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Lesson 86 — Integrals of rational functions (partial fractions)

Decomposition of P(x)/Q(x) as a sum of simple fractions. Simple real roots, multiplicity, and irreducible quadratic. Reduces to elementary integrals in ln or arctan.

Used in: Calculus II (Brazil) · Equiv. Math III Japanese · Equiv. Analysis LK German · AP Calculus BC (USA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

Frações parciais: toda função racional P/Q com grau de P menor que grau de Q decompõe-se em soma de termos simples — um para cada fator real ou quadrático irredutível de Q. Cada termo integra elementarmente: em ln ou arctan.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teorema, procedimento e casos

Teorema de decomposição em frações parciais

Definition· Decomposição em frações parciais sobre ℝ

Sejam $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ com $\deg P < \deg Q$ , e seja

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

a fatoração completa de $Q$ sobre $\mathbb{R}$ (com $p_j^2 - 4q_j < 0$ — fatores quadráticos irredutíveis). Então existe uma decomposição única:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"We can always write the integrand as a sum of simpler rational functions using the method of partial fractions. The idea is to decompose the rational function into a sum of simpler pieces, each of which is easier to integrate." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

Procedimento

Definition· Algoritmo de integração por frações parciais

Verifique o grau: se $\deg P \geq \deg Q$ , faça divisão polinomial primeiro: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ com $\deg R < \deg Q$ .
Fatore $Q(x)$ completamente sobre $\mathbb{R}$ .
Escreva a forma genérica com constantes $A_{i,k}$ , $B_{j,l}$ , $C_{j,l}$ .
Determine as constantes:
- Cover-up (raízes simples): substitua $x = r_i$ diretamente.
- Coeficientes: expanda e iguale grau a grau.
- Derivadas (multiplicidade alta): derive a identidade de numeradores.
Integre cada termo segundo as regras:

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

what this means · Integral de fração com raiz simples — resulta em logaritmo natural.

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

what this means · Integral de fração com raiz repetida de multiplicidade k maior que 1.

Para o quadrático irredutível $(x^2 + px + q)$ com $p^2 - 4q < 0$ : complete o quadrado $(x + p/2)^2 + \beta^2$ e decomponha o numerador $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ . O primeiro termo integra em $\ln$ e o segundo em $\arctan$ .

"If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the rational function is called proper, and partial fractions works directly. If not, perform polynomial division first to reduce to a proper fraction." — APEX Calculus §6.5

Fórmula de Heaviside

Para raízes simples $r_1, \ldots, r_n$ de $Q$ :

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

what this means · Fórmula direta dos resíduos para raízes simples — resultado do cover-up.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Raízes simples — cover-up (básico)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. Fatorar denominador em raízes simples, aplicar cover-up, integrar cada $\ln$ .

Resolução.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Decomposição: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ .

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

Cover-up: $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

Verificação. Derivando o resultado: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Raiz de multiplicidade 2 (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .

Estratégia. Fator com multiplicidade 2: dois termos na decomposição.

Resolução.

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ .

Multiplicando por $(x-2)^2$ : $x + 1 = A(x-2) + B$ .

Em $x = 2$ : $3 = B$ . Coeficiente de $x$ : $1 = A$ . Portanto $A = 1$ , $B = 3$ .

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

Verificação. Derive $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ : $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Quadrático irredutível (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .

Estratégia. Fator linear + fator quadrático irredutível.

Resolução.

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ .

Multiplicando por $(x^2+1)(x-1)$ : $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ .

Em $x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ .

Coeficiente de $x^2$ : $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ .

Coeficiente de $x^0$ : $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ .

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Verificação. Derivando o resultado confirma o integrando (álgebra).

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC.

Example— 4· Grau alto — divisão polinomial primeiro (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ : dividir primeiro.

Resolução.

Divisão: $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ .

Frações parciais de $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ (simplifica diretamente).

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

Verificação. Derivando: $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ . Multiplique por $(x+1)/(x+1)$ : $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Equação logística — frações parciais em EDO (desafio)

Problema. Resolva $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ usando frações parciais (passo-chave na solução da equação logística).

Estratégia. Reescrecer o denominador como produto; cover-up; integrar.

Resolução.

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ .

Decomposição: $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ .

Multiplicando: $K = A(K-N) + BN$ .

$N = 0$ : $K = AK \Rightarrow A = 1$ . $N = K$ : $K = BK \Rightarrow B = 1$ .

