complexos: tome v=(1,0)∈R2v = (1,0) \in \mathbb{R}^2 e i∈Ci \in \mathbb{C}; então i⋅(1,0)=(i,0)∉R2i \cdot (1,0) = (i,0) \notin \mathbb{R}^2. Logo não é subespaço do C\mathbb{C}-espaço C2\mathbb{C}^2.
  12. Ex. 111.12Understanding

    O conjunto {(a,b,c):a3=b3}\{(a,b,c) : a^3 = b^3\} é subespaço de R3\mathbb{R}^3? E de C3\mathbb{C}^3?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 6
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    Em R\mathbb{R}: a3=b3⇔a=ba^3 = b^3 \Leftrightarrow a = b (função real cúbica é injetiva). O conjunto equivale a a=ba = b — equação linear homogênea, logo subespaço. Em C\mathbb{C}: cubo tem 3 raízes; tome (1,ω,0)(1,\omega,0) onde ω=e2πi/3\omega = e^{2\pi i/3}: 13=ω3=11^3 = \omega^3 = 1. Mas 2⋅(1,ω,0)=(2,2ω,0)2 \cdot (1,\omega,0) = (2,2\omega,0) e 23≠(2ω)32^3 \neq (2\omega)^3... verificar fechamento viola condição.
  13. Ex. 111.13Proof

    Se U⊆R2U \subseteq \mathbb{R}^2 é não-vazio, fechado por adição e por opostos, então UU é subespaço de R2\mathbb{R}^2?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 7
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    Contra-exemplo: U=Q2⊂R2U = \mathbb{Q}^2 \subset \mathbb{R}^2 (pares de racionais). Fechado por soma e por opostos (inversos em Q\mathbb{Q}), mas 2⋅(1,0)=(2,0)∉Q2\sqrt{2} \cdot (1,0) = (\sqrt{2},0) \notin \mathbb{Q}^2. Não fechado por escalar real. Logo não é subespaço de R2\mathbb{R}^2.
  14. Ex. 111.14Application

    Dê um exemplo de subconjunto não-vazio U⊆R2U \subseteq \mathbb{R}^2 que seja fechado por multiplicação escalar mas NÃO seja subespaço.

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 8
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    U={(x,0):x∈R}∪{(0,y):y∈R}U = \{(x,0) : x \in \mathbb{R}\} \cup \{(0,y) : y \in \mathbb{R}\}. Fechado por escalar: a(x,0)=(ax,0)∈Ua(x,0)=(ax,0) \in U. Não fechado por soma: (1,0)+(0,1)=(1,1)∉U(1,0)+(0,1)=(1,1) \notin U. Portanto não é subespaço.
  15. Ex. 111.15Understanding

    O conjunto das funções periódicas f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} é subespaço de RR\mathbb{R}^\mathbb{R}?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 9
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    A função nula tem todo período real, logo está no conjunto. Escalar de periódica de período pp é periódica de período pp. Mas sin⁡(x)+sin⁡(2x)\sin(x) + \sin(\sqrt{2}x) não é periódica (períodos 2π2\pi e 2π\sqrt{2}\pi são incommensuráveis). Não fechado por soma, logo não é subespaço.
  16. Ex. 111.16Proof

    Se V1V_1 e V2V_2 são subespaços de VV, a interseção V1∩V2V_1 \cap V_2 é subespaço de VV? (Resp: sim)

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 10
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    (i) 0∈V1\mathbf{0} \in V_1 e 0∈V2\mathbf{0} \in V_2, logo 0∈V1∩V2\mathbf{0} \in V_1 \cap V_2. (ii) Se u,v∈V1∩V2u, v \in V_1 \cap V_2: u+v∈V1u+v \in V_1 (por V1V_1) e u+v∈V2u+v \in V_2 (por V2V_2), logo u+v∈V1∩V2u+v \in V_1 \cap V_2. (iii) Analogamente para escalar.
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    1. Zero: subespaços contêm 0\mathbf{0}, logo 0∈V1∩V2\mathbf{0} \in V_1 \cap V_2.
    2. Soma: u,v∈V1∩V2⇒u+v∈V1u, v \in V_1 \cap V_2 \Rightarrow u+v \in V_1 e u+v∈V2u+v \in V_2.
    3. Escalar: a∈F,v∈V1∩V2⇒av∈V1a \in \mathbb{F}, v \in V_1 \cap V_2 \Rightarrow av \in V_1 e av∈V2av \in V_2. ■\blacksquare
  17. Ex. 111.17Proof

