v1 · padrão canônico

Lección 3 — Funciones afines (1.er grado)

Función afín f(x) = ax + b. Inclinación como tasa de variación CONSTANTE — puente conceptual para derivada.

Used in: 1.º año EM

f(x) = ax + b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición y propiedades

$a$ : coeficiente angular (pendiente, inclinación)
$b$ : coeficiente lineal (intersección en y)
Gráfica: recta. $a > 0$ : creciente. $a < 0$ : decreciente. $a = 0$ : constante.

(1)

what this means · Tasa de variación entre dos puntos de la recta. Para función afín, este valor es CONSTANTE — no depende de qué par de puntos elijas. Es esa constancia lo que caracteriza la función afín entre todas las demás.

"La inclinación de una recta que pasa por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Cero de la función e intersección

$f(x) = 0 \iff x = -b/a$ (cuando $a \neq 0$ ). El par $(0, b)$ es la intersección vertical. El par $(-b/a, 0)$ es el cero (o intersección horizontal).

Teorema de la unicidad por dos puntos

Demostración (esbozo). Existencia: define $a$ por la fórmula anterior y $b = y_1 - a x_1$ . Se verifica $f(x_1) = y_1$ por construcción, y $f(x_2) = a(x_2 - x_1) + y_1 = (y_2 - y_1) + y_1 = y_2$ . Unicidad: si $g(x) = a' x + b'$ también satisface $g(x_i) = y_i$ , entonces $a' = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = a$ y $b' = y_1 - a' x_1 = b$ . ∎

Composición y operaciones

Sean $f(x) = a_1 x + b_1$ y $g(x) = a_2 x + b_2$ . Entonces:

Suma: $(f + g)(x) = (a_1 + a_2) x + (b_1 + b_2)$ — afín, con pendientes sumadas.
Composición: $(f \circ g)(x) = a_1 (a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1)$ — afín, con pendientes multiplicadas.
Inversa (si $a_1 \neq 0$ ): $f^{-1}(y) = (y - b_1)/a_1$ — también afín, con pendiente $1/a_1$ .

El conjunto de funciones afines invertibles ( $a \neq 0$ ) con la operación de composición forma un grupo — la estructura $(\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \circ)$ . Esta observación se usará en álgebra lineal (Lección 31+) y en geometría afín.

Familia de rectas paralelas

Familia de rectas con la misma pendiente a = 1 e intersecciones diferentes b. Traslación vertical: cambiar b solo desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo, sin girar.

Familia de rectas concurrentes

Familia con la misma intersección (0, 1) e inclinaciones diferentes — todas se cruzan en ese punto. Rotación: cambiar a gira la recta en torno a la intersección.

Ejemplos resolvidos

Cinco ejemplos con dificultad creciente — de la evaluación directa de una recta dada a la modelización de un break-even de planes de internet. Cada ejemplo cita la fuente: el problema original siempre viene de un libro abierto.

Example— 1· Ejemplo 1 — Identificar coeficientes y cero (aplicación)

Problema: Para $f(x) = -\dfrac{2}{3} x + 4$ , determina: coeficiente angular $a$ , coeficiente lineal $b$ , cero de la función y el valor de $f(6)$ .

Estrategia: Comparación directa con la forma reducida $y = ax + b$ . El cero es $x_0 = -b/a$ ; $f(6)$ es evaluación numérica directa.

Resolución:

Coeficientes. Comparando: $a = -2/3$ , $b = 4$ .
Cero. $f(x) = 0 \iff -\tfrac{2}{3}x + 4 = 0 \iff x = 6$ .
$f(6)$ . $f(6) = -\tfrac{2}{3}(6) + 4 = -4 + 4 = 0$ . Coincide con el ítem 2 — $x = 6$ es el cero.

Verificación: Como $a < 0$ , la función es decreciente. En $x = 0$ , $f(0) = 4$ (intersección vertical). En $x = 6$ , cruza el eje $x$ . ✓

Fuente. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licencia CC-BY 4.0.

Example— 2· Ejemplo 2 — Recta pasando por dos puntos (intermedio)

Problema: Determina la ecuación de la función afín cuya gráfica pasa por $(2, -1)$ y $(5, 8)$ .