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

Igualando a $rt + C_1$ e expoenciando: $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ , donde $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ .

Verificação. Confirme que $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ satisfaz $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ (derivação direta).

Fonte. Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 4Challenge 9Proof 2

Ex. 86.1Application
Decomponha $\dfrac{1}{(x-3)(x-2)}$ em frações parciais e encontre a forma da decomposição.
Select the correct option
$\ln|x-3| - \ln|x-2| + C$ $\ln|(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{(x-2)(x-3)} + C$ $\ln|x-2| - \ln|x-3| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 182
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Decompõe: $\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ . Cover-up: $x=2: 1/(2-3)=-1=A$ ; $x=3: 1/(3-2)=1=B$ . Integral: $-\ln|x-2|+\ln|x-3|+C=\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ . B somou em vez de subtrair. C não integrou. D inverteu os sinais.
Show step-by-step (with the why)
1. Decomponha: $\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ .
2. Cover-up: $x=2: A=-1$ ; $x=3: B=1$ .
3. Integre: $\int\!\left(\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right)dx=\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ .
Ex. 86.2Application
Decomponha $\dfrac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)}$ em frações parciais e calcule a integral correspondente.
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}\ln|x| - 2\ln|x+1| + \dfrac{5}{2}\ln|x+2| + C$ $\ln|x(x+1)(x+2)| + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|x| + \ln|x+1| + C$ $\ln|x+1| - \ln|x+2| + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 183
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Decompõe: $\frac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}$ . Cover-up: $x=0: A=1/2$ ; $x=-1: B=-2$ ; $x=-2: C=5/2$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|x|-2\ln|x+1|+\tfrac{5}{2}\ln|x+2|+C$ . B não decompôs. C perdeu termos. D errou os denominadores.
Ex. 86.3Understanding
Para integrar $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx$ , qual é o primeiro passo necessário?
Select the correct option
Fazer divisão polinomial primeiro para obter uma fração própriaAplicar frações parciais diretamente ao integrandoSubstituir $u = x^2 + 1$ e integrarCompletar o quadrado no numerador
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
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O integrando $3x^2/(x^2+1)$ tem grau do numerador igual ao do denominador. Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . B falha porque frações parciais exigem fração própria. C e D são inapropriados.
Ex. 86.4Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\,dx$ .
Select the correct option
$\dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{4}\ln(x^2+1) - \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ $\ln|x-1| + \arctan x + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|(x-1)(x^2+1)| + C$ $\arctan x + C$
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OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 188
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Decompõe: $\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ . $x=1: A=1/2$ . Coef. $x^2: B=-1/2$ ; coef. $x^0: C=-1/2$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\tfrac{1}{4}\ln(x^2+1)-\tfrac{1}{2}\arctan x+C$ . B perdeu o logaritmo quadrático. C somou. D ignorou o fator linear.
Show step-by-step (with the why)
1. Decompor: $A=1/2,\;B=-1/2,\;C=-1/2$ .
2. $\int(1/2)/(x-1)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln|x-1|$ .
3. $\int(-x/2-1/2)/(x^2+1)\,dx=-\tfrac{1}{4}\ln(x^2+1)-\tfrac{1}{2}\arctan x$ .
Ex. 86.5Challenge
Decomponha $\dfrac{1}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$ em frações parciais e calcule a integral correspondente.