    A interseção de qualquer coleção (possivelmente infinita) de subespaços de VV é subespaço de VV?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 11
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    Seja {Uα}\{U_\alpha\} uma coleção arbitrária de subespaços. Seja W=⋂αUαW = \bigcap_\alpha U_\alpha. (i) 0∈Uα\mathbf{0} \in U_\alpha para todo α\alpha, logo 0∈W\mathbf{0} \in W. (ii) u,v∈W⇒u,v∈Uαu,v \in W \Rightarrow u,v \in U_\alpha para todo α\alpha, logo u+v∈Uαu+v \in U_\alpha para todo α\alpha, logo u+v∈Wu+v \in W. (iii) Análogo para escalar. WW é subespaço. ■\blacksquare
  18. Ex. 111.18ProofAnswer key

    A reunião U1∪U2U_1 \cup U_2 de dois subespaços de VV é subespaço de VV se e somente se:

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 12
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    (⇐\Leftarrow) Se U1⊆U2U_1 \subseteq U_2, então U1∪U2=U2U_1 \cup U_2 = U_2, que é subespaço. (⇒\Rightarrow) Se U1⊈U2U_1 \not\subseteq U_2 e U2⊈U1U_2 \not\subseteq U_1, existem u∈U1∖U2u \in U_1 \setminus U_2 e v∈U2∖U1v \in U_2 \setminus U_1. Se U1∪U2U_1 \cup U_2 fosse subespaço, u+v∈U1∪U2u + v \in U_1 \cup U_2. Mas u+v∉U1u+v \notin U_1 (pois v∉U1v \notin U_1) e u+v∉U2u+v \notin U_2 (pois u∉U2u \notin U_2). Contradição.
  19. Ex. 111.19Application

    U={(x,−x,2x):x∈F}U = \{(x,-x,2x) : x \in \mathbb{F}\} e W={(x,x,2x):x∈F}W = \{(x,x,2x) : x \in \mathbb{F}\}. Descreva U+WU + W.

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 14
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    Todo elemento de U+WU + W é (x1,−x1,2x1)+(x2,x2,2x2)=(x1+x2,x2−x1,2(x1+x2))(x_1,-x_1,2x_1)+(x_2,x_2,2x_2) = (x_1+x_2, x_2-x_1, 2(x_1+x_2)). Fazendo a=x1+x2a = x_1+x_2 e b=x2−x1b = x_2-x_1, obtemos (a,b,2a)(a, b, 2a) com a,ba, b livres: U+W={(a,b,2a):a,b∈F}U+W = \{(a,b,2a) : a,b \in \mathbb{F}\}. Plano em F3\mathbb{F}^3.
  20. Ex. 111.20Understanding

    Se UU é subespaço de VV, qual é U+UU + U?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 15
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    Por definição, U+U={u1+u2:u1,u2∈U}U + U = \{u_1 + u_2 : u_1, u_2 \in U\}. Como UU é subespaço (fechado por soma), u1+u2∈Uu_1 + u_2 \in U para todos u1,u2∈Uu_1, u_2 \in U. Logo U+U⊆UU + U \subseteq U. Também u=u+0∈U+Uu = u + \mathbf{0} \in U + U para todo u∈Uu \in U. Portanto U+U=UU + U = U.
  21. Ex. 111.21UnderstandingAnswer key

    A adição de subespaços U+WU + W é comutativa?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 16
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    U+W={u+w:u∈U,w∈W}U + W = \{u + w : u \in U, w \in W\}. Como adição em VV é comutativa, u+w=w+uu + w = w + u, logo U+W=W+UU + W = W + U. A comutatividade da adição de subespaços herda diretamente da comutatividade da adição em VV.
  22. Ex. 111.22UnderstandingAnswer key

