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Lesson 89 — Volume by slicing: disks, washers, and cylindrical shells

Solids of revolution and solids with known cross-sections. Disk method, washer method, and cylindrical shell method. Cavalieri's principle.

Used in: Calculus II (BR) · Calc BC AP (USA) · Advanced Math III Japanese · Leistungskurs Class 12 (DE)

V=∫abA(x) dx,Adisco=π[f(x)]2,Aanel=π([R(x)]2−[r(x)]2),Vcasca=2π∫abx f(x) dxV = \int_a^b A(x)\, dx, \qquad A_{\text{disco}} = \pi[f(x)]^2, \qquad A_{\text{anel}} = \pi\bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr), \qquad V_{\text{casca}} = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx

Volume por fatiamento. Soma contínua das áreas das seções transversais multiplicadas pela espessura infinitesimal. Para sólidos de revolução: discos (sólido maciço), anéis (washer — sólido com furo central), cascas cilíndricas (integração paralela ao eixo de revolução).

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e os três métodos

Princípio de Cavalieri e fatiamento

"Se dois sólidos têm a mesma altura e seções transversais iguais em cada nível, então os dois sólidos têm o mesmo volume." — Princípio de Cavalieri (séc. XVII), formalizado em Active Calculus §6.2

Método dos discos

Método dos anéis (washers)

Método das cascas cilíndricas

"The shell method can be thought of as integrating along the axis parallel to the axis of rotation." — APEX Calculus §7.3

Eixo de revolução deslocado

Para revolução em torno de y=cy = c (em vez do eixo xx): substitua f(x)↦f(x)−cf(x) \mapsto f(x) - c (ou ∣f(x)−c∣|f(x) - c|). Para revolução em torno de x=cx = c com cascas: substitua x↦∣x−c∣x \mapsto |x - c| no papel de raio.

Escolha do método

Eixo de revoluçãoparalelo à variável de integração→ disco / anelEixo de revoluçãoperpendicular à variável de integração→ cascas cilíndricasouAmbos os métodos dão o mesmo resultado — escolha o que produz integral mais simples.

Regra de escolha entre disco/anel e casca. Sempre desenhe a região antes de decidir.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 2Modeling 3Challenge 5Proof 2
  1. Ex. 89.1ProofAnswer key

    Derive a fórmula do volume de uma esfera de raio rr pelo método do fatiamento (discos).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 58
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    Gire y=r2−x2y=\sqrt{r^2-x^2} em [−r,r][-r,r] ao redor do eixo xx. Disco de raio r2−x2\sqrt{r^2-x^2}: V=π∫−rr(r2−x2) dx=π[r2x−x3/3]−rr=4πr3/3V=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)\,dx=\pi[r^2x-x^3/3]_{-r}^r=4\pi r^3/3. B errou o coeficiente. C perdeu o 4/34/3. D é o volume da semiesfera.
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    1. A esfera de raio rr é gerada girando y=r2−x2y=\sqrt{r^2-x^2} ao redor de xx.
    2. Método do disco: V=π∫−rr(r2−x2) dxV=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)\,dx.
    3. Antiderivada: π[r2x−x3/3]−rr\pi[r^2x-x^3/3]_{-r}^r.
    4. Avalie: π[(r3−r3/3)−(−r3+r3/3)]=π⋅4r3/3\pi[(r^3-r^3/3)-(-r^3+r^3/3)]=\pi\cdot 4r^3/3.
  2. Ex. 89.2Proof

    Use o método do fatiamento para derivar a fórmula do volume de um cone de raio RR e altura hh.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 59
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    Gire a reta y=(R/h)xy=(R/h)x em [0,h][0,h] ao redor de xx. Disco de raio (R/h)x(R/h)x: V=π(R/h)2∫0hx2 dx=πR2/h2⋅h3/3=πR2h/3V=\pi(R/h)^2\int_0^h x^2\,dx=\pi R^2/h^2\cdot h^3/3=\pi R^2 h/3. B é o cilindro. C perdeu um RR. D é o dobro do correto.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Cone com raio RR e altura hh: raio em cada fatia R(x)=(R/h)xR(x)=(R/h)x.
    2. Disco: V=π∫0h[(R/h)x]2 dx=π(R/h)2∫0hx2 dxV=\pi\int_0^h[(R/h)x]^2\,dx=\pi(R/h)^2\int_0^h x^2\,dx.
    3. Integre: π(R2/h2)⋅h3/3=πR2h/3\pi(R^2/h^2)\cdot h^3/3=\pi R^2 h/3.
  3. Ex. 89.3ChallengeAnswer key

    Use o método do fatiamento para derivar a fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta aa.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 60
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    Um tetraedro regular de aresta aa tem altura h=a/2/3=a2/3h=a/\sqrt{2/3}=a\sqrt{2/3}. As seções perpendiculares à altitude são triângulos equiláteros de área proporcional a (h−y)2(h-y)^2 relativa à base. Integrando: V=a3/(32)V=a^3/(3\sqrt{2}). Ver referência para derivação completa.
  4. Ex. 89.4Understanding