Select the correct option
$-\dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \ln|x-2| + \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\ln|x(x-1)(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{6}\ln|x| - \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 191
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Cover-up para quatro fatores: $x=0: A=-1/6$ ; $x=1: B=1/2$ ; $x=2: C=-1$ ; $x=3: D=1/6$ . Integral: $-\tfrac{1}{6}\ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\ln|x-2|+\tfrac{1}{6}\ln|x-3|+C$ . B não decompôs. C ignorou fatores centrais. D não integrou.
Ex. 86.6Application
Decomponha $\dfrac{1}{x^4-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}$ em frações parciais e calcule a integral.
Select the correct option
$\dfrac{1}{4}\ln|x-1| - \dfrac{1}{4}\ln|x+1| - \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ $\ln|x^4-1| + C$ $\arctan x + \ln|x-1| + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|(x-1)(x+1)| + \arctan x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 192
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Fatoração: $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ . Cover-up: $x=1: A=1/4$ ; $x=-1: B=-1/4$ ; coef. $x^3: A+B+C=0 \Rightarrow C=0$ ; coef. $x^0: -A+B-D=1 \Rightarrow D=-1/2$ . Integral: $\tfrac{1}{4}\ln|x-1|-\tfrac{1}{4}\ln|x+1|-\tfrac{1}{2}\arctan x+C$ . B não decompôs. C errou coeficientes. D somou.
Ex. 86.7ApplicationAnswer key
Decomponha $\dfrac{3x^2}{x^3-1}=\dfrac{3x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}$ em frações parciais.
Select the correct option
$\ln|x-1| + \ln(x^2+x+1) + C$ $3\ln|x^3-1| + C$ $\ln|x-1| + \arctan x + C$ $\ln|x^3-1| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 193
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Fator: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ . Decompõe: $A=1,\;B=2,\;C=-1$ . Integral: $\ln|x-1|+\int(2x-1)/(x^2+x+1)\,dx$ . Note $(x^2+x+1)'=2x+1$ e $2x-1=(2x+1)-2$ ; a parte principal é $\ln(x^2+x+1)$ . Resultado: $\ln|x-1|+\ln(x^2+x+1)+C$ . B não decompôs. C errou. D não distinguiu.
Ex. 86.8Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{(x-3)(x-2)}$ .
Select the correct option
$\ln|x-3| - \ln|x-2| + C$ $\ln|(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{-1}{(x-2)(x-3)} + C$ $\ln|x-2| - \ln|x-3| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 196
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Decompõe: $1/((x-3)(x-2))=-1/(x-2)+1/(x-3)$ . Integral: $\ln|x-3|-\ln|x-2|+C$ . B somou. C não integrou. D inverteu os sinais.
Ex. 86.9Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x}{x^2+2x-8}\,dx$ .
Select the correct option
$2\ln|x+4| + \ln|x-2| + C$ $\ln|x^2+2x-8| + C$ $3\ln|x+4| - \ln|x-2| + C$ $\ln|x+4| + 2\ln|x-2| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 197
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Fator: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$ . Cover-up: $x=-4: A=2$ ; $x=2: B=1$ . Integral: $2\ln|x+4|+\ln|x-2|+C$ . B integrou sem decompor. C errou A. D inverteu A e B.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatorar: $(x+4)(x-2)$ .
2. Cover-up: $A=2,\;B=1$ .
3. Integrar: $2\ln|x+4|+\ln|x-2|+C$ .
Ex. 86.10ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$ (quatro fatores lineares simples).
Select the correct option
$-\dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \ln|x-2| + \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\ln|x(x-1)(x-2)(x-3)| + C$ $\dfrac{1}{6}\ln|x| - \dfrac{1}{6}\ln|x-3| + C$ $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 200
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Cover-up: $A=-1/6,\;B=1/2,\;C=-1,\;D=1/6$ . Integral: $-\tfrac{1}{6}\ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\ln|x-2|+\tfrac{1}{6}\ln|x-3|+C$ . B não decompôs. C ignorou fatores intermediários. D não integrou.
Ex. 86.11Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{2x^2+4x+22}{x^2+2x+10}\,dx$ (divisão polinomial + completar o quadrado).