Estrategia: Aplicar la fórmula $a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ para la inclinación, luego usar uno de los puntos para encontrar $b$ .

Resolución:

Inclinación. $a = \dfrac{8 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$ .
Intersección. Usando el punto $(2, -1)$ : $-1 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -7$ .
Ecuación. $f(x) = 3x - 7$ .

Verificación: $f(2) = 6 - 7 = -1$ ✓ y $f(5) = 15 - 7 = 8$ ✓.

Fuente. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licencia CC-BY 4.0.

Example— 3· Ejemplo 3 — Rectas paralelas y perpendiculares (intermedio)

Problema: Determina la ecuación de la recta paralela a $y = -2x + 7$ que pasa por $(3, 1)$ , y la ecuación de la recta perpendicular a esa misma recta pasando por el mismo punto.

Estrategia: Las paralelas tienen la misma inclinación ( $a' = a$ ). Las perpendiculares tienen inclinaciones cuyo producto es $-1$ ( $a' = -1/a$ ). En ambos casos, encontrar $b'$ por el punto dado.

Resolución:

Recta paralela. Inclinación $a' = -2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = -2(3) + b' \Rightarrow b' = 7$ . Ecuación: $y = -2x + 7$ . (Espera — coincidió con la recta original. Esto ocurre porque $(3, 1)$ está sobre la recta original.)
Verificación. $-2(3) + 7 = 1$ . ✓ De hecho, $(3, 1)$ pertenece a la recta original; la única recta paralela es ella misma.
Recta perpendicular. Inclinación $a' = -1/(-2) = 1/2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = (1/2)(3) + b' \Rightarrow b' = -1/2$ . Ecuación: $y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}$ .

Verificación: En $x = 3$ : $\tfrac{1}{2}(3) - \tfrac{1}{2} = 1$ . ✓ Producto de las inclinaciones: $(-2) \cdot (1/2) = -1$ . ✓

Fuente. Stitz–Zeager — Precalculus §2.1 — licencia CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Ejemplo 4 — Composición de afines es afín (avanzado)

Problema: Sean $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = -3x + 5$ . Calcula $f \circ g$ , $g \circ f$ y muestra que ambas son afines. Determina los coeficientes resultantes en cada caso.

Estrategia: Sustituir una función en la otra y simplificar para la forma reducida. La composición de dos funciones afines siempre es afín — propiedad-clave que permite construir grupos de transformaciones.

Resolución:

$f \circ g$ . $f(g(x)) = f(-3x + 5) = 2(-3x + 5) + 1 = -6x + 10 + 1 = -6x + 11$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 11$ . Nota que $a$ resultante es el producto $2 \cdot (-3) = -6$ .
$g \circ f$ . $g(f(x)) = g(2x + 1) = -3(2x + 1) + 5 = -6x - 3 + 5 = -6x + 2$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 2$ .
Observación. Ambas tienen la misma inclinación $-6$ (multiplicación de los $a$ 's individuales — conmutativa) pero diferentes intersecciones (no conmutativas en el término constante).

Verificación: En $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = f(5) = 11$ ✓; $(g \circ f)(0) = g(1) = 2$ ✓.

Fuente. OpenStax — College Algebra 2e §5.1 — licencia CC-BY 4.0.

Example— 5· Ejemplo 5 — Modelización real: comparación de planes de taxi (modelización real)

Problema: Dos empresas de taxi compiten en la misma ciudad. Empresa X: tarifa base € 6,00 + € 2,80/km. Empresa Y: tarifa base € 4,00 + € 3,50/km. ¿A partir de qué distancia la Empresa X es más barata?

Estrategia: Modelizar cada coste como función afín, igualar para encontrar el punto de equilibrio, y analizar la comparación para distancias mayores y menores.

Resolución:

Modelos. $C_X(d) = 6 + 2{,}80\,d$ y $C_Y(d) = 4 + 3{,}50\,d$ .
Punto de equilibrio. Igualar: $6 + 2{,}80\,d = 4 + 3{,}50\,d \Rightarrow 2 = 0{,}70\,d \Rightarrow d = 2/0{,}70 \approx 2{,}86$ km.
Comparación. Para $d < 2{,}86$ km, la Empresa Y es más barata (tarifa base menor compensa). Para $d > 2{,}86$ km, la Empresa X es más barata (tasa por km menor compensa).