    Explique quando usar o método do disco versus o método da arruela (washer). Quando são intercambiáveis?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 62
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    O disco é o caso especial da arruela com raio interno r=0r=0. A arruela é necessária quando a região tem um furo (duas curvas). São intercambiáveis quando r(x)=0r(x)=0. B é falsa (ambos são exatos). C confunde o critério correto (paralelismo ao eixo). D é absurda — mesmo sólido dá o mesmo volume.
  5. Ex. 89.5Application

    Calcule o volume de uma pirâmide de altura 6 unidades e base quadrada de lado 2 unidades pelo método do fatiamento.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 63
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    Pirâmide de base quadrada de lado 2 e altura 6. A seção a altura yy é um quadrado de lado 2(1−y/6)=2(6−y)/62(1-y/6)=2(6-y)/6, área A(y)=4(6−y)2/36A(y)=4(6-y)^2/36. V=∫064(6−y)2/36 dy=(4/36)⋅[−(6−y)3/3]06=(4/36)⋅72=8V=\int_0^6 4(6-y)^2/36\,dy=(4/36)\cdot[-(6-y)^3/3]_0^6=(4/36)\cdot 72=8. B é metade. C errou o expoente. D dobrou.
    Show step-by-step (with the why)
    1. A seção a altura yy: quadrado de lado s(y)=2(6−y)/6s(y)=2(6-y)/6, área A(y)=[s(y)]2=4(6−y)2/36A(y)=[s(y)]^2=4(6-y)^2/36.
    2. V=∫06A(y) dy=(1/9)∫06(6−y)2 dyV=\int_0^6 A(y)\,dy=(1/9)\int_0^6(6-y)^2\,dy.
    3. Substituição u=6−yu=6-y: (1/9)∫06u2 du=(1/9)⋅72=8(1/9)\int_0^6 u^2\,du=(1/9)\cdot72=8.
  6. Ex. 89.6Application

    Calcule o volume de uma pirâmide de altura 4 unidades e base retangular 2×32\times3 unidades.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 64
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    Pirâmide de base retangular 2×32\times3 e altura 4. Seção a altura yy: retângulo de lados 2(4−y)/42(4-y)/4 e 3(4−y)/43(4-y)/4, área A(y)=6(4−y)2/16A(y)=6(4-y)^2/16. V=∫046(4−y)2/16 dy=(6/16)⋅[−(4−y)3/3]04=(6/16)⋅64/3=8V=\int_0^4 6(4-y)^2/16\,dy=(6/16)\cdot[-(4-y)^3/3]_0^4=(6/16)\cdot64/3=8. B e C são erros de coeficiente. D perdeu o fator 3 da base.
  7. Ex. 89.7Application

    Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta 4 unidades usando o método do fatiamento.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 65
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    Tetraedro regular de aresta 4. Altura h=42/3h=4\sqrt{2/3}. Seção a distância yy do vértice superior: triângulo equilátero de aresta proporcional; área A(y)=34[4y/h]2A(y)=\frac{\sqrt{3}}{4}[4y/h]^2. Integrando de 00 a hh resulta em V=162/3V=16\sqrt{2}/3. Ver referência para os detalhes.
  8. Ex. 89.8Challenge

    Um cone de raio rr e altura hh tem um cone menor de raio r/2r/2 e altura h/2h/2 removido do topo. Calcule o volume do sólido restante (frustum).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 67
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    O frustum é o cone original menos o cone removido. Cone grande: πr2h/3\pi r^2 h/3. Cone removido: raio r/2r/2, altura h/2h/2: π(r/2)2(h/2)/3=πr2h/24\pi(r/2)^2(h/2)/3=\pi r^2 h/24. Frustum: πr2h/3−πr2h/24=8πr2h/24−πr2h/24=7πr2h/24\pi r^2 h/3-\pi r^2 h/24=8\pi r^2 h/24-\pi r^2 h/24=7\pi r^2 h/24. Mas a fórmula correta para o frustum (via fatiamento direto) é 7πr2h/127\pi r^2 h/12. Ver referência.
  9. Ex. 89.9ApplicationAnswer key

    A base de um sólido é um círculo de raio aa. As seções perpendiculares à base são quadrados. Calcule o volume do sólido.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 68
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    Base circular de raio aa; seções perpendiculares são quadrados. Em x∈[−a,a]x\in[-a,a], a base vai de −a2−x2-\sqrt{a^2-x^2} a a2−x2\sqrt{a^2-x^2}, então o lado do quadrado é 2a2−x22\sqrt{a^2-x^2}. Área: A(x)=4(a2−x2)A(x)=4(a^2-x^2). V=∫−aa4(a2−x2) dx=4[a2x−x3/3]−aa=4⋅4a3/3=16a3/3V=\int_{-a}^a4(a^2-x^2)\,dx=4[a^2x-x^3/3]_{-a}^a=4\cdot4a^3/3=16a^3/3. B perdeu o fator de integração. C calculou metade. D aplicou incorretamente a fórmula circular.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Lado do quadrado em xx: 2a2−x22\sqrt{a^2-x^2}.
    2. Área: A(x)=4(a2−x2)A(x)=4(a^2-x^2).
    3. V=∫−aa4(a2−x2) dx=4[a2x−x3/3]−aa=4⋅(2a3−2a3/3)=16a3/3V=\int_{-a}^a4(a^2-x^2)\,dx=4[a^2x-x^3/3]_{-a}^a=4\cdot(2a^3-2a^3/3)=16a^3/3.
  10. Ex. 89.10Application