Select the correct option
$2x + \dfrac{2}{3}\arctan\!\left(\dfrac{x+1}{3}\right) + C$ $2x + \ln|x^2+2x+10| + C$ $2x + \arctan(x+1) + C$ $\ln(2x^2+4x+22) + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 201
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Divisão: $(2x^2+4x+22)/(x^2+2x+10)=2+2/(x^2+2x+10)$ . Complete quadrado: $(x+1)^2+9$ . $\int 2/((x+1)^2+9)\,dx=(2/3)\arctan((x+1)/3)$ . Resultado: $2x+(2/3)\arctan((x+1)/3)+C$ . B ignorou arctan. C usou argumento errado. D não fez a divisão.
Ex. 86.12Challenge
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^3-2x^2-4x+8}$ . (Dica: fatorar como $(x-2)^2(x+2)$ .)
Select the correct option
$-\dfrac{1}{16}\ln|x-2| - \dfrac{1}{4(x-2)} + \dfrac{1}{16}\ln|x+2| + C$ $\ln|x^2(x-2)| + C$ $\dfrac{1}{2}\ln|(x-2)(x+2)| + C$ $\dfrac{1}{(x-2)^2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 205
Show solution
Fatoração: $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$ . Decompõe: $A=-1/16,\;B=1/4,\;C=1/16$ . Integral: $-\tfrac{1}{16}\ln|x-2|-\tfrac{1}{4(x-2)}+\tfrac{1}{16}\ln|x+2|+C$ . B não fatorou. C errou a multiplicidade. D derivou.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatorar: $(x-2)^2(x+2)$ .
2. Decompor: $A=-1/16,\;B=1/4,\;C=1/16$ .
3. Integrar: $-\tfrac{1}{16}\ln|x-2|-\tfrac{1}{4(x-2)}+\tfrac{1}{16}\ln|x+2|+C$ .
Ex. 86.13ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^4-10x^2+9}$ . (Fatorar o denominador completamente.)
Select the correct option
$\dfrac{1}{16}\ln\!\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right| + \dfrac{1}{48}\ln\!\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right| + C$ $\ln|x^4-10x^2+9| + C$ $\dfrac{1}{4}\arctan x + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|x^2-1| + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 206
Show solution
Fator: $x^4-10x^2+9=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$ . Cover-up: $A=-1/16,\;B=1/16,\;C=1/48,\;D=-1/48$ . Integral: $\tfrac{1}{16}\ln|(x+1)/(x-1)|+\tfrac{1}{48}\ln|(x-3)/(x+3)|+C$ . B não decompôs. C assume denominador irredutível. D errou a fatoração.
Ex. 86.14ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{2}{(x-4)(x^2+2x+6)}\,dx$ (fator linear + quadrático irredutível).
Select the correct option
$\dfrac{1}{15}\ln|x-4| - \dfrac{1}{30}\ln(x^2+2x+6) - \dfrac{1}{3\sqrt{5}}\arctan\!\dfrac{x+1}{\sqrt{5}} + C$ $\ln|(x-4)(x^2+2x+6)| + C$ $\dfrac{2}{(x-4)(x^2+2x+6)} + C$ $\dfrac{1}{15}\ln|x-4| + \arctan(x+1) + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 207
Show solution
Decompõe: $A=1/15,\;B=-1/15,\;C=-2/5$ . Complete: $(x+1)^2+5$ . Integral: $\tfrac{1}{15}\ln|x-4|-\tfrac{1}{30}\ln(x^2+2x+6)-\tfrac{1}{3\sqrt{5}}\arctan((x+1)/\sqrt{5})+C$ . B não decompôs. C não integrou. D errou o arctan.
Ex. 86.15Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{x^2}{x^3-x^2+4x-4}\,dx$ . (Dica: fatorar o denominador.)
Select the correct option
$\dfrac{1}{5}\ln|x-1| + \dfrac{2}{5}\ln(x^2+4) + \dfrac{2}{5}\arctan\dfrac{x}{2} + C$ $\ln|x^3-x^2+4x-4| + C$ $\ln|x-1| + \ln(x^2+4) + C$ $\dfrac{1}{5}\ln|x-1| + \arctan x + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 208
Show solution
Fatorar: $(x-1)(x^2+4)$ . Decompor: $A=1/5,\;B=4/5,\;C=4/5$ . Integral: $\tfrac{1}{5}\ln|x-1|+\tfrac{2}{5}\ln(x^2+4)+\tfrac{2}{5}\arctan(x/2)+C$ . B não decompôs. C errou coeficientes. D perdeu o logaritmo quadrático.
Show step-by-step (with the why)
1. Fatorar denominador: $(x-1)(x^2+4)$ .
2. Decompor: $A=1/5,\;B=4/5,\;C=4/5$ .
3. Integrar: $\tfrac{1}{5}\ln|x-1|+\tfrac{2}{5}\ln(x^2+4)+\tfrac{2}{5}\arctan(x/2)+C$ .
Ex. 86.16Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{x^3+6x^2+3x+6}{x^3+2x^2}\,dx$ . (Divisão polinomial seguida de frações parciais.)
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$x - \dfrac{3}{x} + 4\ln|x+2| + C$ $x + \ln|x^2(x+2)| + C$ $\ln|x^3+2x^2| + C$ $x + 3\ln|x| + 4\ln|x+2| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 209
