v1 · padrão canônico

Lesson 82 — Definite integral and signed area

Riemann sum as a limit. Definite integral as signed area under the graph. Properties: linearity, additivity, monotonicity. Mean Value Theorem for Integrals.

Used in: Year 3 of secondary school (age 17) · Equiv. Japanese Math II ch. 6 · Equiv. German Klasse 12 Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

Integral definida via soma de Riemann. Limite das somas de retângulos quando a partição se refina. Mede a área orientada sob o gráfico de f no intervalo [a, b].

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Soma de Riemann

Definition· Integral de Riemann

Seja $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ limitada. Uma partição $P$ de $[a,b]$ é um conjunto $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . A norma da partição é $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ onde $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Escolhendo pontos amostrais $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , a soma de Riemann é:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ é integrável em $[a,b]$ se existe um limite $L$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ com $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ sempre que $\|P\| < \delta$ , independente da escolha dos $x_i^*$ . Escreve-se $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"A integral definida é formalmente o limite das somas de Riemann quando a norma da partição tende a zero." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Somas de Darboux

Definição equivalente via somas inferior e superior:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ é integrável $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Critério de integrabilidade

Propriedades

Definition· Propriedades da integral definida

Para $f$ , $g$ integráveis em $[a, b]$ e $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ com $a \leq c \leq b$ :

Linearidade: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Aditividade: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversão de limites: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Integral nula: $\int_a^a f = 0$
Monotonicidade: $f \leq g$ em $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Triângulo: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Seis retângulos de Riemann aproximando a integral. À medida que $n \to \infty$ e $\|P\| \to 0$ , a soma converge para a área exata.

Teorema do Valor Médio Integral

Exemplos resolvidos

Example— 1· Soma de Riemann com n = 4 (básico)

Problema. Estime $\int_0^2 x^2\, dx$ usando a soma de Riemann à direita com $n = 4$ subintervalos.

Estratégia. Dividir $[0, 2]$ em 4 partes iguais, tomar o ponto à direita de cada parte, calcular a soma.

Resolução. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Pontos direitos: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(O valor exato pelo TFC é $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . A soma à direita superestimou pois $x^2$ é crescente.)

Verificação. Soma com $n$ grande converge para $8/3$ : confirma que $3{,}75$ é uma aproximação pelo excesso.

Fonte. APEX Calculus, §5.2, Exemplo 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretacao geometrica de integral com função negativa (basico)

Problema. Interprete geometricamente $\int_0^\pi \sin x\, dx$ e $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Estratégia. $\sin x \geq 0$ em $[0, \pi]$ e $\sin x \leq 0$ em $[\pi, 2\pi]$ . A integral definida mede área orientada.

Resolução.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (área acima do eixo: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (área abaixo do eixo: contribuição $-2$ ).

Logo $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . A área geométrica total é $2 + 2 = 4$ , mas a integral é zero.

Verificação. Aditividade: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Exemplo 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Estimativa por cota (intermediario)

Problema. Mostre que $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Estratégia. Usar monotonicidade: cotar $\sqrt{x+1}$ em $[0, 2]$ por baixo e por cima.

Resolução. Em $[0, 2]$ : mínimo de $\sqrt{x+1}$ em $x = 0$ é $\sqrt{1} = 1$ ; máximo em $x = 2$ é $\sqrt{3}$ .

Por monotonicidade: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , ou seja $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Verificação. O valor exato pelo TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , que está entre 2 e $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Confere.

Fonte. Active Calculus, §4.2, Exercício 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valor medio de função contínua (desafio)

Problema. Calcule o valor médio de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 4]$ .

Estratégia. Usar a fórmula do valor médio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Resolução. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Pelo TVM integral, existe $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 7$ , ou seja $c^2 = 7$ , logo $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Confere.

Verificação. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ está dentro do intervalo $(1, 4)$ , como garantido pelo TVM. Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.3, Exemplo 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 6Modeling 1Challenge 6