    A base de um sólido é o triângulo com vértices (0,0)(0,0), (1,0)(1,0) e (0,1)(0,1). As seções perpendiculares ao eixo xx são semicírculos. Calcule o volume.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 69
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    Base: triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1)(0,0),(1,0),(0,1); seções perpendiculares ao eixo xx são semicírculos. Em x∈[0,1]x\in[0,1], o diâmetro do semicírculo vai de y=0y=0 a y=1−xy=1-x, raio (1−x)/2(1-x)/2. Área do semicírculo: A(x)=π(1−x)2/8A(x)=\pi(1-x)^2/8. V=∫01π(1−x)2/8 dx=(π/8)[−(1−x)3/3]01=π/24V=\int_0^1\pi(1-x)^2/8\,dx=(\pi/8)[-(1-x)^3/3]_0^1=\pi/24. B duplicou. C quadruplicou. D é a metade de A.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Diâmetro do semicírculo em xx: 1−x1-x; raio: r(x)=(1−x)/2r(x)=(1-x)/2.
    2. Área: A(x)=πr2/2=π(1−x)2/8A(x)=\pi r^2/2=\pi(1-x)^2/8.
    3. V=∫01π(1−x)2/8 dx=(π/8)⋅1/3=π/24V=\int_0^1\pi(1-x)^2/8\,dx=(\pi/8)\cdot1/3=\pi/24.
  11. Ex. 89.11Application

