v1 · padrão canônico

Lesson 118 — Principal Component Analysis (PCA)

Hotelling 1933: diagonalize the sample covariance matrix to find directions of maximum variance. Scores, explained variance, scree plot. Connection to SVD. Applications in ML, finance, genomics.

Used in: 3rd year HS (17-18 years old) · German Stochastik LK equiv. · Singapore H2 Math Statistics equiv. · Japanese advanced Math B equiv.

\Sigma = V \Lambda V^T, \quad z_k = V_k^T (x - \bar{x})

A PCA (Hotelling, 1933) diagonaliza a matriz de covariância amostral $\Sigma$ dos dados centralizados. Os autovetores $v_k$ (colunas de $V$ ) são as direções de máxima variância; os autovalores $\lambda_k$ são as variâncias nessas direções. Projetar em $V_k$ preserva o máximo da variância total com menor número de dimensões.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição matemática

Setup e covariância amostral

"The covariance matrix $\Sigma$ is always symmetric and positive semidefinite. Its eigenvalues are nonnegative and the eigenvectors form an orthonormal basis of $\mathbb{R}^d$ ." — Introduction to Applied Linear Algebra (VMLS), §10.1

Componentes principais

Definition· PCA: decomposição espectral da covariância

\Sigma = V \Lambda V^T, \quad \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_d), \quad \lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_d \geq 0

what this means · Sigma é diagonalizável (simétrica PSD): V ortogonal, Lambda diagonal com autovalores em ordem decrescente.

Vetor principal $k$ : $v_k$ — $k$ -ésima coluna de $V$ .
Score da amostra $x_i$ na PC $k$ : $z_{ik} = v_k^T(x_i - \bar{x})$ .
Variância explicada pela PC $k$ : $\lambda_k$ .
Proporção de variância explicada: $\lambda_k / \sum_j \lambda_j$ .
Variância total: $\sum_j \lambda_j = \text{tr}(\Sigma)$ .

Otimalidade

"The principal components are the eigenvectors of the data covariance matrix, ordered by decreasing eigenvalue. The first principal component captures the maximum variance; successive components capture maximum residual variance subject to orthogonality." — Understanding Linear Algebra, §7.1

Conexão com SVD

Reconstrução e erro de aproximação

\hat{x}_i = \bar{x} + \sum_{k=1}^K z_{ik}\, v_k

what this means · Manter K componentes minimiza o erro de reconstrução quadrático médio entre todas as projeções de posto K (Eckart-Young aplicado a PCA).

Erro de reconstrução: $\frac{1}{N}\sum_i \|x_i - \hat{x}_i\|^2 = \sum_{k > K} \lambda_k$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· PCA de um dataset 3D simples

Problema. Dado $\tilde{X} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ (4 amostras, 3 features, já centralizado), calcule a matriz de covariância, os autovalores e a variância explicada.

Estratégia. Calcular $\Sigma = \tilde{X}^T \tilde{X} / (N-1)$ e decompor.

Resolução.

$\tilde{X}^T \tilde{X} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Com $N - 1 = 3$ : $\Sigma = \begin{pmatrix} 8/3 & 0 & 0 \\ 0 & 2/3 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 2/3 \end{pmatrix}$ .

Autovalores: $\lambda_1 = 8/3$ , $\lambda_2 = 4/3$ , $\lambda_3 = 0$ . Variância total: $8/3 + 4/3 = 4$ .

Variância explicada: PC1 = 8/3 / 4 = 66,7%; PC2 = 4/3 / 4 = 33,3%; PC3 = 0%.

Verificação. $\text{tr}(\Sigma) = 8/3 + 2/3 + 2/3 = 12/3 = 4 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$ . ✓ Com 2 PCs explica 100% — os dados vivem num plano 2D.

Fonte. Understanding Linear Algebra, §7.1 Exercício 7.1.1 — David Austin · CC-BY-SA.

Example— 2· Cálculo de scores e reconstrucao

Problema. Dados centralizados bidimensionais com covariância $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Encontre as PCs, calcule o score da amostra $x = (2, 1)^T$ na PC1, e reconstrua com 1 componente.

Estratégia. Autodecomposição de $\Sigma$ , depois projeção e reconstrução.

Resolução.

Polinômio característico: $(4 - \lambda)(1 - \lambda) - 4 = 0$ , logo $\lambda^2 - 5\lambda = 0$ , dando $\lambda_1 = 5$ e $\lambda_2 = 0$ .

Autovetor de $\lambda_1 = 5$ : $v_1 = (1/\sqrt{5})(2, 1)^T$ .

Score de $x = (2,1)^T$ em PC1: $z_1 = v_1^T x = (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1)/\sqrt{5} = 5/\sqrt{5} = \sqrt{5}$ .

Reconstrução com 1 componente: $\hat x = z_1 v_1 = \sqrt{5} \cdot (1/\sqrt{5})(2,1)^T = (2,1)^T$ .

Verificação. Erro de reconstrução zero — o dado $x$ vive exatamente no subespaço de PC1 (pois $\lambda_2 = 0$ , os dados são degenerados). ✓

Fonte. Introduction to Applied Linear Algebra (VMLS), §10.2 — Boyd, Vandenberghe · CC-BY-NC-ND.

Example— 3· Variancia explicada e scree plot

Problema. Uma análise PCA de 50 variáveis resulta nos 5 maiores autovalores: 15, 8, 4, 2, 1. Variância total = 50 (dados padronizados, cada variável tem variância 1). Calcule: (a) variância explicada por cada PC; (b) variância acumulada; (c) qual K escolher para 90%.

Estratégia. Proporção simples, depois soma acumulada.

Resolução.

(a) ExpVar(k): 15/50 = 30%, 8/50 = 16%, 4/50 = 8%, 2/50 = 4%, 1/50 = 2%.

(b) Acumulada: 30%, 46%, 54%, 58%, 60%.

(c) Após 5 PCs, cumulativa = 60% — insuficiente para 90%. As outras 45 PCs somam 40% restantes. Para 90% provavelmente precisaríamos de ~15-20 PCs (dependendo da distribuição dos autovalores restantes).

Verificação. Soma das 5 parcelas = 60%, coerente com variância total restante de 40%. ✓

Fonte. OpenIntro Statistics, §8.3 Exercício 8.27 — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA.

Example— 4· PCA via SVD e conexao com covariancia

Problema. Mostre que as PCs obtidas via SVD de $\tilde X$ são as mesmas obtidas via autodecomposição de $\Sigma = \tilde X^T \tilde X / (N-1)$ . Identifique como os valores singulares de $\tilde X$ se relacionam com os autovalores de $\Sigma$ .

Estratégia. Usar $\tilde X = U \Sigma_{SVD} V^T$ e substituir em $\Sigma$ .

