Lección 1 — Conjuntos numéricos, intervalos, notación

Lista, en notación de llaves, el conjunto $A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 5\}$.

Escribe en notación de intervalo: $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 8\}$.

Escribe en notación de intervalo: $\{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$.

Dados $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ y $B = \{4, 5, 6, 7\}$, calcula $A \cap B$.

Con los mismos $A$ y $B$ del elemento anterior, calcula $A \cup B$.

Aún con los mismos $A, B$: calcula $A \setminus B$ (elementos que están en $A$ pero no en $B$).

Calcula $[3, 10] \cap (1, 7)$.

Calcula $[3, 10] \cup (1, 7)$.

$(-\infty, 0] \cup [0, +\infty) = ?$

$(-\infty, 0] \cap [0, +\infty) = ?$

Verdadero o falso: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$. (Usa V o F.)

Verdadero o falso: $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N}$.

Verdadero o falso: $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ pero $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Resuelve y expresa en intervalo: $|2x - 3| \leq 5$.

Resuelve y expresa en intervalo: $|x| > 2$.

Resuelve: $2 \leq |x| \leq 3$.

Muestra que si $A \subseteq B$ y $B \subseteq C$, entonces $A \subseteq C$.

Sean $A = (1, 5)$ y $B = [2, 7)$. Encuentra $A \cap B$ y $A \cup B$. Representa también en una recta numérica.

Simplifica: $(A^c \cap B^c)^c$.

Sean $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \leq 4\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}$. Determina $A \cap B$ en notación de intervalo.

Una agencia reguladora clasifica un motor como ineficiente si su rendimiento $\eta$ es menor que $30\%$, medio si $30\% \leq \eta < 70\%$, y eficiente si $\eta \geq 70\%$. Expresa cada rango en notación de intervalo (con $\eta \in [0, 1]$).

El prospecto de un medicamento indica dosis pediátrica como $0,5 \leq m \leq 12,5$ mg/kg de peso corporal. Para un niño de 30 kg, ¿cuál es el intervalo de dosis total recomendado en mg?

Estás programando un termostato. Enciende el calentador cuando temperatura $T < 18\,°C$ y apaga cuando $T \geq 22\,°C$. (a) Determina el intervalo de "temperaturas en que el calentador está encendido" en función de $T$ medido. (b) Nota que el intervalo $[18, 22)$ es "ambiguo" — explica qué sucede con la histéresis del termostato.

En una encuesta, $80\%$ de las personas leen el periódico A, $40\%$ leen el B, y $30\%$ leen los dos. ¿Qué porcentaje lee al menos uno de los periódicos? ¿Y qué porcentaje no lee ninguno de los dos?

En una clase de 100 alumnos: 50 hacen matemática, 30 física, 25 química. 10 hacen matemática y física, 8 matemática y química, 5 física y química, y 3 hacen las tres. ¿Cuántos alumnos no hacen ninguna de las tres?

Resuelve: $|x - 1| + |x + 2| \leq 5$. Expresa la respuesta en intervalo.

Demostración clásica. Prueba que $\sqrt{2}$ es irracional.

Demuestra una de las leyes de De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.

Muestra que entre cualesquiera dos racionales distintos existe otro racional. (Densidad de ℚ.)

¿Cuántos números enteros pertenecen al conjunto $\{x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 \leq 0\}$?

Resuelve $|x - 1| \leq 5$.

Resuelve $|x - 1| \geq 2$.

Resuelve $|2x - 4| < 6$.

Resuelve $|3x + 1| > 7$.

Resuelve $|x + 2| < -3$.

Resuelve $|x + 5| > -1$.

Sean $A = (-\infty, 4]$ y $B = [-2, 6)$. Determina $A \cap B$ y $A \cup B$ en notación de intervalo.

Sean $A = [1, 8]$, $B = (3, 12]$ y $C = (-\infty, 5]$. Calcula $(A \cap B) \cup C$.

En notación de conjunto, expresa "todos los reales mayores que $-3$ y menores o iguales a $7$, excepto $2$".

Resuelve $|2x - 1| + 3 \leq 8$ y expresa en intervalo.