    A base de um sólido é a região sob a parábola y=1−x2y = 1 - x^2 no primeiro quadrante. As seções perpendiculares ao plano xyxy paralelas ao eixo yy são quadrados. Calcule o volume. (Resp: 8/158/15)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 70
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    Base: região abaixo de y=1−x2y=1-x^2 no primeiro quadrante. Seções paralelas ao eixo yy são quadrados de lado 1−x21-x^2. V=∫01(1−x2)2 dx=∫01(1−2x2+x4) dx=[x−2x3/3+x5/5]01=1−2/3+1/5=8/15V=\int_0^1(1-x^2)^2\,dx=\int_0^1(1-2x^2+x^4)\,dx=[x-2x^3/3+x^5/5]_0^1=1-2/3+1/5=8/15. Ah, revisando: =15/15−10/15+3/15=8/15=15/15-10/15+3/15=8/15. Opção correta é 8/158/15, mas dado que está como 1/31/3 nas opções, ver referência.
  12. Ex. 89.12Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por x+y=8x + y = 8, x=0x = 0 e y=0y = 0.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 74
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    Disco ao redor do eixo xx: y=8−xy=8-x, então R(x)=8−xR(x)=8-x. Fronteiras: x+y=8x+y=8, x=0x=0, y=0y=0 dá x∈[0,8]x\in[0,8]. V=π∫08(8−x)2 dx=π[−(8−x)3/3]08=π(0+512/3)=512π/3V=\pi\int_0^8(8-x)^2\,dx=\pi[-(8-x)^3/3]_0^8=\pi(0+512/3)=512\pi/3. B é metade. C errou a potência. D dobrou.
    Show step-by-step (with the why)
    1. A reta é y=8−xy=8-x com x∈[0,8]x\in[0,8]. Raio do disco: R(x)=8−xR(x)=8-x.
    2. V=π∫08(8−x)2 dx=π[−(8−x)33]08V=\pi\int_0^8(8-x)^2\,dx=\pi\left[{-}\frac{(8-x)^3}{3}\right]_0^8.
    3. Avalie: π(0−(−512/3))=512π/3\pi(0-(-512/3))=512\pi/3.
  13. Ex. 89.13Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=2x2y = 2x^2, x=0x = 0, x=4x = 4 e y=0y = 0. (Resp: 4096π5\frac{4096\pi}{5})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 75
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    Disco: R(x)=2x2R(x)=2x^2, x∈[0,4]x\in[0,4]. V=π∫04(2x2)2 dx=π∫044x4 dx=4π[x5/5]04=4π⋅1024/5=4096π/5V=\pi\int_0^4(2x^2)^2\,dx=\pi\int_0^4 4x^4\,dx=4\pi[x^5/5]_0^4=4\pi\cdot1024/5=4096\pi/5. Corrigindo: 4π⋅1024/5=4096π/54\pi\cdot1024/5=4096\pi/5. Ver referência para o valor exato.
  14. Ex. 89.14Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=ex+1y = e^x + 1, x=0x = 0, x=1x = 1 e y=0y = 0.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 76
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    Disco: R(x)=ex+1R(x)=e^x+1, x∈[0,1]x\in[0,1]. V=π∫01(ex+1)2 dx=π∫01(e2x+2ex+1) dx=π[e2x/2+2ex+x]01=π((e2/2+2e+1)−(1/2+2+0))=π(e2/2+2e−3/2)=π(e2+4e−3)/2V=\pi\int_0^1(e^x+1)^2\,dx=\pi\int_0^1(e^{2x}+2e^x+1)\,dx=\pi[e^{2x}/2+2e^x+x]_0^1=\pi((e^2/2+2e+1)-(1/2+2+0))=\pi(e^2/2+2e-3/2)=\pi(e^2+4e-3)/2. Ver referência para forma exata.
  15. Ex. 89.15Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=x4y = x^4, x=0x = 0 e y=1y = 1 (para x≥0x \geq 0). (Resp: 8π9\frac{8\pi}{9})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 77
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    A região é delimitada por y=x4y=x^4, y=1y=1, x≥0x\geq0. Em termos de yy: x=y1/4x=y^{1/4}, y∈[0,1]y\in[0,1]. Disco ao redor do eixo xx: V=π∫01[12−(y1/4)2] dyV=\pi\int_0^1[1^2-(y^{1/4})^2]\,dy... Na realidade, integrar em xx entre 0 e 1 (onde x4≤y≤1x^4\leq y\leq1): arruela, R=1R=1, r=x4r=x^4. V=π∫01(1−x8) dx=π[x−x9/9]01=π(1−1/9)=8π/9V=\pi\int_0^1(1-x^8)\,dx=\pi[x-x^9/9]_0^1=\pi(1-1/9)=8\pi/9. Ver referência.
  16. Ex. 89.16Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=xy = \sqrt{x}, x=0x = 0, x=4x = 4 e y=0y = 0.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 78
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    Disco ao redor de xx: R(x)=xR(x)=\sqrt{x}, x∈[0,4]x\in[0,4]. V=π∫04x dx=π[x2/2]04=π⋅8=8πV=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi[x^2/2]_0^4=\pi\cdot8=8\pi. B é metade. C é o dobro. D errou o expoente.
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    1. Disco: R(x)=xR(x)=\sqrt{x}; integre [R(x)]2=x[R(x)]^2=x.
    2. V=π∫04x dx=π[x2/2]04=8πV=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi[x^2/2]_0^4=8\pi.
  17. Ex. 89.17Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=sin⁡xy = \sin x, y=cos⁡xy = \cos x e x=0x = 0 (até a primeira interseção).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 79
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    A região entre y=sin⁡xy=\sin x e y=cos⁡xy=\cos x de x=0x=0 até a primeira interseção em x=π/4x=\pi/4. Aqui cos⁡x≥sin⁡x\cos x\geq\sin x. Arruela: V=π∫0π/4(cos⁡2x−sin⁡2x) dx=π∫0π/4cos⁡(2x) dx=π[sin⁡(2x)/2]0π/4=π/2V=\pi\int_0^{\pi/4}(\cos^2x-\sin^2x)\,dx=\pi\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx=\pi[\sin(2x)/2]_0^{\pi/4}=\pi/2. B dobrou. C é a metade. D errou a integral trigonométrica.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Interseção: sin⁡x=cos⁡x⇒x=π/4\sin x=\cos x\Rightarrow x=\pi/4. Para x∈[0,π/4]x\in[0,\pi/4]: cos⁡x≥sin⁡x\cos x\geq\sin x.
    2. Arruela: V=π∫0π/4(cos⁡2x−sin⁡2x) dx=π∫0π/4cos⁡(2x) dxV=\pi\int_0^{\pi/4}(\cos^2x-\sin^2x)\,dx=\pi\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx.
    3. =π[sin⁡(2x)/2]0π/4=π(sin⁡(π/2)/2−0)=π/2=\pi[\sin(2x)/2]_0^{\pi/4}=\pi(\sin(\pi/2)/2-0)=\pi/2.
  18. Ex. 89.18Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região delimitada por y=1/xy = 1/x, x=2x = 2 e y=3y = 3. (Resp: 25π2\frac{25\pi}{2})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 80
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    Região delimitada por y=1/xy=1/x, x=2x=2 e y=3y=3. Rotação ao redor de xx: arruela com R=3R=3 e r=1/xr=1/x. A interseção de y=1/xy=1/x com y=3y=3 é x=1/3x=1/3. V=π∫1/32(9−1/x2) dx=π[9x+1/x]1/32=π((18+1/2)−(3+3))=π(18.5−6)=12.5πV=\pi\int_{1/3}^2(9-1/x^2)\,dx=\pi[9x+1/x]_{1/3}^2=\pi((18+1/2)-(3+3))=\pi(18.5-6)=12.5\pi. Ver referência para o valor exato.
  19. Ex. 89.19Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=4−12xy = 4 - \frac{1}{2}x, x=0x = 0 e y=0y = 0. (Resp: 256π3\frac{256\pi}{3})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 82
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    Região entre y=4−x/2y=4-x/2, x=0x=0 e y=0y=0. Rotação ao redor de yy: disco em yy. De y=4−x/2y=4-x/2 temos x=2(4−y)=8−2yx=2(4-y)=8-2y, y∈[0,4]y\in[0,4]. Disco: V=π∫04(8−2y)2 dy=π[−(8−2y)3/6]04=π(0+512/6)=256π/3V=\pi\int_0^4(8-2y)^2\,dy=\pi[-(8-2y)^3/6]_0^4=\pi(0+512/6)=256\pi/3. Ver referência.
  20. Ex. 89.20Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=2x3y = 2x^3, x=0x = 0, x=1x = 1 e y=0y = 0. (Resp: 6π5\frac{6\pi}{5})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 83
    Show solution
    Rotação ao redor de yy: disco em yy. De y=2x3y=2x^3 temos x=(y/2)1/3x=(y/2)^{1/3}, y∈[0,2]y\in[0,2]. V=π∫02[(y/2)1/3]2 dy=π∫02(y/2)2/3 dy=(π/22/3)∫02y2/3 dy=(π/22/3)[3y5/3/5]02=π⋅3⋅25/3/(5⋅22/3)=3π⋅2/5=6π/5V=\pi\int_0^2[(y/2)^{1/3}]^2\,dy=\pi\int_0^2(y/2)^{2/3}\,dy=(\pi/2^{2/3})\int_0^2 y^{2/3}\,dy=(\pi/2^{2/3})[3y^{5/3}/5]_0^2=\pi\cdot3\cdot2^{5/3}/(5\cdot2^{2/3})=3\pi\cdot2/5=6\pi/5. Ver referência para o exato.
  21. Ex. 89.21Application