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Divisão: $(x^3+6x^2+3x+6)/(x^3+2x^2)=1+(4x^2+3x+6)/(x^2(x+2))$ . Decompõe: $A=0,\;B=3,\;C=4$ . Integral: $x-3/x+4\ln|x+2|+C$ . B não fez a divisão. C integrou sem decompor. D usou A errado.
Ex. 86.17Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x+4}{(x^2+4)(3-x)}\,dx$ .
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$-\ln|3-x| + \dfrac{1}{2}\ln(x^2+4) + C$ $\ln|(3-x)(x^2+4)| + C$ $\dfrac{3x+4}{(x^2+4)(3-x)} + C$ $\arctan(x/2) - \ln|3-x| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 211
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Decompõe: $A=1,\;B=1,\;C=0$ . Integral: $-\ln|3-x|+(1/2)\ln(x^2+4)+C$ . B não decompôs. C não integrou. D adicionou arctan desnecessário ( $C=0$ ).
Ex. 86.18ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{2}{(x+2)^2(2-x)}\,dx$ (fator linear simples + repetido).
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$\dfrac{1}{8}\ln|x+2| - \dfrac{1}{2(x+2)} - \dfrac{1}{8}\ln|2-x| + C$ $\ln|(x+2)^2(2-x)| + C$ $\dfrac{2}{(x+2)(2-x)} + C$ $\dfrac{1}{4}\ln|x+2| - \dfrac{1}{4}\ln|2-x| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 212
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Decompõe: $A=1/8,\;B=1/2,\;C=1/8$ . Integral: $\tfrac{1}{8}\ln|x+2|-\tfrac{1}{2(x+2)}-\tfrac{1}{8}\ln|2-x|+C$ . B não decompôs. C não integrou. D ignorou o fator quadrático.
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1. Decompor: $A=1/8,\;B=1/2,\;C=1/8$ .
2. $\int (1/8)/(x+2)\,dx=\tfrac{1}{8}\ln|x+2|$ .
3. $\int (1/2)/(x+2)^2\,dx=-\tfrac{1}{2(x+2)}$ .
4. $\int (1/8)/(2-x)\,dx=-\tfrac{1}{8}\ln|2-x|$ .
Ex. 86.19ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}\,dx$ . (Dica: teorema da raiz racional para fatorar o denominador.)
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$\ln|x-2| - \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + C$ $\ln|x^3-2x-4| + C$ $\dfrac{3x+4}{x^3-2x-4} + C$ $\ln|x-2| + \arctan(x+1) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 213
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Raiz racional: $x=2$ . Fator: $(x-2)(x^2+2x+2)$ . Decompõe: $A=1,\;B=-1,\;C=-1$ . Numerador quadrático $-(x+1)$ ; $(x^2+2x+2)'=2(x+1)$ . Integral: $\ln|x-2|-\tfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C$ . B não decompôs. C não integrou. D tem sinal errado.
Ex. 86.20ModelingAnswer key
Calcule $\displaystyle\int_0^1\frac{e^x}{36-e^{2x}}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ e frações parciais.)
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$\dfrac{1}{12}\bigl[\ln(6+e)-\ln(6-e)-\ln7+\ln5\bigr]\approx0{,}053$ $\dfrac{1}{12}\ln(36-e^2)$ $\dfrac{1}{6}\arctan(e^x/6)\big|_0^1$ $\ln6-\ln(36-e)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 214
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Sub $u=e^x$ : $\int_1^e du/((6-u)(6+u))$ . Frações parciais: coef. $1/12$ cada. Integral: $\tfrac{1}{12}[\ln(6+u)-\ln(6-u)]_1^e\approx0{,}053$ . B tentou integrar diretamente. C confundiu com $u^2+36$ . D errou.
Ex. 86.21Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{e^x}{e^{2x}-e^x}\,dx$ . (Simplifique antes de aplicar frações parciais.)
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$\ln(e^x-1) - x + C$ $\ln(e^{2x}-e^x) + C$ $e^x - \ln(e^x) + C$ $\ln e^x + \ln(e^x-1) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 215
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Simplifique: $e^x/(e^{2x}-e^x)=1/(e^x-1)$ . Sub $u=e^x$ : $\int du/(u(u-1))=\int(-1/u+1/(u-1))du$ . Integral: $\ln(e^x-1)-x+C$ . B não simplificou. C errou. D dobrou.
Show step-by-step (with the why)
1. Simplificar: $e^x/(e^{2x}-e^x)=1/(e^x-1)$ .
2. Sub $u=e^x$ ; frações parciais: $-1/u+1/(u-1)$ .
3. Integrar: $\ln(e^x-1)-x+C$ .
Ex. 86.22ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\,dx$ . (Sub trigonométrica + frações parciais.)
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$\dfrac{1}{2}\ln|\cos x - 1| - \dfrac{1}{2}\ln|\cos x + 1| + C$ $\ln|\sin x| + C$ $\ln|1-\cos^2 x| + C$ $\arccos x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 216
