v1 · padrão canônico

Lesson 87 — Trigonometric integrals and trigonometric substitution

∫ sinⁿcosᵐ via identities and sub u. Trigonometric substitution for radicals √(a²±x²) and √(x²−a²). Power reduction formulas.

Used in: Calculus II (Brazil) · Equiv. Math III Japanese · Equiv. Analysis LK German · AP Calculus BC (USA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

Integrais trig: identidades reduzem potências de seno e cosseno a formas integráveis. Substituição trigonométrica elimina radicais: x = a sin θ para √(a² − x²); x = a tan θ para √(a² + x²); x = a sec θ para √(x² − a²).

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· Estratégia segundo paridade dos expoentes

Situação	Estratégia
$n$ ímpar	Reserve $\sin x\, dx$ ; converta $\sin^{n-1}$ via $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; substitua $u = \cos x$
$m$ ímpar	Reserve $\cos x\, dx$ ; converta $\cos^{m-1}$ via $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; substitua $u = \sin x$
Ambos pares	Use half-angle repetidamente

Para $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Situação	Estratégia
$m$ par	Reserve $\sec^2 x\, dx$ ; converta via $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; sub $u = \tan x$
$n$ ímpar	Reserve $\sec x \tan x\, dx$ ; converta via $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; sub $u = \sec x$

"The strategy for integrating a product of powers of sine and cosine depends on the parities of the exponents involved. When one of the exponents is odd, we 'peel off' one factor and use the Pythagorean identity to convert the remaining even power." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Substituição trigonométrica

"The idea behind trigonometric substitution is to replace an expression involving a square root with a trigonometric expression, which is easier to integrate." — APEX Calculus §6.4

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Example— 1· Potência ímpar de seno (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .

Estratégia. Expoente ímpar: reserve $\sin x\, dx$ , converta $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , substitua $u = \cos x$ .

Resolução.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Sub $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Verificação. Derivando: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Expoentes pares — half-angle (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Estratégia. Ambos pares: use $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ e depois half-angle.

Resolução.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Verificação. Derivando: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Substituição x = a sin θ para √(a² − x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 - x^2}$ com $a = 2$ : sub $x = 2\sin\theta$ .

Resolução.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (com $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Triângulo de referência ( $\sin\theta = x/2$ , hipotenusa 2, cateto adjacente $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Resultado: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Verificação. Derivando (regra da cadeia): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· Substituição x = a tan θ para √(a² + x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 + x^2}$ com $a = 1$ : sub $x = \tan\theta$ .

Resolução.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Triângulo ( $\tan\theta = x$ , hipotenusa $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Resultado: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (equivalente a $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Verificação. Derivando $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Fórmula de redução e aplicação (desafio)

Problema. Derive a fórmula de redução $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ e use-a para calcular $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Estratégia. Derivar por partes; aplicar para $n = 4$ e $n = 2$ .

Resolução.

Derivação: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Substitua $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Reorganize: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Divida por $n$ .

Aplicação: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Avaliando em $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Verificação. Fórmula de Wallis: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Confirma.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 6Modeling 7Challenge 3Proof 1

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Substituição trigonométrica

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Fontes

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$