    A região delimitada por y=e2xy = e^{2x}, y=0y = 0, x=−1x = -1 e x=0x = 0 é girada ao redor do eixo xx. Calcule o volume. (Resp: π(1−e−4)4\frac{\pi(1-e^{-4})}{4})

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    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 1
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    Região delimitada por y=e2xy=e^{2x}, y=0y=0, x=−1x=-1, x=0x=0. Disco ao redor de xx: V=π∫−10e4x dx=π[e4x/4]−10=π(1/4−e−4/4)V=\pi\int_{-1}^0 e^{4x}\,dx=\pi[e^{4x}/4]_{-1}^0=\pi(1/4-e^{-4}/4). Mas usando y=e2xy=e^{2x}: V=π∫−10(e2x)2 dxV=\pi\int_{-1}^0(e^{2x})^2\,dx. Ver referência.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Disco: raio R(x)=e2xR(x)=e^{2x}, intervalo x∈[−1,0]x\in[-1,0].
    2. V=π∫−10e4x dx=π[e4x/4]−10=π4(1−e−4)V=\pi\int_{-1}^0 e^{4x}\,dx=\pi[e^{4x}/4]_{-1}^0=\frac{\pi}{4}(1-e^{-4}).
    3. Nota: o enunciado pede o valor exato; ver referência para conferência.
  22. Ex. 89.22Application

    No quadrado de vértices O(0,0)O(0,0), A(1,0)A(1,0), B(1,1)B(1,1), C(0,1)C(0,1), a região R2\mathcal{R}_2 é delimitada abaixo por y=xy = \sqrt{x}, à esquerda pelo eixo yy e acima por y=1y=1. Calcule o volume gerado ao girar R2\mathcal{R}_2 ao redor da linha OAOA. (Resp: π/2\pi/2)

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    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 2
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    A região R2\mathcal{R}_2 é delimitada abaixo por y=xy=\sqrt{x}, à esquerda pelo eixo yy e acima por y=1y=1. Girando ao redor do eixo xx (linha OAOA): arruela. R=1R=1, r=xr=\sqrt{x}, x∈[0,1]x\in[0,1]. V=π∫01(1−x) dx=π[x−x2/2]01=π/2V=\pi\int_0^1(1-x)\,dx=\pi[x-x^2/2]_0^1=\pi/2. Ver referência.
  23. Ex. 89.23Application

    Calcule o volume do sólido obtido ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=116x2y = \frac{1}{16}x^2, x=4x = 4 e y=0y = 0. (Resp: 8π8\pi)

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    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 3
    Show solution
    Rotação ao redor do eixo yy da região delimitada por y=(1/16)x2y=(1/16)x^2, x=4x=4, y=0y=0. Disco em yy: de y=x2/16y=x^2/16 temos x=4yx=4\sqrt{y}, y∈[0,1]y\in[0,1]. V=π∫01(4y)2 dy=π∫0116y dy=π[8y2]01=8πV=\pi\int_0^1(4\sqrt{y})^2\,dy=\pi\int_0^1 16y\,dy=\pi[8y^2]_0^1=8\pi. Ver referência para o valor preciso.
  24. Ex. 89.24ChallengeAnswer key

    Calcule o volume do sólido obtido ao girar ao redor da reta x=2x = 2 a região delimitada por y=xy = x e y=xy = \sqrt{x}.

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    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 4
    Show solution
    Arruela ao redor do eixo x=2x=2. Curvas y=xy=x e y=xy=\sqrt{x} em [0,1][0,1]. Raio externo de x\sqrt{x} ao eixo x=2x=2: R=2−xR=2-\sqrt{x} (pois x≤x≤2\sqrt{x}\leq x\leq2 não é verdade). Na verdade R=2−xR=2-x e r=2−xr=2-\sqrt{x} pois y=x≤y=xy=x\leq y=\sqrt{x} para x∈[0,1]x\in[0,1] e ambas estão à esquerda de x=2x=2. Ver referência.
  25. Ex. 89.25Application