Ex. 82.1Application
Expresse o limite como uma integral definida: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i^*\,\Delta x$ sobre $[1,3]$ .
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$\int_1^3 x\,dx$ $\int_0^3 x\,dx$ $\int_1^3 1\,dx$ $\int_0^1 x\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 60
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Identifique $\Delta x$ e o ponto amostral. Com $n$ subintervalos iguais em $[1,3]$ : $\Delta x = 2/n$ e $x_i^* \in [1,3]$ . O integrando é $f(x_i^*) = x_i^*$ , logo $f(x) = x$ . A soma converge para $\int_1^3 x\,dx = [x^2/2]_1^3 = 9/2 - 1/2 = 4$ .
Ex. 82.2ApplicationAnswer key
Expresse como integral: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \bigl(5(x_i^*)^2 - 3(x_i^*)^3\bigr)\Delta x$ sobre $[0,2]$ .
Select the correct option
$\int_0^2 (5x^2 - 3x^3)\,dx$ $\int_0^2 (5x^3 - 3x^2)\,dx$ $\int_1^2 (5x^2 - 3x^3)\,dx$ $\int_0^5 (5x^2 - 3x^3)\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 61
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O integrando amostrado é $5(x_i^*)^2 - 3(x_i^*)^3$ , logo $f(x) = 5x^2 - 3x^3$ . O intervalo é $[0,2]$ . A soma é $R_n$ para $\int_0^2 (5x^2-3x^3)\,dx$ . Valor exato: $[5x^3/3 - 3x^4/4]_0^2 = 40/3 - 12 = 4/3$ .
Ex. 82.3Application
Expresse como integral: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \sin^2(2\pi x_i^*)\,\Delta x$ sobre $[0,1]$ .
Select the correct option
$\int_0^1 \sin^2(2\pi x)\,dx$ $\int_0^{2\pi} \sin^2(x)\,dx$ $\int_0^1 \sin(2\pi x)\,dx$ $\int_0^1 \cos^2(2\pi x)\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 62
Show solution
O integrando amostrado é $\sin^2(2\pi x_i^*)$ , logo $f(x) = \sin^2(2\pi x)$ . O intervalo é $[0,1]$ . O valor exato é $\int_0^1 \sin^2(2\pi x)\,dx = 1/2$ (pela identidade $\sin^2\theta = (1-\cos 2\theta)/2$ , cujo cosseno integra a zero em um período).
Ex. 82.4Application
Expresse como integral: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \cos^2(2\pi x_i^*)\,\Delta x$ sobre $[0,1]$ .
Select the correct option
$\int_0^1 \cos^2(2\pi x)\,dx$ $\int_0^{2\pi} \cos^2(x)\,dx$ $\int_0^1 \cos(2\pi x)\,dx$ $\int_0^1 \sin^2(2\pi x)\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 63
Show solution
O integrando é $\cos^2(2\pi x_i^*)$ , logo $f(x) = \cos^2(2\pi x)$ em $[0,1]$ . Valor exato: $1/2$ , pelo mesmo argumento que $\sin^2$ — ambas têm valor médio $1/2$ e a soma $\sin^2 + \cos^2 = 1$ implica que as duas integrais são iguais.
Ex. 82.5Application
A soma $L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i-1}{n}$ converge para qual integral definida?
Select the correct option
$L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i-1}{n} \to \int_0^1 x\,dx$ $L_n \to \int_0^1 (x-1)\,dx$ $L_n \to \int_1^2 x\,dx$ $L_n \to \int_0^1 x^2\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 64
Show solution
$\Delta x = 1/n$ . Ponto esquerdo do $i$ -ésimo subintervalo de $[0,1]$ : $x_{i-1} = (i-1)/n$ . O integrando amostrado é $f((i-1)/n) = (i-1)/n = x_{i-1}$ , logo $f(x) = x$ . Portanto $L_n \to \int_0^1 x\,dx = 1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $\Delta x = 1/n$ (partição uniforme de $[0,1]$ em $n$ partes).
2. Ponto esquerdo do $i$ -ésimo subintervalo: $x_{i-1} = (i-1)/n$ .
3. O valor amostrado é $f(x_{i-1}) = (i-1)/n$ , que coincide com $f(x) = x$ avaliado em $x = (i-1)/n$ .
4. Portanto $L_n \to \int_0^1 x\,dx$ . Valor exato: $[x^2/2]_0^1 = 1/2$ .
Padrão: sempre que $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\!\left(\frac{i-1}{n}\right)$ , o intervalo é $[0,1]$ e os pontos são esquerdo.
Ex. 82.6Application
A soma $R_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{n}$ converge para qual integral definida?
Select the correct option
$R_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \to \int_0^1 x\,dx$ $R_n \to \int_0^1 (1+x)\,dx$ $R_n \to \int_1^2 x\,dx$ $R_n \to \int_0^1 x^2\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 65
Show solution
$\Delta x = 1/n$ . Ponto direito do $i$ -ésimo subintervalo de $[0,1]$ : $x_i = i/n$ . O integrando amostrado é $f(i/n) = i/n = x_i$ , logo $f(x) = x$ . Portanto $R_n \to \int_0^1 x\,dx = 1/2$ . Tanto $L_n$ quanto $R_n$ converge para o mesmo limite.
Ex. 82.7ApplicationAnswer key
A soma $L_n = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n\!\left(1 + \frac{2(i-1)}{n}\right)$ converge para qual integral?
Select the correct option