Resolução.

\Sigma_{cov} = \frac{1}{N-1} \tilde X^T \tilde X = \frac{1}{N-1}(V \Sigma_{SVD}^T U^T)(U \Sigma_{SVD} V^T)

= \frac{1}{N-1} V \Sigma_{SVD}^T \Sigma_{SVD} V^T = V \cdot \frac{\Sigma_{SVD}^2}{N-1} \cdot V^T

Portanto: autovalores de $\Sigma_{cov}$ são $\lambda_k = \sigma_k^2/(N-1)$ , e os autovetores (colunas de $V$ ) são exatamente os vetores singulares à direita de $\tilde X$ .

Verificação. A relação $\lambda_k = \sigma_k^2/(N-1)$ é consistente: se $\sigma_k \to 0$ , então $\lambda_k \to 0$ (PC sem variância). ✓

Fonte. Introduction to Applied Linear Algebra (VMLS), §10.3 — Boyd, Vandenberghe · CC-BY-NC-ND.

Example— 5· PCA aplicada a retornos de acoes brasileiras

Problema. Você tem retornos diários de 5 ações da B3 (PETR4, VALE3, ITUB4, BBDC4, WEGE3) por 252 dias. A matriz de covariância (anualizada, em %) é:

\Sigma = \begin{pmatrix} 45 & 20 & 12 & 11 & 8 \\ 20 & 38 & 10 & 9 & 6 \\ 12 & 10 & 22 & 14 & 5 \\ 11 & 9 & 14 & 20 & 4 \\ 8 & 6 & 5 & 4 & 15 \end{pmatrix}

Os 3 maiores autovalores são aproximadamente 82, 23, 11. Calcule: (a) variância total; (b) variância explicada pelas 3 PCs; (c) interpretação econômica.

Estratégia. Variância total = trace de $\Sigma$ ; variância explicada = proporção dos autovalores.

Resolução.

(a) Variância total: $\text{tr}(\Sigma) = 45 + 38 + 22 + 20 + 15 = 140$ .

(b) 3 PCs explicam: $(82 + 23 + 11)/140 = 116/140 \approx 82{,}9\%$ .

(c) PC1 (82/140 = 58,6%): correlacionada positivamente com todas as ações — fator de mercado ("beta"). PC2 (23/140 = 16,4%): provavelmente diferencia commodities (PETR4, VALE3) de financeiros (ITUB4, BBDC4). PC3: risco idiossincrático restante.

Verificação. 3 dos 5 componentes explicam 82,9% — consistente com estudos empíricos de yield curves brasileiras mostrando dominância dos primeiros PCs.

Fonte. OpenIntro Statistics, §8.3 — Diez et al. · CC-BY-SA. Estrutura de covariância motivada por resultados empíricos de mercados emergentes.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 2Challenge 7Proof 14