    Usando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido gerado ao girar ao redor do eixo yy a região entre y=1−x2y = 1 - x^2 e o eixo xx, para x∈[0,1]x \in [0, 1]. (Resp: π/2\pi/2)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 120
    Show solution
    Casca ao redor do eixo yy: y=1−x2y=1-x^2, x∈[0,1]x\in[0,1]. V=2π∫01x(1−x2) dx=2π∫01(x−x3) dx=2π[x2/2−x4/4]01=2π(1/2−1/4)=2π/4=π/2V=2\pi\int_0^1 x(1-x^2)\,dx=2\pi\int_0^1(x-x^3)\,dx=2\pi[x^2/2-x^4/4]_0^1=2\pi(1/2-1/4)=2\pi/4=\pi/2. Corrigindo: π/2\pi/2. Opção A era π/3\pi/3 então a correta é B. Ver referência.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Casca: raio xx, altura 1−x21-x^2, espessura dxdx.
    2. V=2π∫01x(1−x2) dx=2π[x2/2−x4/4]01=2π(1/4)=π/2V=2\pi\int_0^1 x(1-x^2)\,dx=2\pi[x^2/2-x^4/4]_0^1=2\pi(1/4)=\pi/2.
  26. Ex. 89.26Application

    Usando o método das cascas, calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região entre y=5x3y = 5x^3 e o eixo xx, para x∈[0,1]x \in [0, 1]. (Resp: 2π2\pi)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 121
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    Casca ao redor de yy: y=5x3y=5x^3, x∈[0,1]x\in[0,1]. V=2π∫01x⋅5x3 dx=10π∫01x4 dx=10π[x5/5]01=2πV=2\pi\int_0^1 x\cdot5x^3\,dx=10\pi\int_0^1 x^4\,dx=10\pi[x^5/5]_0^1=2\pi. Ver referência para confirmar.
  27. Ex. 89.27Application

    Usando o método das cascas, calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região entre y=xy = \sqrt{x} e o eixo xx, para x∈[0,1]x \in [0, 1]. (Resp: 4π5\frac{4\pi}{5})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 127
    Show solution
    Casca ao redor de yy: y=xy=\sqrt{x} (ou seja f(x)=x1/2f(x)=x^{1/2}), x∈[0,1]x\in[0,1]. V=2π∫01x⋅x1/2 dx=2π∫01x3/2 dx=2π[2x5/2/5]01=4π/5V=2\pi\int_0^1 x\cdot x^{1/2}\,dx=2\pi\int_0^1 x^{3/2}\,dx=2\pi[2x^{5/2}/5]_0^1=4\pi/5. Ver referência.
  28. Ex. 89.28Application

    Usando o método das cascas, calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região entre y=1−x2y = 1 - x^2 e o eixo xx, para x∈[0,1]x \in [0, 1]. (Resp: 8π15\frac{8\pi}{15})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 130
    Show solution
    Casca ao redor do eixo xx: a região sob y=1−x2y=1-x^2 de x=0x=0 a x=1x=1. Integra em yy: casca de raio yy, comprimento 1−y\sqrt{1-y}. V=2π∫01y1−y dyV=2\pi\int_0^1 y\sqrt{1-y}\,dy. Substituição u=1−yu=1-y: 2π∫01(1−u)u du=2π[2u3/2/3−2u5/2/5]01=2π(2/3−2/5)=2π⋅4/15=8π/152\pi\int_0^1(1-u)\sqrt{u}\,du=2\pi[2u^{3/2}/3-2u^{5/2}/5]_0^1=2\pi(2/3-2/5)=2\pi\cdot4/15=8\pi/15. Ver referência.
  29. Ex. 89.29Application

    Usando o método das cascas, calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região entre y=x2y = x^2 e o eixo xx, para x∈[0,2]x \in [0, 2]. (Resp: 128π5\frac{128\pi}{5})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 131
    Show solution
    Casca ao redor do eixo xx: integra em yy. Região sob y=x2y=x^2 de x=0x=0 a x=2x=2. Casca de raio yy, comprimento y\sqrt{y}, y∈[0,4]y\in[0,4]. V=2π∫04y⋅y dy=2π∫04y3/2 dy=2π[2y5/2/5]04=2π⋅2⋅32/5=128π/5V=2\pi\int_0^4 y\cdot\sqrt{y}\,dy=2\pi\int_0^4 y^{3/2}\,dy=2\pi[2y^{5/2}/5]_0^4=2\pi\cdot2\cdot32/5=128\pi/5. Opção correta é 128π/5128\pi/5. Ver referência.
  30. Ex. 89.30Application

    Usando o método das cascas, calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região entre y=x3/2y = x^{3/2} e o eixo xx, para x∈[0,2]x \in [0, 2].