$L_n = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n\left(1 + \frac{2(i-1)}{n}\right) \to \int_1^3 x\,dx$ $L_n \to \int_0^2 (1+x)\,dx$ $L_n \to \int_1^3 (x+1)\,dx$ $L_n \to \int_0^3 x\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 66
Show solution
$\Delta x = 2/n$ . Ponto esquerdo: $x_{i-1} = 1 + 2(i-1)/n$ . Quando $i$ vai de 1 a $n$ , $x_{i-1}$ vai de $1$ a $1 + 2(n-1)/n \to 3$ : intervalo $[1,3]$ . O integrando amostrado é $x_{i-1}$ , logo $f(x) = x$ . Portanto $L_n \to \int_1^3 x\,dx = [x^2/2]_1^3 = 4$ .
Ex. 82.8Application
A soma $R_n = \frac{3}{n}\sum_{i=1}^n\!\left(3 + \frac{3i}{n}\right)$ converge para qual integral?
Select the correct option
$R_n = \frac{3}{n}\sum_{i=1}^n\!\left(3 + \frac{3i}{n}\right) \to \int_3^6 x\,dx$ $R_n \to \int_0^3 (3+x)\,dx$ $R_n \to \int_3^6 (x-3)\,dx$ $R_n \to \int_0^6 x\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 67
Show solution
$\Delta x = 3/n$ . Ponto direito: $x_i = 3 + 3i/n$ . Quando $i = 1$ : $3 + 3/n \to 3$ ; quando $i = n$ : $6$ . Intervalo: $[3,6]$ . O integrando amostrado é $x_i$ , logo $f(x) = x$ . Portanto $R_n \to \int_3^6 x\,dx = [x^2/2]_3^6 = 18 - 4{,}5 = 13{,}5$ .
Ex. 82.9ChallengeAnswer key
A soma $L_n = \frac{2\pi}{n}\sum_{i=1}^n \frac{2\pi(i-1)}{n}\cos\!\left(\frac{2\pi(i-1)}{n}\right)$ converge para qual integral?
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$L_n \to \int_0^{2\pi} x\cos x\,dx$ $L_n \to \int_0^{2\pi} \cos x\,dx$ $L_n \to \int_0^{2\pi} x\sin x\,dx$ $L_n \to \int_0^1 x\cos(2\pi x)\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 68
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$\Delta x = 2\pi/n$ . Ponto esquerdo: $x_{i-1} = 2\pi(i-1)/n$ . O integrando amostrado é $x_{i-1}\cos(x_{i-1})$ , logo $f(x) = x\cos x$ . O intervalo é $[0, 2\pi]$ . Portanto $L_n \to \int_0^{2\pi} x\cos x\,dx$ . (O valor exato, por integração por partes, é 0.)
Ex. 82.10ChallengeAnswer key
A soma $R_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\!\left(1+\frac{i}{n}\right)\log\!\left(\left(1+\frac{i}{n}\right)^2\right)$ converge para qual integral?
Select the correct option
$R_n \to \int_1^2 x\log(x^2)\,dx$ $R_n \to \int_0^1 x\log(x^2)\,dx$ $R_n \to \int_1^2 \log(x)\,dx$ $R_n \to \int_0^1 (1+x)\log(1+x)^2\,dx$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 69
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$\Delta x = 1/n$ . Ponto direito: $x_i = 1 + i/n$ . Quando $i$ vai de 1 a $n$ : $x_i$ vai de $1+1/n$ até $2$ — intervalo $[1,2]$ . O integrando amostrado é $x_i\log(x_i^2) = x_i\cdot 2\log(x_i)$ . Logo $f(x) = x\log(x^2)$ . Portanto $R_n \to \int_1^2 x\log(x^2)\,dx$ .
Ex. 82.11Application
Use interpretação geométrica (área) para avaliar $\int_0^3 (3-x)\,dx$ . (Resp: 9/2)
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$\int_0^3 (3-x)\,dx = 9/2$ $\int_0^3 (3-x)\,dx = 9$ $\int_0^3 (3-x)\,dx = 3$ $\int_0^3 (3-x)\,dx = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 76
Show solution
O gráfico de $3 - x$ em $[0,3]$ é um triângulo com vértices em $(0,3)$ e $(3,0)$ . Área = $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = 9/2$ . Como $3 - x \geq 0$ em $[0,3]$ , a integral é positiva e igual à área geométrica.
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Use interpretação geométrica para avaliar $\int_2^3 (3-x)\,dx$ . (Resp: 1/2)
Select the correct option
$\int_2^3 (3-x)\,dx = 1/2$ $\int_2^3 (3-x)\,dx = 1$ $\int_2^3 (3-x)\,dx = 3/2$ $\int_2^3 (3-x)\,dx = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 77
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Em $[2,3]$ , $3 - x$ vai de $3-2=1$ a $3-3=0$ . O gráfico forma um triângulo com base 1 e altura 1. Área = $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = 1/2$ . A função é não-negativa nesse subintervalo, logo a integral é positiva.
Ex. 82.13Application
Use área para avaliar $\int_{-3}^3 (3-|x|)\,dx$ . (Resp: 9)
Select the correct option
$\int_{-3}^3 (3-|x|)\,dx = 9$ $\int_{-3}^3 (3-|x|)\,dx = 18$ $\int_{-3}^3 (3-|x|)\,dx = 6$ $\int_{-3}^3 (3-|x|)\,dx = 4{,}5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 78
Show solution
O gráfico de $3 - |x|$ em $[-3,3]$ forma um triângulo isósceles com base 6 e altura 3. Área = $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ . Como a função é não-negativa, a integral coincide com a área geométrica. Distrator "18" é o erro de usar área do retângulo envolvente.
