v1 · padrão canônico

Lesson 90 — Consolidation Term 9 (integral calculus)

Integrator workshop: antiderivative, definite integral, FTC, substitution, parts, partial fractions, trig integrals, area and volume.

Used in: 3rd year HS (17–18 yrs) · Equiv. Math III Japanese (ch. 5–6) · Equiv. German Leistungskurs Integralrechnung II

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \int u\,dv = uv - \int v\,du, \quad A = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx

O cálculo integral completo do trimestre 9 em três fórmulas: o Teorema Fundamental que conecta antiderivada e integral definida, a integração por partes que inverte a regra do produto, e a fórmula de área entre curvas. Cada técnica (substituição, parciais, trig) é um modo de reduzir o integrando a uma dessas formas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese rigorosa do trimestre

Mapa conceitual do cálculo integral

Árvore de decisão — "Que técnica usar?"

Fluxo de decisão para integrar $\int f\,dx$ . Siga de cima para baixo; aplique a primeira técnica que se encaixa.

Tabela rápida de antiderivadas fundamentais

Aplicações canônicas

Definition· Área e volume por integração

Área entre curvas. Se $f(x) \geq g(x)$ em $[a, b]$ :

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

Volume por discos/anéis. Revolução de $y = f(x)$ em torno do eixo $x$ :

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

Para anel (região entre $f$ e $g$ , $f \geq g \geq 0$ ):

$V = \pi \int_a^b \bigl([f(x)]^2 - [g(x)]^2\bigr)\,dx$

Volume por cascas cilíndricas. Revolução de $y = f(x) \geq 0$ em torno do eixo $y$ :

$V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$

"O método das cascas cilíndricas é preferível quando a região gira em torno de um eixo paralelo ao eixo de integração." — APEX Calculus §7.3, p. 359

Exemplos resolvidos

Example— 1· TFC2 aplicado com substituição nos limites (aplicação)

Problema: Calcule $\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ .

Estratégia: O integrando tem a forma $f(g(x)) \cdot g'(x)$ com $g(x) = x^2$ e $g'(x) = 2x$ . Aplica-se substituição $u = x^2$ e troca-se os limites de integração diretamente em $u$ .

Resolução:

Faça $u = x^2$ , então $du = 2x\,dx$ .

Limites: $x = 0 \Rightarrow u = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow u = 1$ .

$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

Verificação: A antiderivada de $2x e^{x^2}$ é $e^{x^2}$ (derivando: $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$ ✓). Avaliando: $e^{1^2} - e^{0^2} = e - 1 \approx 1{,}718$ .

Fonte. Active Calculus §5.3, Activity 5.3.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Integração por partes iterada — xe^x (intermediário)

Problema: Calcule $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ .

Estratégia: Produto de polinômio por exponencial, sem relação de cadeia entre eles. Usa-se integração por partes com LIATE: $u = x^2$ (algébrica) e $dv = e^x\,dx$ (exponencial). Será necessário aplicar partes duas vezes.

Resolução:

1.ª aplicação: $u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$

2.ª aplicação (para $\int 2x e^x\,dx$ ): $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int 2x e^x\,dx = 2x e^x - \int 2 e^x\,dx = 2x e^x - 2e^x$

Resultado final:

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

Verificação: $\frac{d}{dx}\bigl[(x^2 - 2x + 2)e^x\bigr] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x$ ✓.

Fonte. APEX Calculus §8.1, Example 8.1.4 — CC-BY-NC.

Example— 3· Frações parciais — denominador com dois fatores lineares (intermediário)

Problema: Calcule $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$ .

Estratégia: O integrando é racional com $\deg(\text{num}) < \deg(\text{den})$ . Fatorar o denominador: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Decompor em frações parciais.

Resolução:

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Multiplicando ambos os lados por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

$x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1$ : $1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1/2}{x-1}\,dx + \int \frac{-1/2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$

$= \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C$

Verificação: Derivando: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x^2-1}$ ✓.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2 §3.4, Example 3.4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Área entre parábola e reta (aplicação)

Problema: Calcule a área da região delimitada por $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 2$ .

Estratégia: Encontrar as interseções (pontos onde $f = g$ ), determinar qual curva está acima em cada subintervalo, e integrar a diferença.

Resolução:

Interseções: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$ ou $x = 2$ .

Qual é "de cima"? Para $x \in (-1, 2)$ : $g(0) = 2 > f(0) = 0$ , logo $g \geq f$ .

$A = \int_{-1}^2 [g(x) - f(x)]\,dx = \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2)\,dx$

$= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2 = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Verificação: $9/2 = 4{,}5$ unidades quadradas. A parábola e a reta formam uma região de forma de gota — resultado razoável para um intervalo de comprimento 3.

Fonte. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Volume de revolução pelo método de cascas (avançado)

Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por $y = \ln x$ , $y = 0$ e $x = e$ em torno do eixo $y$ .

Estratégia: A região está à direita do eixo $y$ . Rotação em torno do eixo $y$ com integração em $x$ sugere o método de cascas cilíndricas: $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ .

Resolução:

O sólido vai de $x = 1$ (pois $\ln 1 = 0$ ) até $x = e$ .

$V = 2\pi \int_1^e x \ln x\,dx$

Aplica-se integração por partes: $u = \ln x$ , $dv = x\,dx$ ; $du = dx/x$ , $v = x^2/2$ .

$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

Avaliando:

$\int_1^e x \ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

$V = 2\pi \cdot \frac{e^2 + 1}{4} = \frac{\pi(e^2 + 1)}{2} \approx \frac{\pi \cdot 8{,}389}{2} \approx 13{,}18$

Verificação: Para $x \in [1, e]$ , a casca tem raio $x$ e altura $\ln x$ . O resultado tem a dimensão correta (unidade³). $\approx 13{,}18$ é razoável para esta região.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2 §2.3, Example 2.3.4 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 36Understanding 3Challenge 1

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1–4.4, §5.1–6.2. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1–3.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · cap. 5–8.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$x^{-1}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$