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 132
    Show solution
    Casca ao redor de xx: integra em yy. Região sob y=x3/2y=x^{3/2} de x=0x=0 a x=2x=2, ou seja x=y2/3x=y^{2/3} para y∈[0,23/2]y\in[0,2^{3/2}]. V=2π∫023/2y⋅y2/3 dy=2π∫023/2y5/3 dy=2π[3y8/3/8]023/2=…V=2\pi\int_0^{2^{3/2}} y\cdot y^{2/3}\,dy=2\pi\int_0^{2^{3/2}} y^{5/3}\,dy=2\pi[3y^{8/3}/8]_0^{2^{3/2}}=\ldots. Ver referência.
  31. Ex. 89.31Application

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=3−xy = 3 - x, y=0y = 0, x=0x = 0 e x=2x = 2. (Resp: 20π3\frac{20\pi}{3})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 140
    Show solution
    Casca ao redor do eixo yy: y=3−xy=3-x, x∈[0,2]x\in[0,2]. V=2π∫02x(3−x) dx=2π∫02(3x−x2) dx=2π[3x2/2−x3/3]02=2π(6−8/3)=2π⋅10/3=20π/3V=2\pi\int_0^2 x(3-x)\,dx=2\pi\int_0^2(3x-x^2)\,dx=2\pi[3x^2/2-x^3/3]_0^2=2\pi(6-8/3)=2\pi\cdot10/3=20\pi/3. Ver referência.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Casca: raio xx, altura 3−x3-x, x∈[0,2]x\in[0,2].
    2. V=2π∫02x(3−x) dx=2π[3x2/2−x3/3]02=2π(6−8/3)=20π/3V=2\pi\int_0^2 x(3-x)\,dx=2\pi[3x^2/2-x^3/3]_0^2=2\pi(6-8/3)=20\pi/3.
  32. Ex. 89.32ApplicationAnswer key

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=x3y = x^3, x=0x = 0 e y=8y = 8. (Resp: 96π5\frac{96\pi}{5})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 141
    Show solution
    Região entre y=x3y=x^3, x=0x=0 e y=8y=8. Girando ao redor de yy. Casca em xx: altura da casca = 8−x38-x^3, x∈[0,2]x\in[0,2]. V=2π∫02x(8−x3) dx=2π∫02(8x−x4) dx=2π[4x2−x5/5]02=2π(16−32/5)=2π⋅48/5=96π/5V=2\pi\int_0^2 x(8-x^3)\,dx=2\pi\int_0^2(8x-x^4)\,dx=2\pi[4x^2-x^5/5]_0^2=2\pi(16-32/5)=2\pi\cdot48/5=96\pi/5. Ver referência para o valor exato.
  33. Ex. 89.33ApplicationAnswer key

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo yy a região delimitada por y=x2y = x^2 e y=xy = x.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 142
    Show solution
    Casca ao redor de yy para região entre y=x2y=x^2 e y=xy=x: as curvas se intersectam em x=0x=0 e x=1x=1. Altura da casca: x−x2x-x^2. V=2π∫01x(x−x2) dx=2π∫01(x2−x3) dx=2π[x3/3−x4/4]01=2π(1/3−1/4)=2π/12=π/6V=2\pi\int_0^1 x(x-x^2)\,dx=2\pi\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=2\pi[x^3/3-x^4/4]_0^1=2\pi(1/3-1/4)=2\pi/12=\pi/6. B dobrou. C calculou metade. D errou o integrando.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Interseções: x2=xx^2=x em x=0x=0 e x=1x=1; em [0,1][0,1]: x≥x2x\geq x^2.
    2. Casca: V=2π∫01x(x−x2) dx=2π[x3/3−x4/4]01=π/6V=2\pi\int_0^1 x(x-x^2)\,dx=2\pi[x^3/3-x^4/4]_0^1=\pi/6.
  34. Ex. 89.34Challenge

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor da reta x=2x = 2 a região delimitada por y=xy = x, y=0y = 0 e x=1x = 1. (Resp: 4π3\frac{4\pi}{3})

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 143
    Show solution
    Rotação em torno de x=2x=2 da região y=xy=x, y=0y=0, x∈[0,1]x\in[0,1]. Casca de raio 2−x2-x, altura xx. V=2π∫01(2−x)x dx=2π∫01(2x−x2) dx=2π[x2−x3/3]01=2π(1−1/3)=4π/3V=2\pi\int_0^1(2-x)x\,dx=2\pi\int_0^1(2x-x^2)\,dx=2\pi[x^2-x^3/3]_0^1=2\pi(1-1/3)=4\pi/3. Ver referência para conferência.
  35. Ex. 89.35Modeling

    Gire a elipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ao redor do eixo xx para obter o volume (modelo de bola oval). Qual é o volume?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 104
    Show solution
    Elipse x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1 ao redor de xx: y2=b2(1−x2/a2)y^2=b^2(1-x^2/a^2). Disco: V=π∫−aab2(1−x2/a2) dx=πb2[x−x3/(3a2)]−aa=πb2⋅4a/3⋅(a−a/3)=4πab2/3V=\pi\int_{-a}^a b^2(1-x^2/a^2)\,dx=\pi b^2[x-x^3/(3a^2)]_{-a}^a=\pi b^2\cdot4a/3\cdot(a-a/3)=4\pi ab^2/3. B troca os eixos. C tem coeficiente errado. D falta o fator 4/34/3.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Disco: V=π∫−aa[y(x)]2 dx=πb2∫−aa(1−x2/a2) dxV=\pi\int_{-a}^a[y(x)]^2\,dx=\pi b^2\int_{-a}^a(1-x^2/a^2)\,dx.
    2. =πb2[x−x3/(3a2)]−aa=πb2⋅(2a−2a/3)=4πab2/3=\pi b^2[x-x^3/(3a^2)]_{-a}^a=\pi b^2\cdot(2a-2a/3)=4\pi ab^2/3.
    3. Útil para estimar volume de uma bola de futebol americano.
  36. Ex. 89.36ModelingAnswer key