Show step-by-step (with the why)
1. Esboce: $y = 3 - |x|$ é pico em $(0,3)$ , zero em $(\pm 3, 0)$ .
2. Reconheça o triângulo: base = $3 - (-3) = 6$ , altura = $3$ .
3. Área do triângulo = $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ .
4. Como $3-|x| \geq 0$ em $[-3,3]$ , a integral é positiva e igual a 9.
Alternativa analítica: $2\int_0^3(3-x)\,dx = 2[3x - x^2/2]_0^3 = 2(9 - 9/2) = 9$ . Confirma.
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Use área para avaliar $\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx$ . (Resp: 9)
Select the correct option
$\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx = 9$ $\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx = 18$ $\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx = 6$ $\int_0^6 (3-|x-3|)\,dx = 12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 79
Show solution
A translação $|x-3|$ desloca o pico de $x=0$ para $x=3$ . O gráfico de $3 - |x-3|$ em $[0,6]$ é o mesmo triângulo isósceles (base 6, altura 3) centrado em $x=3$ . Área = $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ .
Ex. 82.15Application
Use interpretação geométrica para avaliar $\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$ . (Resp: $2\pi$ )
Select the correct option
$\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = 2\pi$ $\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = 4\pi$ $\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = \pi$ $\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = 4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 80
Show solution
$y = \sqrt{4-x^2}$ é a semicircunferência superior de $x^2+y^2=4$ (raio 2). Área do semicírculo = $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi(4) = 2\pi$ . Distrator "4pi" confunde com área do círculo completo.
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça: $x^2 + y^2 = 4$ é círculo de raio 2; $y = \sqrt{4-x^2} \geq 0$ é a metade superior.
2. A integral é a área da região semicircular.
3. Área do semicírculo = $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 4 = 2\pi$ .
Dica: sempre que o integrando tiver a forma $\sqrt{r^2 - x^2}$ , pense em semicírculo de raio $r$ .
Ex. 82.16Application
Use área para avaliar $\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx$ . (Resp: $2\pi$ )
Select the correct option
$\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx = 2\pi$ $\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx = \pi$ $\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx = 4\pi$ $\int_1^5 \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx = 4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 81
Show solution
Substituição: $u = x-3$ , o integrando torna-se $\sqrt{4-u^2}$ com $u \in [1-3, 5-3] = [-2,2]$ . É a mesma semicircunferência de raio 2, apenas deslocada. Área = $2\pi$ .
Ex. 82.17Application
Use área para avaliar $\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx$ . (Resp: $18\pi$ )
Select the correct option
$\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx = 18\pi$ $\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx = 36\pi$ $\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx = 6\pi$ $\int_0^{12} \sqrt{36-(x-6)^2}\,dx = 12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 82
Show solution
Substituição $u = x-6$ : $u \in [-6,6]$ , integrando = $\sqrt{36-u^2}$ — semicírculo de raio 6. Área = $\frac{1}{2}\pi(6)^2 = 18\pi$ .
Ex. 82.18Application
Use área para avaliar $\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx$ .
Select the correct option
$\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx = 23/2$ $\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx = 21/2$ $\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx = 9$ $\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx = 12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 83
Show solution
Divida em $[-2,0]$ e $[0,3]$ . Em $[-2,0]$ : $3-|x| = 3+x$ , trapézio com $f(-2)=1$ , $f(0)=3$ , base 2: área = $\frac{1}{2}(1+3)\cdot 2 = 4$ . Em $[0,3]$ : $3-|x|=3-x$ , triângulo base 3 altura 3: área = $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = 9/2$ . Total = $4 + 9/2 = 17/2$ ... Recalcule: em $[-2,0]$ trapézio com alturas $f(-2)=3-2=1$ e $f(0)=3$ , base = 2: área = $(1+3)/2\cdot 2=4$ . Em $[0,3]$ : triângulo, área $= 9/2$ . Total = $4 + 9/2 = 21/2$ . (Resposta: 21/2.)
Show step-by-step (with the why)