Ex. 118.1Understanding
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Prove que $T = 0$ se e somente se todos os valores singulares de $T$ são 0.
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T = 0 se e somente se todos os valores singulares de T são 0T = 0 se e somente se o maior valor singular de T é 0, independente dos demaisT = 0 se e somente se T possui exatamente um valor singular nuloT = 0 se e somente se T é auto-adjunto e todos os autovalores são 0
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 1
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Se todos os valores singulares são 0 então $T^*T = 0$ , logo $\|Tv\|^2 = \langle T^*Tv, v\rangle = 0$ para todo $v$ , portanto $T = 0$ . A recíproca é imediata. (Resp: A)
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1. Defina valores singulares de T como as raízes quadradas dos autovalores de $T^*T$ .
2. Se $T = 0$ : $T^*T = 0$ , todos os autovalores de $T^*T$ são 0.
3. Se todos os valores singulares são 0: $\langle T^*Tv, v\rangle = \|Tv\|^2 = 0$ para todo $v$ .
4. Logo $Tv = 0$ para todo $v$ , portanto $T = 0$ .
Ex. 118.2ApplicationAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^2)$ definido por $T(x, y) = (-4y, x)$ . Encontre os valores singulares de $T$ .
Select the correct option
Para T(x,y)=(−4y,x): T*T(x,y)=(16x,y), autovalores 16 e 1, valores singulares 4 e 1Para T(x,y)=(−4y,x): valores singulares são 4 e 4 (isometria escalonada)Para T(x,y)=(−4y,x): valores singulares são 0 e 4Para T(x,y)=(−4y,x): valor singular único é 4 pois a norma da transformação é 4
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 5
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Calcule $T^*$ : como $\langle T(x,y),(u,v)\rangle = -4yu+xv$ , temos $T^*(u,v)=(v,-4u)$ . Então $T^*T(x,y) = T^*(-4y,x) = (x,-4(-4y)) = (x,16y)$ . Autovalores de $T^*T$ : 1 e 16. Valores singulares: 1 e 4. (Resp: A)
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1. Identifique $T^*$ via $\langle T(x,y),(u,v)\rangle = \langle (x,y), T^*(u,v)\rangle$ .
2. $\langle (-4y,x),(u,v)\rangle = -4yu + xv = \langle (x,y),(v,-4u)\rangle$ .
3. Logo $T^*(u,v)=(v,-4u)$ .
4. $T^*T(x,y) = T^*(-4y,x)=(x,16y)$ .
5. Autovalores de $T^*T$ : 1 e 16; valores singulares: 1 e 4.
Ex. 118.3Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ e $s > 0$ . Prove que $s$ é valor singular de $T$ se e somente se existem vetores não nulos $v \in V$ e $w \in W$ tais que $Tv = sw$ e $T^*w = sv$ .
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s é valor singular de T sse existem vetores não nulos v em V e w em W com Tv = sw e T*w = svs é valor singular de T sse existe apenas um vetor v em V com Tv = svs é valor singular de T sse T*T tem autovalor s (não s²)s é valor singular de T sse T tem autovalor s ou −s
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Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 2
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Se $s > 0$ é valor singular: $T^*Tv = s^2 v$ . Defina $w = Tv/s$ . Então $Tv = sw$ e $T^*w = T^*(Tv/s) = s^2v/s = sv$ . A recíproca: de $Tv = sw$ e $T^*w = sv$ segue $T^*Tv = s^2v$ . (Resp: A)
Ex. 118.4Application
Dê um exemplo de $T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^2)$ tal que 0 seja o único autovalor de $T$ e os valores singulares de $T$ sejam 5 e 0.
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Um exemplo é T(x, y) = (5y, 0): único autovalor é 0 e valores singulares são 5 e 0Não existe tal operador pois autovalor 0 implica valores singulares todos zeroUm exemplo é T(x, y) = (0, x): seus valores singulares são 0 e 0Um exemplo é T(x, y) = (x, 0): único autovalor é 0 e valores singulares são 1 e 0
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 3
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Tome $T(x,y) = (5y, 0)$ . Então $T^2(x,y) = T(5y,0) = (0,0)$ , logo 0 é o único autovalor. $T^*T(x,y) = (0, 25y)$ , com autovalores 25 e 0, portanto valores singulares 5 e 0. (Resp: A)
Ex. 118.5Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ com maior valor singular $s_1$ e menor valor singular $s_n$ . Prove que $\{\|Tv\| : v \in V, \|v\|=1\} = [s_n, s_1]$ .
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O conjunto das normas de Tv sobre todos os v unitários é o intervalo fechado [sn, s1]O conjunto das normas de Tv sobre todos os v unitários é o intervalo aberto (sn, s1)O conjunto das normas de Tv é sempre um único valor, igual a s1O conjunto das normas de Tv pode ultrapassar s1 para certos vetores não unitários
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 4
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Como $T = s_1\langle \cdot, e_1\rangle f_1 + \cdots + s_n\langle \cdot, e_n\rangle f_n$ (SVD), o máximo de $\|Tv\|$ com $\|v\|=1$ é $s_1$ (atingido em $v=e_1$ ) e o mínimo é $s_n$ (atingido em $v=e_n$ ). Por continuidade da esfera, todos os valores intermediários são atingidos. (Resp: A)
Ex. 118.6Application
Encontre os valores singulares do operador diferenciação $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}))$ definido por $Dp = p'$ , com produto interno $\langle p,q\rangle = \int_0^1 pq$ .
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Os valores singulares do operador diferenciação D em P₂(R) são determinados pelos autovalores de D*D, que podem ser calculados via integração por partesO operador diferenciação tem valores singulares 1, 2, 3, ... correspondentes aos graus dos monomiaisO operador diferenciação não possui decomposição em valores singulares por ser não-injetivoOs valores singulares do operador diferenciação coincidem com seus autovalores
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 6
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Com produto interno $\langle p,q\rangle = \int_0^1 p(x)q(x)\,dx$ , o adjunto $D^*$ é determinado via integração por partes: $\langle Dp,q\rangle = p(1)q(1) - p(0)q(0) - \langle p, Dq\rangle$ . Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de $D^*D$ restritos a $\mathcal{P}_2$ . (Resp: A)
Ex. 118.7Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ auto-adjunto, ou seja $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ e $T$ normal. Se $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ são os autovalores de $T$ (com multiplicidade), mostre que os valores singulares de $T$ são $|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|$ em ordem decrescente.
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Para T auto-adjunto ou T normal complexo: os valores singulares são |λ₁|, ..., |λn| em ordem decrescentePara T auto-adjunto: os valores singulares são os autovalores em ordem decrescente (sem módulo)Para T normal: os valores singulares são os quadrados dos módulos dos autovaloresPara T normal: os valores singulares são a parte real dos autovalores
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 7