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Sub $u=\cos x$ : $\int(-du)/(1-u^2)=\int du/(u^2-1)$ . Frações parciais: $(1/2)/(u-1)-(1/2)/(u+1)$ . Integral: $\tfrac{1}{2}\ln|\cos x-1|-\tfrac{1}{2}\ln|\cos x+1|+C$ . B errou a sub. C integrou sem decompor. D confundiu.
Ex. 86.23Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^2 x+\cos x-6}\,dx$ . (Sub $u=\cos x$ e frações parciais.)
Select the correct option
$\dfrac{1}{5}\ln|\cos x + 3| - \dfrac{1}{5}\ln|\cos x - 2| + C$ $\ln|\cos^2 x + \cos x - 6| + C$ $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x + \cos x - 6} + C$ $\dfrac{1}{5}\ln|\cos x - 2| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 217
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Sub $u=\cos x$ : $-\int du/((u+3)(u-2))$ . Frações parciais: $A=-1/5,\;B=1/5$ . Integral: $\tfrac{1}{5}\ln|\cos x+3|-\tfrac{1}{5}\ln|\cos x-2|+C$ . B não decompôs. C derivou. D só usou um fator.
Ex. 86.24Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{1+e^x}{1-e^x}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ e frações parciais.)
Select the correct option
$x - 2\ln|1-e^x| + C$ $\ln|1+e^x| + C$ $\ln|e^x-1| + x + C$ $e^x\ln|1-e^x| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 220
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Sub $u=e^x$ : $\int(1+u)/(u(1-u))\,du$ . Frações parciais: $A=1,\;B=2$ . Integral: $x-2\ln|1-e^x|+C$ . B errou a sub. C errou o sinal. D não integrou.
Ex. 86.25Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x(1-\sin x)}\,dx$ . (Sub $u=\sin x$ e frações parciais.)
Select the correct option
$\ln|\sin x| - \ln|1-\sin x| + C$ $\ln|\sin x(1-\sin x)| + C$ $\dfrac{\cos x}{\sin x(1-\sin x)} + C$ $\ln|\sin x| + \ln|1-\sin x| + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 223
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Sub $u=\sin x$ : $\int du/(u(1-u))$ . Frações parciais: $1/u+1/(1-u)$ . Integral: $\ln|\sin x|-\ln|1-\sin x|+C$ . B somou. C derivou. D somou em vez de subtrair.
Show step-by-step (with the why)
1. Sub $u=\sin x$ : $\int du/(u(1-u))$ .
2. Decompor: $1/u+1/(1-u)$ .
3. Integrar: $\ln|\sin x|-\ln|1-\sin x|+C$ .
Ex. 86.26Challenge
Calcule $\displaystyle\int\frac{e^x}{(e^{2x}-4)^2}\,dx$ . (Sub $u=e^x$ ; frações parciais com fator repetido.)
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$\dfrac{1}{32}\ln\!\left|\dfrac{e^x+2}{e^x-2}\right| - \dfrac{e^x}{8(e^{2x}-4)} + C$ $\ln|e^{2x}-4| + C$ $\dfrac{1}{(e^{2x}-4)^2} + C$ $\dfrac{1}{4}\arctan(e^x/2) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 224
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Sub $u=e^x$ : $\int du/((u-2)^2(u+2)^2)$ . Quatro termos: $A=-1/32,\;B=1/16,\;C=1/32,\;D=1/16$ . Combinando: resultado é a opção A. B não decompôs. C não integrou. D confunde com $u^2+4$ .
Ex. 86.27Modeling
Encontre a área da região limitada pela curva $y=x/(1+x)$ , o eixo $x$ e a reta $x=4$ .
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$4-\ln5\approx2{,}39$ unidades quadradas $\ln5-4$ $4+\ln5$ $5-\ln4$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 230
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$y=x/(1+x)=1-1/(1+x)$ . Área: $\int_0^4(1-1/(1+x))\,dx=[x-\ln(1+x)]_0^4=4-\ln5\approx2{,}39$ . B inverteu o sinal. C somou. D usou limites errados.
Ex. 86.28Modeling
Encontre o volume do sólido gerado ao rotacionar a região limitada por $y=1/(x(3-x))$ , $y=0$ , $x=1$ e $x=2$ em torno do eixo $x$ .
Select the correct option
$\dfrac{\pi}{9}\!\left(1+\dfrac{4\ln2}{3}\right)\approx0{,}672$ $\pi\ln2$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\pi\ln6$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 231
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Disco: $V=\pi\int_1^2[1/(x(3-x))]^2\,dx$ . Usando $1/(x(3-x))=(1/3)(1/x+1/(3-x))$ : quadrado expande em três termos. Integrado de 1 a 2: $V=\pi(1+(4/3)\ln2)/9\approx0{,}672$ . B e C ignoram a estrutura. D é errado.
