v1 · padrão canônico

Lesson 112 — Linear transformations

Functions between vector spaces that preserve linear combinations. Matrix representation in a basis. Change of basis. The fundamental operation that makes ML, 3D graphics, and signal processing possible.

Used in: Leistungskurs alemão (Lineare Algebra) · Math III japonês · H2 Math singapurense · graduação engenharia 1.º semestre

T(au + bv) = a\,T(u) + b\,T(v)

Uma transformação linear é uma função $T: V \to W$ entre espaços vetoriais que preserva soma e multiplicação por escalar. Em base fixa, é representada por uma matriz: aplicar $T$ a um vetor vira multiplicação matricial $T(v) = Av$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Transformações lineares

"Uma transformação linear é uma função que vai de um espaço vetorial para outro e preserva as operações de espaço vetorial de adição de vetores e multiplicação por escalar." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT

"Se $T$ é uma transformação linear, então $T(0) = 0$ ." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, Teorema LTTZZ, §LT

Representação matricial

Definition· Matriz de uma transformação linear

Fixe base $\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n\}$ de $V$ e base $\mathcal{C} = \{w_1, \ldots, w_m\}$ de $W$ . A matriz de $T$ nas bases $\mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ , denotada $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \in M_{m \times n}(K)$ , é a matriz cuja $j$ -ésima coluna é o vetor $T(v_j)$ escrito em coordenadas na base $\mathcal{C}$ :

[T]_j = [T(v_j)]_{\mathcal{C}}

what this means · A j-ésima coluna de [T] é T(v_j) em coordenadas de C. Para qualquer vetor v com coordenadas x em B, temos T(v) com coordenadas [T]x em C.

Resultado: $T$ fica completamente determinada pelos valores em uma base. Aplicar $T$ a qualquer $v$ equivale a multiplicar $[T]$ pelo vetor de coordenadas de $v$ em $\mathcal{B}$ .

Diagrama: T leva vetores de V (com base B) para W (com base C). Em coordenadas, a operação é multiplicação pela matriz [T].

Mudança de base e matrizes semelhantes

"Duas matrizes que representam a mesma transformação linear em diferentes bases são chamadas de matrizes semelhantes, e $B = P^{-1}AP$ para alguma matriz invertível $P$ ." — Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §III.1

Composição

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificar linearidade de T(x, y) = (2x, 3y)

Problema: Determine se $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (2x,\, 3y)$ é transformação linear.

Estratégia: Verificar as duas condições da definição: preservação de soma e preservação de escalar. Usar vetores genéricos.

Resolução:

Sejam $u = (x_1, y_1)$ e $v = (x_2, y_2)$ vetores em $\mathbb{R}^2$ , e $a \in \mathbb{R}$ um escalar.

Preservação de soma: $T(u + v) = T(x_1 + x_2,\; y_1 + y_2) = (2(x_1+x_2),\; 3(y_1+y_2))$ $= (2x_1 + 2x_2,\; 3y_1 + 3y_2) = (2x_1, 3y_1) + (2x_2, 3y_2) = T(u) + T(v). \checkmark$
Preservação de escalar: $T(a u) = T(ax_1, ay_1) = (2ax_1,\; 3ay_1) = a(2x_1, 3y_1) = a\,T(u). \checkmark$

Verificação: Como ambas as condições foram verificadas para vetores genéricos, $T$ é linear. Adicionalmente, $T(0, 0) = (0, 0) = 0$ — consistente com linearidade.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT Exemplo LTPM — licença GNU FDL.

Example— 2· Construir a matriz de rotação de 60 graus

Problema: Encontre a matriz $2 \times 2$ que representa a rotação de $60°$ no plano $\mathbb{R}^2$ .

Estratégia: Aplicar o algoritmo coluna-a-coluna: calcular onde $T$ leva $e_1 = (1,0)$ e $e_2 = (0,1)$ . As imagens são as colunas.

Resolução:

Imagem de $e_1$ : O vetor $(1, 0)$ aponta para a direita (ângulo $0°$ ). Após rotação de $60°$ , aponta no ângulo $60°$ : $T(e_1) = (\cos 60°,\; \sin 60°) = \left(\frac{1}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Imagem de $e_2$ : O vetor $(0, 1)$ aponta para cima (ângulo $90°$ ). Após rotação de $60°$ , aponta no ângulo $150°$ : $T(e_2) = (\cos 150°,\; \sin 150°) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{1}{2}\right)$
Montar a matriz (colunas = imagens):

[T] = \begin{pmatrix} \cos 60° & \cos 150° \\ \sin 60° & \sin 150° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Verificação: $\det[T] = (1/2)(1/2) - (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) = 1/4 + 3/4 = 1$ . Rotações preservam área — $\det = 1$ está correto. E $[T]^\top [T] = I$ (matriz ortogonal), confirmando que normas são preservadas.