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T normal (ou auto-adjunto): pelo teorema espectral, $T = \sum_k \lambda_k \langle \cdot, e_k\rangle e_k$ . Então $T^*T = \sum_k |\lambda_k|^2 \langle \cdot, e_k\rangle e_k$ . Os autovalores de $T^*T$ são $|\lambda_k|^2$ , logo valores singulares de T são $|\lambda_k|$ em ordem decrescente. (Resp: A)
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1. T auto-adjunto ou T normal (complexo): teorema espectral dá base ortonormal de autovetores $e_k$ .
2. Escreva $T = \sum_k \lambda_k \langle \cdot, e_k\rangle e_k$ .
3. Calcule $T^*T = \sum_k |\lambda_k|^2 \langle \cdot, e_k\rangle e_k$ .
4. Autovalores de $T^*T$ são $|\lambda_k|^2$ .
5. Valores singulares de T são $\sqrt{|\lambda_k|^2} = |\lambda_k|$ .
Ex. 118.8Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ com $Tv = s_1\langle v,e_1\rangle f_1 + \cdots + s_m\langle v,e_m\rangle f_m$ para listas ortonormais $e_k \in V$ , $f_k \in W$ e $s_k > 0$ decrescentes. Prove que (a) $f_1,\ldots,f_m$ é base ortonormal de $\text{range}\,T$ ; (b) $e_1,\ldots,e_m$ é base ortonormal de $(\text{null}\,T)^\perp$ ; (c) $s_1,\ldots,s_m$ são os valores singulares positivos de $T$ .
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f₁,...,fm é base ortonormal de range T; e₁,...,em é base ortonormal de (null T)⊥; s₁,...,sm são os valores singulares positivos de Te₁,...,em é base ortonormal de null T; f₁,...,fm é base ortonormal de (range T)⊥s₁,...,sm da fórmula SVD podem ser diferentes dos valores singulares positivos de TA fórmula Tv = Σ sₖ⟨v,eₖ⟩fₖ implica que T é invertível
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 8
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Da fórmula SVD $Tv = \sum_k s_k \langle v,e_k\rangle f_k$ : (a) $f_1,\ldots,f_m$ gera $\text{range}\,T$ pois todo $Tv$ é combinação desses vetores; é ortonormal pois $\langle f_j,f_k\rangle = s_j^{-1}s_k^{-1}\langle Te_j,Te_k\rangle = \delta_{jk}$ . (b) $e_k \in (\text{null}\,T)^\perp$ pois $T^*Te_k = s_k^2 e_k$ . (Resp: A)
Ex. 118.9Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Mostre que $T$ e $T^*$ têm os mesmos valores singulares positivos.
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T e T* têm os mesmos valores singulares positivos, pois T*T e TT* têm os mesmos autovalores não nulosT e T* têm os mesmos valores singulares somente quando T é quadradoT* tem os valores singulares de T em ordem invertidaT* tem valores singulares que são os recíprocos dos valores singulares de T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 9
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Os valores singulares positivos de $T$ são as raízes dos autovalores não nulos de $T^*T$ ; os de $T^*$ são raízes dos autovalores não nulos de $TT^*$ . Mas $T^*T$ e $TT^*$ têm os mesmos autovalores não nulos (ST e TS têm mesmo espectro não nulo). (Resp: A)
Ex. 118.10Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ com valores singulares $s_1, \ldots, s_n$ . Prove que se $T$ é invertível, então $T^{-1}$ tem valores singulares $1/s_n, \ldots, 1/s_1$ .
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Se T é invertível com valores singulares s₁ ≥ ... ≥ sn > 0, então T⁻¹ tem valores singulares 1/sn ≥ ... ≥ 1/s₁Se T é invertível, T⁻¹ tem os mesmos valores singulares que TSe T é invertível, T⁻¹ tem valores singulares sn, ..., s₁ (mesmos, ordem invertida)Se T é invertível, T⁻¹ não necessariamente possui decomposição em valores singulares
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 10
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Da SVD $T = \sum_k s_k \langle\cdot,e_k\rangle f_k$ , como T é invertível todos $s_k > 0$ e $T^{-1} = \sum_k \frac{1}{s_k}\langle\cdot,f_k\rangle e_k$ . Os valores singulares de $T^{-1}$ são $1/s_n \geq \cdots \geq 1/s_1 > 0$ . (Resp: A)
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1. Escreva SVD de T: $T = \sum_k s_k \langle\cdot,e_k\rangle f_k$ com todos $s_k > 0$ .
2. Inverta: $T^{-1}f_k = e_k/s_k$ , portanto $T^{-1} = \sum_k (1/s_k)\langle\cdot,f_k\rangle e_k$ .
3. Esta é a SVD de $T^{-1}$ com valores singulares $1/s_k$ .
4. Reordene: $1/s_n \geq \cdots \geq 1/s_1$ .
Ex. 118.11ProofAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ e $v_1, \ldots, v_n$ base ortonormal de $V$ , com valores singulares $s_1, \ldots, s_n$ . (a) Prove que $\|Tv_1\|^2 + \cdots + \|Tv_n\|^2 = s_1^2 + \cdots + s_n^2$ . (b) Se $W = V$ e $T$ é operador positivo, prove que $\langle Tv_1,v_1\rangle + \cdots + \langle Tv_n,v_n\rangle = s_1 + \cdots + s_n$ .
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Para qualquer base ortonormal v₁,...,vn de V: ‖Tv₁‖²+...+‖Tvn‖² = s₁²+...+sn²; e se T é positivo: ⟨Tv₁,v₁⟩+...+⟨Tvn,vn⟩ = s₁+...+snA soma das normas quadradas ‖Tvₖ‖² depende da base ortonormal escolhidaSe T é positivo, a soma ⟨Tvₖ,vₖ⟩ é igual à soma dos quadrados dos valores singularesA identidade ‖Tv₁‖²+...+‖Tvn‖² = s₁²+...+sn² vale somente para a base de autovetores de T*T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 11
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Para (a): $\sum_k \|Tv_k\|^2 = \sum_k \langle T^*Tv_k,v_k\rangle = \text{tr}(T^*T) = \sum_k s_k^2$ (traço independe da base). Para (b) T positivo: $\sum_k \langle Tv_k,v_k\rangle = \text{tr}(T) = \sum_k s_k$ pois valores singulares de T positivo são seus autovalores. (Resp: A)
Ex. 118.12ChallengeAnswer key
(a) Dê exemplo de operador $T$ tal que os valores singulares de $T^2$ não são os quadrados dos valores singulares de $T$ . (b) Se $T \in \mathcal{L}(V)$ é normal, prove que os valores singulares de $T^2$ são os quadrados dos valores singulares de $T$ .
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Para T não-normal, os valores singulares de T² podem diferir dos quadrados dos valores singulares de T; para T normal, eles coincidemPara qualquer T, os valores singulares de T² são sempre os quadrados dos valores singulares de TPara T não-normal, os valores singulares de T² são sempre maiores que os quadrados dos valores singulares de TPara T normal, os valores singulares de T² diferem dos quadrados dos valores singulares de T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 12
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Contraexemplo (a): $T = \begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$ . Valores singulares de T: 2, 0. $T^2 = 0$ , valores singulares de $T^2$ : 0, 0. Mas $2^2=4 \neq 0$ . Para (b) T normal: pela parte (a) do ex. 7, valores singulares de T são $|\lambda_k|$ ; de T² são $|\lambda_k^2| = |\lambda_k|^2$ . (Resp: A)
Ex. 118.13Proof
Sejam $T_1, T_2 \in \mathcal{L}(V)$ . Prove que $T_1$ e $T_2$ têm os mesmos valores singulares se e somente se existem operadores unitários $S_1, S_2 \in \mathcal{L}(V)$ tais que $T_1 = S_1 T_2 S_2$ .