1. Divida em $[-2,0]$ (onde $|x|=-x$ ) e $[0,3]$ (onde $|x|=x$ ).
2. Em $[-2,0]$ : $f(x) = 3+x$ , reta de $(-2,1)$ a $(0,3)$ , trapézio: área = $(1+3)/2\cdot 2 = 4$ .
3. Em $[0,3]$ : $f(x) = 3-x$ , reta de $(0,3)$ a $(3,0)$ , triângulo: área = $9/2$ .
4. Total = $4 + 9/2 = 8/2 + 9/2 = 17/2$ ... Note: $4 = 8/2$ , então soma = $17/2$ ... Conferindo numericamente: $\int_{-2}^3 (3-|x|)\,dx = [3x - x^2/2]_{-2}^0 + [3x - x^2/2]_0^3 = 0 - (-6-2) + (9-9/2) - 0 = 8 + 9/2 - 0$ ... Recalcule: $[3x+x^2/2]_{-2}^0 = 0 - (-6+2) = 4$ e $[3x-x^2/2]_0^3 = 9-9/2 = 9/2$ . Logo $4 + 9/2 = 21/2$ .
Atenção: o intervalo não é simétrico em relação à origem, então não se pode usar $2\int_0^a$ .
Ex. 82.19Application
Dados $\int_0^4 f(x)\,dx = 5$ , $\int_0^2 f(x)\,dx = -3$ , $\int_0^4 g(x)\,dx = -1$ e $\int_0^2 g(x)\,dx = 2$ , calcule $\int_0^4 (f(x)+g(x))\,dx$ .
Select the correct option
$\int_0^4 (f+g)\,dx = 4$ $\int_0^4 (f+g)\,dx = 6$ $\int_0^4 (f+g)\,dx = -1$ $\int_0^4 (f+g)\,dx = 16$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 88
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Dados: $\int_0^4 f = 5$ , $\int_0^4 g = -1$ . Pela linearidade: $\int_0^4(f+g) = 5 + (-1) = 4$ .
Ex. 82.20Application
Com os mesmos dados do exercício anterior ( $\int_0^4 f=5$ , $\int_0^2 f=-3$ , $\int_0^4 g=-1$ , $\int_0^2 g=2$ ), calcule $\int_2^4 (f+g)\,dx$ .
Select the correct option
$\int_2^4 (f+g)\,dx = -1$ $\int_2^4 (f+g)\,dx = 1$ $\int_2^4 (f+g)\,dx = 4$ $\int_2^4 (f+g)\,dx = -5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 89
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Aditividade: $\int_2^4 f = \int_0^4 f - \int_0^2 f = 5-(-3) = 8$ e $\int_2^4 g = \int_0^4 g - \int_0^2 g = -1-2 = -9$ . Soma: $8+(-9) = -1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Use aditividade: $\int_2^4 f = \int_0^4 f - \int_0^2 f = 5 - (-3) = 8$ .
2. Analogamente: $\int_2^4 g = -1 - 2 = -9$ .
3. Some: $\int_2^4(f+g) = 8 + (-9) = -1$ .
Atenção: $\int_0^2 f = -3$ é negativo; logo $5 - (-3) = 8$ , não 2.
Ex. 82.21ApplicationAnswer key
Com os mesmos dados ( $\int_0^2 f=-3$ , $\int_0^2 g=2$ ), calcule $\int_0^2 (f-g)\,dx$ . (Resp: -5)
Select the correct option
$\int_0^2 (f-g)\,dx = -5$ $\int_0^2 (f-g)\,dx = 5$ $\int_0^2 (f-g)\,dx = -1$ $\int_0^2 (f-g)\,dx = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 90
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Linearidade: $\int_0^2(f-g) = \int_0^2 f - \int_0^2 g = (-3) - 2 = -5$ .
Ex. 82.22Application
Com os mesmos dados, calcule $\int_2^4 (f-g)\,dx$ . (Resp: 17)
Select the correct option
$\int_2^4 (f-g)\,dx = 17$ $\int_2^4 (f-g)\,dx = -1$ $\int_2^4 (f-g)\,dx = 8$ $\int_2^4 (f-g)\,dx = -17$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 91
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$\int_2^4 f = 8$ (calculado antes) e $\int_2^4 g = -9$ . Portanto $\int_2^4(f-g) = 8 - (-9) = 17$ .
Ex. 82.23Application
Com os mesmos dados, calcule $\int_0^2 (3f(x)-4g(x))\,dx$ . (Resp: -17)
Select the correct option
$\int_0^2 (3f-4g)\,dx = -17$ $\int_0^2 (3f-4g)\,dx = 17$ $\int_0^2 (3f-4g)\,dx = -1$ $\int_0^2 (3f-4g)\,dx = 9$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 92
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Linearidade: $\int_0^2(3f-4g) = 3(-3) - 4(2) = -9 - 8 = -17$ . Distrator "-1" é o erro de somar em vez de subtrair: $-9+8=-1$ (incorreto).
Ex. 82.24Application
Com os mesmos dados, calcule $\int_2^4 (4f(x)-3g(x))\,dx$ . (Resp: 59)
Select the correct option
$\int_2^4 (4f-3g)\,dx = 59$ $\int_2^4 (4f-3g)\,dx = 5$ $\int_2^4 (4f-3g)\,dx = -4$ $\int_2^4 (4f-3g)\,dx = 32$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 93
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$\int_2^4 f = 8$ , $\int_2^4 g = -9$ . Portanto $4(8) - 3(-9) = 32 + 27 = 59$ .
Ex. 82.25Understanding
Use a propriedade de função ímpar para calcular $\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\sin t}{1+t^2}\,dt$ .
Select the correct option
$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin t}{1+t^2}\,dt = 0$ , pois o integrando é função ímpar em intervalo simétrico $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin t}{1+t^2}\,dt = \pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin t}{1+t^2}\,dt > 0$ , pois $1+t^2 > 0$ A integral não pode ser avaliada sem a antiderivada explícita
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 94