Verificación: En $d = 5$ km: $C_X = 6 + 14 = 20{,}00$ euros; $C_Y = 4 + 17{,}50 = 21{,}50$ euros. ✓ X es más barata. En $d = 1$ km: $C_X = 8{,}80$ , $C_Y = 7{,}50$ . ✓ Y es más barata.

Fuente. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licencia libre.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 9Modeling 18Challenge 1Proof 1

Ex. 3.1ApplicationAnswer key
Para $f(x) = 3x + 1$ , calcula $f(2)$ .
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Ex. 3.2Application
¿Cuál es el coeficiente angular de $f(x) = 2x - 5$ ?
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Ex. 3.3ApplicationAnswer key
¿Cuál es el coeficiente lineal de $f(x) = 2x - 5$ ?
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Ex. 3.4Application
Encuentra el cero de $f(x) = 2x - 5$ .
Solve online
Ex. 3.5Application
¿ $f(x) = 4x + 3$ es creciente, decreciente o constante?
Solve online
Ex. 3.6Application
¿ $g(x) = -2x + 7$ es creciente, decreciente o constante?
Solve online
Ex. 3.7ApplicationAnswer key
Determina la ecuación de la recta que pasa por $(0, 1)$ y $(2, 5)$ .
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Ex. 3.8Application
Determina la ecuación de la recta que pasa por $(1, 4)$ y $(3, -2)$ .
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Ex. 3.9Understanding
Muestra que la tasa de variación $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$ de $f(x) = ax + b$ es constante e igual a $a$ .
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Ex. 3.10Understanding
Encuentra una recta perpendicular a $y = 3x + 1$ que pase por $(0, 0)$ .
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Ex. 3.11Modeling
La factura de luz cobra fijo € 15,00 + € 0,80/kWh. (a) Modeliza $C(k)$ . (b) ¿Cuánto cuesta consumir 250 kWh? (c) ¿Para cuál consumo la factura alcanza € 200?
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Ex. 3.12Modeling
$F = 1{,}8C + 32$ . (a) ¿20°C en °F? (b) ¿100°F en °C? (c) ¿Existe T con $C = F$ ?
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Ex. 3.13ModelingAnswer key
Una ciudad tenía 1500 habitantes en 2020 y creció linealmente hasta 2500 en 2025. (a) Modeliza $P(t)$ tomando $t = 0$ en 2020. (b) ¿En qué año la población alcanzará 4000?
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Ex. 3.14Challenge
El coche A parte de la posición 0 m a 30 m/s. El coche B parte simultáneamente de la posición 200 m a 25 m/s, en la misma dirección. ¿En qué instante y posición se encuentran?
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Ex. 3.15Proof
Demuestra: la composición de dos funciones afines es también afín.
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Ex. 3.16Application
Determina la ecuación de la recta que pasa por $(3, 5)$ y $(1, 1)$ .
Solve online
Ex. 3.17Application
Determina la ecuación de la recta que pasa por $(-2, 4)$ y $(3, -6)$ .
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Ex. 3.18Application
Recta paralela a $y = 3x + 1$ y pasando por $(0, 5)$ .
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Ex. 3.19ApplicationAnswer key
Recta perpendicular a $y = 2x - 3$ y pasando por $(2, 3)$ .
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Ex. 3.20ApplicationAnswer key
Determina $a$ tal que $y = ax + 2$ e $y = 4x - 5$ sean paralelas.
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Ex. 3.21Application
Determina $a$ tal que $y = ax + 2$ e $y = 4x - 5$ sean perpendiculares.
Solve online
Ex. 3.22Application
Determina el punto de intersección de $y = 2x - 3$ e $y = -x + 3$ .
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Ex. 3.23Application
La recta $r$ pasa por $(0, 4)$ y es perpendicular a la recta $3x + y - 6 = 0$ . Determina su ecuación.
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Ex. 3.24Understanding
Muestra que tres puntos $(0, 1)$ , $(2, 5)$ , $(5, 11)$ son colineales.