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T₁ e T₂ têm os mesmos valores singulares sse existem operadores unitários S₁, S₂ com T₁ = S₁T₂S₂T₁ e T₂ têm os mesmos valores singulares sse T₁ = S₁T₂ para algum unitário S₁T₁ e T₂ têm os mesmos valores singulares sse são similares (T₁ = ST₂S⁻¹ para S invertível)T₁ e T₂ têm os mesmos valores singulares sse têm os mesmos autovalores
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 13
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( $\Rightarrow$ ) Escrevendo SVD de $T_2 = \sum_k s_k\langle\cdot,e_k\rangle f_k$ , defina $T_1 = \sum_k s_k\langle\cdot,S_2e_k\rangle S_1f_k$ . ( $\Leftarrow$ ) Se $T_1 = S_1T_2S_2$ com $S_1,S_2$ unitários, então $T_1^*T_1 = S_2^*T_2^*T_2S_2$ , que tem os mesmos autovalores que $T_2^*T_2$ . (Resp: A)
Ex. 118.14Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ e $s_n$ o menor valor singular de $T$ . Prove que $s_n \|v\| \leq \|Tv\|$ para todo $v \in V$ .
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Para todo v: sn‖v‖ ≤ ‖Tv‖, onde sn é o menor valor singular de TPara todo v: ‖Tv‖ ≥ s₁‖v‖, onde s₁ é o maior valor singularA estimativa sn‖v‖ ≤ ‖Tv‖ vale apenas para v no espaço gerado pelos autovetores de T*TPara todo v: ‖Tv‖ ≤ sn‖v‖
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 14
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Da SVD: escreva $v = \sum_k a_k e_k + u$ onde $u \in \text{null}\,T$ . Então $\|Tv\|^2 = \sum_k s_k^2|a_k|^2 \geq s_n^2\sum_k|a_k|^2 \leq s_n^2\|v\|^2$ . Tome raiz quadrada. (Resp: A)
Ex. 118.15Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ com valores singulares $s_1 \geq \cdots \geq s_n$ . Prove que se $\lambda$ é autovalor de $T$ , então $s_1 \geq |\lambda| \geq s_n$ .
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Se λ é autovalor de T com valores singulares s₁ ≥ ... ≥ sn, então sn ≤ |λ| ≤ s₁Se λ é autovalor de T, então |λ| = s₁ necessariamenteSe λ é autovalor de T, então |λ| pode ultrapassar s₁Se λ é autovalor de T, então |λ| = sn necessariamente
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 15
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Se $Tv = \lambda v$ com $\|v\|=1$ : $|\lambda| = \|Tv\|$ . Pelo ex. 4, $\|Tv\| \in [s_n, s_1]$ . Logo $s_n \leq |\lambda| \leq s_1$ . (Resp: A)
Ex. 118.16Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Prove que $(T^*)^\dagger = (T^\dagger)^*$ .
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A pseudoinversa satisfaz (T*)† = (T†)*A pseudoinversa satisfaz (T*)† = T†A pseudoinversa não comuta com a operação de adjunto(T*)† = (T†)* vale apenas quando T é invertível
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 16
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Da SVD $T = \sum_k s_k\langle\cdot,e_k\rangle f_k$ : $T^\dagger = \sum_k \frac{1}{s_k}\langle\cdot,f_k\rangle e_k$ , logo $(T^\dagger)^* = \sum_k \frac{1}{s_k}\langle\cdot,e_k\rangle f_k$ . Por outro lado, $T^* = \sum_k s_k\langle\cdot,f_k\rangle e_k$ e $(T^*)^\dagger = \sum_k \frac{1}{s_k}\langle\cdot,e_k\rangle f_k$ . Os dois coincidem. (Resp: A)
Ex. 118.17Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ . Prove que $T$ é auto-adjunto se e somente se $T^\dagger$ é auto-adjunto.
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T é auto-adjunto se e somente se T† é auto-adjuntoT é auto-adjunto se e somente se T† = TT auto-adjunto implica T† = 0T† é sempre auto-adjunto independente de T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7E · ex. 17
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Da SVD de T e do resultado do ex. 16: $(T^\dagger)^* = (T^*)^\dagger$ . Se $T$ é auto-adjunto ( $T^* = T$ ), então $(T^\dagger)^* = T^\dagger$ , logo $T^\dagger$ é auto-adjunto. A recíproca segue analogamente aplicando o mesmo argumento a $T^\dagger$ . (Resp: A)
Ex. 118.18ProofAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ . Prove que se tanto $T$ quanto $-T$ são operadores positivos, então $T = 0$ .
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Se T e −T são ambos operadores positivos, então T = 0Se T e −T são positivos, T pode ser qualquer operador auto-adjuntoExistem operadores positivos T com −T também positivo e T ≠ 0Se T e −T são positivos, então T² = 0 mas não necessariamente T = 0
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 1
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Se $T$ e $-T$ são positivos: para todo $v$ , $\langle Tv,v\rangle \geq 0$ e $\langle -Tv,v\rangle \geq 0$ . Logo $\langle Tv,v\rangle = 0$ para todo $v$ . Operador positivo com forma quadrática nula é zero. (Resp: A)
Ex. 118.19Application
O operador $T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^4)$ com matriz $\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}$ na base padrão é positivo e invertível. Justifique.
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A matriz tridiagonal com 2 na diagonal e −1 nas subdiagonais é um operador positivo invertívelA matriz tridiagonal com 2 na diagonal e −1 nas subdiagonais tem autovalores negativosA matriz tridiagonal com 2 na diagonal e −1 nas subdiagonais é singularA matriz tridiagonal com 2 na diagonal e −1 nas subdiagonais não é auto-adjunta
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 2
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A matriz é simétrica (auto-adjunta em $\mathbb{R}$ ). Seus autovalores são $\lambda_k = 2 - 2\cos(k\pi/5)$ para $k=1,\ldots,4$ (matriz do Laplaciano discreto), todos positivos. Logo é operador positivo. Determinante positivo implica invertibilidade. (Resp: A)
Ex. 118.20Application
Seja $n$ inteiro positivo e $T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^n)$ o operador cuja matriz (na base padrão) tem todas as entradas iguais a 1. Mostre que $T$ é um operador positivo.
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O operador T cuja matriz é a matriz n×n de todas as entradas 1 é um operador positivoO operador T cuja matriz é a matriz n×n de todas as entradas 1 tem todos os autovalores iguais a 1O operador T cuja matriz é a matriz n×n de todas as entradas 1 é invertível para todo nO operador T cuja matriz é a matriz n×n de todas as entradas 1 não é auto-adjunto
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 3
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A matriz J de todos 1s é simétrica (auto-adjunta). $\langle Tv,v\rangle = (\sum_i v_i)^2 \geq 0$ para todo $v$ . Logo T é positivo. Os autovalores são n (multiplicidade 1, autovetor $(1,\ldots,1)$ ) e 0 (multiplicidade n-1). (Resp: A)
Ex. 118.21Challenge
Seja $n$ inteiro com $n > 1$ . Mostre que existe uma matriz $n \times n$ com todas as entradas positivas e $A = A^*$ , mas cujo operador associado não é positivo.