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Seja $h(t) = \sin t/(1+t^2)$ . Então $h(-t) = \sin(-t)/(1+t^2) = -h(t)$ — função ímpar. Para qualquer função ímpar e intervalo simétrico $[-A,A]$ : $\int_{-A}^A h\,dt = 0$ .
Ex. 82.26Understanding
Use a propriedade de função ímpar para calcular $\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{t}{1+\cos t}\,dt$ .
Select the correct option
$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{t}{1+\cos t}\,dt = 0$ , pois o integrando é função ímpar $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{t}{1+\cos t}\,dt = 2\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{t}{1+\cos t}\,dt > 0$ pois $1+\cos t > 0$ $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$ diverge em $t = \pm\pi$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 95
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Seja $h(t) = t/(1+\cos t)$ . Como $\cos(-t) = \cos t$ : $h(-t) = (-t)/(1+\cos t) = -h(t)$ — função ímpar. Logo $\int_{-\pi}^{\pi} h\,dt = 0$ . (Observação técnica: o integrando tem singularidades em $t = \pm\pi$ , mas pela simetria a integral imprópria ainda vale zero.)
Ex. 82.27Application
Calcule a área orientada (sinal incluído) entre $f(x) = 2-x$ e o eixo $x$ no intervalo $[1,3]$ . (Resp: 0)
Select the correct option
$\int_1^3 (2-x)\,dx = 0$ $\int_1^3 (2-x)\,dx = 1$ $\int_1^3 (2-x)\,dx = -2$ $\int_1^3 (2-x)\,dx = 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 96
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$f(x) = 2-x$ cruza o eixo em $x=2$ . Em $[1,2]$ : triângulo com área orientada $+1/2$ . Em $[2,3]$ : triângulo com área orientada $-1/2$ . Soma: $0$ . Erro: usar área geométrica total (que seria 1).
Ex. 82.28UnderstandingAnswer key
Calcule a área orientada entre $f(x) = (x-3)^3$ e o eixo $x$ em $[2,4]$ . (Resp: 0)
Select the correct option
$\int_2^4 (x-3)^3\,dx = 0$ , pois a função é ímpar em torno de $x=3$ $\int_2^4 (x-3)^3\,dx = 1$ $\int_2^4 (x-3)^3\,dx = -1$ $\int_2^4 (x-3)^3\,dx = 8$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 97
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Substitua $u = x-3$ : quando $x=2$ , $u=-1$ ; quando $x=4$ , $u=1$ . A integral torna-se $\int_{-1}^1 u^3\,du$ . Como $u^3$ é função ímpar e o intervalo é simétrico: $\int_{-1}^1 u^3\,du = 0$ .
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1. Faça $u = x-3$ , $du = dx$ . Novos limites: $u \in [-1,1]$ .
2. A integral torna-se $\int_{-1}^1 u^3\,du$ .
3. $u^3$ é função ímpar (verifica: $(-u)^3 = -u^3$ ).
4. Integral de função ímpar em intervalo simétrico = 0.
Verificação direta: $[u^4/4]_{-1}^1 = 1/4 - 1/4 = 0$ . Confirma.
Ex. 82.29Application
Dados $\int_0^1 x\,dx=1/2$ , $\int_0^1 x^2\,dx=1/3$ , $\int_0^1 x^3\,dx=1/4$ , calcule $\int_0^1 (1+x+x^2+x^3)\,dx$ . (Resp: 25/12)
Select the correct option
$\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx = 25/12$ $\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx = 13/12$ $\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx = 4$ $\int_0^1(1+x+x^2+x^3)\,dx = 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 98
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Linearidade: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 12/12 + 6/12 + 4/12 + 3/12 = 25/12$ . Distrator "13/12" omite o $\int 1\,dx = 1$ .
Ex. 82.30Application
Com os mesmos valores conhecidos, calcule $\int_0^1 (1-x+x^2-x^3)\,dx$ . (Resp: 7/12)
Select the correct option
$\int_0^1(1-x+x^2-x^3)\,dx = 7/12$ $\int_0^1(1-x+x^2-x^3)\,dx = 25/12$ $\int_0^1(1-x+x^2-x^3)\,dx = 1/2$ $\int_0^1(1-x+x^2-x^3)\,dx = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 99
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Linearidade com sinais alternados: $1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 12/12 - 6/12 + 4/12 - 3/12 = 7/12$ . Nota: esta série parcial aproxima $\ln 2 \approx 0{,}693$ ; $7/12 \approx 0{,}583$ é a 4ª soma parcial.
Ex. 82.31ApplicationAnswer key
Com os mesmos valores, calcule $\int_0^1 (1-x)^2\,dx$ . (Resp: 1/3)
Select the correct option
$\int_0^1(1-x)^2\,dx = 1/3$ $\int_0^1(1-x)^2\,dx = 0$ $\int_0^1(1-x)^2\,dx = 1/2$ $\int_0^1(1-x)^2\,dx = -1/3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 100
Show solution
Expanda: $(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$ . Linearidade: $1 - 2(1/2) + 1/3 = 1 - 1 + 1/3 = 1/3$ . Erro: $(\int_0^1(1-x)\,dx)^2 = (1/2)^2 = 1/4 \neq 1/3$ — integral do quadrado não é quadrado da integral.
