Lección 4 — Función cuadrática

Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Resuelve $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Resuelve $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Verifica si $x^2 + x + 1 = 0$ tiene raíces reales.

Resuelve $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Resuelve $x^2 + 2x - 4 = 0$.

Determina los valores de $k$ para que $x^2 + 2x + k = 0$ tenga dos raíces reales distintas.

Determina $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx + 9$ tenga raíz doble.

Demuestra las relaciones de Vieta: si $x_1, x_2$ son raíces de $ax^2 + bx + c = 0$, entonces $x_1 + x_2 = -b/a$ y $x_1 x_2 = c/a$.

Demuestra la fórmula de Bhaskara completando el cuadrado.

Determina el vértice de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y clasifícalo.

Reescribe $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ en la forma canónica $a(x - x_V)^2 + y_V$.

Determina el vértice de $g(x) = -3x^2 + 4x - 1$ y reescribe en la forma canónica.

Encuentra la cuadrática con raíces $-2$ y $5$ que pasa por $(0, -10)$.

Encuentra la cuadrática con vértice en $(1, -3)$ que pasa por $(3, 5)$.

Para $y = a(x-3)^2 + 5$ con $a \neq 0$: ¿cuál es el vértice, y cómo afecta $a$ a la gráfica?

Usa las relaciones de Vieta para resolver $x^2 - x - 2 = 0$ sin aplicar Bhaskara.

Demuestra que la abscisa del vértice es el promedio aritmético de las raíces (cuando existen).

Determina $m$ para que $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ tenga vértice en el eje $y$.

Para $f(x) = x^2 - 2x - 8$: determina raíces, vértice y forma canónica.

Resuelve $x^2 - x - 6 < 0$.

Resuelve $x^2 \geq 9$.

Resuelve $-x^2 + 4x + 5 \geq 0$.

¿Para cuáles valores de $b$ la función $f(x) = 2x^2 + bx + 8$ es positiva para todo $x \in \mathbb{R}$?

Resuelve $4x^2 - 3x + 4 > 0$.

Construye el cuadro de signo de $f(x) = x^2 - 3x - 10$ e indica los intervalos donde $f < 0$ y donde $f \geq 0$.

¿Para cuáles valores de $m$ la ecuación $x^2 + mx + (m + 3) = 0$ tiene dos raíces reales distintas?

Demuestra, usando la forma canónica, que para $a > 0$ el valor mínimo de $f(x) = ax^2 + bx + c$ es $y_V = -\Delta/(4a)$, alcanzado en $x = x_V$.

Proyectil lanzado verticalmente: $h(t) = 30t - 5t^2$ (m, s). (a) ¿Instante y altura máxima? (b) ¿Cuándo vuelve al suelo?

Dos números positivos cuya suma es 100. ¿Cuáles maximizan el producto?

Cerca de 60 m cubriendo 3 lados de un rectángulo (pared en el cuarto lado). ¿Qué dimensiones maximizan el área?

Coste $C(q) = q^2 - 30q + 250$ (€) para $q$ unidades. ¿Qué $q$ minimiza el coste? ¿Cuál es el coste mínimo?

Ingresos $R(p) = p(200 - 4p)$. (a) ¿Ceros? (b) ¿Precio de ingresos máximos? (c) ¿Ingresos máximos?

Un jardín rectangular tiene longitud 4 m mayor que el ancho y área 96 m². ¿Cuáles son las dimensiones?

Ingresos $R(q) = 200q$ y coste $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$. (a) ¿Beneficio $L(q)$? (b) ¿$q$ que maximiza? (c) ¿Beneficio máximo?

Trayectoria de balón: $h(d) = -0{,}1d^2 + d + 1$ m, donde $d$ es la distancia horizontal. (a) ¿Altura máxima y dónde ocurre? (b) ¿Dónde toca el suelo?

Tienda vende 100 unidades/semana a 50,00 €. Cada reducción de 1,00 € trae 5 clientes extras. ¿Cuál precio maximiza los ingresos semanales?

Gallinero rectangular con 300 m de cerca, dividido por la mitad por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones maximizan el área total?

Demuestra que, dado $x + y = S$ con $x, y > 0$, el producto $xy$ se maximiza cuando $x = y = S/2$.

Demuestra que, cuando $\Delta \geq 0$, la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ puede escribirse como $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

¿Para cuáles valores de $p, q$ la función $f(x) = x^2 + 2px + q$ es no-negativa para todo $x \in \mathbb{R}$?

Demuestra el teorema del signo de la cuadrática: con $a > 0$ y $\Delta > 0$ (raíces $x_1 < x_2$), $f(x) < 0$ si y solo si $x \in (x_1, x_2)$.