Resuelve el sistema $\begin{cases} x \geq 0 \\ |x - 4| \leq 2 \end{cases}$.

Resuelve el sistema $\begin{cases} -3 \leq x \leq 5 \\ x^2 \geq 4 \end{cases}$. Expresa la solución en unión de intervalos.

Verdadero o falso: $|a - b| = |b - a|$ para todo $a, b \in \mathbb{R}$. Justifica sin usar valores numéricos.

Muestra que $|a + b| \leq |a| + |b|$ (desigualdad triangular) probando con (a) $a = 3, b = -5$; (b) $a = -2, b = 4$; (c) $a = 0, b = -1$.

Determina el conjunto $\{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 4\}$ por enumeración.

Una industria afora la tensión de salida de un equipo con tolerancia de $\pm 0,3$ V alrededor de $12$ V. Expresa la faixa aceptable $V$ como intervalo.

La presión arterial saludable en adultos está clasificada (SBC, 2025) como óptima cuando sistólica $< 120$ mmHg y diastólica $< 80$ mmHg. Expresa "presión óptima" como subconjunto del producto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

En una balanza industrial, piezas con masa en $[995, 1\,005]$ g se consideran dentro del patrón. Expresa "fuera del patrón" como unión de intervalos.

En control estadístico de proceso, se define UCL (límite superior) y LCL (límite inferior) para una variable $X$. El proceso está bajo control si $X \in [\text{LCL}, \text{UCL}]$. Para $\text{LCL} = 9,7$ kg y $\text{UCL} = 10,3$ kg, indica si las medidas $X = 9,65$, $X = 10,1$, $X = 10,35$ están dentro del control.

Una cooperativa paga R$ 1,80/L de leche hasta 1.000 L/mes; entre 1.000 y 5.000 L paga R$ 2,00/L; arriba de 5.000 L paga R$ 2,30/L. Modela el pago $P(q)$ como función por partes definida en $\{q \in \mathbb{R} : q \geq 0\}$. (Esta función volverá como función afín por partes en Lección 3.)

La franja aceptable de pH para agua potable es $[6{,}0, 9{,}5]$. Considera $9$ muestras con pH: $5{,}8 \mid 6{,}1 \mid 6{,}5 \mid 7{,}0 \mid 7{,}3 \mid 8{,}9 \mid 9{,}5 \mid 9{,}8 \mid 10{,}2$. ¿Cuántas muestras están dentro de la franja? Expresa en conjunto.

En una balanza de producción, el error de medición $\epsilon$ satisface $|\epsilon| \leq 0{,}5\%$ del valor leído. Para una lectura de $200{,}0$ g, ¿en qué intervalo está el valor verdadero?

Un GPS comercial tiene precisión $\pm 3$ m en condiciones normales. Si el aparato indica coordenada $x = 47{,}25$ m, describe la franja de incertidumbre como intervalo.

La frecuencia cardíaca máxima recomendada para ejercicio aeróbico es $0{,}85 \cdot (220 - \text{edad})$. Para una persona de 30 años, expresa la franja "ejercicio leve hasta moderado" como $[60\%,\ 75\%]$ de esa frecuencia. Calcula numéricamente.

Para un circuito electrónico operar correctamente, la tensión de alimentación $V$ debe satisfacer: $V \geq 4{,}5$ V y $V \leq 5{,}5$ V y $V \neq 5{,}0$ V (limitación del regulador). Expresa el conjunto de tensiones aceptables como unión de intervalos disjuntos.

Muestra que entre cualesquiera 11 números enteros entre 1 y 20, siempre hay dos que difieren por exactamente 5. (Principio de casas de palomas.)

El conjunto de Cantor es construido removiendo el tercio medio de $[0, 1]$ recursivamente. Después de $n$ etapas, ¿cuál es el largo total de los intervalos remanentes? ¿Para cuál valor tiende ese largo cuando $n \to \infty$?

Demuestra que si $A \subseteq B$, entonces $A \cup B = B$ y $A \cap B = A$.

Prueba que $\sqrt{3}$ es irracional. (Adapta la demostración de $\sqrt{2}$.)

Demuestra la otra ley de De Morgan: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.