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §I Exemplo 1.9 — licença CC-BY-SA.

Example— 3· Diferenciacao em P2 — matriz na base canonica

Problema: Defina $D: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$ por $D(p) = p'$ (derivada usual). Mostre que $D$ é linear e encontre sua matriz na base $\mathcal{B} = \{1, x, x^2\}$ .

Estratégia: (1) Verificar linearidade usando propriedades da derivada. (2) Calcular $D$ em cada vetor de base e montar as colunas.

Resolução:

Linearidade: $D(p + q) = (p + q)' = p' + q' = D(p) + D(q). \checkmark$ $D(\lambda p) = (\lambda p)' = \lambda p' = \lambda D(p). \checkmark$
Imagens dos vetores de base:

D(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 1: } \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

D(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 2: } \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

D(x^2) = 2x = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 3: } \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}

Matriz:

[D]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Verificação: Aplique $[D]$ ao vetor de coordenadas de $p = 3 + 2x + 5x^2$ , que é $(3, 2, 5)^\top$ :

[D]\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\10\\0\end{pmatrix}

Isso corresponde ao polinômio $2 + 10x$ . E de fato $p'(x) = 2 + 10x$ . Correto.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT Exemplo MLTCV — licença GNU FDL.

Example— 4· Mudanca de base — mesma T, matrizes diferentes

Problema: Seja $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ a reflexão em relação ao eixo $x$ : $T(x, y) = (x, -y)$ . (a) Encontre $[T]$ na base canônica $\mathcal{B} = \{e_1, e_2\}$ . (b) Encontre $[T]$ na base $\mathcal{B}' = \{(1,1),\, (1,-1)\}$ . (c) Confirme que $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}\,P$ .

Estratégia: (a) Algoritmo coluna-a-coluna em cada base. (c) Usar a fórmula de mudança de base com $P =$ matriz cujas colunas são os vetores de $\mathcal{B}'$ em coordenadas de $\mathcal{B}$ .

Resolução:

(a) Base canônica: $T(e_1) = T(1, 0) = (1, 0) \Rightarrow \text{col. 1: } (1, 0)^\top$ $T(e_2) = T(0, 1) = (0, -1) \Rightarrow \text{col. 2: } (0, -1)^\top$

[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

(b) Base $\mathcal{B}' = \{v_1, v_2\} = \{(1,1),(1,-1)\}$ . Calcular imagens em coordenadas de $\mathcal{B}'$ : $T(v_1) = T(1,1) = (1,-1) = v_2 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 \Rightarrow \text{col. 1: } (0, 1)^\top$ $T(v_2) = T(1,-1) = (1,1) = v_1 = 1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 \Rightarrow \text{col. 2: } (1, 0)^\top$

[T]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

(c) Matriz $P$ (colunas são $v_1, v_2$ em coordenadas canônicas):

P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix}

P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}P = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = [T]_{\mathcal{B}'}. \checkmark

Verificação: Em $\mathcal{B}'$ , a reflexão troca $v_1 \leftrightarrow v_2$ , então a matriz deve ser exatamente a de permutação $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ — faz sentido geometricamente.

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §V Exercício 1.18 — licença CC-BY-SA.

Example— 5· Composicao de transformacoes e produto matricial

Problema: Defina $S: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ como cisalhamento horizontal $S(x, y) = (x + 2y,\, y)$ e $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ como reflexão $T(x, y) = (-x,\, y)$ . Calcule (a) as matrizes $[S]$ e $[T]$ ; (b) a matriz de $T \circ S$ ; (c) verifique computando $(T \circ S)(3, 1)$ diretamente e via produto matricial.

Estratégia: Algoritmo coluna-a-coluna para cada transformação. Composição = produto matricial $[T][S]$ .

Resolução:

(a) Matrizes via coluna-a-coluna:

[S] = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad [T] = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

(b) Composição $T \circ S$ (aplicar $S$ primeiro, depois $T$ ):

[T \circ S] = [T][S] = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

(c) Verificação para $(3, 1)$ :

Diretamente: $S(3, 1) = (3 + 2\cdot1,\; 1) = (5, 1)$ . Depois $T(5, 1) = (-5, 1)$ .

Via matriz: $[T \circ S]\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-2\\0+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$ .

Resultado: $(-5, 1)$ — idêntico. Produto matricial = composição de transformações.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed., §3B Exercício 1 — licença CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 8Modeling 3Challenge 1

Fontes

Beezer — A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · 2022 · EN · GNU FDL. §LT (Linear Transformations) e §ILT (Injective Linear Transformations). Fonte primária desta lição.
Hefferon — Linear Algebra — Jim Hefferon · 4.ª ed. · EN · CC-BY-SA. Cap. 3 (Maps Between Spaces): enfoque geométrico e exemplos de transformações do plano.
Axler — Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC. §3A–§3B: linear maps como objetos de primeira classe; sem determinantes como fundamento.