Ex. 86.29Modeling
A velocidade de uma partícula é $v(t)=88t^2/(t^2+1)$ . Qual a distância percorrida em $t=5$ s? (Divisão polinomial e integração direta.)
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$88(5-\arctan5)\approx319$ m $440$ m $88\arctan5\approx121$ m $88\ln26\approx284$ m
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 232
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Distância: $88\int_0^5(1-1/(t^2+1))\,dt=88[t-\arctan t]_0^5=88(5-\arctan5)\approx319$ m. B ignora $1/(t^2+1)$ . C usa só arctan. D não fez a divisão.
Ex. 86.30Application
Resolva a EDO $(t^2-7t+12)\dfrac{dx}{dt}=1$ , com $t>4$ e $x(5)=0$ .
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$x=\ln\!\left(\dfrac{t-4}{2(t-3)}\right)$ $x=\ln|t-3|-\ln|t-4|$ $x=\ln|(t-3)(t-4)|+C$ $x=\dfrac{1}{(t-3)(t-4)}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 233
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Frações parciais de $1/((t-3)(t-4))$ : $A=-1,\;B=1$ . Integrar: $x=\ln|t-4|-\ln|t-3|+C$ . Condição $x(5)=0$ : $C=-\ln2$ . Simplificar: $x=\ln((t-4)/(2(t-3)))$ . B inverteu. C não usou condição inicial. D não integrou.
Show step-by-step (with the why)
1. Separar: $dx=dt/((t-3)(t-4))$ .
2. Frações parciais: $A=-1,\;B=1$ .
3. Integrar: $x=\ln|t-4|-\ln|t-3|+C$ .
4. Condição $x(5)=0$ : $C=-\ln2$ ; simplificar: $x=\ln((t-4)/(2(t-3)))$ .
Ex. 86.31ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^3+1}$ . (Fatorar $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ e completar o quadrado.)
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$\dfrac{1}{3}\ln|x+1| - \dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$ $\dfrac{1}{3}\ln|x^3+1| + C$ $\arctan x + \ln|x+1| + C$ $\dfrac{1}{3}\ln|x+1| + \arctan(2x-1) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 239
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Fator: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ . Decompõe: $A=1/3,\;B=-1/3,\;C=2/3$ . Complete quadrado: $(x-1/2)^2+3/4$ . Integral do quadrático resulta em $-\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+(1/\sqrt{3})\arctan((2x-1)/\sqrt{3})$ . Opção A. B usou ln da cúbica. C errou. D errou o arctan.
Ex. 86.32Understanding
Para calcular $\displaystyle\int_0^\pi\frac{dx}{1+\sin x}$ , qual técnica é mais adequada?
Select the correct option
Substituição de Weierstrass $t=\tan(x/2)$ transforma $\sin x$ e $\cos x$ em racionais de $t$ Integração por partes decompõe o seno em somasSubstituição $t=\sin x$ elimina o denominador diretamenteA integral não pode ser calculada por método elementar
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 241
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Com $t=\tan(x/2)$ : $\sin x=2t/(1+t^2)$ , $\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$ , $dx=2\,dt/(1+t^2)$ . O integrando fica racional em $t$ e resolve-se por frações parciais. B não é o método. C não simplifica. D é falso.
Ex. 86.33Proof
Dado $t=\tan(x/2)$ , derive as fórmulas da substituição de Weierstrass: $dx$ , $\sin x$ e $\cos x$ em termos de $t$ .
Select the correct option
$dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ , $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ $dx=\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$ , $\sin x=t/(1+t^2)$ , $\cos x=1/(1+t^2)$ $dx=2\,dt$ , $\sin x=2t$ , $\cos x=1-t^2$ $dx=\dfrac{2}{1-t^2}\,dt$ , $\sin x=t$ , $\cos x=\sqrt{1-t^2}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 242
Show solution
Com $t=\tan(x/2)$ : $dx=2\,dt/(1+t^2)$ ; $\sin x=2t/(1+t^2)$ ; $\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$ . Resultado: opção A. B, C, D são incorretas.
Ex. 86.34Understanding
Na decomposição em frações parciais, qual é a forma correta do numerador para um fator quadrático irredutível $(x^2+px+q)$ ?
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Numerador linear $Bx+C$ para cada fator quadrático irredutívelNumerador constante $B$ para cada fator quadráticoNumerador quadrático $Bx^2+C$ para cada fator quadráticoNenhum termo — apenas fatores lineares contribuem