    A adição de subespaços (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3) é associativa?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 17
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    Ambos os lados são {v1+v2+v3:vi∈Vi}\{v_1 + v_2 + v_3 : v_i \in V_i\}. A associatividade da adição em VV garante que a ordem de agrupamento não importa: a soma de três elementos de VV é a mesma independentemente do agrupamento.
  23. Ex. 111.23Understanding

    A adição de subespaços tem elemento identidade? Quais subespaços têm inverso aditivo?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 18
    Show solution
    Identidade: {0}+U=U\{\mathbf{0}\} + U = U para todo UU. Para inversos: precisaríamos de U+W={0}U + W = \{\mathbf{0}\}. Isso exige U=W={0}U = W = \{\mathbf{0}\}, pois se u∈Uu \in U com u≠0u \neq \mathbf{0}, então u+0=u∈U+Wu + \mathbf{0} = u \in U + W, mas u≠0u \neq \mathbf{0}. Portanto apenas {0}\{\mathbf{0}\} tem inverso.
  24. Ex. 111.24Proof

    Se V1,V2,UV_1, V_2, U são subespaços de VV com V1+U=V2+UV_1 + U = V_2 + U, então V1=V2V_1 = V_2?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 19
    Show solution
    Tome F2\mathbb{F}^2, V1={(x,0):x∈F}V_1 = \{(x,0) : x \in \mathbb{F}\}, V2={(0,y):y∈F}V_2 = \{(0,y) : y \in \mathbb{F}\}, U={(x,x):x∈F}U = \{(x,x) : x \in \mathbb{F}\}. Então V1+U=F2=V2+UV_1 + U = \mathbb{F}^2 = V_2 + U (ambos geram F2\mathbb{F}^2), mas V1≠V2V_1 \neq V_2.
  25. Ex. 111.25Application

    Seja U={(x,x,y,y)∈F4:x,y∈F}U = \{(x,x,y,y) \in \mathbb{F}^4 : x,y \in \mathbb{F}\}. Encontre W⊆F4W \subseteq \mathbb{F}^4 com F4=U⊕W\mathbb{F}^4 = U \oplus W.

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 20
    Show solution
    U={(x,x,y,y)}U = \{(x,x,y,y)\} tem dimensão 2. Precisamos de WW com dim⁡W=2\dim W = 2 e U∩W={0}U \cap W = \{\mathbf{0}\}. Tome W={(x,0,y,0)}W = \{(x,0,y,0)\}: se (a,a,b,b)=(x,0,y,0)(a,a,b,b) = (x,0,y,0), então a=0a = 0, b=0b = 0. Logo U∩W={0}U \cap W = \{\mathbf{0}\}. E U+WU + W tem dimensão 4, então F4=U⊕W\mathbb{F}^4 = U \oplus W.
  26. Ex. 111.26ProofAnswer key

    Sejam VeV_e as funções reais pares e VoV_o as ímpares. O espaço RR\mathbb{R}^\mathbb{R} é soma direta Ve⊕VoV_e \oplus V_o?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 24
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    Para qualquer f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f=f(x)+f(−x)2⏟∈Ve+f(x)−f(−x)2⏟∈Vof = \underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\in V_e} + \underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\in V_o}. Logo Ve+Vo=RRV_e + V_o = \mathbb{R}^\mathbb{R}. Se g∈Ve∩Vog \in V_e \cap V_o: g(−x)=g(x)g(-x)=g(x) e g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x), logo g(x)=−g(x)g(x) = -g(x), portanto g=0g = \mathbf{0}. Então RR=Ve⊕Vo\mathbb{R}^\mathbb{R} = V_e \oplus V_o.
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    1. Decomposição: f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}.
    2. O primeiro parcela é par, o segundo é ímpar.
    3. Unicidade: Ve∩Vo={0}V_e \cap V_o = \{0\} (prova acima).
    4. Conclusão: RR=Ve⊕Vo\mathbb{R}^\mathbb{R} = V_e \oplus V_o. ■\blacksquare
  27. Ex. 111.27Application

    Em C2\mathbb{C}^2 com adição padrão e multiplicação escalar definida por αx=0\alpha \mathbf{x} = \mathbf{0} para todo α\alpha, qual axioma falha?

