Lição 117 — Decomposição em valores singulares (SVD)

Explique a diferença entre autovalores e valores singulares de uma matriz $$. Para que tipo de matriz eles coincidem?

Calcule a SVD de $$.

Calcule a SVD compacta de $$. Qual o posto de $$?

Se a SVD de $$ tem valores singulares $$, qual o posto de $$? Qual a dimensão de $$?

A SVD de $$ tem valores singulares $$. Calcule o erro de Frobenius e o erro espectral da melhor aproximação de posto 1.

Descreva como calcular a pseudoinversa $$ de $$ com valores singulares $$ e posto 2. Qual a dimensão de $$?

Uma matriz $$ tem valores singulares $$ e $$. Calcule $$ e interprete o que isso significa para resolver $$ numericamente.

Uma matriz tem valores singulares $$. Qual o menor $$ tal que a aproximação de posto $$ explica pelo menos 95% da variância de Frobenius?

Mostre que, para uma matriz simétrica positiva semi-definida $$, a SVD tem $$ e $$. O que os valores singulares são, nesse caso?

Uma imagem em tons de cinza é uma matriz $$. Se você guardar a SVD truncada com $$ componentes, quantos floats armazena em comparação com a imagem original? Qual o fator de compressão?

Qual afirmação sobre a interpretação de $$ e $$ na SVD é correta?

A SVD de $$ tem valores singulares $$. Calcule a norma espectral $$ e a norma de Frobenius $$.

Uma imagem $$ tem posto numérico $$. Qual a taxa de compressão ao guardar a SVD completa de posto $$ em vez da matriz original?

Explique geometricamente o que a SVD diz sobre como a matriz $$ transforma a esfera unitária de $$. Quais são os semi-eixos do elipsoide resultante?

Mostre que na SVD se tem $$ para todo $$. Use isso para verificar que $$.

Em latent semantic analysis (LSA), a SVD de uma matriz termo-documento é truncada nos $$ maiores valores singulares. Explique conceitualmente por que isso captura "tópicos latentes" nos documentos.

Enuncie o Teorema de Eckart-Young e esboce a ideia da demonstração de que $$ é de fato a melhor aproximação de posto $$ em norma espectral.

Se $$ tem valores singulares $$, quais são os valores singulares de $$? Calcule $$ e $$.

Uma matrix tem valores singulares $$. Usando threshold $$ relativo ao maior singular, qual o posto numérico?

Prove que uma matriz ortogonal tem todos os valores singulares iguais a 1. Qual o número de condicionamento de uma matriz ortogonal?

Explique como a SVD da matriz de retornos de ações identifica "fatores de risco" num portfólio. O que os primeiros vetores singulares $$ representam economicamente?

Prove que $$ e $$ têm os mesmos valores singulares não-nulos.

Derive a solução de ridge regression $$ em termos da SVD de $$.

A curva de juros (yield curve) brasileira tem dados diários de yields em 10 maturidades diferentes. SVD dessa matriz identifica 3 fatores principais. Quais são esses fatores, economicamente?

Para quais valores de $$ a SVD truncada de uma imagem $$ ocupa menos memória que a imagem original? Derive a condição geral.

A norma de Frobenius $$ é igual a:

Se $$ tem valores singulares $$, quais são os valores singulares de $$?

Demonstre que as colunas de $$ e $$ na SVD de $$ formam bases ortonormais dos 4 subespaços fundamentais de $$. Enuncie cada subespaço e sua base explicitamente.

Descreva o algoritmo de recomendação por SVD colaborativo: dado uma matriz usuário-item esparsa, como a SVD truncada pode prever ratings ausentes e recomendar itens?

Descreva o algoritmo de SVD randomizada de Halko-Martinsson-Tropp (2011) em 5 passos. Por que ele é vantajoso para matrizes grandes de baixo posto numérico? Qual a complexidade comparada com SVD exata?