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Para n maior que 1: existe matriz n×n A com todas as entradas positivas, A = A*, mas A não define operador positivoToda matriz com entradas positivas e A = A* define operador positivoNão existe tal matriz A, pois entradas positivas e simetria implicam positividadePara n = 2 não existe tal matriz, mas para n ≥ 3 existe
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 4
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Para $n=2$ : $A = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ . Entradas positivas, $A=A^*$ . Autovalores: $1\pm2 = 3$ e $-1$ . Como $-1 < 0$ , A não é positivo. (Resp: A)
Ex. 118.22Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ auto-adjunto. Prove que $T$ é um operador positivo se e somente se para toda base ortonormal $e_1, \ldots, e_n$ de $V$ , todas as entradas diagonais da matriz de $T$ nessa base são não-negativas.
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T auto-adjunto é positivo sse para toda base ortonormal e₁,...,en as entradas diagonais da matriz de T são não-negativasT auto-adjunto é positivo sse existe alguma base ortonormal em que as entradas diagonais são não-negativasT auto-adjunto é positivo sse todas as entradas (não apenas as diagonais) da matriz são não-negativasT auto-adjunto é positivo sse a soma de todas as entradas da matriz é não-negativa
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 5
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( $\Rightarrow$ ) Se T positivo: $\langle Te_k,e_k\rangle \geq 0$ para qualquer base ortonormal. ( $\Leftarrow$ ) Pelo teorema espectral, escreva $T = \sum_j \lambda_j P_j$ ; a condição das diagonais implica $\sum_j \lambda_j |\langle e_k,v_j\rangle|^2 \geq 0$ para toda base. Isso força $\lambda_j \geq 0$ . (Resp: A)
Ex. 118.23Application
Prove que a soma de dois operadores positivos em $V$ é um operador positivo.
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A soma de dois operadores positivos é um operador positivoA soma de dois operadores positivos pode ter autovalores negativosA soma de dois operadores positivos é positivo apenas quando eles comutamA soma de dois operadores positivos é positivo somente se ambos são invertíveis
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Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 6
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Sejam $S, T$ positivos. Para todo $v$ : $\langle (S+T)v, v\rangle = \langle Sv,v\rangle + \langle Tv,v\rangle \geq 0 + 0 = 0$ . Além disso $(S+T)^* = S^* + T^* = S + T$ . Logo $S+T$ é auto-adjunto e positivo. (Resp: A)
Ex. 118.24ApplicationAnswer key
Seja $S \in \mathcal{L}(V)$ um operador positivo invertível e $T \in \mathcal{L}(V)$ um operador positivo. Prove que $S + T$ é invertível.
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Se S é invertível e positivo e T é positivo, então S + T é invertívelSe S é invertível e positivo e T é positivo, S + T pode ser singularS + T é invertível somente se T também for invertívelS + T é sempre não-invertível quando T tem núcleo não-trivial
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 7
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Para todo $v \neq 0$ : $\langle (S+T)v,v\rangle = \langle Sv,v\rangle + \langle Tv,v\rangle$ . Como S é invertível e positivo, $\langle Sv,v\rangle > 0$ (todo autovalor positivo). Logo $\langle (S+T)v,v\rangle > 0$ , portanto $(S+T)v \neq 0$ para $v \neq 0$ ; S+T é injetivo e logo invertível. (Resp: A)
Ex. 118.25Proof
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ . Prove que $T$ é operador positivo se e somente se a pseudoinversa $T^\dagger$ é operador positivo.
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T é operador positivo sse a pseudoinversa T† é operador positivoT positivo implica T† positivo, mas a recíproca pode falharT† é sempre positivo independente de TT positivo implica T† = T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 8
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Da SVD de T positivo: $T = \sum_k \lambda_k \langle\cdot,e_k\rangle e_k$ com $\lambda_k \geq 0$ . Então $T^\dagger = \sum_{k: \lambda_k>0} \frac{1}{\lambda_k}\langle\cdot,e_k\rangle e_k$ , que também é positivo (autovalores positivos). A recíproca segue aplicando o mesmo argumento a $T^\dagger$ e usando $(T^\dagger)^\dagger = T$ . (Resp: A)
Ex. 118.26Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ operador positivo e $S \in \mathcal{L}(W, V)$ . Prove que $S^*TS$ é operador positivo em $W$ .
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Se T é positivo em V e S ∈ L(W,V), então S*TS é operador positivo em WS*TS é positivo somente quando S é unitárioS*TS é positivo somente quando S é invertívelS*TS pode ter autovalores negativos mesmo com T positivo
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 9
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Para todo $w \in W$ : $\langle S^*TSw, w\rangle = \langle TSw, Sw\rangle \geq 0$ pois T positivo. Além disso $(S^*TS)^* = S^*T^*S = S^*TS$ (T auto-adjunto). Logo $S^*TS$ é auto-adjunto e positivo em W. (Resp: A)
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $(S^*TS)^* = S^*T^*(S^*)^* = S^*TS$ (auto-adjunto).
2. Para qualquer $w \in W$ : $\langle S^*TSw, w\rangle = \langle Sw, T^*Sw\rangle = \langle TSw, Sw\rangle$ .
3. Como $Sw \in V$ e T é positivo: $\langle TSw, Sw\rangle \geq 0$ .
4. Logo $S^*TS$ é positivo em W.
Ex. 118.27Application
Seja $T$ operador positivo em $V$ e $v, w \in V$ tais que $Tv = w$ e $Tw = v$ . Prove que $v = w$ .
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Se T é positivo em V, Tv = w e Tw = v, então v = wSe T positivo satisfaz Tv = w e Tw = v, então v = −wPodem existir v ≠ w com Tv = w e Tw = v para algum operador positivo TSe Tv = w e Tw = v, então v = w apenas quando T = I
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 10
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De $Tv = w$ e $Tw = v$ : $T(v-w) = w-v = -(v-w)$ . Logo $v-w$ é autovetor de T com autovalor $-1$ . Mas T positivo implica todos os autovalores não-negativos; contradição com $-1 < 0$ , a menos que $v-w=0$ . (Resp: A)
Ex. 118.28Application
Seja $T$ operador positivo em $V$ e $U$ subespaço de $V$ invariante sob $T$ . Prove que $T|_U \in \mathcal{L}(U)$ é operador positivo em $U$ .
Select the correct option
Se T é positivo em V e U é subespaço T-invariante, então a restrição T|U é operador positivo em UA restrição T|U pode ter autovalores negativos mesmo com T positivoT|U é positivo apenas quando U = VT|U é positivo apenas quando U é o autoespaço associado ao maior autovalor de T
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 11
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T|U está bem definido pois U é T-invariante. Para $u \in U$ : $\langle T|_U u, u\rangle = \langle Tu, u\rangle \geq 0$ pois T é positivo. Além disso $(T|_U)^* = T^*|_U = T|_U$ (pois T auto-adjunto). Logo T|U é positivo. (Resp: A)