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 195
Show solution
Para fator $(x^2+px+q)$ irredutível, o numerador é da forma $Bx+C$ . B usa só constante (insuficiente). C excede o grau necessário. D ignora fatores quadráticos.
Ex. 86.35Application
Qual é a forma correta da decomposição em frações parciais de $\dfrac{P(x)}{(x+1)(x^2+4)^2}$ ?
Select the correct option
$\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+4)^2}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x^2+4}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x^2+4)^2}$ $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x^2+4}+\dfrac{C}{(x^2+4)^2}$ (numeradores constantes)
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 195
Show solution
O denominador $(x+1)(x^2+4)^2$ tem fator linear simples e fator quadrático irredutível de multiplicidade 2. Os dois termos quadráticos precisam de numeradores lineares: $(Bx+C)/(x^2+4)+(Dx+E)/(x^2+4)^2$ . B ignora a multiplicidade. C omite o primeiro. D usa numeradores constantes (errado).
Ex. 86.36Application
Calcule $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx$ . (Divisão polinomial primeiro.)
Select the correct option
$3x - 3\arctan x + C$ $3x + 3\arctan x + C$ $3\arctan x + C$ $x^2/2 + 3\ln(x^2+1) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Show solution
Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . Integral: $3x-3\arctan x+C$ . B erra o sinal. C não fez a parte polinomial. D usou logaritmo sem justificativa.
Ex. 86.37Understanding
Quando é necessário fazer divisão polinomial antes de aplicar frações parciais?
Select the correct option
Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominadorSempre que o denominador tiver fatores quadráticosQuando o denominador tiver mais de dois fatoresQuando o numerador tiver coeficientes negativos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Show solution
A divisão é necessária quando $\deg(P)\geq\deg(Q)$ . Frações parciais exigem fração própria. B, C e D são irrelevantes.
Ex. 86.38Challenge
Qual é a principal conexão teórica entre frações parciais e a análise complexa?
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Conecta frações parciais com a teoria de resíduos de Cauchy no cálculo complexoPermite integrar polinômios sem a regra da potênciaElimina a necessidade de completar o quadradoFunciona apenas para denominadores com raízes reais
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 192
Show solution
Sobre $\mathbb{C}$ , o coeficiente $A_{k,1}$ de $1/(x-z_k)$ é o resíduo de $P/Q$ em $z_k$ , conectando frações parciais ao Teorema dos Resíduos de Cauchy. B, C e D são falsos.
Ex. 86.39Proof
Qual enunciado sobre fatoração de polinômios reais fundamenta a existência de fatores quadráticos irredutíveis nas frações parciais?
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Polinômios de grau ímpar sempre têm raiz real; de grau par podem não terTodo polinômio real tem pelo menos uma raiz realPolinômios de grau ímpar podem não ter raízes reaisTodo polinômio fatora inteiramente em lineares sobre $\mathbb{R}$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 193
Show solution
Grau ímpar: sempre tem raiz real (Teorema do Valor Intermediário). Grau par: pode não ter (ex.: $x^2+1$ ). Isso fundamenta a existência de fatores quadráticos irredutíveis sobre $\mathbb{R}$ . B é falso para grau par. C é falso. D é falso sobre $\mathbb{R}$ .
Ex. 86.40ApplicationAnswer key
Confirme: $\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^2+1}\,dx = ?$
Select the correct option
$3x - 3\arctan x + C$ $3\arctan x + C$ $3x + \arctan x + C$ $x^2/2 + \ln(x^2+1) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §3.4 · ex. 186
Show solution
Divisão: $3x^2/(x^2+1)=3-3/(x^2+1)$ . Integra: $3x-3\arctan x+C$ . B só integrou o segundo termo. C errou o sinal. D não justificado.

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5.