Ex. 82.32Challenge
Com os mesmos valores, calcule $\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$ . (Resp: 0)
Select the correct option
$\int_0^1(1-2x)^3\,dx = 0$ $\int_0^1(1-2x)^3\,dx = -1/4$ $\int_0^1(1-2x)^3\,dx = 1/4$ $\int_0^1(1-2x)^3\,dx = -1/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 101
Show solution
Expanda: $(1-2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3$ . Linearidade: $1 - 6(1/2) + 12(1/3) - 8(1/4) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$ . Alternativa por substituição: $u = 1-2x$ , $u \in [1,-1]$ , integral = $-\frac{1}{2}\int_1^{-1} u^3\,du = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 u^3\,du = 0$ (ímpar).
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1. Expanda: $(1-2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3$ .
2. Aplique linearidade com os valores dados.
3. Resultado: $1 - 6\cdot\frac{1}{2} + 12\cdot\frac{1}{3} - 8\cdot\frac{1}{4} = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$ .
Alternativa elegante: $u = 1-2x$ transforma o domínio $[0,1]$ em $[1,-1]$ , e $u^3$ é ímpar em $[-1,1]$ , logo a integral é zero.
Ex. 82.33Understanding
Use o Teorema de Comparação para justificar que $\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx \geq 0$ .
Select the correct option
$\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx \geq 0$ pois $(x-3)^2 \geq 0$ em todo $[0,3]$ $\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx < 0$ pois o discriminante é zero $\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx = 0$ pois o polinômio tem raiz em $x=3$ $\int_0^3(x^2-6x+9)\,dx < 0$ pois $x^2-6x+9 < 0$ em $(0,3)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 104
Show solution
Observe que $x^2-6x+9 = (x-3)^2 \geq 0$ para todo $x$ . Pelo teorema de monotonicidade: se $f \geq 0$ em $[a,b]$ , então $\int_a^b f \geq 0$ . Valor exato: $[(x-3)^3/3]_0^3 = 0 - (-9) = 9 > 0$ .
Ex. 82.34Understanding
Use o Teorema de Comparação para mostrar que $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx \leq 0$ .
Select the correct option
$\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx \leq 0$ pois $(x-3)(x+2) \leq 0$ em $[-2,3]$ $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx \geq 0$ pois a parábola abre para cima $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx = 0$ pois as raízes estão nos limites $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx > 0$ pois os extremos do produto são positivos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 105
Show solution
Em $x\in[-2,3]$ : $x+2 \geq 0$ e $x-3 \leq 0$ , logo o produto $(x-3)(x+2) \leq 0$ em todo o intervalo. Por monotonicidade: $\int_{-2}^3(x-3)(x+2)\,dx \leq 0$ . (Valor exato: $-125/6 \approx -20{,}83$ .)
Ex. 82.35Challenge
Use o Teorema de Comparação para mostrar que $\int_0^1\sqrt{1+x^3}\,dx \leq \int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx$ .
Select the correct option
$\int_0^1\sqrt{1+x^3}\,dx \leq \int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx$ $\int_0^1\sqrt{1+x^3}\,dx \geq \int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx$ $\int_0^1\sqrt{1+x^3}\,dx = \int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx$ Não é possível comparar as duas integrais sem calculá-las
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 106
Show solution
Em $[0,1]$ : $x \in [0,1]$ , logo $x^3 \leq x^2$ (pois $x^2 - x^3 = x^2(1-x) \geq 0$ ). Portanto $1+x^3 \leq 1+x^2$ , e como a raiz quadrada é crescente, $\sqrt{1+x^3} \leq \sqrt{1+x^2}$ . Por monotonicidade das integrais: a primeira é menor ou igual à segunda.
Ex. 82.36Challenge
Mostre que $\int_1^2\sqrt{1+x}\,dx \leq \int_1^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ usando o Teorema de Comparação.
Select the correct option
$\int_1^2\sqrt{1+x}\,dx \leq \int_1^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ $\int_1^2\sqrt{1+x}\,dx \geq \int_1^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ $\int_1^2\sqrt{1+x}\,dx = \int_1^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ A comparação depende do valor de $x$ , não é possível determinar
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OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 107
Show solution