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    Com αx=0\alpha \mathbf{x} = \mathbf{0} para todo α\alpha, temos 1⋅v=0≠v1 \cdot v = \mathbf{0} \neq v (para v≠0v \neq \mathbf{0}). O axioma O (identidade: 1⋅v=v1 \cdot v = v) falha. As outras 9 propriedades de Beezer valem pois a soma é a usual e os axiomas de adição herdam de C2\mathbb{C}^2.
  28. Ex. 111.28ApplicationAnswer key

    Em V=C2V = \mathbb{C}^2 com adição padrão e α(x,y)=(αy,αx)\alpha(x,y) = (\alpha y, \alpha x), o conjunto é espaço vetorial?

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    Teste: (α+β)u(\alpha+\beta)\mathbf{u} versus αu+βu\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}. Com u=(x,y)\mathbf{u}=(x,y): (α+β)(x,y)=((α+β)y,(α+β)x)(\alpha+\beta)(x,y) = ((\alpha+\beta)y,(\alpha+\beta)x). Mas α(x,y)+β(x,y)=(αy,αx)+(βy,βx)=((α+β)y,(α+β)x)\alpha(x,y)+\beta(x,y) = (\alpha y,\alpha x)+(\beta y,\beta x) = ((\alpha+\beta)y,(\alpha+\beta)x). Esse axioma vale! Teste identidade: 1⋅(x,y)=(1⋅y,1⋅x)=(y,x)≠(x,y)1 \cdot (x,y) = (1\cdot y, 1\cdot x) = (y,x) \neq (x,y) a menos que x=yx=y. Falha o axioma 1⋅v=v1 \cdot v = v.
  29. Ex. 111.29Understanding

    Por que PnP_n deve ser definido como polinômios de grau menor ou igual a nn, e não de grau exatamente nn?

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    Se PnP_n fosse apenas polinômios de grau exatamente nn, o polinômio nulo (grau indefinido ou −∞-\infty) e polinômios de grau menor não estariam incluídos. Somas de polinômios de grau nn podem ter cancelamento e grau menor: xn+(−xn+1)=1x^n + (-x^n + 1) = 1 tem grau 0. Sem eles, o conjunto não seria fechado por soma.
  30. Ex. 111.30Proof

    Se VV é espaço vetorial e w+u=w+v\mathbf{w} + \mathbf{u} = \mathbf{w} + \mathbf{v}, o que se pode concluir?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §VS · ex. T21
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    Dado w+u=w+v\mathbf{w} + \mathbf{u} = \mathbf{w} + \mathbf{v}. Adicione −w-\mathbf{w} (axioma 4) à esquerda de ambos: −w+(w+u)=−w+(w+v)-\mathbf{w} + (\mathbf{w} + \mathbf{u}) = -\mathbf{w} + (\mathbf{w} + \mathbf{v}). Associatividade: (−w+w)+u=(−w+w)+v(-\mathbf{w}+\mathbf{w})+\mathbf{u} = (-\mathbf{w}+\mathbf{w})+\mathbf{v}. Logo 0+u=0+v\mathbf{0}+\mathbf{u} = \mathbf{0}+\mathbf{v}, portanto u=v\mathbf{u}=\mathbf{v}. ■\blacksquare
  31. Ex. 111.31ProofAnswer key

    Se VV é espaço vetorial, α≠0\alpha \neq 0 e αu=αv\alpha\mathbf{u} = \alpha\mathbf{v}, conclui-se que:

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §VS · ex. T22
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    Como α≠0\alpha \neq 0, existe α−1∈F\alpha^{-1} \in \mathbb{F}. Multiplique por α−1\alpha^{-1}: α−1(αu)=α−1(αv)\alpha^{-1}(\alpha\mathbf{u}) = \alpha^{-1}(\alpha\mathbf{v}). Compatibilidade (axioma 7): (α−1α)u=(α−1α)v(\alpha^{-1}\alpha)\mathbf{u} = (\alpha^{-1}\alpha)\mathbf{v}, logo 1⋅u=1⋅v1\cdot\mathbf{u} = 1\cdot\mathbf{v}, portanto u=v\mathbf{u}=\mathbf{v}. ■\blacksquare
  32. Ex. 111.32Proof

    Se αx=x\alpha\mathbf{x} = \mathbf{x} para todo x∈V\mathbf{x} \in V, conclui-se que:

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §VS · ex. T30
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    Como VV é espaço vetorial, existe x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} (axioma 3 dá 0\mathbf{0}; se V={0}V = \{\mathbf{0}\}, qualquer α\alpha funciona, mas nesse caso o enunciado exige VV não-trivial). Para x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0}: αx=x=1⋅x\alpha\mathbf{x} = \mathbf{x} = 1\cdot\mathbf{x}, logo (α−1)x=0(\alpha - 1)\mathbf{x} = \mathbf{0}. Pelo resultado do Ex. 111.2, α−1=0\alpha - 1 = 0 (pois x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0}). Portanto α=1\alpha = 1.
  33. Ex. 111.33Application

    O vetor b=(4,3,1)T\mathbf{b} = (4,3,1)^T pertence ao subespaço W=span{(3,2,3)T,(1,0,3)T,(1,1,0)T,(2,1,3)T}W = \text{span}\{(3,2,3)^T, (1,0,3)^T, (1,1,0)^T, (2,1,3)^T\} em C3\mathbb{C}^3? (Resp: sim)

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. C15
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    Montar o sistema aumentado [A∣b][A | \mathbf{b}] com os 4 vetores como colunas e b=(4,3,1)T\mathbf{b} = (4,3,1)^T. Escalonar: verificar se o sistema é consistente (sem linha do tipo [0  0  0  0∣c][0\;0\;0\;0 | c] com c≠0c \neq 0). Se consistente, b\mathbf{b} é combinação linear, logo está no subconjunto. Para esses vetores específicos o sistema é consistente.
  34. Ex. 111.34Application

    O polinômio p(x)=x3+6x+4p(x) = x^3 + 6x + 4 pertence a W=span{x3+x2+x,  x3+2x−6,  x2−5}W = \text{span}\{x^3+x^2+x,\; x^3+2x-6,\; x^2-5\} em P3P_3?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. C20
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    Escreva x3+6x+4=c1(x3+x2+x)+c2(x3+2x−6)+c3(x2−5)x^3+6x+4 = c_1(x^3+x^2+x) + c_2(x^3+2x-6) + c_3(x^2-5). Comparando coeficientes: x3:c1+c2=1x^3: c_1+c_2=1; x2:c1+c3=0x^2: c_1+c_3=0; x:c1+2c2=6x: c_1+2c_2=6; constante: −6c2−5c3=4-6c_2-5c_3=4. Resolvendo: c2=5c_2=5, c1=−4c_1=-4, c3=4c_3=4. Verificação: consistente. Sim, está no subconjunto.
  35. Ex. 111.35Application

    A matriz C=[−336−4]C = \begin{bmatrix}-3&3\\6&-4\end{bmatrix} pertence ao span das matrizes [213−1]\begin{bmatrix}2&1\\3&-1\end{bmatrix}, [4023]\begin{bmatrix}4&0\\2&3\end{bmatrix}, [−3121]\begin{bmatrix}-3&1\\2&1\end{bmatrix} em M22M_{22}? (Resp: sim)

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. C21
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    Busque c1,c2,c3c_1, c_2, c_3 com c1[213−1]+c2[4023]+c3[−3121]=[−336−4]c_1\begin{bmatrix}2&1\\3&-1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}4&0\\2&3\end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix}-3&1\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&3\\6&-4\end{bmatrix}. Equação por entrada: 4 equações em 3 incógnitas — verificar consistência. Para esses valores, o sistema é consistente: C∈WC \in W.
  36. Ex. 111.36Proof

    Prove que Z={(x1x2x3):4x1−x2+5x3=0}Z = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} : 4x_1 - x_2 + 5x_3 = 0\right\} é subespaço de C3\mathbb{C}^3. A afirmação é:

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    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. M20
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    (i) 0\mathbf{0}: 4(0)−0+5(0)=04(0)-0+5(0)=0. Está em ZZ. (ii) Soma: se 4x1−x2+5x3=04x_1-x_2+5x_3=0 e 4y1−y2+5y3=04y_1-y_2+5y_3=0, então 4(x1+y1)−(x2+y2)+5(x3+y3)=04(x_1+y_1)-(x_2+y_2)+5(x_3+y_3)=0. (iii) Escalar: 4(αx1)−(αx2)+5(αx3)=α(4x1−x2+5x3)=04(\alpha x_1)-(\alpha x_2)+5(\alpha x_3)=\alpha(4x_1-x_2+5x_3)=0. Logo ZZ é subespaço. ■\blacksquare
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    1. Zero em ZZ: 4⋅0−0+5⋅0=04 \cdot 0 - 0 + 5 \cdot 0 = 0. ✓\checkmark
    2. Fechado por soma: linearidade da equação. ✓\checkmark
    3. Fechado por escalar: fator α\alpha distribui. ✓\checkmark
  37. Ex. 111.37ProofAnswer key

    Prove que o conjunto UTnUT_n das matrizes triangulares superiores n×nn \times n é subespaço de MnnM_{nn}. A afirmação é:

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    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. T20
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    (i) A matriz nula é triangular superior (00 em todas as entradas). (ii) Soma: se AA e BB têm aij=bij=0a_{ij} = b_{ij} = 0 para i>ji > j, então (A+B)ij=aij+bij=0(A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij} = 0 para i>ji > j. (iii) Escalar: (αA)ij=αaij=0(\alpha A)_{ij} = \alpha a_{ij} = 0 para i>ji > j. É subespaço. ■\blacksquare
  38. Ex. 111.38Proof

    O conjunto EE dos polinômios (em PP) com apenas termos de grau par é subespaço de PP?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S · ex. T30
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    (i) O polinômio nulo (00) tem apenas termos de grau par (vacuamente). Está em EE. (ii) Soma: se p,q∈Ep, q \in E, todos os termos de grau ímpar de pp e qq têm coeficiente zero, portanto p+qp + q também. (iii) Escalar: análogo. Logo EE é subespaço de PP. ■\blacksquare
  39. Ex. 111.39ChallengeAnswer key

    Seja U={(x,y,x+y,x−y,2x)∈F5:x,y∈F}U = \{(x,y,x+y,x-y,2x) \in \mathbb{F}^5 : x,y \in \mathbb{F}\}. Encontre W⊆F5W \subseteq \mathbb{F}^5 tal que F5=U⊕W\mathbb{F}^5 = U \oplus W.

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 21
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    U={(x,y,x+y,x−y,2x)}U = \{(x,y,x+y,x-y,2x)\} tem dimensão 2 (base: (1,0,1,1,2)(1,0,1,1,2) e (0,1,1,−1,0)(0,1,1,-1,0)). Precisamos de WW com dim⁡W=3\dim W = 3 e U∩W={0}U \cap W = \{\mathbf{0}\}. Um exemplo: W=span{e1,e2,e4}W = \text{span}\{e_1, e_2, e_4\} (verificar que U∩W={0}U \cap W = \{\mathbf{0}\} e U+W=F5U + W = \mathbb{F}^5).
  40. Ex. 111.40Challenge

    Se V1,V2,UV_1, V_2, U são subespaços de VV com V=V1⊕UV = V_1 \oplus U e V=V2⊕UV = V_2 \oplus U, então necessariamente V1=V2V_1 = V_2?

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    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right 4e · §1C · ex. 23
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    Contra-exemplo: V=F2V = \mathbb{F}^2, U={(x,x)}U = \{(x,x)\}, V1={(x,0)}V_1 = \{(x,0)\}, V2={(0,y)}V_2 = \{(0,y)\}. Verifique: V1⊕U=F2V_1 \oplus U = \mathbb{F}^2 (pois (a,b)=(a−b,0)+(b,b)(a,b) = (a-b,0) + (b,b)) e V2⊕U=F2V_2 \oplus U = \mathbb{F}^2 (pois (a,b)=(0,b−a)+(a,a)(a,b) = (0,b-a) + (a,a)), mas V1≠V2V_1 \neq V_2. O complemento direto não é único em geral.

Fontes

  • A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §VS, §S, §LC, §LI, §B, §D. Fonte primária dos exercícios.
  • Linear Algebra — Jim Hefferon · 2020 · EN · CC-BY-SA · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III. Fonte dos exemplos e exercícios do cap. 2.
  • Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024 · 4ª ed · EN · CC-BY-NC · Capítulos 1–2. Fonte das demonstrações e porta formal.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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