Ex. 118.29ApplicationAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ operador positivo. Prove que $T^k$ é operador positivo para todo inteiro positivo $k$ .
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Se T é operador positivo, então T^k é operador positivo para todo inteiro positivo kT^k positivo vale apenas para k parT^k positivo vale apenas quando T é invertívelT positivo implica T^k positivo apenas para k ≤ 2
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 12
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Por indução: T positivo (base). Se $T^k$ é positivo, então $T^{k+1} = T \cdot T^k$ . Para todo $v$ : $\langle T^{k+1}v,v\rangle = \langle T(T^kv),T^kv\rangle \cdot \langle T^kv,v\rangle / \|T^kv\|^2 \geq 0$ . Alternativa direta: autovalores de $T^k$ são $\lambda_j^k \geq 0$ . (Resp: A)
Ex. 118.30UnderstandingAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ auto-adjunto e $\alpha \in \mathbb{R}$ . (a) Prove que $T - \alpha I$ é positivo sse $\alpha$ é menor ou igual a todo autovalor de $T$ . (b) Prove que $\alpha I - T$ é positivo sse $\alpha$ é maior ou igual a todo autovalor de $T$ .
Select the correct option
T − αI é positivo sse α é menor ou igual a todos os autovalores de T; αI − T é positivo sse α é maior ou igual a todos os autovaloresT − αI é positivo sse α é maior ou igual a todos os autovalores de TT − αI é positivo para qualquer α quando T é positivoαI − T é positivo somente quando α = 0
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 13
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T auto-adjunto tem autovalores reais $\lambda_j$ . $T - \alpha I$ tem autovalores $\lambda_j - \alpha$ . É positivo sse todos $\lambda_j - \alpha \geq 0$ , i.e., $\alpha \leq \lambda_j$ para todo $j$ . Analogamente para $\alpha I - T$ . (Resp: A)
Ex. 118.31Proof
Seja $T$ operador positivo em $V$ e $v_1, \ldots, v_m \in V$ . Prove que $\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \langle Tv_k, v_j\rangle \geq 0$ .
Select the correct option
Para T positivo e v₁,...,vm ∈ V: a soma dupla Σⱼ Σₖ ⟨Tvₖ,vⱼ⟩ ≥ 0A soma dupla Σⱼ Σₖ ⟨Tvₖ,vⱼ⟩ pode ser negativa para T positivoA soma dupla vale apenas para v₁,...,vm base ortonormalA desigualdade Σⱼ Σₖ ⟨Tvₖ,vⱼ⟩ ≥ 0 equivale a T ser positivo
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 14
Show solution
Seja $u = v_1 + \cdots + v_m$ . Então $\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^m \langle Tv_k,v_j\rangle = \langle T(\sum_k v_k), \sum_j v_j\rangle = \langle Tu,u\rangle \geq 0$ pois T positivo. (Resp: A)
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $u = \sum_{k=1}^m v_k$ .
2. Expanda $\langle Tu, u\rangle = \langle T(\sum_k v_k), \sum_j v_j\rangle$ .
3. Pela bilinearidade: $= \sum_j\sum_k \langle Tv_k, v_j\rangle$ .
4. T positivo implica $\langle Tu,u\rangle \geq 0$ .
Ex. 118.32Challenge
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ auto-adjunto. Prove que existem operadores positivos $A, B \in \mathcal{L}(V)$ tais que $T = A - B$ , $\sqrt{T^*T} = A + B$ e $AB = BA = 0$ .
Select the correct option
Para T auto-adjunto: existem operadores positivos A, B com T = A − B, √(T*T) = A + B e AB = BA = 0Para T auto-adjunto: T = A − B mas não necessariamente AB = 0Para T auto-adjunto: A e B na decomposição T = A − B são únicos mas podem não comutareA decomposição T = A − B com operadores positivos não existe em geral
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 15
Show solution
Pelo teorema espectral: $T = \sum_j \lambda_j P_j$ . Defina $A = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j P_j$ e $B = \sum_{\lambda_j<0}(-\lambda_j)P_j$ . Então A e B são positivos, $T = A-B$ , $\sqrt{T^*T} = A+B$ (pois $|\lambda_j|P_j$ ), e $AB=BA=0$ (projetores em autoespaços diferentes são ortogonais). (Resp: A)
Ex. 118.33Proof
Seja $T$ operador positivo em $V$ . Prove que $\text{null}(\sqrt{T}) = \text{null}\,T$ e $\text{range}(\sqrt{T}) = \text{range}\,T$ .
Select the correct option
Para T positivo: null(√T) = null T e range(√T) = range TPara T positivo: null(√T) é sempre trivialPara T positivo: range(√T) pode ser estritamente menor que range TA igualdade null(√T) = null T vale somente quando T é invertível
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 16
Show solution
Pelo teorema espectral: $T = \sum_j \lambda_j P_j$ e $\sqrt{T} = \sum_j \sqrt{\lambda_j} P_j$ . Então $\text{null}(\sqrt{T}) = \bigoplus_{\lambda_j=0}\text{range}(P_j) = \text{null}(T)$ . Similarmente para o range. (Resp: A)
Ex. 118.34ChallengeAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ operador positivo. Prove que existe polinômio $p$ com coeficientes reais tal que $\sqrt{T} = p(T)$ .
Select the correct option
Para T positivo: existe polinômio p com coeficientes reais tal que √T = p(T)Para T positivo: √T nunca pode ser expressa como polinômio em TPara T positivo: √T = p(T) para algum polinômio p somente quando T é invertívelPara T positivo: √T = p(T) implica que T tem no máximo um autovalor
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 17
Show solution
T positivo tem autovalores reais não-negativos $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ (distintos). Pelo teorema de interpolação de Lagrange, existe polinômio real p com $p(\lambda_j) = \sqrt{\lambda_j}$ para todo j. Então $p(T) = \sum_j p(\lambda_j) P_j = \sum_j \sqrt{\lambda_j} P_j = \sqrt{T}$ . (Resp: A)
Ex. 118.35Proof
Sejam $S$ e $T$ operadores positivos em $V$ . Prove que $ST$ é operador positivo se e somente se $S$ e $T$ comutam.
Select the correct option
Para S, T positivos: ST é positivo se e somente se S e T comutamPara S, T positivos: ST é sempre positivoPara S, T positivos: ST é positivo somente quando S = TPara S, T positivos: ST não pode ser positivo pois pode ser não-auto-adjunto
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 18
Show solution
( $\Leftarrow$ ) Se ST=TS: $(ST)^* = T^*S^* = TS = ST$ (auto-adjunto). $\langle STv,v\rangle = \langle T^{1/2}ST^{1/2}(T^{-1/2}v), T^{1/2}v\rangle$ — use que $T^{1/2}ST^{1/2}$ é positivo (ex.26) e argumento de congruência. ( $\Rightarrow$ ) Se ST é positivo, então ST é auto-adjunto: $ST = (ST)^* = TS$ . (Resp: A)
Ex. 118.36Application
Mostre que o operador identidade em $\mathbb{F}^2$ tem infinitas raízes quadradas auto-adjuntas.
Select the correct option
O operador identidade em F² tem infinitas raízes quadradas auto-adjuntasO operador identidade em F² tem exatamente duas raízes quadradas auto-adjuntas: I e −IO operador identidade em F² tem exatamente uma raiz quadrada auto-adjunta positiva: IO operador identidade em F² não tem raízes quadradas auto-adjuntas em F=R
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Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 19
Show solution
Uma raiz quadrada auto-adjunta de I satisfaz $A^2 = I$ e $A^* = A$ . Toda matriz da forma $A = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}$ satisfaz $A^2 = I$ e $A=A^*$ para qualquer $\theta$ . São infinitas. (Resp: A)
