Lección 2 — Funciones: definición, dominio, imagen

Determina el dominio máximo de $f(x) = 3x + 1$.

Determina el dominio máximo de $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.

Determina el dominio máximo de $h(x) = \sqrt{x - 5}$.

Determina el dominio máximo de $f(x) = \dfrac{1}{(x+2)(x-3)}$.

Sea $f(x) = 2x^2 + 2$. Calcula $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$.

¿Es inyectiva la función $f(x) = 3x - 1$? Justifica.

¿Es inyectiva la función $g(x) = x^2$ definida en $\mathbb{R}$?

¿Cuál es la imagen de $g(x) = x^2$ definida en $\mathbb{R}$?

Para la función a trozos $f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 3 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ calcula $f(-3)$ y $f(2)$.

Determina el dominio y la imagen de $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Sean $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 1$. Calcula $(f \circ g)(x)$.

Con los mismos $f, g$ de arriba, calcula $(g \circ f)(x)$.

Determina la inversa de $f(x) = 3x + 1$.

¿Por qué $f(x) = x^2$ definida en $\mathbb{R}$ no tiene inversa? ¿Y en $[0, +\infty)$?

¿Es biyectiva la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3$?

¿Es sobreyectiva la función $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$ definida por $g(x) = x^2$? ¿Y inyectiva?

Sean $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x + 3$. Calcula $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$ y muestra que son distintas.

Determina $f(x)$ sabiendo que $(f \circ g)(x) = 3x + 4$ y $g(x) = x - 1$.

Sean $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funciones tales que $(f \circ g)(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = x + 1$. Determina $f(x)$.

Demuestra: la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

Determina el dominio máximo de $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 9}$.

Determina el dominio máximo de $f(x) = \sqrt{4 - x}$.

Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Determina el dominio de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$.

Determina el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$.

Usa el test de la recta horizontal para decidir si $f(x) = x^3 - 3x$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.

¿Es inyectiva la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3$? ¿Sobreyectiva? ¿Biyectiva?

Sean $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = x^2$. Calcula $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ f$, $g \circ g$.

Determina $f(x)$ sabiendo que $(f \circ g)(x) = 4x^2 - 4x + 5$ y $g(x) = 2x - 1$. (Pista: haz $u = 2x - 1$.)

Esboza $f(x) = |x - 3|$ a partir del gráfico de $|x|$. ¿Qué transformación ocurrió?

Esboza $f(x) = -2(x+1)^2 + 4$ a partir de transformaciones sobre $x^2$.

Decide si cada función de abajo es par, impar o ni par ni impar: (a) $f(x) = x^4 - x^2$; (b) $g(x) = x^3 + x$; (c) $h(x) = x^2 + x$.

Considera la función característica $\chi_A(x) = 1$ si $x \in A$, $0$ en caso contrario. Para $A = [0, 1]$, determina el dominio y la imagen.

Verifica que $\sin x$ tiene período $2\pi$. ¿Existe un período menor?

Calcula la distancia euclídea entre $(1, 2)$ y $(5, 7)$.

Para desplazar el gráfico de $y = f(x)$ dos unidades hacia abajo, ¿qué transformación aplicar?

Para desplazar $y = f(x)$ tres unidades hacia la derecha, escribe $g(x) =$ ?

Determina dominio, imagen y clasifica $f(x) = x^3 + 3x + 1$.

Diferencia la dilatación vertical $g(x) = 2 f(x)$ de la dilatación horizontal $g(x) = f(2x)$.

Determina el dominio y la imagen de $f(x) = 1/x$.

Un taxi cobra R$ 5,50 fijos + R$ 3,10 por km (en reales brasileños). (a) Escribe la función de coste $T(d)$. (b) ¿Cuánto cuesta una carrera de 12 km? (c) ¿Para qué distancia el coste es R$ 80?

Una piscina vacía se llena a 200 L/min. Modela $V(t)$ en litros como función del tiempo $t$ en minutos. Capacidad total 8000 L. Determina el dominio físico y la imagen.

Calcula el IMC de una persona de 70 kg y 1,75 m. ¿En qué franja de la OMS se encuentra?

Una fábrica produce $q$ unidades por día con coste $C(q) = 100 + 8q + 0{,}1q^2$ reales. (a) ¿Coste fijo? (b) ¿Coste medio en $q = 50$? (c) ¿Coste marginal de la 51.ª unidad?

Una bacteria se duplica cada 30 min. Modela $N(t)$ si $N(0) = 100$.

La frecuencia cardíaca máxima recomendada es $F_{max}(\text{edad}) = 220 - \text{edad}$. Calcula para edades 30, 50, 70.

La función $V(t) = 30\,000 \cdot (0{,}85)^t$ modela el valor de reventa de un coche $t$ años después de la compra. (a) ¿$V(0)$? (b) ¿$V(5)$? (c) ¿Para qué $t$ el valor cae por debajo de R$ 10.000?

Modela matemáticamente: "la suma de dos números es 30 y el producto es máximo". (Adelanto de cuadrática — Lección 4.)

En una fábrica, cada operario monta 12 productos/día. A partir de 50 operarios, cada operario adicional solo monta 8 productos. Modela $P(n)$ como función a trozos.

Una piscina rectangular tiene perímetro fijo de 30 m. Modela el área $A$ en función del largo $\ell$. Determina el dominio físico y el área máxima.