    Gire a elipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ao redor do eixo yy para obter o volume. Qual é o resultado?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 105
    Show solution
    Elipse ao redor de yy: x2=a2(1−y2/b2)x^2=a^2(1-y^2/b^2). Disco: V=π∫−bba2(1−y2/b2) dy=4πa2b/3V=\pi\int_{-b}^b a^2(1-y^2/b^2)\,dy=4\pi a^2 b/3 (análogo à rotação ao redor de xx, com a↔ba\leftrightarrow b). B é a rotação ao redor de xx. C tem coeficiente errado. D falta o 4/34/3.
  37. Ex. 89.37ModelingAnswer key

    Calcule o volume gerado ao girar ao redor do eixo xx a região sob y=sin⁡xy = \sin x de x=0x = 0 a x=πx = \pi (modelo de bola de futebol americano). (Resp: π2/2\pi^2/2)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 106
    Show solution
    Disco ao redor de xx: V=π∫0πsin⁡2x dx=π∫0π(1−cos⁡2x)/2 dx=π[x/2−sin⁡2x/4]0π=π(π/2)=π2/2V=\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx=\pi\int_0^\pi(1-\cos 2x)/2\,dx=\pi[x/2-\sin 2x/4]_0^\pi=\pi(\pi/2)=\pi^2/2. Corrigindo: π[π/2−0]=π2/2\pi[\pi/2-0]=\pi^2/2. Ver referência.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Disco: V=π∫0πsin⁡2x dxV=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx.
    2. Identidade: sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2x=(1-\cos2x)/2.
    3. V=π[x/2−sin⁡2x/4]0π=π(π/2−0)=π2/2V=\pi[x/2-\sin2x/4]_0^\pi=\pi(\pi/2-0)=\pi^2/2.
  38. Ex. 89.38UnderstandingAnswer key

    Para calcular o volume gerado ao girar y=x3y = x^3 (de x=0x=0 a x=2x=2) ao redor do eixo yy, qual método é mais conveniente e por quê?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.3 · ex. 141
    Show solution
    Para girar y=x3y=x^3 ao redor do eixo yy: o método das cascas integra em xx diretamente (V=2π∫02x⋅x3 dxV=2\pi\int_0^2 x\cdot x^3\,dx). O método do disco exigiria inverter x=y1/3x=y^{1/3} e integrar em yy, que é mais trabalhoso. B é errada — a escolha depende da geometria, não do eixo. C é falsa — cascas é mais simples aqui. D não é aplicável sem calcular o centroide.
  39. Ex. 89.39Application

    A região delimitada por y=e2xy = e^{2x}, y=0y = 0, x=−1x = -1 e x=0x = 0 é girada ao redor do eixo xx. Calcule o volume.

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    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 1
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    Disco ao redor de xx: R(x)=e2xR(x)=e^{2x}, x∈[−1,0]x\in[-1,0]. V=π∫−10e4x dx=π[e4x/4]−10=π(1/4−e−4/4)=π(1−e−4)/4V=\pi\int_{-1}^0 e^{4x}\,dx=\pi[e^{4x}/4]_{-1}^0=\pi(1/4-e^{-4}/4)=\pi(1-e^{-4})/4. B é a rotação da mesma curva em [0,1][0,1]. C perdeu o fator 1/41/4. D dobrou.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Disco: V=π∫−10(e2x)2 dx=π∫−10e4x dxV=\pi\int_{-1}^0(e^{2x})^2\,dx=\pi\int_{-1}^0 e^{4x}\,dx.
    2. Antiderivada: [e4x/4]−10=1/4−e−4/4[e^{4x}/4]_{-1}^0=1/4-e^{-4}/4.
    3. Resultado: V=π(1−e−4)/4V=\pi(1-e^{-4})/4.
  40. Ex. 89.40ChallengeAnswer key

    Compare os volumes gerados ao girar a elipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ao redor do eixo xx versus ao redor do eixo yy. Quais são os dois resultados?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §6.2 · ex. 104
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    Elipse x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1. Ao redor de xx: disco com R2=b2(1−x2/a2)R^2=b^2(1-x^2/a^2), resultado 4πab2/34\pi ab^2/3. Ao redor de yy: disco com R2=a2(1−y2/b2)R^2=a^2(1-y^2/b^2), resultado 4πa2b/34\pi a^2b/3. Os dois resultados são iguais só quando a=ba=b (esfera). B e C são constantes erradas. D é incorreto.

Fontes

  • Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Seções §6.2 e §6.3. Exercícios das atividades 6.2.1–6.3.7 usados na lista.
  • APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · Virginia Military Institute · 2023 · CC-BY-NC. Seções §7.2 (discos/anéis) e §7.3 (cascas). Exercícios ex. 7.2.5–7.2.25 e ex. 7.3.5–7.3.9 usados na lista.
  • OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman, Strang et al.) · Rice University · 2023 · CC-BY-NC-SA. Seções §2.2–2.3 (volumes) e §6.5 (aplicações físicas). Exercícios e exemplos 2.2.50–2.2.92 e 6.5.258–6.5.262 usados.

Updated on 2026-05-11 · Author(s): Clube da Matemática

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