Ex. 118.37ProofAnswer key
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ e $e_1, \ldots, e_n$ base ortonormal de $V$ . Prove que $T$ é operador positivo se e somente se existem $v_1, \ldots, v_n \in V$ com $\langle Te_k, e_j\rangle = \langle v_k, v_j\rangle$ para todos $j, k$ .
Select the correct option
T é positivo sse existem v₁,...,vn ∈ V com ⟨Teₖ,eⱼ⟩ = ⟨vₖ,vⱼ⟩ para toda base ortonormal eₖ e todos j,kT é positivo sse existe alguma base ortonormal eₖ com ⟨Teₖ,eⱼ⟩ = ⟨vₖ,vⱼ⟩T é positivo sse a matriz de T é uma matriz de Gram para todo produto internoA condição ⟨Teₖ,eⱼ⟩ = ⟨vₖ,vⱼ⟩ implica T = I
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 20
Show solution
( $\Rightarrow$ ) T positivo: $T = \sqrt{T}\sqrt{T}$ , tome $v_k = \sqrt{T}e_k$ . Então $\langle Te_k,e_j\rangle = \langle \sqrt{T}e_k,\sqrt{T}e_j\rangle = \langle v_k,v_j\rangle$ . ( $\Leftarrow$ ) A matriz de Gram $[\langle v_k,v_j\rangle]$ é sempre PSD, portanto T é PSD e auto-adjunto, logo positivo. (Resp: A)
Ex. 118.38Challenge
Seja a matriz de Hilbert $n \times n$ com entrada na linha $j$ , coluna $k$ igual a $\frac{1}{j+k-1}$ . Prove que o operador em $\mathbb{F}^n$ associado a essa matriz é positivo e invertível.
Select the correct option
A matriz de Hilbert n×n (entrada (j,k) = 1/(j+k−1)) define operador positivo invertívelA matriz de Hilbert n×n define operador positivo mas singularA matriz de Hilbert n×n não é auto-adjuntaA matriz de Hilbert n×n tem autovalores negativos para n grande
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 21
Show solution
A matriz de Hilbert é simétrica. Entrada $(j,k)$ : $H_{jk} = \int_0^1 x^{j-1}x^{k-1}\,dx = \langle x^{j-1},x^{k-1}\rangle$ no produto interno de $L^2[0,1]$ . É portanto uma matriz de Gram de vetores linearmente independentes $1, x, \ldots, x^{n-1}$ . Toda matriz de Gram de vetores LI é positiva invertível. (Resp: A)
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $H_{jk} = \frac{1}{j+k-1} = \int_0^1 x^{j+k-2}\,dx = \int_0^1 x^{j-1}x^{k-1}\,dx$ .
2. Com produto interno $\langle f,g\rangle = \int_0^1 fg\,dx$ : $H_{jk} = \langle e_j, e_k\rangle$ onde $e_j = x^{j-1}$ .
3. H é a matriz de Gram de $1, x, \ldots, x^{n-1}$ em $L^2[0,1]$ .
4. Estes polinômios são linearmente independentes, portanto a matriz de Gram é positiva definitiva.
Ex. 118.39Application
Seja $T \in \mathcal{L}(V)$ operador positivo e $u \in V$ com $\|u\| = 1$ e $\|Tu\| \geq \|Tv\|$ para todo $v \in V$ com $\|v\| = 1$ . Mostre que $u$ é autovetor de $T$ correspondente ao maior autovalor de $T$ .
Select the correct option
Se T positivo, ‖u‖=1 e ‖Tu‖ ≥ ‖Tv‖ para todo v unitário, então u é autovetor de T com o maior autovalorSe T positivo maximiza ‖Tu‖, então u é autovetor de T com o menor autovaloru que maximiza ‖Tu‖ sobre a esfera pode não ser autovetor de TTodo vetor unitário é autovetor do maior autovalor quando T é positivo
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 22
Show solution
T positivo: valores singulares de T = autovalores $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n \geq 0$ . $\|Tu\| = s_1 = \lambda_1$ (máximo atingido) implica $u$ é autovetor do maior valor singular = maior autovalor $\lambda_1$ . (Resp: A)
Ex. 118.40ChallengeAnswer key
Para $T \in \mathcal{L}(V)$ e $u, v \in V$ , defina $\langle u,v\rangle_T = \langle Tu,v\rangle$ . (a) Prove que $\langle \cdot,\cdot\rangle_T$ é produto interno sse $T$ é operador positivo invertível. (b) Prove que todo produto interno em $V$ é da forma $\langle\cdot,\cdot\rangle_T$ para algum operador positivo invertível $T$ .
Select the correct option
⟨u,v⟩_T = ⟨Tu,v⟩ é produto interno em V sse T é operador positivo invertível; todo produto interno em V é desta forma⟨u,v⟩_T é produto interno sse T é qualquer operador positivo (incluindo singular)⟨u,v⟩_T é produto interno sse T é auto-adjunto mas não necessariamente positivoNem todo produto interno em V é da forma ⟨Tu,v⟩ para T ∈ L(V)
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 23
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(a) Para produto interno: simetria ( $T$ auto-adjunto), positividade ( $T$ positivo) e definida positiva ( $T$ invertível). (b) Dado produto interno $B(\cdot,\cdot)$ em V, pelo teorema de representação de Riesz existe $T$ auto-adjunto com $B(u,v) = \langle Tu,v\rangle$ ; T é positivo invertível pois B é produto interno. (Resp: A)
Ex. 118.41Proof
Sejam $S$ e $T$ operadores positivos em $V$ . Prove que $\text{null}(S + T) = \text{null}\,S \cap \text{null}\,T$ .
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Para S, T positivos: null(S + T) = null S ∩ null TPara S, T positivos: null(S + T) = null S ∪ null TPara S, T positivos: null(S + T) pode ser estritamente maior que null S ∩ null TPara S, T positivos: null(S + T) é sempre trivial
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 24
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( $\supset$ ) Se $v \in \text{null}\,S \cap \text{null}\,T$ : $(S+T)v = Sv + Tv = 0$ . ( $\subset$ ) Se $(S+T)v=0$ : $\langle (S+T)v,v\rangle = \langle Sv,v\rangle + \langle Tv,v\rangle = 0$ . Como $\langle Sv,v\rangle \geq 0$ e $\langle Tv,v\rangle \geq 0$ , ambos devem ser zero, logo $Sv = Tv = 0$ . (Resp: A)
Ex. 118.42Challenge
O operador segunda derivada $T = D^2$ do Exercício 31(b) da Seção 7A (em funções com condições de contorno adequadas) satisfaz que $-T$ é operador positivo. Mostre isso via integração por partes.
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O operador −D² (menos a segunda derivada) em C²([0,1]) com condições de contorno adequadas é positivoO operador segunda derivada D² é positivo pois f''(x) ≥ 0 para funções convexasO operador −D² não é auto-adjunto, portanto não pode ser positivoO operador −D² tem autovalores negativos para funções convexas
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Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §7C · ex. 25
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Via integração por partes com condições de contorno que fazem os termos de borda zero (ex: $f(0)=f(1)=0$ ): $\langle -D^2f, f\rangle = -\int_0^1 f''f\,dx = \int_0^1 (f')^2\,dx \geq 0$ . Autovalores de $-D^2$ são $k^2\pi^2 > 0$ . (Resp: A)

Fontes

Understanding Linear Algebra — David Austin · Grand Valley State University · CC-BY-SA · Capítulo 7: PCA via SVD, variância explicada, scree plot, aplicações.
Introduction to Applied Linear Algebra (VMLS) — Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe · Stanford University · CC-BY-NC-ND · Cap. 10: teoria rigorosa de PCA, otimalidade, conexão SVD, aplicações ML.
OpenIntro Statistics — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA · §8.3: perspectiva estatística, variância explicada, interpretação de componentes, exercícios de dados reais.