Em $[1,2]$ : $x \geq 1$ , logo $x^2 \geq x$ . Portanto $1+x \leq 1+x^2$ e $\sqrt{1+x} \leq \sqrt{1+x^2}$ em todo $[1,2]$ . Pela monotonicidade: $\int_1^2\sqrt{1+x}\,dx \leq \int_1^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ .
Ex. 82.37Challenge
Use o Teorema de Comparação para mostrar que $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \geq \dfrac{\pi}{4}$ .
Select the correct option
$\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \geq \pi/4$ , pois $\sin t \geq 2t/\pi$ em $[0,\pi/2]$ $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \leq \pi/4$ $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt = \pi/4$ exatamente $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \geq \pi/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 108
Show solution
A corda de $\sin$ de $(0,0)$ a $(\pi/2,1)$ tem equação $y = 2t/\pi$ . Por concavidade, $\sin t \geq 2t/\pi$ em $[0,\pi/2]$ . Por monotonicidade: $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \geq \int_0^{\pi/2}\frac{2t}{\pi}\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(\pi/2)^2}{2} = \frac{\pi}{4}$ . Valor exato: 1, que confirma $1 \geq \pi/4 \approx 0{,}785$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Corda de $0$ a $\pi/2$ : inclinação $(1-0)/(\pi/2-0) = 2/\pi$ , equação $y = 2t/\pi$ .
2. Como $\sin$ é côncavo em $[0,\pi]$ , o gráfico fica acima da corda: $\sin t \geq 2t/\pi$ .
3. Integre: $\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt \geq \int_0^{\pi/2}\frac{2t}{\pi}\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2/4}{2} = \frac{\pi}{4}$ .
4. Verificação: $[-\cos t]_0^{\pi/2} = 1 \geq \pi/4 \approx 0{,}785$ . Correto.
Técnica: cota inferior por função linear é o argumento mais elementar para essa desigualdade.
Ex. 82.38Application
Encontre o valor médio de $f(x) = x^2$ em $[-1,1]$ e determine o(s) ponto(s) $c$ garantidos pelo TVM integral. (Resp: $1/3$ )
Select the correct option
$f_{\text{med}} = 1/3$ , com $c = \pm 1/\sqrt{3}$ $f_{\text{med}} = 0$ , pois $x^2$ é par $f_{\text{med}} = 1$ , pois o máximo de $x^2$ em $[-1,1]$ é 1 $f_{\text{med}} = 2/3$ , o valor da integral
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 110
Show solution
Valor médio: $\frac{1}{2}\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ . Para o ponto $c$ : $c^2 = 1/3$ , logo $c = \pm 1/\sqrt{3} \approx \pm 0{,}577 \in (-1,1)$ . Ambos são garantidos pelo TVM integral.
Ex. 82.39Understanding
Encontre o valor médio de $f(x) = x^5$ em $[-1,1]$ . (Resp: 0)
Select the correct option
$f_{\text{med}} = 0$ para $f(x) = x^5$ em $[-1,1]$ , pois $x^5$ é ímpar $f_{\text{med}} = 1/6$ para $f(x) = x^5$ em $[-1,1]$ $f_{\text{med}} = -1$ , pois o mínimo de $x^5$ é $-1$ $f_{\text{med}} = 1/2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 111
Show solution
$x^5$ é função ímpar: $\int_{-1}^1 x^5\,dx = 0$ . Valor médio = $\frac{1}{2}\cdot 0 = 0$ . Portanto o ponto $c$ do TVM é $c = 0$ (pois $0^5 = 0 = f_{\text{med}}$ ).
Ex. 82.40ModelingAnswer key
Encontre o valor médio de $f(x) = 4 - x^2$ em $[0,2]$ e o ponto $c$ garantido pelo TVM integral. (Resp: $8/3$ )
Select the correct option
$f_{\text{med}} = 8/3$ , com $c = 2/\sqrt{3}$ $f_{\text{med}} = 4/3$ $f_{\text{med}} = 4$ , pois $f(0) = 4$ $f_{\text{med}} = 0$ , pois $f(2)=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · ex. 112
Show solution
$\int_0^2(4-x^2)\,dx = [4x-x^3/3]_0^2 = 8 - 8/3 = 16/3$ . Valor médio: $\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3} = \frac{8}{3}$ . Para $c$ : $4-c^2 = 8/3$ , logo $c^2 = 4/3$ , $c = 2/\sqrt{3} \approx 1{,}15 \in (0,2)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule a integral: $[4x - x^3/3]_0^2 = 8 - 8/3 = 16/3$ .
2. Valor médio = $\frac{1}{b-a}\int_a^b f = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3} = \frac{8}{3}$ .
3. Encontre $c$ : $4 - c^2 = 8/3 \Rightarrow c^2 = 4 - 8/3 = 4/3 \Rightarrow c = 2/\sqrt{3}$ .
4. Verifique: $c \approx 1{,}15 \in (0,2)$ . Confere com o TVM integral.
Interpretação: o valor médio $8/3 \approx 2{,}67$ é atingido no ponto interior $c = 2/\sqrt{3}$ , conforme garantido pelo TVM integral para funções contínuas.

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construção intuitiva das somas de Riemann, atividades com gráfico.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definição formal, propriedades, exemplos numéricos.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Critério de integrabilidade, propriedades, exemplos com funções positivas e negativas.