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Ex. 3.25Understanding
¿Para cuál valor de $k$ los puntos $(1, 2)$ , $(3, k)$ y $(5, 12)$ son colineales?
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Ex. 3.26Understanding
Encuentra la distancia del origen a la recta $3x - 4y + 12 = 0$ .
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Ex. 3.27Understanding
¿La recta $y = 2x - 5$ es tangente, secante o exterior a la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$ ?
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Ex. 3.28Understanding
Esboza $f(x) = |2x - 4|$ a partir de $|x|$ .
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Ex. 3.29UnderstandingAnswer key
Muestra que $f(x) = ax + b$ es inyectora si y solo si $a \neq 0$ .
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Ex. 3.30Understanding
Calcula el ángulo entre las rectas $y = x + 1$ e $y = 3x - 2$ .
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Ex. 3.31ModelingAnswer key
Un taxi cobra € 5,00 fijos y € 2,80/km. Modeliza la tarifa $T(d)$ y calcula para 6 km.
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Ex. 3.32Modeling
Factura de agua: € 25 fijo + € 4,50/m³. ¿Para cuál consumo la factura excede € 100?
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Ex. 3.33Modeling
Operadora 1: € 30 fijo + € 0,40/min. Operadora 2: € 50 fijo + € 0,15/min. ¿A partir de cuántos minutos la 2.ª es más barata?
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Ex. 3.34Modeling
Profundidad de pozo lineal: 40 m después de 2h, 88 m después de 5h. Modeliza $h(t)$ y calcula después de 10h.
Solve online
Ex. 3.35Modeling
Conversión Celsius-Fahrenheit: $0\,°C = 32\,°F$ y $100\,°C = 212\,°F$ . Modeliza $F(C)$ , calcula $F(37)$ y el $C$ correspondiente a $98{,}6$ °F.
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Ex. 3.36Modeling
Coste $C(q) = 200 + 8q$ e ingresos $R(q) = 12q$ . (a) ¿Para cuál $q$ la ganancia es cero? (b) ¿Ganancia para $q = 100$ ?
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Ex. 3.37ModelingAnswer key
Ley de Hooke: $\sigma = E \epsilon$ . Para $E = 200$ GPa, ¿cuál es la deformación para $\sigma = 100$ MPa?
Solve online
Ex. 3.38Modeling
Altura de vela: $h(t) = 25 - 0{,}8t$ cm. ¿Cuándo la vela termina?
Solve online
Ex. 3.39Modeling
Caudal constante: $V(t) = Q \cdot t$ . Para $Q = 5$ L/min, modeliza y calcula volumen en 1h.
Solve online
Ex. 3.40Modeling
Coste de combustible: $C(d) = 0{,}45 d$ € (con $d$ en km). Modeliza y calcula coste de viaje de 350 km.
Solve online
Ex. 3.41ModelingAnswer key
Alquiler de coche: € 80 fijo + € 0,30/km. ¿Coste total para 300 km y 1 día?
Solve online
Ex. 3.42Modeling
La presión atmosférica decrece 0,12 kPa/m cerca del suelo. Al nivel del mar, 101,3 kPa. Modeliza $P(h)$ y halla $h$ para $P = 50$ kPa.
Solve online
Ex. 3.43Modeling
Ventas en función del precio: $V(p) = 500 - 8p$ . Determina el dominio físico válido.
Solve online
Ex. 3.44Modeling
En una caminata con inclinación constante: 60 kcal después de 1 km, 280 kcal después de 5 km. Modeliza $G(d)$ .
Solve online
Ex. 3.45ModelingAnswer key
Plan A: € 90/mes fijo. Plan B: € 30/mes + € 4/GB. ¿Para cuál consumo $g$ los planes cuestan lo mismo?
Solve online

Fuentes

Solo libros que alimentaron directamente el texto y los ejercicios. Catálogo general en /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1–2.4, §5.1–5.3. Fuente primaria de los bloques A, B, C.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · libre · cap. 1. Fuente primaria del bloque E (modelización).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.2–1.3 (tasa de variación como motivación para derivada). Fuente de la Puerta 25.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1, §10.6.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · libre · §12. Fuente del ejercicio 3.15 (composición de afines).